Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Ejercicios
Leyes de exponentes
10 a )0( a
nn
aa
1
)0( a
nnn baab
n
nn
ba
ba
nmnm aaa mnnm aa )(
nmn
m
aaa
Radicales
nn aa1
)0( aaaaa n nnn
nmmnn m aaa
nnn baab
n
n
n
b
aba
mnm n aa
)0( b
Ecuaciones exponenciales
Ecuación exponencial es aquella en donde la incógnita se encuentra como exponente.
Ejemplo: 82 x
Para resolver una ecuación exponencial (determinar el (los) valor(es) de la incógnita para los cuales la igualdad se cumple) se hace uso de las leyes de exponentes o bien de las propiedades de logaritmos.Veamos cómo resolver la ecuación del ejemplo usando leyes de exponentes:
3
22
823
x
x
x Factorizamos el 8 y lo expresamos con exponente y como las bases son iguales podemos igualar los exponentes, de esta forma determinamos el valor de “x” que hace que la igualdad se verifique.
Ejemplos
4
44
41
4
2561
4
4
4
x
x
x
x
Resolver:
2
11
11
55
51
5
2.05
11
1
1
x
x
x
x
x
x
5151
15
14
41
22
)2(2
42
41
221
21
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
38
83
353
533
33
33
333
533
532
532
x
x
x
x
x
xx
xx
Nota: Siempre debes verificar tus resultados ya que puedes obtener soluciones extrañas que no cumplen con la igualdad.
Tarea: Resuelve las siguientes ecuaciones en tu libreta.
156255 x 3437 2 x
7293 1 x
32
12
21 x
3222 1 xx
Logaritmos
El logaritmo de un número es igual al exponente al que tiene que estar elevada la base del logaritmo para obtener dicho número.
abcaLog cb
aeba b ln
El logaritmo base “b” de “a” es igual a “c”
El logaritmo natural de “a” es igual a “b”
Existe dos tipos de logaritmos:
Logaritmo vulgar (base 10, decimal o común)
Logaritmo natural (neperiano):
Definición de logaritmo
34
811
log
811
27
27
34
Reescribe las siguientes cantidades en forma logarítmica y verifica el resultado con la calculadora:
25125 32
32
25log
25125
125
32
Ahora en tu libreta:
32
18 35
2
3
27
831
Propiedades de logaritmos
xnx bn
b log)(log
yxyx
bbb logloglog
yxxy bbb loglog)(log
bx
xb loglog
log
Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos cantidades multiplicándose entre sí:
Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos cantidades dividiéndose entre sí:
Cuando en el argumento del logaritmo se una cantidad elevada a un exponente:
Cambio de base: De base “b” a base 10
Nota: Estas mismas propiedades aplican para logaritmos naturales.
De las propiedades anteriores podemos deducir las siguientes:
ENa
EN
b
b
b
b
b
/)(log
/0log
01log
1log
Practiquemos las propiedades de los logaritmos
5
43
4
)2()5(
log
zyx
Expresa los siguientes logaritmos como una suma de logaritmos:
)2log(415
)5log(5log20
)2log()43)(5()5log(5log)4)(5(
)2log(5)5log(5log5
)2()5(
log5
434
43
4
zyx
zyx
zyx
zyx
36
43 2
)3()42(
lnzwyx
zwyx
zwyx
zwyx
ln33ln3ln6)42ln(4ln32
3ln3ln6)42ln(4ln
)3ln(ln)42ln(ln32
3643 2
Ahora a la inversa:
3log2log yx
Expresa con un solo logaritmo:
1ln2
13lnln2 xxx
3)log(
3loglog2
2
xy
yx
21
2
212
)1(3
ln
)1ln(3lnln
xx
xxx
x
Tarea: Practica en tu libreta:
Expresa los siguientes logaritmos como una suma de logaritmos:
xx
xxxx 4323
2
43198log
4
3 2
4
70ln
x
x
exx
Expresa con un solo logaritmo:
3ln21ln52ln xxx
xxxxxx lnlnlnloglog81110log 222
2
Ecuaciones exponenciales
Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales utilizando las propiedades de los logaritmos:
82 x
32ln2ln3
2ln32ln
2ln2ln 3
x
x
x
x
4
4log256log
256log04log
256log1log4log2561
log4log
2561
4
x
x
x
x
x
x
383ln83ln3
)3(ln8)3ln3(
3ln3ln5)3ln23(ln
3ln53ln33ln23ln
3ln53ln)32(3ln
3ln53ln3ln
)3ln()33ln(
333
32
532
532
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
Ecuaciones logarítmicas
Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita se encuentra dentro del argumento del logaritmo o bien como base del logaritmo.Ejemplo: 24log x 265log3 x
Para resolver las ecuaciones logarítmicas tenemos que hacer uso de la definición de logaritmos así como de sus propiedades. Resolviendo los ejemplos:
965
365
265log2
3
x
x
x
3515
155
695
x
x
x
x
2
4
4
24log2
x
x
x
x
Más ejemplos resueltos:
41
123
312
58210
28510
)4(2510
24
510
2ln4
510ln
2ln4ln510ln
x
x
x
xx
xx
xxx
x
xx
xx
21
2412
2
5
55
55
1224
1225
2512
512
212
log
2log12log
2log12log
x
x
x
xx
xxx
x
xx
xx
xx
Nota: Siempre debes verificar tus resultados ya que puedes obtener soluciones extrañas que no cumplen con la igualdad.
Inténtalo tú solo:
24log3 x
2log23log2log xxx
26log xx
1log31log 22 xx