7/23/2019 Ecuaciones No Lineales Newton-Raphson
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Sistemas de ecuaciones
no linealesMtodo de Newton-Raphson
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Mtodo de Newton-Raphson
El mtodo de Newton-Raphsonse utiliz empleando la derivada
(al evaluar, es la pendiente de larecta tangente) de una funcin,para calcular su interseccin conel ee de la varia!leindependiente" esto es, la ra#z(figura $%&)% 'icho clculo se!as en la epansin de la seriede *a+lor de primer ordenf(xi + 1) = f(xi) + (xi+1 xi) (xi)
Xi+1 Xi
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dondexies el valor inicial de la raz y xi+1es el valor en el cual la recta tangente
intersecta el eex.En esta interseccin f(xi + 1) es !or
definicin igual a cero y la ecuacinse
reordena para tener
ue es la forma para el mtodo deNewton-Raphson para una sola ecuacin
)('
)(1
i
iii
xf
xfxx =
+
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a forma para m.ltiples ecuaciones se o!tieneen forma idntica% /in em!argo, se de!e usar
una serie de *a+lor de m.ltiples varia!les paratomar en cuenta el hecho de 0ue ms de unavaria!le independiente contri!u+e a ladeterminacin de la ra#z%
En el caso de dos varia!les, una serie de *a+lorde primer orden se escri!e para cada ecuacinno lineal como1
y
uyy
x
uxxuu iii
iiiii
+
+=
+++ )()( 111
y
vyy
x
vxxvv iii
iiiii
+
+=
+++ )()( 111
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'e la misma manera como en la versinpara una sola ecuacin, la ra#z aproimada
corresponde a los valores dex y y dondeui+1y vi+1son iguales a cero. En talsituacin se reordena la ecuacin como1
yuy
xuxuy
xux
xu iiiiiiiii
+
+=
+
++ 11
y
vy
x
vxvy
x
vx
x
v ii
iiii
ii
i
+
+=
+
++ 11
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'e!ido a 0ue se conocen todos los valores consu!#ndice i (corres!onden al "lti#o valor
estimado), las .nicas incgnitas sonxi+1y yi+1.Entonces la ecuacin ($.%&) es un con'untode dos ecuaciones lineales con dos incgnitas%En consecuencia, se pueden usar
manipulaciones alge!raicas (por eemplo, laregla de 2ramer) para resolverlo1
x
v
y
u
y
v
x
uy
uv
y
vu
xxiiii
ii
ii
ii
=+1
x
v
y
u
y
v
x
ux
vu
x
uv
yyiiii
ii
ii
ii
=+1
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2on el mtodo de Newton-Raphson param.ltiples ecuaciones determine las ra#ces
de las ecuaciones del eemplo $%3$%
Recuerde 0ue un par de valores correctosde las ra#ces esx = % y y = .
010),( 2 =+= xyxyxu 0573),( 2
=+= xyyyxv
Ejemplo
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Ejemplo
se co#o valores inicialesx = 1.* y y = .*.
4rimero calcule las derivadas parciales +eval.elas con los valores iniciales dex y
y
5.65.3)5.1(220 =+=+=
yx
x
u
75.36)5.3(33 220 ===
y
xv
5.10 ==
x
y
u
5.32)5.3(5.1(61610 =+=+=
xy
yv
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5s#, el determinante aco!iano para la primeraiteracin es1
$%&(67%&) 8 3%&(6$%9&) : 3&$%37&os valores de las funciones se eval.an con los
valores iniciales como1u&= (1.*)%+ 1.*(.*) 1& = %.*
v&= .* + (1.*)(.*)%
*, = 1.$%*Estos valores se sustitu+en en la ecuacin ($%73)1
03603.2125.156
)5.1(625.1)5.32(5.25.1 =
=x
84388.2125.156
)75.36)(5.2()5.6(625.15.3 =
=y
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5s#, los resultados estn convergiendo a losvalores verdaderosx = % y y = . -os
clculos se repiten hasta 0ue se o!tenga unaprecisin acepta!le%/egunda iteracin1
91594.6843.2)036.2(220
=+=+=
yxx
u
26296.24)843.2(33 220 ===
y
x
v036.20 ==
x
y
u
2744.41)843.2)(036.2(61610 =+=+=
xy
y
v
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Segunda iteracin
os nuevos determinantes ;aco!ianos son7