UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO
ESCUELA PROFESIONAL DE ARQUITECTURA
TEMA: DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR
CURSO: ESTRUCTURAS I
PROFESOR: Ing. Martin Maguiña Maguiña
ALUMNO: TRINIDAD SANTOS, Ludwig
JESÚS MARÍA – LIMA- PERÚ
2014
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE (D.F.C.) Y
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR (D.M.F.)
Concepto:
Son aquellos diagramas que representa los niveles de la
deformación de un elemento estructural mediante grafica de cargas
distribuidas ocasionados por fuerzas de carga muerta y carga viva.
MÉTODO: Para determinar la gráfica aplicaremos el método de
corte.
Ejemplo 1:
1º PASO: Cálculo de reacciones RA y RB:
∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 𝑊𝐿 … 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛
∑𝑀𝐴 = 0 ⟶ 𝑊𝐿𝑥𝐿
2 − 𝑅𝐵𝑥𝐿 = 0 ⟶ 𝑅𝐵 =
𝑊𝐿
2 (𝑢𝑛𝑖𝑑. 𝑇𝑛)
PESO Y/O CARGA
q= W (unid. T/M)
RA RB
L (m)
A B
PESO Y/O CARGA
q= W (unid. T/M)
RA RB
L (m)
A B
F = W x L (unid. Tn)
L/2 (m)
L/2 (m)
∑ 𝑀𝐵 = 0 ⟶ 𝑊𝐿𝑥𝐿
2 − 𝑅𝐴𝑥𝐿 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 =
𝑊𝐿
2 (𝑢𝑛𝑖𝑑. 𝑇𝑛)
∴ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 =𝑊𝐿
2+
𝑊𝐿
2= 𝑊𝐿 … . 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛
2º PASO: Determina el corte para asumir una distancia y/o variable “X”.
Luego se representa:
3º PASO: Determinación de ecuaciones cortantes y de momento:
∑ 𝐹𝑉 ⟶ 𝑉1−1 = 𝑅𝐴 − 𝐹 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝐹 = 𝑊𝑋 ∴ 𝑉1−1 = 𝑅𝐴 − 𝑊𝑋
∑𝑀 ⟶ 𝑀1−1 = 𝑅𝐴𝑋 −𝐹𝑋
2 ⟹ 𝑀1−1 = 𝑅𝐴𝑋 −
𝑊𝑋2
2
q= W (unid. T/M)
RA RB
L (m)
A B
C1
C1 X
IMPORTANTE:
• C1=CORTE 1
• EL TRAZO DEL CORTE SE
PUEDE REALIZAR A
CUALQUIER EXTREMO DE LA GRÁFICA.
• CUANDO SE TRAZA EL
CORTE O SI HUBIERA OTROS
SIEMPRE SE ASUMIRÁ UNA
DISTANCIA “X” QUE VA DE LA
LINEA DEL CORTE HACIA LA
IZQUIERDA HASTA LLEGAR A LA (RA) FURZA REACCION A.
C1
C1
RA
A
X
F
F = W x L (unid. Tn)
q= W (unid. T/M)
X/2
corte
V= FUERZA CORTANTE (TN)
M=MOMENTO (T-M)
Fuerza x Distancia
4º PASO: Tabla y/o cuadro de valores X según rango.
RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 𝐿
X V1-1 (Tn)
0 RA
L RA - WL
EJEMPLO-EJERCICIO #1:
1º PASO: Cálculo de reacciones RA y RB:
∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 24 𝑇
∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟶ 24𝑥3 − 6𝑅𝐵 = 0 ⟶ 𝑅𝐵 =24
2= 12 𝑇.
∑ 𝑀𝐵 = 0 ⟶ 24𝑥3 − 6𝑅𝐴 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 =24
2= 12 𝑇.
∴ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 12 + 12 = 24 𝑇.
X M1-1 (T-M)
0 0
L RAL - 𝑊𝐿2
2
q= 4 T/N
RA RB
6 (m)
A B
RA RB
6 m.
A B
F = 6 x 4=24 T
3 m. (m)
3 m. (m)
DETERMINANDO EL CORTE
Luego se representa:
DETERMINACIÓN DE ECUACIONES CORTANTES Y DE MOMENTO:
𝑉1−1 = 12 − 4𝑋 (𝐹𝑈𝐸𝑅𝑍𝐴 𝐶𝑂𝑅𝑇𝐴𝑁𝑇𝐸)
𝑀1−1 = 12𝑋 −4𝑋2
2 (𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂)
𝑀1−1 = 12𝑋 − 2𝑋2
RA RB
A B
C1
C1 X
C1
C1
RA=12 T.
A
X
F = 4X
q= 4. T/M
X/2
CORTE
GRÁFICA:
RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 6
X V1-1 (T)
0 12
1 8
2 4
3 0
4 -4
5 -8
6 -12
X M1-1 (T-M)
0 0
1 10
2 16
3 18
4 16
5 10
6 0
A B
0
6
0
12
-12
-6
2 6 4
0 2 6
4
8
0
16
0
(+)
(-)
(+)
(T)
(m.)
(m.)
0 T-m
16 T-m 16 T-m
IMPORTANTE: LOS GRÁFICOS DEBEN HACERSE A ESCALA, TANTO HORIZONTAL
COMO VERTICALY RESPETAR LAS UNIDADES.
D.M.F.
D.F.C.
EJEMPLO-EJERCICIO #2:
1º PASO: Cálculo de reacciones RA y RB:
∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 − 24 − 3 − 15 + 𝑅𝐵 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 42 𝑇
∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟶ 24𝑥3 + 3𝑥9 + 2 + 15𝑥(13 +10
3) − 18𝑅𝐵 = 0 ⟶ 𝑅𝐵 =
346
18= 19.22 𝑇.
∑ 𝑀𝐵 = 0 ⟶ 15𝑥5
3+ 3𝑥9 − 2 + 24𝑥15 − 18𝑅𝐴 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 =
410
18= 22.78 𝑇.
∴ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 19.22 + 22.78 = 42 𝑇.
RA RB
A B
6 m. 3 m. 4 m. 5 m.
q= 4 T/M q= 6. T/M
F1=3T
M1= 2 T-M
RA RB
A B
6 m. 3 m. 4 m. 5 m.
q= 4 T/M q= 6. T/M M1= 2 T-M
F= 6x4=24T
F1=3T
3 m.
9 m. 5 (2/3) m. 5 (1/3) m.
F= (6x5)/2=15T
2º PASO: Determina el corte para asumir una distancia y/o variable “X”.
3º PASO: Desarrollo del corte 1-1:
4º PASO: Desarrollo del corte 2-2 RANGO: 6 ≤ 𝑋 ≤ 9
A B
M1= 2 T-M
F1=3T
1
1
2
2
3
3
4
4
A
q= 4 T/M
1
1
RA
X
X/2
F= 4X T
Se considera “X”
∑𝐹𝑉 𝑉1−1 = 𝑅𝐴 − 4𝑋 ⟶ 𝑉1−1 = 22.78 − 4𝑋
∑𝑀 𝑀1−1 = 𝑅𝐴𝑋 − 4𝑋𝑋
2 ⟶ 𝑀1−1 = 22.78𝑋 − 2𝑋2
Cortante (V)
Momentos (M)
RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 6
A
2
2
RA
X
F= 6x4=24 T
(X-3) m.
3m.
6m.
∑𝐹𝑉 𝑉2−2 = 𝑅𝐴 − 24 ⟶ 𝑉2−2 = 22.78 − 24 = −1.22
𝑉2−2 = −1.22 𝑇
∑𝑀 𝑀2−2 = 𝑅𝐴𝑋 − 24(𝑥 − 3) ⟶ 𝑀2−2 = 22.78𝑋 − 24(𝑥 − 3) 𝑇 − 𝑀
Cortante (V)
Momentos (M)
La fuerza es 4 por X = 4X
q= 4 T/M q= 6. T/M
5º PASO: Desarrollo del corte 3-3 RANGO: 9 ≤ 𝑋 ≤ 13
6º PASO: Desarrollo del corte 4-4 RANGO: 13 ≤ 𝑋 ≤ 18
Cálculo de q1 (por semejanza de )
𝑞
5=
𝑞1
𝑥 − 13 ⟶
6
5=
𝑞1
𝑥 − 13 ⟶ 𝑞1 =
6
5 (𝑥 − 13)
Cálculo de F’ : 𝐹′ = 𝑏𝑥ℎ
2=
(𝑥−13)( 6
5(𝑥−13))
2=
3
5(x − 13)(x − 13)
M1= 2 T-M
F1=3T
3
3
A
RA= 22.78 T
F= 6x4=24 T
3m.
X m.
6 m.
9 m.
X-9 m.
∑𝐹𝑉 𝑉3−3 = 𝑅𝐴 − 24 − 3 ⟶ 𝑉3−3 = 22.78 − 27 = −4.22
𝑉3−3 = −4.22 𝑇
∑𝑀 𝑀3−3 = 𝑅𝐴𝑋 − 24(𝑥 − 3) + 2 − 3(𝑋 − 9) ⟶ 𝑀3−3 = 22.78𝑋 − 24(𝑥 − 3) + 2 − 3(𝑥 − 9) 𝑇 − 𝑀
Cortante (V)
Momentos (M)
Positivo
porque tiene
el mismo
sentido que la RA
A
M1= 2 T-M
4
4 F= 6x4=24 T
F1=3T
q= 4 T/M
q= 4 T/M
RA= 22.78 T
X m.
6 m. 3 m. 4 m. X-13 m.
m.
B
q1
F’
q= 6. T/M
5 m.
7º PASO: Tabla y/o cuadro de valores según rango
CORTE 1-1: RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 6
X V1-1 X M1-1
0 22,78 0 0
1 18,78 1 20,78
2 14,78 2 37,56
3 10,78 3 50,34
4 6,78 4 59,12
5 2,78 5 63,9
6 -1,22 6 64,68
CORTE 2-2: RANGO: 6 ≤ 𝑋 ≤ 9
X V2-2 X M2-2
6 -1,22 6 64,68
7 -1,22 7 63,46
8 -1,22 8 62,24
9 -1,22 9 61,02
CORTE 3-3: RANGO: 9 ≤ 𝑋 ≤ 13
X V3-3 X M3-3
9 -4,22 9 63,02
10 -4,22 10 58,80
11 -4,22 11 54,58
12 -4,22 12 50,36
13 -4,22 13 46,14
4
4
F’
X-13 m.
2
3(𝑋 − 13) 𝑚. 1
3(𝑋 − 13)
∑𝐹𝑉 𝑉4−4 = 𝑅𝐴 − 24 − 3 −3
5(𝑥 − 13) (𝑥 − 13) ⟶ 𝑉4−4 = −4.22 −
3
5(𝑥 − 13) (𝑥 − 13)
∑𝑀 𝑀4−4 = 𝑅𝐴𝑋 − 24(𝑥 − 3) + 2 − 3(𝑋 − 9) − 3
5(x − 13)(x − 13).
1
3(𝑥 − 13)
⟶ 𝑀4−4 = 22.78𝑋 − 24(𝑥 − 3) + 2 − 3(𝑥 − 9) −1
5 (𝑥 − 13) (𝑥 − 13)(𝑥 − 13) 𝑇 − 𝑀
Cortante (V)
Momentos (M)
F’ d
d
(T) (T-M)
(T) (T-M)
(T) (T-M)
CORTE 4-4: RANGO: 13 ≤ 𝑋 ≤ 18
X V4-4 X M4-4
13 -4,22 13 46,14
14 -4.82 14 41,72
15 -6.62 15 36.10
16 -9.62 16 28.08
17 -13,82 17 16.46
18 -19,22 18 0.04
El grafico al igual que en el ejemplo anterior se debe hacer a escala y respectando las
unidades correspondientes.
PRÀCTICA:
1º PASO: Cálculo de reacciones RA y RB:
∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 − 30 − 7 − 15 + 𝑅𝐵 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 52 𝑇
∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟶ 30𝑥3 + 7𝑥9 + 2 + 15𝑥(13 +10
3) − 18𝑅𝐵 = 0 ⟶ 𝑅𝐵 =
400
18= 22.22 𝑇.
∑ 𝑀𝐵 = 0 ⟶ 15𝑥5
3+ 7𝑥9 − 2 + 30𝑥15 − 18𝑅𝐴 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 =
536
18= 29.78 𝑇.
∴ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 29.78 + 22.22 = 52 𝑇.
RA RB
A B
6 m. 3 m. 4 m. 5 m.
q1= 5 T/M q= 6 T/M
F1=7T
M1= 2 T-M
RA RB
A B
6 m. 3 m. 4 m. 5 m.
q= 5 T/M q= 6. T/M M1= 2 T-M
F= 6x5=30T
F1=7T
3 m.
9 m. 5 (2/3) m. 5 (1/3) m.
F= (6x5)/2=15T
2º PASO: Determina el corte para asumir una distancia y/o variable “X”.
3º PASO: Desarrollo del corte 1-1:
4º PASO: Desarrollo del corte 2-2 RANGO: 6 ≤ 𝑋 ≤ 9
A B
M1= 2 T-M
F1=7T
1
1
2
2
3
3
4
4
A
q= 5 T/M
1
1
RA
X
X/2
F= 5X T
Se considera “X”
∑𝐹𝑉 𝑉1−1 = 𝑅𝐴 − 5𝑋 ⟶ 𝑉1−1 = 29.78 − 5𝑋
∑𝑀 𝑀1−1 = 𝑅𝐴𝑋 − 5𝑋𝑋
2 ⟶ 𝑀1−1 = 29.78𝑋 −
5
2𝑋2
Cortante (V)
Momentos (M)
RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 6
A
2
2
RA
X
F= 6x5=30 T
(X-3) m.
3m.
6m.
∑𝐹𝑉 𝑉2−2 = 𝑅𝐴 − 30 ⟶ 𝑉2−2 = 29.78 − 30 = −0.22
𝑉2−2 = −0.22 𝑇
∑𝑀 𝑀2−2 = 𝑅𝐴𝑋 − 30(𝑥 − 3) ⟶ 𝑀2−2 = 29.78𝑋 − 30(𝑥 − 3) 𝑇 − 𝑀
Cortante (V)
Momentos (M)
La fuerza es 5 por X = 5X
q= 5 T/M q= 6. T/M
q= 5 T/M
5º PASO: Desarrollo del corte 3-3 RANGO: 9 ≤ 𝑋 ≤ 13
6º PASO: Desarrollo del corte 4-4 RANGO: 13 ≤ 𝑋 ≤ 18
Cálculo de q1 (por semejanza de )
𝑞
5=
𝑞1
𝑥 − 13 ⟶
6
5=
𝑞1
𝑥 − 13 ⟶ 𝑞1 =
6
5 (𝑥 − 13)
Cálculo de F’ : 𝐹′ = 𝑏𝑥ℎ
2=
(𝑥−13)( 6
5(𝑥−13))
2=
3
5(x − 13)(x − 13)
M1= 2 T-M
F1=7T
3
3
A
RA= 29.78 T
F= 6x5=30 T
3m.
X m.
6 m.
9 m.
X-9 m.
∑𝐹𝑉 𝑉3−3 = 𝑅𝐴 − 30 − 7 ⟶ 𝑉3−3 = 29.78 − 37 = −7.22
𝑉3−3 = −7.22 𝑇
∑𝑀 𝑀3−3 = 𝑅𝐴𝑋 − 30(𝑥 − 3) + 2 − 7(𝑋 − 9) ⟶ 𝑀3−3 = 29.78𝑋 − 30(𝑥 − 3) + 2 − 7(𝑥 − 9) 𝑇 − 𝑀
Cortante (V)
Momentos (M)
Positivo
porque tiene
el mismo
sentido que la RA
A
M1= 2 T-M
4
4 F= 6x5=30 T
F1=7T
q= 5 T/M
q= 5 T/M
RA= 29.78 T
X m.
6 m. 3 m. 4 m. X-13 m.
m.
B
q1
F’
q= 6. T/M
5 m.
7º PASO: Tabla y/o cuadro de valores según rango
CORTE 1-1: RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 6
X V1-1 X M1-1
0 29.78 0 0
1 24,78 1 27.28
2 19,78 2 49.56
3 14,78 3 66.84
4 9,78 4 79,12
5 4.78 5 86.40
6 -0,22 6 88.68
CORTE 2-2: RANGO: 6 ≤ 𝑋 ≤ 9
X V2-2 X M2-2
6 -0,22 6 88,68
7 -0,22 7 88,46
8 -0,22 8 88,24
9 -0,22 9 88,02
CORTE 3-3: RANGO: 9 ≤ 𝑋 ≤ 13
X V3-3 X M3-3
9 -7,22 9 90,02
10 -7,22 10 58,80
11 -7,22 11 75,58
12 -7,22 12 68,36
13 -7,22 13 61,14
4
4
F’
X-13 m.
2
3(𝑋 − 13) 𝑚. 1
3(𝑋 − 13)
∑𝐹𝑉 𝑉4−4 = 𝑅𝐴 − 30 − 7 −3
5(𝑥 − 13)(𝑥 − 13) ⟶ 𝑉4−4 = −7.22 −
3
5(𝑥 − 13)(𝑥 − 13) 𝑇
∑𝑀 𝑀4−4 = 𝑅𝐴 𝑋 − 30(𝑥 − 3) + 2 − 7(𝑋 − 9) − 3
5(x − 13)(x − 13).
1
3(𝑥 − 13)
⟶ 𝑀4−4 = 29.78𝑋 − 30(𝑥 − 3) + 2 − 7(𝑥 − 9) −1
5 (𝑥 − 13) (𝑥 − 13)(𝑥 − 13) 𝑇 − 𝑀
Cortante (V)
Momentos (M)
F’ d
d
(T) (T-M)
(T) (T-M)
(T) (T-M)
CORTE 4-4: RANGO: 13 ≤ 𝑋 ≤ 18
X V4-4 X M4-4
13 -7,22 13 61,14
14 -7,82 14 53,72
15 -9,62 15 45.10
16 -12,62 16 34.08
17 -16,82 17 19.46
18 -22.,22 18 0.04
(T) (T-M)
GRÁFICA ESCALA
6M. 3M. 4M. 5M.
F=7T.
M=2 T-M q1 = 4T/M q2 = 6T/M
(+)
(+)
(-)
ESCALA HORIZONTAL 1/200 - 1cm = 2m.
D.M.F.
D.F.C.
ESCALA VERTICAL (D.F.C.) 1/650 - 1cm = 6.50 m.
ESCALA VERTICAL (D.M.F.) 1/1000 - 1cm = 10 m.
T-M
(m)
(T)
88.68 T-M
88.02 T-M
90.02
T-M
61.14 T-M
0.04 T-M
29.78T
--0.22T
--0.22T
--7.22T
--22.22T