数値計算法第7章 固有値
第8章 関数の近似その1第9章 関数の近似その2
千葉大学工学部総合工学科機械工学コース担当者 武居昌宏
教科書数値計算入門 (Computer Science Library)河村哲也 (著) 出版社: サイエンス社 (2006/04) ISBN-10: 9784781911267
第7章 固有値 ●固有値の復習2
●2次形式の最大値と最小値
A:二次形式の係数行列⇒対称行列となる
xx Ay
x
bc
cayxcxybyaxyxf T
2/
2/),( 22
2次形式( 全ての項が2 次の項から成る式)は行列で表される
①λmin ≤ RA(x) ≤ λmax (λmin λmaxはA の最小, 最大固有値)②RA(xmin)=λmin RA(xmax)=λmax ( xmin, xmax はλmin, λmaxの固有ベクトル)
),(
,
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),()(
2
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
A
AAAAR
T
T
A
●レイリー(Rayleigh) 商の定義 ( )は内積
対角要素
A: n×n行列 Aui=λui ----①固有ベクトル:
固有値:
| A - λE | = 0●一般的な固有値の求め方 Aの固有方程式を解く
E は単位行列
内積のときλでくくるとき注意!!
非対角要素
●レイリー商の性質
スカラー値
…(A)
※式(7.4)参照x:任意の n個の要素の列ベクトル
7.1べき乗法
n×n行列Aの固有値:
その固有ベクトル:
任意のn次元ベクトルyは固有ベクトルxの線形結合で書けるので、
…(7.1)
さらにAをかけると
y
x1
x2
x3
c1x1
c2x2
c3x3
式(7.1)にAをかける なので
Aをk回かけると
…(B)
:行列Aの絶対値最大の固有値を求める方法
Ax1=λ1x1
Aをかける
Ax2=λ2x2
Ax3=λ3x3
絶対値最大の固有値λj= λmaxとすると
xj項以外の係数は0に近づく。
●ベクトルの割算は定義できない!! A,yおよびxがもしスカラー値ならば、感覚的に②/①は
k->∞のときこの項のみ残る
k+1乗の項をk乗の項で割るとλjなる
Tjjj xxx 321jx と仮にn=3で考えると、
が絶対値最大の固有値λmaxに近づく同じ要素の比 Tjjj
k->∞で0
Tj
k
jjj
k
jjj
k
jj xcxcxc 3
1
2
1
1
1
‥‥①
‥‥②
Tj
k
jjj
k
jjj
k
jj xcxcxc 321
任意のn次元ベクトルyの代わりに初期ベクトルx(0)を適当にとって、
k->∞のとき、x(k)とx(k+1)との要素の比が、絶対値最大の固有値λmaxに近づく
となるまで計算 が求める最大固有値⇒ベキ乗法
●収束条件
εは適当に小さい値を決める!!
要素の比をどう表すか?⇒レイリー商を用いたアルゴリズム
●①式と②式の関係から、
…(7.2)
Tj
k
jjj
k
jjj
k
jj xcxcxc 3
1
2
1
1
1
‥‥①
‥‥②
Tj
k
jjj
k
jjj
k
jj xcxcxc 321
)0(1)()1( xxx kkk AA上付き文字 (k)とk、かっこありなしの意味を再確認…(7.2)
を式(7.4)に代入すると,
ベクトル内積のときλでくくるとき注意!!
●レイリー商を用いたアルゴリズム(k+1)項に対するk項の割り算をベクトルで定義する。式(A)参照
⇒レイリー商
(k+1 )項とk項の内積
(k+1)項と(k+1)項の内積
※ k->∞のとき式(7.4)のレイリー商は絶対値最大の固有値λmaxとなる!!
…(7.4)⇐式(A)参照
),(
),(
),(
),(
),(
),()()(
)()(2
)()(
)()(
)()1(
)1()1(
kk
kk
kk
kk
kk
kk
xx
xx
xx
xx
xx
xx
),(
),()()1(
)1()1(
kk
kk
xx
xx
),(
),((0)(0)1
(0)1(0)1
xx
xxkk
kk
AA
AA
)()()1( kkk A xxx
※Aを無限掛けたレイリー商は絶対値最大の固有値λmaxになる!!
式(7.4)が証明できた!!
●べき乗法のアルゴリズム(レイリー商を用いたアルゴリズム)
各要素が極端に大きく、または小さくなるので、正規化しておく
教科書はy(k)を用いているが、ここではx(k+1) としている
レイリー商は正規化する前で求める。
(3)
1. Aとx(0)を入力する。
2. k = 0,1,2,……に対して次の反復計算を行う。
3. λが収束すれば反復を終了
(1)
(2)
…(7.4)),(
),()()1(
)1()1(
kk
kk
xx
xx
)1(
)1()1(
k
kk
x
xx
x(k+1) = A x(k)
ちなみにAの固有値は、λ= -1,1,2 最大固有値2に対する固有ベクトルは、
●べき乗法の例題
の最大固有値を、べき乗法(レイリー商を用いたアルゴリズム)により求めよ。
ただし、 とする。
最大固有ベクトルの各要素値は、同じ値か
::
::
x(k)とx(k+1)との同じ要素の比が絶対値最大の固有値λjに近づくことを確認
𝒙 1 = 𝐴𝒙 0
𝒙 1 =𝒙 1
𝒙 1=
0.7071067820
0.707106782
𝒙 2 = 𝐴𝒙 1
𝒙 2 =𝒙 2
𝒙 2=
0.816496580.408248290.40824829
λ(1) =(𝒙 1 , 𝒙 1 )
(𝒙 1 , 𝒙 0 )=?
レイリー商は正規化する前で求める
λ(2) =(𝒙 2 , 𝒙 2 )
(𝒙 2 , 𝒙 1 )=?
𝒙 16 = 𝐴𝒙 15
𝒙 16 =𝒙 16
𝒙 16=
0.577350270.5773502690.577350269
λ(16) =(𝒙 16 , 𝒙 16 )
(𝒙 16 , 𝒙 15 )=?
𝒙 17 = 𝐴𝒙 16 =1.1547005391.1547005371.154700539
λ(17) =(𝒙 17 , 𝒙 17 )
(𝒙 17 , 𝒙 16 )= 1.999999997 ≈ 2
最大固有値
7.3 ヤコビ法
Aを実対称行列に限定して
固有ベクトルuiを行列Uで表す
右辺はUΛであってΛUではない!!!理由は次ページ対角行列の左行右列の法則!!
U: 固有ベクトルを列とする行列uは太字であることに注意!!
Λ: 固有値の対角行列対角行列:非対角要素がすべてゼロ
ΛUAU
‥‥(A)
Aui = λi ui …①●固有値の定義
…(7.8)
AUU 1Λ
実対称行列Aのすべての固有値を求める方法
U = [u1, u2, … , un ]
A: n×n の実対称行列
λi : 行列Aの固有値
ui :固有ベクトル (i = 1,2,3, … ,n)
3
2
1
0
0
固有ベクトルuiをUの列で定義すると、
UA=ΛU ⇒ Λ=UAU-1になるので注意!!!
3)右から対角行列を掛けると各列が対角成分倍
4)左から対角行列を掛けると各行が対角成分倍
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
c
c
c
b
b
b
aaa
aaa
aaa●行列の演算の基本事項確認
321
333231
232221
131211
321 ccc
aaa
aaa
aaa
bbb
333322311
233222211
133122111
3
2
1
333231
232221
131211
00
00
00
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
333323313
232222212
131121111
333231
232221
131211
3
2
1
00
00
00
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
UΛであってΛUではない理由
2) (行ベクトル)×(行列)=(行ベクトル)(1×3) × (3×3)=(1 ×3)
↑同じ値↑
1) (行列)×(列ベクトル)=(列ベクトル)(3×3) × (3×1) = (3 ×1)
↑同じ値↑
対角行列の左行右列の法則!!
● AUとUΛの要素の確認
①AとBの固有値は一致②直交行列Uのとき A と の固有値は一致③Uが固有ベクトルを列ベクトルとする行列のときAを対角化できる⇒このとき の対角要素が固有値
AUU T
ΛUAU …(7.8)
AUU 1
U:正則行列 (逆行列を持つ正方行列)
●相似変換 行列 AとBは相似
AUUB 11UAUB …(B)
2
10
2
10102
10
2
1
U
321
333231
232221
131211
uuu
aaa
aaa
aaa
AU
321 uuu AAA
3
2
1
321
00
00
00
uuuU
332211 uuu
●直交行列の性質:直交行列の逆行列は転置行列に等しい
正規行列Uが直交行列ならば U‐1 = UT
●対称行列:UT = U
列ベクトル同士が直交(内積=0)
U-1U = UU-1 = E●逆行列:
●直交行列:
UT U = U UT = E
※直交行列の例
●実対称行列Aの対角化と固有値
AUU 1
直交行列U1が固有ベクトルでなくても、Aの絶対値最大の非対角要素を、直交相似変換U1
T A U1 を繰り返すことで、0にできればΛが求まる。
実対称行列Aを対角化したとき、Aの固有値はΛの対角要素となる。
対角要素
行列A
直交相似変換(ハンマー)
行列Λ
絶対値最大の非対角要素を0にする
AUU T …(7.9)
Uが直交行列U‐1 = UT ならば
(A)式と前ページの相似変換の(B)式と比較
Λ: 固有値の対角行列
…(A)
ヤコビ法の基本的なアイデア
どんな直交相似変換(ハンマー)を使えば、非対角要素が0になるか?⇒回転行列を使うとうまくいく!!!実対称行列Aの絶対値最大の要素 apq (p<q)とする。
U1
p行 q列
q行 q列
p行 p列
q行 p列
●回転行列 ギブンス回転(変換)
ギブンス回転(変換)行列U1 ⇒ θラジアン時計回りに回転したベクトル
p行 q列に絶対値最大要素
q行 p列にも絶対値最大要素
朝眠いので-
UT1
-
p行 q列
ここがマイナスsin
q行 q列
p行 p列
q行 p列
ギブンス回転(変換)行列の転置𝑈1𝑇⇒ θラジアン反時計回りに回転
●ギブンス変換
しかしすべての非対角要素が0になる保証はない
行列A1
bqp
繰り返せばいつかA1は0になる
=cos𝜃 −sin𝜃 0sin𝜃 cos𝜃 00 0 1
実対称行列A
UT1 :反時計回り
cos𝜃 sin𝜃 0−sin𝜃 cos𝜃 00 0 1
U1 :時計回り
A1の(p, q)要素をbpq
θをうまく選んでbpqとbqpを0にする
…(7.10) 111 AUUA T1Aではないが と置く
下記のθを選べばbpq = bqp= 0となる
2倍角の公式
22 sincoscossin pqqqpppq aaab
行列A1のbpqとbqp要素は
秦君コメントbpq(1/2)*(app(1/2)*(結果になりました.…(7.11)
…(7.10) 111 AUUA T
U1 :時計回り回転行列UT
1 :反時計回り
A :実対称行列
22 sincos2cos
qqpp aa ⇒θ = π/4
…(7.12)
のとき 02cos
qqpp aa ppqqpq aaa 22tan のとき
2cos2sin2
1pqqqpppq aaab
cossin22sin
絶対値最大要素
cossin
1
sincos
cossin
1
sincos
'
qqqp
pqpp
qqqp
pqpp
aa
c
aa
bb
c
bb …
…
……
… … …
… … …
… … …
… … …
以上をm回繰り返すと、
固有値を対角要素にもつ固有値ベクトルΛは、Amとなる
A1に対して、さらに、絶対値最大の要素を探して、ギブンス変換を行う
●ギブンス変換の繰り返し
…(7.13)
2122 UAUA T 式(7.10) と比較すると A⇒A1 A1⇒A2 U1⇒U2
111 AUUA T …(7.10) 1回目
2回目
mmm
T
m
T
mmm
T
mm UUAUUUAUA 1211 m回目
☜直交行列ならば
m
TT
m
T
mm UUAUUUUA 2111… …
m
T
mm UUUAUUUA 2121 … …
mUUUU 21mA …(7.14) …
1. 対称行列Aを入力する2. 以下の反復を行う2.1 絶対値最大の成分を求めapqとおく(p<q)2.2
●ヤコビ法のアルゴリズム まとめ
qqpp aa ⇒θ = π/4のとき 02cos
qqpp aa
ppqq
pq
aa
a2tan
2
1 1のとき44
ただし
2.3 θを用いてギブンス行列U(p,q)を作る2.4 UTAUを計算してそれを新たにAとする3. 収束すれば終了
=U1=A=U1T
cossin
1
sincos
cossin
1
sincos
'
qqqp
pqpp
qqqp
pqpp
aa
c
aa
bb
c
bb …
…
……
… … …
… … …
… … …
… … …
●ヤコビ法の実例
ここは1ミスプリ
app
aqq
a12
ギブンス行列により、ここが0になる!!!
※教科書ミスプリ この行列要素すべて違う
100
070711.070711.0
070711.070711.0
100
0cossin
0sincos
1
U
0000.170711.070711.0
70711.0000.10000.0
70711.00000.0000.3
11
)1( AUUA T
1. 対称行列Aを入力する
2.1 絶対値最大の成分を求めapqとおく(p<q)
の固有値をヤコビ法を用いて解く
2.2 app=aqqなので、式(7.12)cos2θ=0よりθ = π/4 2.3 θを用いてギブンス行列U1を作る
行列Aの絶対値最大要素は、a12 = 2
2.4 UTAUを計算してそれを新たにAとする
:
行列Aの絶対値最大要素はa13=0.70711で、式(7.12)より、
※教科書ミスプリ A(2)の行列要素やθなど違う
]rad[307738.0)70711.0(tan2
tan 11
ppqq
pq
aa
a
953021.00302903.0
010
302903.00953021.0
cos0sin
010
sin0cos
2
U
77478.067896.01001645.9
67896.096762.041667.0
100145.941667.019284.3
9
9
6
)5(
6
)6( UAUA T
2.1 絶対値最大の成分を求めapqとおく(p<q)
2.2 qqpp aa のとき
2.3 θを用いて式(7.12)よりギブンス行列U2を作る
:
第8章 関数の近似その1 8.1 ラグランジュ補間法(1)
x=2.0 を代入して, y=2.4
さらに(5.0, 2.7)が加わると,
x=2.0 を代入して, y=2.2
n+1 点→n次多項式→ラグランジュ補間法
を通るn次多項式を求める
求めるn次の補間式Pn(x)は,
lj(x) : ラグランジュの補間多項式、または、ラグランジュ基底関数
n
j
jjn xlfxP0
)()( …(8.3)
y
x
(3.2, 1.5)
(1.6, 2.7)
×(2.0, ?)
x0 x1 x2
(5.0, 2.7)9.375.0 xy
30
181
4
11
12
5 2 xxy
njjjjjjj
njj
jxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxl
1110
1110)(
…(8.1)
分子: xnの関数…
… …
…
xjがない
n次多項式の係数は,n+1元の連立1次方程式を解けばよいが・・・・・
しかしこの連立方程式を解くのはかなりめんどう
を通るn次多項式この式は
x0がない求めるn次の補間式Pn(x) を次のようにおく。
第n+1項目: fn×lkn(x)
xnがない
x1がない
第1項目: f0×l0(x)
第2項目: f1×l1(x)
第3項目: f2×l2(x)
x2がない
n
nn
xxxxxxxx
xxxxxxxxfxP
0302010
3210)(
n
n
xxxxxxxx
xxxxxxxxf
1312101
3201
n
n
xxxxxxxx
xxxxxxxxf
2321202
3102
…
…
…
…
…
…
n
n
j
j xaxaxaxaaxf 2
210)( … …
+… 10
10
nnn
nn
xxxx
xxxxf
… …
……
●ラグランジュの補間多項式(ラグランジュ基底関数)の性質
クロネッカーのデルタ
●証明
●ラグランジュ補間式のアルゴリズム
jkkj xl )( …(8.2)
kj
kjjk
0
)(1
●例1 2点(x0,f0) と(x1,f1)を通る1次式
x1がない x2がない
より、
x0がない
n
j
jjn xlfxP0
)()( …(8.3)
01
01
10
101 )(
xx
xxf
xx
xxfxP
●例2 3点(x0,f0) 、(x1,f1)、 (x2,f2)を通る2次式
1202
102
2101
201
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxf
2010
2102 )(
xxxx
xxxxfxP
※2次式になっていることを確認
njjjjjjj
njj
jxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxl
1110
1110)( …(8.1)
…
…
…
…
8.2 ラグランジュ補間法(2)●ラグランジュ補間式の誤差の見積もり式
π(x)G(x)を左辺に移項し π(x) = 0に着目!!
さらに、区間 [x0,xn]内に新たにxk を選び、
●証明
F(x) = f(x) - Pn(x) - π(x)G(x)F(x)が0となるxが のn+1個ある
以上より = 0 となるxが n+2個存在する
このとき𝐹(𝑥𝑘) =0 まずはこれを証明した!!
𝐺(𝑥𝑘) =𝑓 𝑥𝑘 − 𝑃𝑛(𝑥𝑘)
𝜋(𝑥𝑘)
ここはまずはx
「テイラーの定理」
)(!1
)()( )1(10
nn
n fn
xxxxxxxPxf
を満たす、 が存在する。 G(ξ)
…(8.4)…
区間 (x0, xn) 内に、F’(x)=0となるxが少なくとも n+1 個存在する。
G(x)はx=xk で有限確定
次のように説明
=0となる少なくとも1個のxが存在する
にロルの定理を適用
となる が区間 内にひとつ存在
F’’(x)=0となる少なくともn 個のxが存在する
このときx = ξ
ロルの定理より、F(x)=0となるxが2個存在すれば、F’(x)=0となるxが少なくとも1個存在する。F(x)=0となるxがn+2個存在するとF’(x)=0となるxは少なくともn+1 個存在する
次にこれを証明した!!
y
xx0
×F’(x)=0
x1
y = F(x)
より、 を求める。F(x) = f(x) - Pn(x) - π(x)G(ξ)
Pn(x)はn次の多項式より
(n+1)階微分すると0
(n+1)! G(ξ)
π(x)を展開して(n+1)階微分すると(n+1)!
を代入すると、前ページの証明より、
(n+1)! G(ξ)
このG(ξ)を元の式に戻すと
(n+1)階微分すると(n+1)!
0になるx = ξが存在
G(ξ)
最後に、式(8.4)を証明した!!
)(
!1
)()()(
)1(
xn
fxPxf
n
n
●例 f(x)=sinx
xの値 f(x)の値x0 = 0 [rad] f0 = 0.0
x1 = 0.1 [rad] f1 = 0.098334
x2 = 0.2 [rad] f2 = 0.198669
x=0.15[rad]のとき、sin xとラグランジュ補間式との誤差はいくらか?
(1) ラグランジュの補間多項式(ラグランジュ基底関数) lj(x) の計算
x0 x1 x2
x=0.15[rad]
f(x)=sinx
njjjjjjj
njj
jxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxl
1110
1110)( …(8.1)
… …
… …
n=2、 x0 < ξ < x2 つまり、0 < ξ < 0.2なので、
(2) x=0.15[rad]のときの、ラグランジュの補間多項式の値
(3) 式(8.4)より誤差の計算
教科書ミスプリn=2なのでsinの3階微分は-coscos(0)=1.0で最大
教科書ミスプリf(x)ではなくてP2(x)にすべき?
f0 f1 f2l0 l1 l2
実際にsinに代入すると f(0.15)=sin(0.15)=0.149438
f(0.15) - P2(0.15) =6.2?×10-5
n
j
jjn xlfxP0
)()( …(8.3)
P2(0.15) = 0×(-0.125)+0.098334×0.75+0.198669×0.375=0.149376
)cos(
6)()( 210
2 xxxxxx
xPxf
x0 = 0 x1 = 0.1 x2 = 0.2 x=0.15を代入
5
2 1025.600.16
)05.0(05.015.0)()(
xPxf
⇒10-5乗の誤差
⇒10-5乗の誤差
)(!1
)()( )1(10
nn
n fn
xxxxxxxPxf
…(8.4)…
30
もとの関数
6次式
3次式
図8.1 ラグランジュ補完法がよくない例
●例1 ラグランジュ補完法がよくない例
第9章関数の近似その29.1 3次のスプライン補間法
補完する2点●を3次式s(x)で結ぶ。求める3次式s(x)⇒2階微分すると1次式s”(x)⇒ラグランジュ補間
区間[xk, xk+1] 両端の未知のs” を s”k とs”k+1とする
式(A)を2回積分して積分定数を定める
注意 s(xk) = fk ≠ s”k , s(xk+1) = fk+1 ≠ s”k+1
ここはk=0~n
kk
kk
kk
kk
xx
xxs
xx
xxsxs
1
1
1
1 "")("
ラグランジュ補間した1次式s”(x) 式(8.1)と(8.3)参照
…(A)
区間[xk-1, xk]の3次式s(x)
x
(xk+1, s”k+1)(xk , s”k)
区間[xk, xk+1]の3次式s(x)
(xk , fk)
(xk+1, fk+1)
(xk-1 , fk-1)
xk+1xk
ラグランジュ補間した1次式s"(x)
s"(x)未知
未知
xk-1
(xk , s”k-1) …(9.2)&(9.3)
xxsxx
fxx
kkkk
k
kk
11
1
"6
1
区間[xk, xk+1]で1回微分x=xkとおく→傾きs’k
つなぎの点 を連続に結ぶので式(9.2)と式(9.3)の傾きは等しい!!
式(9.1)の定数 xk, xk+1, fk, fk+1 式(9.1)の未知数 s”k, s”k+1,
区間[xk-1, xk] でも1回微分してx=xkとおく。式(9.1)でk⇒k-1, k+1⇒kとおく→傾きs’k
その他は定数
未知数
式(A)を2回積分した区間[xk, xk+1]の3次式s(x)
kkkk
k
kk
xxsxx
fxx
11
1
1
"6
1…(9.1)
1
1
3
1
3
1 "6
"6
)(
k
kk
kk
kk
k sxx
xxs
xx
xxxs
変数
…(9.2)
…(9.3)
kkkkkk sxxsxx "2" 1111
この式が、k= 1,2,… , n-1 の各点で成立未知数 s0”, s1”, , sn” の連立1次方程式
式(9.4)の定数xk-1, xk, xk+1, fk-1, fk, fk+1
未知数のほうが式数よりも2つ多い
ここはk=1~n-1k=0とk=nは除く
1
1
1
16kk
kk
kk
kk
xx
ff
xx
ff
式(9.4)は区間[xk-1, xk]と区間[xk, xk+1]でラグランジュ補間した1次式s“(x)を積分して求めた未知数s”k-1 、s”k 、s”k+1の漸化式
11 " kkk sxx
…(9.4)x
(xk+1, s”k+1)(xk , s”k)
(xk , fk)
(xk+1, fk+1)
(xk-1 , fk-1)
xk+1xks"(x)
xk-1
(xk , s”k-1)
区間[xk, xk+1]の3次式s(x)
区間[xk-1, xk]の3次式s(x)
三項方程式
(x=0とnで変曲点)を仮定⇒自然なスプライン…(9.5)s”0 = s ”n = 0
3次スプラインアルゴリズムまとめ
1.データ n, x, (xk , fk ) ( k= 0,1, … n)を入力する
2.三項方程式( k= 1,… n-1)
…(9.4)
3.境界条件を課す s”0 = s”n = 0 自然なスプライン
4.三項方程式からs”kを求め3次式s(x)を得る
xxsxx
fxx
kkkk
k
kk
11
1
"6
1
その他は定数
未知数
式(A)を2回積分した区間[xk, xk+1]の3次式s(x)
kkkk
k
kk
xxsxx
fxx
11
1
1
"6
1…(9.1)
1
1
3
1
3
1 "6
"6
)(
k
kk
kk
kk
k sxx
xxs
xx
xxxs
変数
kkkkkk sxxsxx "2" 1111
1
1
1
16kk
kk
kk
kk
xx
ff
xx
ff
11 " kkk sxx
区間[xk-1, xk]の3次式s(x)
x
(xk+1, s”k+1)(xk , s”k)
区間[xk, xk+1]の3次式s(x)
(xk , fk)
(xk+1, fk+1)
(xk-1 , fk-1)
xk+1xk
ラグランジュ補間した1次式s"(x)
s"(x)未知
未知
xk-1
3Dアニメーションの作り方http://www.cg-ya.net/3dcg/3danimation_howto/3dcg-animation-way/
http://akiras.seesaa.net/category/2548047-1.html
スプライン曲線・曲面ベジエ曲線・曲面
3DCG映画 「アバター」
xbox Kinect
3DCAD
https://ja.wikipedia.org/wiki
ダイヤカット缶キリンチューハイ氷結
モーションキャプチャー
http://www.xbox.com/ja-JP/xbox-one/accessories/kinect
自動車のボディ設計
http://www.rhino3d.co.jp/seminar/s_c_modeling.html
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「見えない」を「視える」にTakei Laboratory
Laboratory on Multiphase Flow and Visualization