8/10/2019 Ecuacion Euler
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Ecuacin de Euler
En la fgura de a lado (fg. 1.3)tenemos esquematizado el rodete deuna turbomquina con su sistema de labes mviles queintercambian trabajo con el uido.Como indicado en las fguras que
siguen (fg 1.(a) ! fg 1. (b))" el caudal que atraviesa los labesmvilesa
m es distinto de lo que entra o sale de la mquina m !
esto de#ende de la di$erencia de #resin entre la salida ! laentrada a los labes.
%a fgura 1.(a) se refere al caso en que la #resin a lasalida de los labes mviles es menor que la #resin a laentrada de los labes.En este caso el caudal que atraviesalos labes es menor que el caudal que entra o sale de lamquina.Este caso se da #ara las turbinas.
%a fgura 1.(b) se refere al caso en que la #resin a lasalida de los labes es ma!or que a la entrada de loslabes.En este caso el caudal que atraviesa los labes esma!or que el caudal que entra o sale de la mquina" debidoa que &a! un caudal de recirculacin.Este caso se da #aralas bombas ! com#resores.
Fig.1.3
Fig.1.4(b)
Fig.1.4(a)
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' continuacin vamos a deducir la ecuacin de Euler"a#licando la ecuacin del momento de la cantidad demovimiento al volumen de control como defnido en lafgura de a lado (fg. 1.) #or la lnea #unteada.
Como se #uedea#reciar" la corriente que entra ! sale del volumen decontrol es la que est sujeta a la accin de los labes"%as
secciones ! estn ubicadas res#ectivamente a la
entrada ! a la salida de los labes mviles.
%a ecuacin de Euler establece una relacin entre trabajo
intercambiado ! cam#o de velocidad.Como !a sabemos delcurso de *ecnica de +luidos" la ecuacin del momento dela cantidad de movimiento se e,#resa como sigue-
El momento de la cantidad de movimiento que en launidad de tiem#o sale del volumen de control/ el momentode la cantidad de movimiento que en la unidad de tiem#oentra al volumen de control0 *omento resultante de todaslas $uerzas e,ternas que actan sobre el volumen decontrol2
ic&a ecuacin vale #ara el estado #ermanente" #ara uidoideal ! #ara uido real (o sea con rozamiento). %osmomentos se calculan res#ecto a un #olo gen4rico" #ara elcual #odemos tomar un #unto del eje giratorio.
Caudal msico de la corriente que atraviesa los labes.
5elocidad absoluta del uido en el #unto en que lalnea mediana de ujo cruza la seccin .
Fig.1.5
Lnea mediada de fujo
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5elocidad absoluta del uido en el #unto en que la
lnea mediana de ujo cruza la seccin .
6on res#ectivamente los vectores que unen el #olocon el #unto ! con el #unto .
5ector velocidad angular del rodete.
7enemos-
(5elocidad #eri$4rica o velocidad de arrastre del
#unto #ensado como solidario al rodete)
'nlogamente-
Entonces-
tiene el mismo valor a lo largo de " luego #or ser
constante #uede ser llevado $uera del signo de integral8 lomismo #ara .
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' continuacin vamos a analizar el t4rmino
7enemos-
" siendo el momento de la gen4rica $uerza
que acta sobre el volumen de control.
9rimero" consideremos el a#orte a de los momentos
de las $uerzas de gravedad que acta sobre cada masaelemental dentro del volumen de control.%as masas dentrodel volumen de control tienen una distribucin sim4tricares#ecto al eje giratorio"luego las $uerzas de gravedad queactan sobre dos masa en #osicin sim4trica res#ecto al ejedan dos momentos iguales ! o#uestos" #or lo que el a#orte
a es nulo.Entonces las $uerzas de gravedad no dan
a#orte a .
5eamos a&ora el a#orte debido a las $uerzas que actansobre la su#erfcie del volumen de control. Cada una de las$uerzas de la fgura de a lado (fg. 1.:) da un momento que
es #er#endicular a " #or lo que es nulo el a#orte a .
%as $uerzas de la fgura que sigue (fg. 1.;) dan un a#orte a
que generalmente es des#reciable ! se des#recia.
Fig.1.6
Fig.1.7
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Entonces se debe
sustancialmenteal momento que se ejercesobre el volumen decontrol a la base de los labes mviles" de tal manera que
resulta ser la #otencia transmitida al volumen decontrol donde la su#erfcie de controlcorta la base de los labes mviles (fg.1.
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que ingresa o sale del es#acio barrido #or los labesmviles.Entonces-
(Ecuacin de Euler)
re#resenta el trabajo cedido #or el uido.
re#resenta el trabajo cedido al uido.
6ubra!amos el &ec&o de que la ecuacin de Euler vale #arauido ideal ! #ara uido real (con rozamiento)" de acuerdoa la ecuacin del momento de la cantidad de movimiento a#artir de la cual justamente &a sido deducida la ecuacin deEuler.
Con re$erencia a los tringulos de velocidad a la entrada ! ala salida de los labes mviles (fg. 1.>)" #odemos escribir.
Como se #uede a#reciar" el trabajo intercambiado entreuido ! labes mviles se debe $undamentalmente a unadesviacin de la velocidad absoluta entre la entrada ! lasalida de los alabes"o sea $undamentalmente a la variacinde la com#onente de la velocidad absoluta segn ladireccin de la velocidad de arrastre" o sea se debe a la
variacin de .
Claramente el trabajo intercambiado de#ende tambi4n de
las velocidades de arrastre .
Velocidadrelativa
VelocidadrelativaFig.
1.9
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Entonces" como se #uede a#reciar" el trabajo intercambiadose debe a los cam#os de velocidades a la entrada ! a lasalida de los labes" de acuerdo a la defnicin deturbomquinas.
En el caso en que " resulta-
6egunda $orma de la ecuacin de Euler
%a ecuacin de Euler #uede ser #uesta en otra $orma en quea#arecen las velocidades relativas (fg. 1.1?). 7enemos-
UVvUvvr cos2cossin 222222 ++=
Entonces-9ara la entrada-
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9ara la salida-
En la ecuacin de Euler-
Otras ecuaciones de las turbomquinas
Consideramos la ecuacin:
( ) ( )12
2
1
2
212
2ZZg
VVhhwq +
+=
( ) ( ) wZZgVV
hhq ++
+= 12
2
1
2
212 .
2
Apliqumosla al volumen de control que coincide con los albes mviles (volumen de
control que hemos utilizado para la ecuacin de Euler).
( ) ( )
2
2
!!
2
!!"
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1r
2
2re
+
+
=
#ubstitu$endo esta ecuacin en la ecuacin anterior tenemos:
( ) ( ) ( ) ( )
222.
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
212
2
1
2
212
UUVVVVZZg
VVhhq
rr +
+
++
+=
Al %inal resulta:
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( ) ( ) ( )
( )122
2
2
1
2
1
2
212
22ZZg
UUVVhhq rr +
+
+=
&e i'ual manera con respecto al mismo volumen de control podemos
escribir:
).(2
. 21
2
2
2
1
2
1
ZZgVV
dPvwwr
+
+=+
).(2
.222
)()(21
22
21
2
1
22
21
22
21
21
22 ZZgVVdPvwUUVVVV r
rr ++=+++
Al %inal resulta:
( ) ( )( ) .
22 21
2
1
2
2
2
2
2
12
1=+
+
+ r
rrwZZg
UUVVvdP
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*E#+E, &E -A# ECAC/,E# 0E,E*A-E#
(A) ( ) ( )
( )122
1
2
212 .
2ZZg
VVhhwq +
+=
() ).(2
21
2
2
2
1
2
1
ZZgVVdP
ww r +
+=+
v
1=
(C)
= 2211 .. UVUVWe
(&)( ) ( )
2
2
!!
2
!!"
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1r
2
2re
+
+
=
(E) ( ) ( ) ( )
( )122
2
2
1
2
1
2
212
22ZZg
UUVVhhq rr +
+
+=
()( ) ( )
( ) .22
21
2
1
2
2
2
2
2
12
1=+
+
+ r
rr wZZgUUVVdP
Es costumbre utilizar las ecuaciones antecedentes en otra forma
obtenida dividiendo todos los trminos por g
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Pongamos:
qg
q= ; w
g
w= ; r
rw
g
w= ; e
e Wg
W= ; h
g
h=
Claramente hWwwq er (((( son ma'nitudes re%eridas a la unidad de peso.
Entonces tenemos:
!"# ( ) ( ) ( )122
1
2
212
2ZZ
g
VVhhwq +
+=
$"# )(2
21
2
2
2
1
2
1
ZZg
VVdPww r +
+=+
;
v
g=
%"# )..(1
2211
= UVUVg
We
&"#( ) ( )
g
UU
g
VV
g
VVw rr
222
22
21
22
21
21
22 ++=
E"# ( ) ( ) ( ) ( )122
2
2
1
2
1
2
212
22ZZ
g
UU
g
VVhhq rr +
+
+=
'"#( ) ( )
( ) 22
21
2
1
2
2
2
2
2
12
1=+
+
+ r
rr wZZg
UU
g
VVdP
-os trminos de estas ecuaciones tienen la dimensin de una lon'itud.
En el caso de turbomquinas (idrulicas ) constante# las ecuaciones $"# * '"#
toman la siguiente forma
)(
2 21
2
2
2
121 ZZ
g
VVPPww r +
+
=+
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( ) ( )( )
22 21
2
1
2
2
2
2
2
121 =+
+
+
rrr
wZZg
UU
g
VVPP