12
Ejemplo 1
Halle la solucin de las siguientes ecuaciones :
aa.. 31 =+x bb.. ( ) 6323 +=+ xx cc.. 10= xx
Solucin :
aa.. Tiene una nica solucin, sea 2x = , lo sustituiremos en la ecuacin as,
2 1 3 3 3+ = = . Hemos verificado la igualdad, es decir x = 2 es la nica solucin de la
ecuacin ya que no existe otro nmero que al sumarlo con uno d tres.
bb.. Tiene infinitas soluciones, ya que cualquier valor que le demos a la variable x verifica
la igualdad.
Sea 2x = lo sustituiremos en la ecuacin as, ( ) ( )3 2 2 3 2 6 12 12+ = + = ,
sea 1x = lo sustituiremos en la ecuacin as, ( ) ( )3 1 2 3 1 6 9 9+ = + = y as para
cualquier nmero real.
cc.. No tiene solucin, ya que no existe nmero que verifique la igualdad. Prubalo!
Adems dos ecuaciones diferentes pueden tener las mismas soluciones o ambas carecer
de solucin, estas ecuaciones se llaman equivalentes. As, la ecuacin 3x 7 = x + 1 es
equivalente a 2x 8 = 0 porque ambas tienen como solucin nica x = 4.
Formalmente para resolver una ecuacin aplicamos algunas propiedades del conjunto de los
nmeros reales, por ejemplo:
Ejemplo 2
Halle el conjunto solucin de la siguiente ecuacin 3 4 8x x = + .Procedimiento:
1 Aplicamos la ley del inverso aditivo,
3 4 4 8 4x x x x + = +
13
2 Reduciendo trminos semejantes en 1 ,
2 0 0 12x + = +
3 Aplicando la propiedad del elemento neutro en la adicin en 2 ,
2 12x =
4 Aplicamos ley del inverso multiplicativo en 3 ,
( ) ( )1 12 2 12 2x =5 Lo que es equivalente a,
2 122 2x= por que
1nna a
=
6 6x = por simplificacin en 5
Conjunto solucin { }6 ( { }6S = ).
Conocido el proceso para resolver una ecuacin y con el propsito de hallar la solucin ms
rpidamente, aplicaremos la tcnica del despeje .
1.3.2 Tcnica del despeje para la solucin de una ecuacin
Se conoce como despeje el aislar, desamparar, separar a una determinada variable en un
lado de la igualdad; mediante est tcnica conseguiremos de manera precisa la solucin o
soluciones de la ecuacin. Para ello debemos tener en cuenta las siguientes reglas :
1. Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos lados
de una ecuacin, sus soluciones no cambian.
2. Al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuacin
por la misma cantidad distinta de cero sus soluciones
no cambian.
14
Importante...
Recomendaciones para despejar una variable:
aa.. Ubique en un solo lado de la ecuacin todos aquellos trminos que posean la variable a
despejar, para ello puede utilizar la regla 1.
bb.. Trate que la variable a despejar aparezca una sola vez.
cc.. Quite los trminos que acompaan la variable; para ello utilizar la regla 2.
dd.. El resultado es su despeje.
Ejemplo 3
Resuelva la ecuacin yyy 6322
31
=+ .
Solucin :
Despejemos la variable y para obtener su conjunto solucin. Siguiendo las
recomendaciones para el despeje, primero dejaremos en un solo lado de la igualdad los
trminos que posean la variable a despejar y en el otro los trminos que no la posean ,as
1 2 2 1 32 6 2 6 53 3 3 3 3
y y y y y y y+ = + = = , resolviendo
15 15
y y= =
Entonces el conjunto solucin de la ecuacin es
51 .
Para comprobar si esta solucin es correcta, evaluaremos la ecuacin en el punto 51
=y .
Comprobando
51
632
51
231
51
=+ Resolviendo por separado cada lado de la igualdad
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 5 2 3 2 5 6 32 2 6 3 515 5 3 5 15 15
+ + += + =
2 6 10 18 2 215 15 15 15
+= =
Primero debes pasar los trminos que estn sumando o restando antes de
los que estn multiplicando o dividiendo.
15
Enunciado verdadero, entonces la solucin es la correcta. Este proceso se conoce como
proceso de comprobacin.
Ejemplo 4
Resulvase para la variable indicada en trminos de las variables restantes:
1) Circunferencia de un crculo, .para,2 rrC =
Solucin :
Para dejar a la variable r sola , necesitamos trasladar al otro lado de la igualdad a 2 .
Por la regla 2 notamos que 2 multiplica a r entonces pasa al otro lado dividiendo, as
22CC r r
= =
Obsrvese que no necesariamente la variable que despejamos debe quedar en el lado
izquierdo de la ecuacin ya que en este problema lo logramos dejndola en el lado derecho.
2) Cantidad de dinero acumulado bajo inters simple, con una tasa de inters r y
durante un tiempo t trCCA += , resuelva para C.Solucin:
Aqu aplicaremos la ley distributiva para transformar las dos C en una sola,
( )1 trCAtrCCA +=+= , aplicando las reglas del despeje tenemos
( )1C
trA
=+
lo que es equivalente a1 tr
AC+
=
3)rea lateral de la superficie de un cilindro, hrS 2= , despeje h.Solucin:
Aplicando las reglas del despeje,
hr
hrS ==2
S2
lo que es equivalente ar
h2
S
=
Importante...
Para tener xito en el trabajo con ecuaciones es necesario adiestrarnos
correctamente en el despeje de variables.
16
1.3.3 Estrategias para la enseanza del despeje de variables en las ecuaciones
Una estrategia didctica es un conjunto de instrucciones articuladas pedaggicamente para
la facilitacion de la adquisicin del conocimiento en determinado tema.
Para el despeje de variables presentaremos dos tcnicas: Las fichas y la balanza.
1.3.3.1 Las fichas
En esta tcnica se utiliza material concreto: tijeras y cartulina. Consiste en copiar los
trminos de la ecuacin en pequeos cuadros de cartulina, los cuales sern manipulados de
un lado a otro cuando se utilicen las reglas del despeje.
Observe la metodologa en el siguiente:
Ejemplo 5
Sea la ecuacin de la distancia en un movimiento rectilneo uniformemente acelerado
definida por 2
2
0tatVd += , donde d es la distancia , t el tiempo, a la
aceleracion y 0V la velocidad inicial . Despeje la velocidad inicial.
Procedimiento:
Escrbase la ecuacin en cartulina de la siguiente forma:
2
2
0tatVd += , recortese los recuadros segn la lnea punteada
2
2
0tatVd +=
Ahora podemos desplazarlas hacia donde las necesitemos con el fin de lograr nuestro
objetivo, el despeje de 0V .
Por la regla 1 trasladamos el trmino 2
2a t hacia el otro lado de la igualdad
17
2
0 2a td V t= +
Le cambiamos el signo
2
02a td V t = , por la regla 2
Pasa a dividir
20
2
Vt
tad=
, lo que es equivalente a
2
2
0 t
tadV
= y de esa manera hemos despejado a 0V .
1.3.3.2 La balanza
Otra sugerencia til para la presentacin de este tpico es hacer ver las ecuaciones como
una balanza, donde hay que conservar el equilibrio; es decir, podemos jugar con ella
agregando o eliminando cosas siempre y cuando siga estando balanceada esa balanza
imaginaria.
Ejemplo 6
La frmula para transformar grados Centgrados a Farenheit est definida por
3259
+= CF , despeje a C.
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Procedimiento:
Obsrvese la balanza, luego le agregamos 32 y tenemos
F = 3259
+C donde F 32 = 3259
+C 32
Resolviendo donde sea posible tenemos,
F 32 = C59 , le agregamos
95 multiplicado y obtenemos
( )3295
F = C95
59 , expresin equivalente a
( )3295
= FC , y as hemos logrado lo deseado.
Observe que todo el tiempo hemos agregado la misma cosa o cantidad a cada uno de los
platos de la balanza, manteniendo as ese equilibrio, que nos indica la veracidad de nuestro
trabajo.
-32 -32
95
95
19
Para finalizar, amigo lector atrvase usted mismo a disear otras estrategias metodolgicas
en este tpico o en otros y cosechar ms adelante sus frutos, en la labor docente con sus
estudiantes.