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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
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Ejemplos de aplicación del método Runge-Kutta ala resolución de problemas físicos con Matlab
Andrea Santamaría GarcíaUniversidad Autónoma de Madrid
Diciembre 2012
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Outline...1 Introducción
DescripciónLista de métodos Runge-KuttaConceptoBase de los métodos Runge-Kutta
...2 TeoríaDefinición teórica del método de Runge-Kutta
...3 Métodos Runge-KuttaMétodos de 1o ordenMétodos de 2o orden
...4 Búsqueda de propiedadesIntegrador simpléctico
...5 Aplicación a problemas físicosMovimientos periódicos y cuasiperiódicosEcuaciones no lineales
...6 Matlab EDO solvers
...7 Actualidad
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Descripción
El método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos iterativos(implícitos y explícitos), cuyo objetivo es integrar ecuacionesdiferenciales ordinarias (EDO’s). Concretamente trata problemas devalor inicial.
Desarrolladopor losmatemáticosalemanes C.Runge yW.H.Kutta en1900
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Descripción
El método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos iterativos(implícitos y explícitos), cuyo objetivo es integrar ecuacionesdiferenciales ordinarias (EDO’s). Concretamente trata problemas devalor inicial.
Desarrolladopor losmatemáticosalemanes C.Runge yW.H.Kutta en1900
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Lista de métodos Runge-Kutta
El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino unaimportante familia de métodos iterativos:
Métodos explícitosMétodo de Euler hacia delanteRunge-Kutta de 2o ordenRunge-Kutta de 3o ordenClásico Runge-Kutta de 4o orden
Métodos implícitosMétodo de Euler hacia atrásMétodos de Lobatto (IIIA, IIIB,IIIC)
Métodos adaptativos osemi-implícitosEuler modificadoHeunBogacki-ShampineCash-KarpDormand-PrinceFehlberg
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Concepto
La resolución de EDOs se lleva a cabo reemplazando las derivadaspor cocientes incrementales (diferencias finitas) con un paso temporal∆t = tn+1 − tn = τ adecuado..EDO de orden s..
......
dfs(t)dt
= F(t,y1,y2, ...ys)
El método de RK parte de unos valores iniciales e itera mediante unarelación de recurrencia que podemos obtener con:.Desarrollo de Taylor..
......
f (t + τ) = f (t)+ τ f ′(t)+12
τ2f ′′(t)+16
τ3f ′′′(t)+O(τ4)
f (t − τ) = f (t)− τ f ′(t)+12
τ2f ′′(t)− 16
τ3f ′′′(t)+O(τ4)
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Concepto
La resolución de EDOs se lleva a cabo reemplazando las derivadaspor cocientes incrementales (diferencias finitas) con un paso temporal∆t = tn+1 − tn = τ adecuado..EDO de orden s..
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dfs(t)dt
= F(t,y1,y2, ...ys)
El método de RK parte de unos valores iniciales e itera mediante unarelación de recurrencia que podemos obtener con:.Desarrollo de Taylor..
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f (t + τ) = f (t)+ τ f ′(t)+12
τ2f ′′(t)+16
τ3f ′′′(t)+O(τ4)
f (t − τ) = f (t)− τ f ′(t)+12
τ2f ′′(t)− 16
τ3f ′′′(t)+O(τ4)
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Base de los métodos Runge-Kutta
.Diferencias hacia delante..
......
df (t)dt
=f (t + τ)− f (t)
τ− 1
2τ f ′′(t)+O(τ3)
.Diferencias hacia atrás..
......
df (t)dt
=f (t)− f (t − τ)
τ+
12
τ f ′′(t)+O(τ3)
.Diferencias centrales..
......
1o orden: df(t)dt = f(t+τ)−f(t−τ)
2τ + 16 τ2f ′′′(t)+O(τ4)
2o orden: df (t)dt = f(t+τ)−2f (t)+f(t−τ)
τ2 + 112 τ2f (4)(t)+O(τ5)
La aproximación por desarrollos en serie de Taylor implica un error detruncamiento: O(τs+1)
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Base de los métodos Runge-Kutta
.Diferencias hacia delante..
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df (t)dt
=f (t + τ)− f (t)
τ− 1
2τ f ′′(t)+O(τ3)
.Diferencias hacia atrás..
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df (t)dt
=f (t)− f (t − τ)
τ+
12
τ f ′′(t)+O(τ3)
.Diferencias centrales..
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1o orden: df(t)dt = f(t+τ)−f(t−τ)
2τ + 16 τ2f ′′′(t)+O(τ4)
2o orden: df (t)dt = f(t+τ)−2f (t)+f(t−τ)
τ2 + 112 τ2f (4)(t)+O(τ5)
La aproximación por desarrollos en serie de Taylor implica un error detruncamiento: O(τs+1)
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Base de los métodos Runge-Kutta
.Diferencias hacia delante..
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df (t)dt
=f (t + τ)− f (t)
τ− 1
2τ f ′′(t)+O(τ3)
.Diferencias hacia atrás..
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df (t)dt
=f (t)− f (t − τ)
τ+
12
τ f ′′(t)+O(τ3)
.Diferencias centrales..
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1o orden: df(t)dt = f(t+τ)−f(t−τ)
2τ + 16 τ2f ′′′(t)+O(τ4)
2o orden: df (t)dt = f(t+τ)−2f (t)+f(t−τ)
τ2 + 112 τ2f (4)(t)+O(τ5)
La aproximación por desarrollos en serie de Taylor implica un error detruncamiento: O(τs+1)
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. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Base de los métodos Runge-Kutta
.Diferencias hacia delante..
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df (t)dt
=f (t + τ)− f (t)
τ− 1
2τ f ′′(t)+O(τ3)
.Diferencias hacia atrás..
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df (t)dt
=f (t)− f (t − τ)
τ+
12
τ f ′′(t)+O(τ3)
.Diferencias centrales..
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1o orden: df(t)dt = f(t+τ)−f(t−τ)
2τ + 16 τ2f ′′′(t)+O(τ4)
2o orden: df (t)dt = f(t+τ)−2f (t)+f(t−τ)
τ2 + 112 τ2f (4)(t)+O(τ5)
La aproximación por desarrollos en serie de Taylor implica un error detruncamiento: O(τs+1)
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Definición teórica del método de Runge-Kutta
Sea una EDO de primer orden:
r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto
y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω
.Expresión general del método RK de orden s..
......
rn+1 − rn
τ=
s
∑i=1
biki ; ki = f
(tn + ciτ , rn + τ
s
∑j=1
aijkj
)
τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)
ki=términos de aproximaciónintermedios
aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido
RK consistente si∑i−1
j=1 aij = ci , i = 2...s
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Definición teórica del método de Runge-Kutta
Sea una EDO de primer orden:
r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto
y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω.Expresión general del método RK de orden s..
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rn+1 − rn
τ=
s
∑i=1
biki ; ki = f
(tn + ciτ , rn + τ
s
∑j=1
aijkj
)
τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)
ki=términos de aproximaciónintermedios
aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido
RK consistente si∑i−1
j=1 aij = ci , i = 2...s
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Definición teórica del método de Runge-Kutta
Sea una EDO de primer orden:
r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto
y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω.Expresión general del método RK de orden s..
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rn+1 − rn
τ=
s
∑i=1
biki ; ki = f
(tn + ciτ , rn + τ
s
∑j=1
aijkj
)
τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)
ki=términos de aproximaciónintermedios
aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido
RK consistente si∑i−1
j=1 aij = ci , i = 2...s
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. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Definición teórica del método de Runge-Kutta
Sea una EDO de primer orden:
r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto
y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω.Expresión general del método RK de orden s..
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rn+1 − rn
τ=
s
∑i=1
biki ; ki = f
(tn + ciτ , rn + τ
s
∑j=1
aijkj
)
τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)
ki=términos de aproximaciónintermedios
aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido
RK consistente si∑i−1
j=1 aij = ci , i = 2...s
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. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Definición teórica del método de Runge-Kutta
Sea una EDO de primer orden:
r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto
y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω.Expresión general del método RK de orden s..
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rn+1 − rn
τ=
s
∑i=1
biki ; ki = f
(tn + ciτ , rn + τ
s
∑j=1
aijkj
)
τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)
ki=términos de aproximaciónintermedios
aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido
RK consistente si∑i−1
j=1 aij = ci , i = 2...s
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Definición teórica del método de Runge-Kutta
Sea una EDO de primer orden:
r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto
y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω.Expresión general del método RK de orden s..
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rn+1 − rn
τ=
s
∑i=1
biki ; ki = f
(tn + ciτ , rn + τ
s
∑j=1
aijkj
)
τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)
ki=términos de aproximaciónintermedios
aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido
RK consistente si∑i−1
j=1 aij = ci , i = 2...s
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Tabla de Butcher..
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c1 a11 a12 · · · a1s
c2 a21 a22 · · · a2s...
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cs as1 as2 · · · ass
b1 b2 · · · bs
=c A
bT
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Tabla de Butcher..
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c1 a11 a12 · · · a1s
c2 a21 a22 · · · a2s...
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cs as1 as2 · · · ass
b1 b2 · · · bs
=c A
bT
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Los esquemas de RK se dividen en:
Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0
ki = f(
tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj
)→ evaluación explícita de rn+1
usando rn
No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña
Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s
ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s
j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que
resolver un sistema de ecuaciones
Aumenta el tiempo de computación
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Los esquemas de RK se dividen en:
Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0
ki = f(
tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj
)→ evaluación explícita de rn+1
usando rn
No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña
Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s
ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s
j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que
resolver un sistema de ecuaciones
Aumenta el tiempo de computación
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. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Los esquemas de RK se dividen en:
Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0
ki = f(
tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj
)→ evaluación explícita de rn+1
usando rn
No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña
Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s
ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s
j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que
resolver un sistema de ecuaciones
Aumenta el tiempo de computación
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. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Los esquemas de RK se dividen en:
Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0
ki = f(
tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj
)→ evaluación explícita de rn+1
usando rn
No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña
Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s
ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s
j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que
resolver un sistema de ecuaciones
Aumenta el tiempo de computación
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. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Los esquemas de RK se dividen en:
Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0
ki = f(
tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj
)→ evaluación explícita de rn+1
usando rn
No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña
Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s
ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s
j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que
resolver un sistema de ecuaciones
Aumenta el tiempo de computación
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. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Los esquemas de RK se dividen en:
Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0
ki = f(
tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj
)→ evaluación explícita de rn+1
usando rn
No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña
Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s
ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s
j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que
resolver un sistema de ecuaciones
Aumenta el tiempo de computación
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Regiones de estabilidad para métodos Runge-Kutta explícitos eimplícitos
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Métodos de 1o orden.Método de Euler explícito (o hacia delante)..
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r(t + τ)− r(t)τ
= v(t) ;v(t + τ)− v(t)
τ=
F (r(t),v(t), t)m
Es estable si τ es lo suficientemente pequeño ya que el error vacon τ2
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. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Métodos de 1o orden.Método de Euler explícito (o hacia delante)..
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r(t + τ)− r(t)τ
= v(t) ;v(t + τ)− v(t)
τ=
F (r(t),v(t), t)m
Es estable si τ es lo suficientemente pequeño ya que el error vacon τ2
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. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
0 20 40 60 80−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8Solución del o.armónico, N=1000
Tiempo
Pos
ició
n
Euler explícitoSolución exacta
−10 −5 0 5 10−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8Espacio de fases o.armónico, N=1000
Posición
Mom
ento
Euler explícitoSolución exacta
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
0 20 40 60 80−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Solución del o.armónico, N=30000
Tiempo
Pos
ició
n
Euler explícitoSolución exacta
−2 −1 0 1 2−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Espacio de fases o.armónico, N=30000
Posición
Mom
ento
Euler explícitoSolución exacta
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Métodos de 1o orden
.Método de Euler implícito (o hacia atrás, o de Euler-Cromer)..
......
r(t + τ)− r(t)τ
= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t)
τ=
F (r(t),v(t), t)m
Conocido por ser mucho más estable que el método de Euler
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Métodos de 1o orden
.Método de Euler implícito (o hacia atrás, o de Euler-Cromer)..
......
r(t + τ)− r(t)τ
= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t)
τ=
F (r(t),v(t), t)m
Conocido por ser mucho más estable que el método de Euler
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
0 20 40 60 80−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Solución del o.armónico, N=1000
Tiempo
Pos
ició
n
Euler−CromerSolución exacta
−2 −1 0 1 2−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Espacio de fases o.armónico, N=1000
Posición
Mom
ento
Euler−CromerSolución exacta
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Métodos de 2o orden: Método del punto medio
.Objetivo..
......
r(t + τ)− r(t)τ
= v(
t +τ2
);
v(t + τ)− v(t)τ
=F (r(t + τ
2
),v(t), t)
m
.Obtención de los pasos mitad..
......
r(t + τ
2
)− r(t)
τ/2= v(t) ;
v(t + τ
2
)− v(t)
τ/2=
F (r(t),v(t), t)m
.Resultado..
......
r(t + τ)− r(t)τ
= v(t)+F (r(t),v(t), t)
mτ2
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Métodos de 2o orden: Método del punto medio
.Objetivo..
......
r(t + τ)− r(t)τ
= v(
t +τ2
);
v(t + τ)− v(t)τ
=F (r(t + τ
2
),v(t), t)
m
.Obtención de los pasos mitad..
......
r(t + τ
2
)− r(t)
τ/2= v(t) ;
v(t + τ
2
)− v(t)
τ/2=
F (r(t),v(t), t)m
.Resultado..
......
r(t + τ)− r(t)τ
= v(t)+F (r(t),v(t), t)
mτ2
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Métodos de 2o orden: Método del punto medio
.Objetivo..
......
r(t + τ)− r(t)τ
= v(
t +τ2
);
v(t + τ)− v(t)τ
=F (r(t + τ
2
),v(t), t)
m
.Obtención de los pasos mitad..
......
r(t + τ
2
)− r(t)
τ/2= v(t) ;
v(t + τ
2
)− v(t)
τ/2=
F (r(t),v(t), t)m
.Resultado..
......
r(t + τ)− r(t)τ
= v(t)+F (r(t),v(t), t)
mτ2
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Métodos de 2o orden: Método del punto medio
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Métodos de 2o orden: Método del punto medio
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
0 20 40 60 80−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Solución del o.armónico, N=1000
Tiempo
Pos
ició
n
Punto medioSolución exacta
−2 −1 0 1 2−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Espacio de fases o.armónico, N=1000
Posición
Mom
ento
Punto medioSolución exacta
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
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.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Conservación de la energía
0 10 20 30 40 50 60 700
5
10
15
20
25
30Conservación de la energía, N=1000
Tiempo
Ene
rgía
Euler explícitoEuler implícitoPunto medio
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
0 20 40 60 800.48
0.485
0.49
0.495
0.5
0.505
0.51
0.515
0.52
0.525Conservación de la energía, N=1000
Tiempo
Ene
rgía
Euler implícito
0 20 40 60 800.5
0.5005
0.501
0.5015
0.502
0.5025Conservación de la energía, N=1000
Tiempo
Ene
rgía
Punto medio
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
¿Qué métodos...
...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.
Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn
.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..
......
Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)
Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes
cuadráticas I(y) = y12 + y2
2 (Ejemplo: energía)
Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
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......
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.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
¿Qué métodos...
...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.
Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn
.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..
......
Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)
Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes
cuadráticas I(y) = y12 + y2
2 (Ejemplo: energía)
Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
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.....
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......
.....
.....
.....
......
.....
......
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
¿Qué métodos...
...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.
Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn
.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..
......
Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)
Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes
cuadráticas I(y) = y12 + y2
2 (Ejemplo: energía)
Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
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......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
¿Qué métodos...
...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.
Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn
.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..
......
Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)
Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes
cuadráticas I(y) = y12 + y2
2 (Ejemplo: energía)
Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales
..........
.....
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......
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......
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......
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
¿Qué métodos...
...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.
Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn
.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..
......
Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)
Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes
cuadráticas I(y) = y12 + y2
2 (Ejemplo: energía)
Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales
..........
.....
......
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.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
¿Qué métodos...
...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.
Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn
.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..
......
Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)
Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes
cuadráticas I(y) = y12 + y2
2 (Ejemplo: energía)
Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Reversibilidad temporal y simetría..
......
Un método numérico de un paso es simétrico y reversible en el tiemposi cambiando rn ↔ rn+1 y τ ↔−τ el método queda inalterado. Estoimpone las condiciones:
aij +as+1−i,s+1−j = bj ; b−i = bs+1−i ; ci = 1− cs+1−i
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Simplecticidad y conservación del volumen..
......
Simpléctico:(
∂ rn+1∂ rn
)TJ(
∂ rn+1∂ rn
)= J
Conservación del volumen:∣∣∣det
(∂ rn+1∂ rn
)∣∣∣= 1
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas
Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica
Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano
Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
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......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
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.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Simplecticidad y conservación del volumen..
......
Simpléctico:(
∂ rn+1∂ rn
)TJ(
∂ rn+1∂ rn
)= J
Conservación del volumen:∣∣∣det
(∂ rn+1∂ rn
)∣∣∣= 1
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas
Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica
Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano
Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
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......
.....
......
.....
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.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Simplecticidad y conservación del volumen..
......
Simpléctico:(
∂ rn+1∂ rn
)TJ(
∂ rn+1∂ rn
)= J
Conservación del volumen:∣∣∣det
(∂ rn+1∂ rn
)∣∣∣= 1
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas
Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica
Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano
Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
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.....
......
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.....
......
.....
......
.....
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.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Simplecticidad y conservación del volumen..
......
Simpléctico:(
∂ rn+1∂ rn
)TJ(
∂ rn+1∂ rn
)= J
Conservación del volumen:∣∣∣det
(∂ rn+1∂ rn
)∣∣∣= 1
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas
Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica
Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano
Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
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.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
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.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Simplecticidad y conservación del volumen..
......
Simpléctico:(
∂ rn+1∂ rn
)TJ(
∂ rn+1∂ rn
)= J
Conservación del volumen:∣∣∣det
(∂ rn+1∂ rn
)∣∣∣= 1
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas
Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica
Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano
Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano
..........
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......
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.....
......
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......
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.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Simplecticidad y conservación del volumen..
......
Simpléctico:(
∂ rn+1∂ rn
)TJ(
∂ rn+1∂ rn
)= J
Conservación del volumen:∣∣∣det
(∂ rn+1∂ rn
)∣∣∣= 1
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas
Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica
Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano
Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano
..........
.....
......
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.....
......
.....
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......
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......
.....
......
.....
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.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Simplecticidad y conservación del volumen..
......
Simpléctico:(
∂ rn+1∂ rn
)TJ(
∂ rn+1∂ rn
)= J
Conservación del volumen:∣∣∣det
(∂ rn+1∂ rn
)∣∣∣= 1
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas
Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica
Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano
Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano
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......
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.....
.....
......
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......
.....
.....
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......
.....
......
.....
.....
.
. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Integrador simpléctico
.Método "leapfrog"..
......
r(t +2τ)− r(t)2τ
= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t − τ)
2τ=
F (r(t),v(t), t)m
Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla develocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0:
Calculamos velocidades en t +(2n−1)τCalculamos posiciones en t +2nτ
En t=0 necesitamos conocer v(−τ) para conocer v(τ) → diferenciashacia atrás:
v(−τ) = v(0)− τF (r(t),v(t), t)
m
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
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.....
......
.....
.....
.....
......
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......
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Integrador simpléctico
.Método "leapfrog"..
......
r(t +2τ)− r(t)2τ
= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t − τ)
2τ=
F (r(t),v(t), t)m
Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla develocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0:
Calculamos velocidades en t +(2n−1)τ
Calculamos posiciones en t +2nτ
En t=0 necesitamos conocer v(−τ) para conocer v(τ) → diferenciashacia atrás:
v(−τ) = v(0)− τF (r(t),v(t), t)
m
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Integrador simpléctico
.Método "leapfrog"..
......
r(t +2τ)− r(t)2τ
= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t − τ)
2τ=
F (r(t),v(t), t)m
Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla develocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0:
Calculamos velocidades en t +(2n−1)τCalculamos posiciones en t +2nτ
En t=0 necesitamos conocer v(−τ) para conocer v(τ) → diferenciashacia atrás:
v(−τ) = v(0)− τF (r(t),v(t), t)
m
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. .Búsqueda de propiedades
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Integrador simpléctico
.Método "leapfrog"..
......
r(t +2τ)− r(t)2τ
= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t − τ)
2τ=
F (r(t),v(t), t)m
Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla develocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0:
Calculamos velocidades en t +(2n−1)τCalculamos posiciones en t +2nτ
En t=0 necesitamos conocer v(−τ) para conocer v(τ) → diferenciashacia atrás:
v(−τ) = v(0)− τF (r(t),v(t), t)
m
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Integrador simpléctico
.Método "leapfrog"..
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r(t +2τ)− r(t)2τ
= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t − τ)
2τ=
F (r(t),v(t), t)m
Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla develocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0:
Calculamos velocidades en t +(2n−1)τCalculamos posiciones en t +2nτ
En t=0 necesitamos conocer v(−τ) para conocer v(τ) → diferenciashacia atrás:
v(−τ) = v(0)− τF (r(t),v(t), t)
m
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
.Leapfrog en forma del método de paso mitad..
......
r(t + τ)− r(t)τ
= v(
t +τ2
);
v(t + τ
2
)− v(t − τ
2
)τ
=F (r(t),v(t), t)
m
v(−τ2) = v(0)− τ
2F (r(0),v(0),0)
m
Es reversible en el tiempo
Para un potencial con simetría esférica conserva el momentoangular exactamenteEs simpléctico: no conserva la energia exactamente, pero esmuy estable → bueno para tiempos largos
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
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.Leapfrog en forma del método de paso mitad..
......
r(t + τ)− r(t)τ
= v(
t +τ2
);
v(t + τ
2
)− v(t − τ
2
)τ
=F (r(t),v(t), t)
m
v(−τ2) = v(0)− τ
2F (r(0),v(0),0)
m
Es reversible en el tiempoPara un potencial con simetría esférica conserva el momentoangular exactamente
Es simpléctico: no conserva la energia exactamente, pero esmuy estable → bueno para tiempos largos
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. . . .Teoría
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.Leapfrog en forma del método de paso mitad..
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r(t + τ)− r(t)τ
= v(
t +τ2
);
v(t + τ
2
)− v(t − τ
2
)τ
=F (r(t),v(t), t)
m
v(−τ2) = v(0)− τ
2F (r(0),v(0),0)
m
Es reversible en el tiempoPara un potencial con simetría esférica conserva el momentoangular exactamenteEs simpléctico: no conserva la energia exactamente, pero esmuy estable → bueno para tiempos largos
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. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibj
i=j=1→ 1× 12 +1× 1
2 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1
4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bj
i=j=1→ 12 +
12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
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¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b1
4
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i
→ b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
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¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 1
4
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
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¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
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¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i
→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
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¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1
4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
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¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
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¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas
Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
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¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
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¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de Mercurio
Ec. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- Heiles
Problema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerpos
Rotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno
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. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
Utilizaremos el método del punto medio.
1/2 1/21
¿Simpléctico?
biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1
2 +1× 12 = 1 = b1b1 4
¿Reversibilidad temporal?
aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1
2 +12 = 1 = b14
b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14
ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1
2 = c1 4
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
−1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n =3.5, vx=0 AU/yr, v
y=5 AU/yr
x(AU)
y(A
U)
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
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Órbitas planetarias con diferentes potenciales
−1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n =4, vx=0 AU/yr, v
y=5 AU/yr
x(AU)
y(A
U)
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Órbitas planetarias con diferentes potenciales
−1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
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n =2, vx=0 AU/yr, v
y=5 AU/yr
x(AU)
y(A
U)
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. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
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.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..
......
dxdt
= xα −βxy ;dydt
= δxy − yγ
Con y = no de predadores, x = no de presas
xy= probabilidad de encontrarse
Presas
α= nacimiento medio -muerte media
β = interacción (eficiencia decaza del depredador)
Depredadores
yγ= muerte natural(depredadores = competencia)
δxy= tasa de reproducción porpresa comida
.Parámetros para la simulación..
...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2
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. . . .Introducción
. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
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.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..
......
dxdt
= xα −βxy ;dydt
= δxy − yγ
Con y = no de predadores, x = no de presas
xy= probabilidad de encontrarse
Presas
α= nacimiento medio -muerte media
β = interacción (eficiencia decaza del depredador)
Depredadores
yγ= muerte natural(depredadores = competencia)
δxy= tasa de reproducción porpresa comida
.Parámetros para la simulación..
...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2
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. . . .Teoría
. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta
. .Búsqueda de propiedades
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.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..
......
dxdt
= xα −βxy ;dydt
= δxy − yγ
Con y = no de predadores, x = no de presas
xy= probabilidad de encontrarse
Presas
α= nacimiento medio -muerte media
β = interacción (eficiencia decaza del depredador)
Depredadores
yγ= muerte natural(depredadores = competencia)
δxy= tasa de reproducción porpresa comida
.Parámetros para la simulación..
...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2
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.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..
......
dxdt
= xα −βxy ;dydt
= δxy − yγ
Con y = no de predadores, x = no de presas
xy= probabilidad de encontrarse
Presas
α= nacimiento medio -muerte media
β = interacción (eficiencia decaza del depredador)
Depredadores
yγ= muerte natural(depredadores = competencia)
δxy= tasa de reproducción porpresa comida
.Parámetros para la simulación..
...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2
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.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..
......
dxdt
= xα −βxy ;dydt
= δxy − yγ
Con y = no de predadores, x = no de presas
xy= probabilidad de encontrarse
Presas
α= nacimiento medio -muerte media
β = interacción (eficiencia decaza del depredador)
Depredadores
yγ= muerte natural(depredadores = competencia)
δxy= tasa de reproducción porpresa comida
.Parámetros para la simulación..
...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2
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.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..
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dxdt
= xα −βxy ;dydt
= δxy − yγ
Con y = no de predadores, x = no de presas
xy= probabilidad de encontrarse
Presas
α= nacimiento medio -muerte media
β = interacción (eficiencia decaza del depredador)
Depredadores
yγ= muerte natural(depredadores = competencia)
δxy= tasa de reproducción porpresa comida
.Parámetros para la simulación..
...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2
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. .Búsqueda de propiedades
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.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..
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dxdt
= xα −βxy ;dydt
= δxy − yγ
Con y = no de predadores, x = no de presas
xy= probabilidad de encontrarse
Presas
α= nacimiento medio -muerte media
β = interacción (eficiencia decaza del depredador)
Depredadores
yγ= muerte natural(depredadores = competencia)
δxy= tasa de reproducción porpresa comida
.Parámetros para la simulación..
...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2
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. .Búsqueda de propiedades
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.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..
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dxdt
= xα −βxy ;dydt
= δxy − yγ
Con y = no de predadores, x = no de presas
xy= probabilidad de encontrarse
Presas
α= nacimiento medio -muerte media
β = interacción (eficiencia decaza del depredador)
Depredadores
yγ= muerte natural(depredadores = competencia)
δxy= tasa de reproducción porpresa comida
.Parámetros para la simulación..
...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2
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Ecuaciones de Lotka-Volterra
0 5 10 15 20 25 30 350
2
4
6
8
10
12Presas iniciales=5, Predadores iniciales=4
Tiempo (adimensional)
Nº
de p
resa
s y
pred
ador
es
PredadoresPresas
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Ecuaciones de Lotka-Volterra
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12Presas iniciales=5, Predadores iniciales=4
Nº de presas
Nº
de p
reda
dore
s
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. .Búsqueda de propiedades
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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D
Utilizaremos el método "leapfrog"
Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2
σ2 )exp(−(y−y0)2
σ2 )exp(ik0x)
C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40
Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5
Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200
Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria
Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ
2 , t +3 τ2 ...
Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2
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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D
Utilizaremos el método "leapfrog"
Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2
σ2 )exp(−(y−y0)2
σ2 )exp(ik0x)
C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40
Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5
Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200
Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria
Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ
2 , t +3 τ2 ...
Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2
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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D
Utilizaremos el método "leapfrog"
Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2
σ2 )exp(−(y−y0)2
σ2 )exp(ik0x)
C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40
Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5
Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200
Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria
Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ
2 , t +3 τ2 ...
Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2
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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D
Utilizaremos el método "leapfrog"
Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2
σ2 )exp(−(y−y0)2
σ2 )exp(ik0x)
C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40
Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5
Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200
Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria
Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ
2 , t +3 τ2 ...
Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2
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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D
Utilizaremos el método "leapfrog"
Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2
σ2 )exp(−(y−y0)2
σ2 )exp(ik0x)
C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40
Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5
Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200
Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria
Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ
2 , t +3 τ2 ...
Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2
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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D
Utilizaremos el método "leapfrog"
Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2
σ2 )exp(−(y−y0)2
σ2 )exp(ik0x)
C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40
Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5
Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200
Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria
Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ
2 , t +3 τ2 ...
Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2
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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D
Utilizaremos el método "leapfrog"
Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2
σ2 )exp(−(y−y0)2
σ2 )exp(ik0x)
C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40
Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5
Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200
Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria
Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ
2 , t +3 τ2 ...
Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...
Calculamos |Ψ|2
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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D
Utilizaremos el método "leapfrog"
Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2
σ2 )exp(−(y−y0)2
σ2 )exp(ik0x)
C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40
Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5
Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200
Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria
Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ
2 , t +3 τ2 ...
Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2
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Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D
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Matlab EDO solvers
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Aplicaciones actuales (las guays)
Quantum ChromodynamicsHybrid Monte Carlo (HMC)→ Molecular Dynamics → Leapfroghttp://arxiv.org/pdf/1109.3030.pdf
Quantum Field Theory
El grupo de Butcher (relacionada con el álgebra de Hopf) fueformulado para describir los métodos de Runge-KuttaHoy en día estos conceptos se usan en teoría de renormalizaciónde QFT perturbativas y geometría no conmutativa
http://www.impmc.upmc.fr/~brouder/BIT.pdfhttp://arxiv.org/pdf/hep-th/9904044.pdf
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Bibliografía altamente recomendada
Geometric Numerical Integration: Structure-PreservingAlgorithms for Ordinary Differential EquationsErnst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner (Springer)