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Ecuaciones No LinealesEcuaciones No Lineales (I)(I)
Antes de plantear la resoluciAntes de plantear la resolucióón de Sistemas de Ecuacionesn de Sistemas de EcuacionesNo Lineales, resulta conveniente efectuar un breve repasoNo Lineales, resulta conveniente efectuar un breve repasode los mde los méétodos de resolucitodos de resolucióón de ecuaciones algebraicas non de ecuaciones algebraicas nolineales (polinomios) y trascendentes.lineales (polinomios) y trascendentes.
La determinaciLa determinacióón de las ran de las raí í ces de una ecuacices de una ecuacióón algebraican algebraicano lineal (polinomio) es uno de los problemas mno lineal (polinomio) es uno de los problemas máás antiguoss antiguosde las matemde las matemááticas que se presentan con frecuencia en laticas que se presentan con frecuencia en laresoluciresolucióón de problemas reales.n de problemas reales.
Existe una gran variedad de mExiste una gran variedad de méétodos de resolucitodos de resolucióón quen que
prueban la larga historia en el anprueban la larga historia en el anáálisis de este problema ylisis de este problema yde su importancia hasta la actualidad.de su importancia hasta la actualidad.
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Ecuaciones No Lineales (II)Ecuaciones No Lineales (II)
Estos mEstos méétodos se diferencian por la necesidad de:todos se diferencian por la necesidad de:
Obtener todas las raObtener todas las raí í ces de una ecuacices de una ecuacióón on o úúnicamentenicamente
algunas de ellas.algunas de ellas.
Determinar todas las raDeterminar todas las raí í ces reales o complejas, simples ces reales o complejas, simples mmúúltiples.ltiples.
De disponer de una 1era. aproximaciDe disponer de una 1era. aproximacióón para c/u de ellas.n para c/u de ellas.
DisponiDisponiééndose en la actualidad de computadorasndose en la actualidad de computadorasdigitales, resulta conveniente utilizar los mdigitales, resulta conveniente utilizar los méétodos mtodos máássapropiados para obtenerlas.apropiados para obtenerlas.
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Sea un a funciSea un a funcióón cualquiera de una variable quen cualquiera de una variable que
llamamosllamamos
f(x) f(x)
. .
Se trata de encontrar un valorSe trata de encontrar un valor
x* x* para el que se cumplapara el que se cumpla
f(x*) = 0 f(x*) = 0 . Si existe ese valor, se denomina. Si existe ese valor, se denomina ra ra í í z z de lade laecuaciecuacióón.n.
Pasos BPasos Báásicossicos::1)1)
DeterminaciDeterminacióón de un valor aproximado de la ran de un valor aproximado de la raí í z (valor dez (valor dearranque de marranque de méétodo).todo).
2)2)
Mejoramiento de la soluciMejoramiento de la solucióón hasta un grado de precisin hasta un grado de precisióónnestablecido.establecido.
SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuacionesrica de Ecuaciones
Algebraicas y Trascendentes de una VariableAlgebraicas y Trascendentes de una Variable
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Paso 1:Paso 1:
Se resuelve bajo consideraciones f Se resuelve bajo consideraciones f í í sicas delsicas delproblema que se estudia o graficando la funciproblema que se estudia o graficando la funcióón yn ydeterminando dos valores de la variable independientdeterminando dos valores de la variable independientpara los que la funcipara los que la funcióón cambia de signo.n cambia de signo.Por ejemplo:Por ejemplo:
Si para dos valoresSi para dos valores x x -- yy x x ++ se tiene:se tiene:
f(x f(x -- ) < 0 ) < 0 yy f(x f(x ++ ) > 0 ) > 0 f(x) f(x) es una funcies una funcióón continua en el intervalon continua en el intervalo(( x x --,, x x ++)) sese
puede asegurar que existepuede asegurar que existe x* x* (x(x -- , , x x ++)); entonces; entoncespodemos elegir como valor de arranque:podemos elegir como valor de arranque: x x 00 = (x= (x --+ x+ x ++ )/2 )/2
http://prevpage/http://nextpage/
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x
x a 1 x x2 x
2 x x 1 x x3 x
( ) f b
2( ) f x
1( ) f x a
b1 x
2 x
1( ) ( ) 0? f x f x
2( ) ( ) 0 ? f x f x
1 x xNo
2 x xSi
( ) y f x
( ) f a x b x a 1 x
BisecciBiseccióónn
* x
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x 4 senx f(x) = x-
4 senx-3 /2 4 -8.7124
-5 /4 2.8284 -6.7554
- 0 -3.1416-3 /4 -2.8284 0.4722- /2 -4 2.4292
- /4 -2.8284 2.0430
0 0 0
/4 2.8284 -2.0430
/2 4 -2.4292
3 /4 2.8284 -0.47220 3.1416
5 /4 -2.8284 6.7554
3 /2 -4 8.7124
CambioCambiodedesignosigno
CambioCambiodedesignosigno
DeterminaciDeterminacióón de las Ran de las Raí í ces de la Ecuacices de la Ecuacióónnf(x) = xf(x) = x – –
4 * sen(x) = 04 * sen(x) = 0
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BBúúsqueda de las Rasqueda de las Raí í cesces
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Luego, existe una raLuego, existe una raí í z en el intervaloz en el intervalo( ( 3 3 /4, /4, ) ) ..
Entonces podemos elegir como primera aproximaciEntonces podemos elegir como primera aproximacióón a lan a lasolucisolucióón el valor:n el valor:
Esto es,Esto es, x x 00 = 2.5= 2.5 puede considerarse un valor aproximado depuede considerarse un valor aproximado de
x*. x*.
AnAnáálogamente existe otra ralogamente existe otra raí í z enz en
( ( -- , , -- 3 3 /4) /4) y un valory un valor
aproximado de esta raaproximado de esta raí í z es:z es:
Existe una tercer raExiste una tercer raí í z enz en x = 0 x = 0 cuya determinacicuya determinacióón resultan resultaobvia.obvia.
0
x x 2.3562 3.1416 x 2.5
2 2
0
x x 3.1416 2.3562 x 2.5
2 2
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Paso 2:Paso 2: Mejorar la soluciMejorar la solucióón mediante la simple repeticin mediante la simple repeticióón deln delmméétodo o mediante la implementacitodo o mediante la implementacióón de un mn de un méétodo mtodo máás refinados refinado
hasta lograr el grado de precisihasta lograr el grado de precisióón requerido.n requerido.
Para el caso de la raPara el caso de la raí í z positiva, evaluamos la funciz positiva, evaluamos la funcióón en el punto medio, asn en el punto medio, así í ::
Adoptamos:Adoptamos:
Luego, la aproximaciLuego, la aproximacióón siguiente es:n siguiente es:
Luego, evaluamos la funciLuego, evaluamos la funcióón en la nueva aproximacin en la nueva aproximacióón:n:
Hacemos:Hacemos:
De donde:De donde:
y asy así í
sucesivamente hasta un grado preestablecido de exactitud.sucesivamente hasta un grado preestablecido de exactitud.
0 f x 2.5 0.1061 0
0 3 x x 2.5 ; x 2.3562 4
1
x x 2.3562 2.5 x 2.4281 2 2
1 f x 2.4281 0.1898 0
1 x x 2.4281 ; x 2.5
2
x x 2.4281 2.5 x 2.4604
2 2
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DiscusiDiscusióón de la Convergencia (I)n de la Convergencia (I)
SoluciSolucióón Iterativa:n Iterativa:
Significa comenzar con una soluciSignifica comenzar con una solucióón inicialn inicial(aproximada ) y generar una secuencia de n(aproximada ) y generar una secuencia de núúmeros (serie):meros (serie):
tal que si existetal que si existe
entoncesentoncesx*x*
es una raes una raí í z de la ecuaciz de la ecuacióónn f(x f(x *) = 0*) = 0 ..
Error Exacto en la IteraciError Exacto en la Iteracióón n:n n:
HipHipóótesis Usuales:tesis Usuales:1)1)
Se debe cumplir que:Se debe cumplir que:2)2)
Existe una raExiste una raí í zz úúnica ennica en I = I = [[ a, b a, b ]]
y pertenece ay pertenece a R. R.
(1) I x* a,b y f x C
n 1 2 n x x , x , ..., x
n ne x x*
n nlím x x* y f x* 0
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DiscusiDiscusióón de la Convergencia (II)n de la Convergencia (II)
El error exacto en la iteraciEl error exacto en la iteracióónn n n no se conoce:no se conoce:
por lo tanto no puede utilizarse como criterio de terminacipor lo tanto no puede utilizarse como criterio de terminacióónnde mde méétodo.todo.
Tolerancia del Error:Tolerancia del Error:
oo n n 1 n 1
x x x
n ne x x*
n
n n 1
f x x x
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Orden de Convergencia (I)Orden de Convergencia (I)
Un mUn méétodo iterativo se dicetodo iterativo se dice convergente de orden p convergente de orden p , si, siexiste un nexiste un núúmeromero p p R R tal que:tal que:
dondedonde K K representa la constante asintrepresenta la constante asintóótica del error.tica del error.
A mayor orden de convergencia, el mA mayor orden de convergencia, el méétodo convergertodo convergeráá
aa
mayor velocidad, lo cual no implica garantmayor velocidad, lo cual no implica garantí í a dea deconvergencia.convergencia.
AdemAdemáás del orden de convergencia, en el proceso des del orden de convergencia, en el proceso deccáálculo interviene el costo computacional por iteracilculo interviene el costo computacional por iteracióónnque es importante para definir la eficiencia del mque es importante para definir la eficiencia del méétodo.todo.
n 1 n 1
p n n n n
x x* elím lím K 1 ; K 0
e x x*
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Orden de Convergencia (II)Orden de Convergencia (II)Método Orden deConvergencia InformaciónRequerida para
Calcular x n+1
Sustitución Directa Lineal(p=1)
F(x n) = x n + f(x n)
Newton - Raphson Cuadrático(p= 2)
f(x n) y f ’(x n)
Secante Superlineal(p = 1.618)
f(x n) y f(x n-1)
Bisección Lineal(p =1)
f(x n) y f(x n-1)
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Principales MPrincipales Méétodos Iterativostodos Iterativos
A los fines de su consideraciA los fines de su consideracióón en la resolucin en la resolucióón den deproblemas de ingenierproblemas de ingenierí í a, podemos agruparlos en dosa, podemos agruparlos en dos
categorcategorí í as:as:1.1.
MMéétodo de Aproximaciones Sucesivastodo de Aproximaciones Sucesivas2.2.
MMéétodos detodos deLinealizaciLinealizacióónn
a)a)
NewtonNewton – –
RaphsonRaphsonb)b)
Modificado de Newton para Resolver RaModificado de Newton para Resolver Raí í ces Mces Múúltiplesltiples
c)c)
Von Mises o Cuerdas ParalelasVon Mises o Cuerdas Paralelasd)d)
SecanteSecante
e)e) RegulaRegula falsifalsi y my méétodos relacionados.todos relacionados.
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MMéétodo de Aproximaciones Sucesivas (Itodo de Aproximaciones Sucesivas (I
Dada la ecuaciDada la ecuacióónn f(x f(x ) = 0 ) = 0 se la explicita de la siguientese la explicita de la siguientemanera:manera: x = x = F(x F(x ) ) dondedonde
F(x F(x ) ) x + x + f(x f(x ) )
La condiciLa condicióón suficiente de convergencia del mn suficiente de convergencia del méétodo es:todo es: F F ’’(x)(x)
< 1< 1
Algoritmo: Algoritmo:
Para evitar oscilaciones e incluso divergencias se utiliza laPara evitar oscilaciones e incluso divergencias se utiliza lasiguiente secuencia (siguiente secuencia (qq: acelerador de convergencia):: acelerador de convergencia):
n 1 n x F x
n n 1 n 1 n n 1
Estimación : x F x
Mejora : x q x 1 q x
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MMéétodo de Aproximaciones Sucesivas (II)todo de Aproximaciones Sucesivas (II)
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MMéétodo detodo de WegsteinWegstein (I)(I)
MMéétodo para acelerar la convergencia del mtodo para acelerar la convergencia del méétodo detodo deaproximaciones sucesivas.aproximaciones sucesivas.
De gran importancia para resolver sistemas de ecuaciones noDe gran importancia para resolver sistemas de ecuaciones nolineales.lineales.
El mEl méétodo propone un valor mejorado de la solucitodo propone un valor mejorado de la solucióón den deacuerdo a:acuerdo a:
de manera que:de manera que:
se corrigese corrige x x n n +2+2 y continy continúúa.a.
n 1 n
n 1 x q x 1 q x
n 1 n 2 x F x
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Distinguimos las siguientes etapas del mDistinguimos las siguientes etapas del méétodo:todo:1)1)
Etapa de preparaciEtapa de preparacióón.n.
2)2)
Etapa de iniciaciEtapa de iniciacióón.n.3)3)
Etapa general del mEtapa general del méétodo.todo.
MMéétodo detodo de WegsteinWegstein (II)(II)
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MMéétodo detodo de WegsteinWegstein (IV)(IV)
2)2) Etapa de IniciaciEtapa de Iniciacióón:n:
2 1
3 2
2 1 2 1
3 2 3
x F x x xw x x x x
wq w 1
x q x 1 q x
é d d ( )
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MMéétodo de Wegstein (V)todo de Wegstein (V)
3)3) Etapa General del MEtapa General del Méétodo:todo: n n 1
n n 1 n 1 n
n n 1 n n 1
n 1 n n 1
x F x
F x F x x xw
x x x xw
qw 1
x q x 1 q x
é d d ( )
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MMéétodo detodo de WegsteinWegstein (VI)(VI)
Significado del MSignificado del Méétodo:todo:
La soluciLa solucióón mejorada en la etapan mejorada en la etapa
(n+1) se obtiene extrapolando la recta que pasa por:(n+1) se obtiene extrapolando la recta que pasa por:
hasta su interseccihasta su interseccióón con la rectan con la recta y = x y = x ::
EcuaciEcuacióón de la Recta Secante:n de la Recta Secante:
oo
cuya interseccicuya interseccióón con la rectan con la recta y = x y = x es:es:
n n n 1 n 1 x ,F x y x ,F x
( ) ( ) ( )
( )
n n 1
n n n n 1
F x F x y F x x x
x x
-
-
-= + -
-
( ) ( ) n n F x w x x= + -
n 1 n n n 1 n 1
w 1 x x x q x 1 q x
w 1 w 1
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Método de Wegstein (VII) Interpretación Geométrica
~
1( )nF x
~
1n x
y x
~
n x
~
( )nF x
~
1( )nF x
*
y F x( )
x
y
~
1n x
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MMéétodo de Newton Raphsontodo de Newton Raphson
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MMéétodo de Newton Raphson de 2do. Ordentodo de Newton Raphson de 2do. Orden
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MMéétodo de Newton Raphson de 2do. Ordentodo de Newton Raphson de 2do. Orden
Forma AlternativaForma Alternativa
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MMéétodo de Interpolacitodo de Interpolacióón Lineal on Lineal o Falsa PosiciFalsa Posici
óónn
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Ejemplos de AplicaciEjemplos de Aplicacióónn
A continuaciA continuacióón se presentan algunos ejemplosn se presentan algunos ejemplos
de aplicacide aplicacióón de mn de méétodos numtodos numééricos en laricos en laresoluciresolucióón de problemas tn de problemas tí í picos de Ingenierpicos de Ingenierí í aaQuQuí í mica.mica.
Obviamente, estos ejemplos no cubren todosObviamente, estos ejemplos no cubren todoslos campos que pueden analizarse en un cursolos campos que pueden analizarse en un cursode este tipo.de este tipo.
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EcuaciEcuacióón de Estado Soaven de Estado Soave--RedlichRedlich--Kwong:Kwong:Determinar el volumen especDeterminar el volumen especí í fico V de un gas a T y P dadas:fico V de un gas a T y P dadas:
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Underwood:Underwood:
RelaciRelacióón de mn de mí í nimo reflujo de unanimo reflujo de unacolumna de destilacicolumna de destilacióón mn múúltiple etapa:ltiple etapa:
Colebrook:Colebrook:
Factor de fricciFactor de friccióón para el flujo turbulento an para el flujo turbulento atravtravéés de una tubers de una tuberí í a de un fluido incompresible :a de un fluido incompresible :
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MMéétodo de los Operadores Diferenciales para la Determinacitodo de los Operadores Diferenciales para la Determinacióón den deSoluciones AnalSoluciones Analí í ticas de Ecuaciones Diferenciales Homogticas de Ecuaciones Diferenciales Homogééneasneas
Lineales de Orden n:Lineales de Orden n:
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Tipos de RaTipos de Raí í ces y su Aproximacices y su Aproximacióónn
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Tipos de RaTipos de Raí í ces y su Aproximacices y su Aproximacióónn
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Tipos de RaTipos de Raí í ces y su Aproximacices y su Aproximacióónn
Sol ciSolucióón N mn Numéérica de Ec aciones No Linealerica de Ecuaciones No Lineale
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SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuaciones No Linealerica de Ecuaciones No LinealeEjemplos y Archivos .mEjemplos y Archivos .m
Ejemplo_01.m:Ejemplo_01.m:
Calcula el factor de fricciCalcula el factor de friccióón a partir de lan a partir de la
EcuaciEcuacióón de Colebrook medianten de Colebrook mediante
Aproximaciones Sucesivas (XGX.m).Aproximaciones Sucesivas (XGX.m).
InterpolaciInterpolacióón Lineal (LI.m).n Lineal (LI.m).
NewtonNewton--Raphson (NR.m).Raphson (NR.m).
Ejemplo_02.m:Ejemplo_02.m: Resuelve la ecuaciResuelve la ecuacióón de estado Soaven de estado Soave--RedlichRedlich--Kwong mediante el mKwong mediante el méétodo de Newtontodo de Newton--Raphson para polinomiosRaphson para polinomios(NRpoly.m).(NRpoly.m).
Ejemplo_03.m:Ejemplo_03.m: Resuelve polinomios de grado n y funciones dResuelve polinomios de grado n y funciones dtransferencia utilizando el mtransferencia utilizando el méétodo de Newtontodo de Newton--Raphson conRaphson condivisidivisióón sintn sintéética (NRsdivision.m).tica (NRsdivision.m).
S l iS l ióó NN éé i d E i N Li li d E i N Li l
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SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuaciones No Linealesrica de Ecuaciones No LinealesEjemplos y Archivos .mEjemplos y Archivos .m
MMéétodostodos
XGX.mXGX.m::
MMéétodo de Aproximaciones Sucesivas paratodo de Aproximaciones Sucesivas para
determinar una radeterminar una ra í í z de una ecuaciz de una ecuacióón no lineal.n no lineal.
LI.mLI.m::
MMéétodo de Interpolacitodo de Interpolacióón Lineal para determinarn Lineal para determinar
unauna rara í í zz
de una ecuacide una ecuacióón no lineal.n no lineal.
NR.mNR.m::
MMéétodo Newtontodo Newton--RaphsonRaphson
para determinar unapara determinar unarara í í z de una ecuaciz de una ecuacióón no lineal.n no lineal.
NRpoly.mNRpoly.m::
MMéétodo Newtontodo Newton--RaphsonRaphson
para determinarpara determinar
una rauna ra í í z de una ecuaciz de una ecuacióón polinomial.n polinomial.
NRsdivision.mNRsdivision.m:: MMéétodo Newtontodo Newton--RaphsonRaphson con divisicon divisióónnsintsintéética para determinar todas las ratica para determinar todas las raí í ces de unaces de unaecuaciecuacióón polinomial.n polinomial.
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SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuaciones No Linealesrica de Ecuaciones No Lineales
Ejemplos y Archivos .mEjemplos y Archivos .mFuncionesFunciones
Colebrookg.mColebrookg.m:: Contiene la EcuaciContiene la Ecuacióón den de Colebrook Colebrook expresada en forma que pueda resolverse medianteexpresada en forma que pueda resolverse medianteAproximaciones Sucesivas (utilizada en elAproximaciones Sucesivas (utilizada en el
Ejemplo_01.m).Ejemplo_01.m).
Colebrook.mColebrook.m:: Contiene la EcuaciContiene la Ecuacióón den de Colebrook Colebrook expresada en forma que pueda resolverse medianteexpresada en forma que pueda resolverse mediante
InterpolaciInterpolaci
óón Lineal o Newtonn Lineal o Newton
--RaphsonRaphson
(utilizada en el(utilizada en el
Ejemplo_01.m).Ejemplo_01.m).
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Ejemplo 1: SoluciEjemplo 1: Solucióón de la Ecuacin de la Ecuacióón de Colebrooken de Colebrooke
Determinar la SoluciDeterminar la Solucióón de la Ecuacin de la Ecuacióón den de Colebrook Colebrook
mmedianteediante loslos
mméétodos de:todos de:
SustituciSustitucióón Directa o Aproximaciones Sucesivasn Directa o Aproximaciones Sucesivas
InterpolaciInterpolacióón Linealn Lineal
NewtonNewton--RaphsonRaphson
Desarrollar una funciDesarrollar una funcióón de MATLAB para resolver ecuacionesn de MATLAB para resolver ecuacionesno lineales mediante los mno lineales mediante los méétodos de sustitucitodos de sustitucióón directa,n directa,interpolaciinterpolacióón lineal y Newtonn lineal y Newton--RaphsonRaphson..
Utilice estas funciones para calcular el factor de fricciUtilice estas funciones para calcular el factor de friccióón de lan de laEcuaciEcuacióón den de Colebrook Colebrook
para el flujo a travpara el flujo a travéés de una tubers de una tuberí í a cona con/D = 10/D = 10−−44
y Re = 10y Re = 1055. Compare estos m. Compare estos méétodos.todos.
Ejemplo 1Ejemplo 1
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Ejemplo 1Ejemplo 1Calculating the friction factor from the Colebrook equationCalculating the friction factor from the Colebrook equation
Reynolds No. = 1e5Reynolds No. = 1e5Relative roughness = 1eRelative roughness = 1e--44
1 ) Successive substitution1 ) Successive substitution2 ) Linear Interpolation2 ) Linear Interpolation
3 ) Newton Raphson3 ) Newton Raphson0 ) Exit0 ) Exit
Choose the method of solution : 1Choose the method of solution : 1
Function containing the Colebrook equation : 'Colebrookg'Function containing the Colebrook equation : 'Colebrookg'
Starting value = 0.01Starting value = 0.01
Ej l 1Ejemplo 1
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Iteration x g(x)Iteration x g(x)1 0.01 0.02016831 0.01 0.02016832 0.0201683 0.01872042 0.0201683 0.0187204
3 0.0187204 0.01886393 0.0187204 0.01886394 0.0188639 0.01884914 0.0188639 0.01884915 0.0188491 0.01885065 0.0188491 0.01885066 0.0188506 0.01885056 0.0188506 0.0188505
f = 0.0189f = 0.0189
Ejemplo 1Ejemplo 1
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02/11/2015 43
0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
0.0188
0.019
0.0192
0.0194
0.0196
0.0198
0.02
0.0202
0.0204
x
g ( x ) [ - - : y = x ]
x=g(x): fcn and path to root, (*: initial; o: root)
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Ejemplo 1Ejemplo 1
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Iteration x f(x)Iteration x f(x)
0 0.01 2.95850 0.01 2.95850 0.030 0.03 --1.681281.681281 0.02275281 0.0227528 --0.7239850.723985
2 0.0202455 0.2820982 0.0202455 0.2820983 0.01935363 0.0193536 --0.1051580.1051584 0.01903264 0.0190326 --0.03852420.03852425 0.01891655 0.0189165 --0.01402170.01402176 0.01887446 0.0188744 --0.005091330.005091337 0.01885927 0.0188592 --0.001847080.001847088 0.01885368 0.0188536 --0.0006698880.000669888
9 0.01885169 0.0188516 --0.0002429240.00024292410 0.018850910 0.0188509 --8.80885e8.80885e--005005
f = 0.0189f = 0.0189
Ejemplo 1Ejemplo 1
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Ejemplo 1Ejemplo 1
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1 ) Successive substitution1 ) Successive substitution2 ) Linear Interpolation2 ) Linear Interpolation
3 ) Newton Raphson3 ) Newton Raphson0 ) Exit0 ) Exit
Choose the method of solution : 3Choose the method of solution : 3Function containing the Colebrook equation : 'Colebrook'Function containing the Colebrook equation : 'Colebrook'
Starting value = 0.01Starting value = 0.01
Ejemplo 1Ejemplo 1
Ejemplo 1Ejemplo 1
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Ejemplo 1Ejemplo 1
Starting value = 0.01Starting value = 0.01Iteration x f(x)Iteration x f(x)
0.01 2.95850.01 2.9585
1 0.0154904 0.8252161 0.0154904 0.825216
2 0.0183977 0.09820292 0.0183977 0.0982029
3 0.0188425 0.001704923 0.0188425 0.00170492
4 0.0188505 6.30113e4 0.0188505 6.30113e--007007
5 0.0188505 3.79039e5 0.0188505 3.79039e--011011f = 0.0189f = 0.0189
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0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
f ( x )
Newton-Raphson: fcn and path to root (*: initial; o: root)
Ejemplo 2: DeterminaciEjemplo 2: Determinacióón den de una rauna ra ííz de unz de un
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Ejemplo 2: DeterminaciEjemplo 2: Determinacióón den de una rauna ra í í z de unz de unpolinomio de grado n mediante el mpolinomio de grado n mediante el méétodo detodo deNewton Raphson aplicado a la EcuaciNewton Raphson aplicado a la Ecuacióón de Estadon de EstadoSoaveSoave--RedlichRedlich--Kwong.Kwong.
Desarrollar una funciDesarrollar una funcióón de MATLAB para calcular unan de MATLAB para calcular unarara í í z de una ecuaciz de una ecuacióón polinomial mediante el mn polinomial mediante el méétodo detodo deNewtonNewton--Raphson.Raphson.
Calcular el volumen especCalcular el volumen especí í fico de un gas puro a unafico de un gas puro a unadada presidada presióón y temperatura utilizando la Ecuacin y temperatura utilizando la Ecuacióón den deEstado SoaveEstado Soave--RedlichRedlich--Kwong:Kwong:
Las constantes a y b de la EcuaciLas constantes a y b de la Ecuacióón se obtienen de la siguiente manen se obtienen de la siguiente maner
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yy gg
donde Tc y Pc representan la temperatura crdonde Tc y Pc representan la temperatura crí í tica y la presitica y la presióón crn crí í ticaticarespectivamente. La variablerespectivamente. La variable
es una funcies una funcióón empn empí í rica de larica de la
temperatura:temperatura:
El valor de S es funciEl valor de S es funcióón del factor acn del factor acééntrico,ntrico, , del gas:, del gas:
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Ejemplo 2Ejemplo 2
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Input the vector of pressure range (Pa) = [1:40]*101325Input the vector of pressure range (Pa) = [1:40]*101325
Input temperature (K) = 500Input temperature (K) = 500Critical temperature (K) = 425.2Critical temperature (K) = 425.2
Critical pressure (Pa) = 3797e3Critical pressure (Pa) = 3797e3
Acentric factor = 0.1931Acentric factor = 0.1931
RESULTS:RESULTS:
Pres. = 101325.00 Ideal gas vol. =41.0264 Real gas vol. =40.8111Pres. = 101325.00 Ideal gas vol. =41.0264 Real gas vol. =40.8111Pres. = 1013250.00 Ideal gas vol. = 4.1026 Real gas vol. = 3.883Pres. = 1013250.00 Ideal gas vol. = 4.1026 Real gas vol. = 3.88388
Pres. = 2026500.00 Ideal gas vol. = 2.0513 Real gas vol. = 1.828Pres. = 2026500.00 Ideal gas vol. = 2.0513 Real gas vol. = 1.82844
Pres. = 3039750.00 Ideal gas vol. = 1.3675 Real gas vol. = 1.140Pres. = 3039750.00 Ideal gas vol. = 1.3675 Real gas vol. = 1.14077Pres. = 4053000.00 Ideal gas vol. = 1.0257 Real gas vol. = 0.795Pres. = 4053000.00 Ideal gas vol. = 1.0257 Real gas vol. = 0.79544
Ejemplo 2Ejemplo 2
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102
103
104
10-1
100
10
1
102
Pressure, kPa
S p e c
i f i c V o
l u m e , m
3 / k m o
l
Newton-Raphson: fcn and path to root (*: initial; o: root)
Ideal SRK
Ejemplo 3: SoluciEjemplo 3: Solucióón de un Polinomio de Grado n yn de un Polinomio de Grado n y
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Ejemplo 3: SoluciEjemplo 3: Solucióón de un Polinomio de Grado n yn de un Polinomio de Grado n yFunciFuncióón de Transferencia Utilizando el Mn de Transferencia Utilizando el MéétodotodoNewtonNewton--Raphson con DivisiRaphson con Divisióón Sintn Sintéética y Mtica y Méétodotodode Autovalores.de Autovalores.
Consideremos el reactor isotConsideremos el reactor isotéérmico continuo tanquermico continuo tanqueagitado (CSTR) como el que se muestra en la siguienagitado (CSTR) como el que se muestra en la siguienFigura:Figura:
Las componentes A y R alimentan al reactorLas componentes A y R alimentan al reactor
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Las componentes A y R alimentan al reactor as co po e tes y a e ta a eactotasas Q y (qtasas Q y (q−− Q), respectivamente. En el reactor seQ), respectivamente. En el reactor sedesarrolla el siguiente esquema de reaccidesarrolla el siguiente esquema de reaccióón:n:
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Este problema fue analizado por Douglas paraEste problema fue analizado por Douglas parailustrar las diversas tilustrar las diversas téécnicas de disecnicas de diseñño de sistemaso de sistemasde control simple con retroalimentacide control simple con retroalimentacióón En sun En suananáálisis Douglas hizo las siguientes hiplisis Douglas hizo las siguientes hipóótesis:tesis:
1)1) La componente R estLa componente R estáá presente en el reactor en exceso depresente en el reactor en exceso demanera que las velocidades de reaccimanera que las velocidades de reaccióón puedan aproximarsen puedan aproximarsepor expresiones de primer orden.por expresiones de primer orden.
2)2) Las componentes B, C, D y E de la alimentaciLas componentes B, C, D y E de la alimentacióón son cero.n son cero.3)3)
Se elige un conjunto particular de valores de velocidades y dSe elige un conjunto particular de valores de velocidades y dconcentraciones de la alimentaciconcentraciones de la alimentacióón, constantes cinn, constantes cinééticas yticas yvolumen del reactor.volumen del reactor.
4)4)
Las perturbaciones se deben a cambios en la composiciLas perturbaciones se deben a cambios en la composicióón den dela componente R en el recipiente.la componente R en el recipiente.
l b d l l l ó d l
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El objetivo del control es mantener la composiciEl objetivo del control es mantener la composicióón de lan de lacomponente C tan prcomponente C tan próóxima como sea posible al valor dxima como sea posible al valor ddisediseñño en estado estacionario, a pesar del hecho quo en estado estacionario, a pesar del hecho quingresen perturbaciones al sistema.ingresen perturbaciones al sistema.
Este objetivo se alcanza mediante la mediciEste objetivo se alcanza mediante la medicióón de lan de lacomposicicomposicióón real de C utilizando la diferencia entre en real de C utilizando la diferencia entre evalor deseado y el valor medido para manipular evalor deseado y el valor medido para manipular ecaudal de entrada Q de la componente A.caudal de entrada Q de la componente A.
Douglas desarrollDouglas desarrollóó la siguiente funcila siguiente funcióón de transferencian de transferenciapara el reactor con un sistema de control proporcional:para el reactor con un sistema de control proporcional:
http://prevpage/
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Kc es la ganancia del controlador proporcional.Kc es la ganancia del controlador proporcional.
Este sistema de control es estable para valores de KEste sistema de control es estable para valores de Kque suministran raque suministran raí í ces de la funcices de la funcióón de transferencian de transferenciacon parte real negativa.con parte real negativa.
Utilizando el mUtilizando el méétodo de Newtontodo de Newton--Raphson con divisiRaphson con divisióónnsintsintéética o el mtica o el méétodo de los autovalores, determine latodo de los autovalores, determine larara í í ces de la funcices de la funcióón de transferencia para un rango den de transferencia para un rango devalores de Kc y calcule el valor crvalores de Kc y calcule el valor crí í tico de Kc por encimatico de Kc por encimadel cual el sistema se vuelve inestable.del cual el sistema se vuelve inestable.
Escribir el programa de manera que pueda utilizarseEscribir el programa de manera que pueda utilizarsepara resolver polinomios de grado n o funciones dpara resolver polinomios de grado n o funciones dtransferencia del tipo mostrado en la Ecuacitransferencia del tipo mostrado en la Ecuacióón anterior.n anterior.
http://prevpage/
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ObsObséérvese lo siguiente:rvese lo siguiente:
http://prevpage/
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Algoritmo de la DivisiAlgoritmo de la Divisióón Sintn Sintééticatica
MMéétodo de los A to alorestodo de los Autovalores
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MMéétodo de los Autovalorestodo de los Autovalores
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KcKc = 0.0000= 0.0000
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KcKc
0.0000 0.0000
RootsRoots
== --4.354.35--2.85912.8591--2.84092.8409 --1.451.45
KcKc
= 100.0000= 100.0000
RootsRoots
== --9.8519.851 --2.248 0.2995+5.701i 0.29952.248 0.2995+5.701i 0.2995--5.701i5.701i
KcKc
= 50.0000= 50.0000
RootsRoots
== --8.49498.4949--2.24592.2459--0.3796+4.485i0.3796+4.485i--0.37960.3796--4.485i4.485i
KcKc
= 75.0000= 75.0000
RootsRoots
== --9.24879.2487--2.24732.2473--0.001993+5.163i0.001993+5.163i--0.0019930.001993--5.163i5.163i
KcKc
= 87.5000= 87.5000
RootsRoots
== --9.56419.5641--2.2477 0.1559+5.445i 0.15592.2477 0.1559+5.445i 0.1559--5.445i5.445i
Kc = 81.2500Kc = 81.2500
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Kc 81.2500.
Roots =Roots =--9.41049.4104--2.2475 0.07893+5.308i 0.078932.2475 0.07893+5.308i 0.07893--5.308i5.308i
Kc = 78.1250Kc = 78.1250
Roots =Roots =--9.33069.3306--2.2474 0.039+5.237i 0.0392.2474 0.039+5.237i 0.039--5.237i5.237i
Kc = 76.5625Kc = 76.5625
Roots =Roots = --9.299.29--2.2473 0.01864+ 5.2i 0.018642.2473 0.01864+ 5.2i 0.01864--
5.2i5.2i
Kc = 75.7813Kc = 75.7813
Roots =Roots =--9.26949.2694--2.2473 0.00836+5.182i 0.008362.2473 0.00836+5.182i 0.00836--5.182i5.182i
Kc = 75.3906Kc = 75.3906
Roots =Roots =--9.25919.2591--2.2473 0.003192+5.173i 0.0031922.2473 0.003192+5.173i 0.003192--5.173i5.173i
KcKc = 75 1953= 75 1953
8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA
66/67
02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 6666
KcKc
= 75.1953= 75.1953
RootsRoots
== --9.25399.2539--2.2473 0.0006016+5.168i 0.00060162.2473 0.0006016+5.168i 0.0006016--5.168i5.168i
KcKc
= 75.0977= 75.0977
RootsRoots
== --9.25139.2513--2.24732.2473--0.0006953+5.166i0.0006953+5.166i--0.00069530.0006953--5.166i5.166i
KcKc
= 75.1465= 75.1465
RootsRoots
== --9.25269.2526--2.24732.2473--4.667e4.667e--005+5.167i005+5.167i--4.667e4.667e--005005--5.167i5.167i
KcKc
= 75.1709= 75.1709
RootsRoots
== --9.25339.2533--2.2473 0.0002775+5.167i 0.00027752.2473 0.0002775+5.167i 0.0002775--5.167i5.167i
KcKc
= 75.1587= 75.1587
RootsRoots
== --9.25299.2529--2.2473 0.0001154+5.167i 0.00011542.2473 0.0001154+5.167i 0.0001154--5.167i5.167i
8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA
67/67
KcKc
= 75.1526= 75.1526
RootsRoots
== --9.25289.2528--2.2473 3.438e2.2473 3.438e--005+5.167i 3.438e005+5.167i 3.438e--005005--5.167i5.167i
KcKc
= 75.1495= 75.1495
RootsRoots
== --9.25279.2527--2.24732.2473--6.147e6.147e--006+5.167i006+5.167i--6.147e6.147e--006006--5.167i5.167i
KcKc
= 75.1511= 75.1511
RootsRoots
== --9.25279.2527--2.2473 1.412e2.2473 1.412e--005+5.167i 1.412e005+5.167i 1.412e--005005--5.167i5.167i
KcKc
= 75.1503= 75.1503
RootsRoots == --9.25279.2527--2.2473 3.985e2.2473 3.985e--006+5.167i 3.985e006+5.167i 3.985e--006006--5.167i5.167i