2da PRÁCTICA CALIFICADA
GRUPO Nº 6
22/07/2013
EJERCICIOS DESARROLLADOS. LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE DINÁMICA POR SHAMES IRVING 4ta Edición.
DINÁMICA
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA
__________________________________
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS,
GEOLOGÍA Y CIVIL
““EEssccuueellaa ddee FFoorrmmaacciióónn PPrrooffeessiioonnaall ddee IInnggeenniieerrííaa CCiivviill””
PRÁCTICA CALIFICADA Nº 02
“DESARROLLO DE EJERCICIOS DE CINÉTICA”
LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE DINÁMICA POR
SHAMES IRVING 4ta Edición
CURSO : DINÁMICA
SIGLA : IC- 244
CICLO ACADÉMICO : 2012-II
GRUPO : N° 06 (SHAMES 4ta Edición)
DOCENTE : Ing. CASTRO PEREZ, Cristian.
INTEGRANTES :- AGUILAR HUICHO, Edgar. - GARCIA RAMOS, Wilson Luis. - ORÉ MENDOZA, John. - I - - SULCA SANTIAGO, Emerson.
FECHA : Ayacucho, Julio del 2013
Ayacucho – Perú 2013
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
2
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
3
INDICE
Cinética de Leyes de Newton de una Partícula. …..…………………4 Cinética de Trabajo y Energía de una Partícula. ..………..................8 Cinética de Cantidad de Movimiento de una Partícula. ..…………….........16 Cinética de Leyes de Newton de un Cuerpo Rígido. …..………..….......20 Cinética de Trabajo y Energía de un Cuerpo Rígido. ..……..……..........24 Cinética de Cantidad de Movimiento de un Cuerpo Rígido. .....……………......28
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
4
Cinética de Leyes de Newton de una Partícula 12.120. Un esquiador esta bajando por una colina a una velocidad de 14m/s mientras
está en la posición que se muestra. Si el esquiador pesa 800N ¿Qué fuerza total ejercen sus esquis sobre la superfcie de la nieve? Suponer que el coeficiente de rozamiento es de 0.1. La colina se puede considerar como una superficie parabólica.
Solución
Datos:
Ecuación: 2Kxy
2156 K 75
2K
2
75
2xy
Hallando: Radio de Curvatura:
kgm
NW
smV
55.81
800
14
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
5
y
y 23
2 ])(1[
75
4
75
41
23
2
x
Para x = 15
m38.39
Para las fuerzas normales a la superficie:
2vac
2
2
977.438.39
14
smac
)977.4)(55.81(N
cN
F
maF
87.405NF N
Además para saber el ángulo:
xdx
dytg
75
4
Para x = 15
º66.3875
154Arctg
87.405coswFN
56.1030 N
Además Fr:
rN maF
cteV :
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
6
056.10386.4
55.81))º66.38((800)56.1030(1.0
uFa
asenWsenF
rr
rr
6.103522
rFF N
12.139. Una masa de 3kg se está moviendo a lo largo de una varilla vertical parabólica cuya ecuación es y = 3.4x2 un muelle lineal con K = 550N/m está conectado a la masa y no presneta deformación cuando la masa está en su posicin mas baja teniendo en ese momento una longitud t0 = 1. Cuando la directriz del muelle está a 30º de la vertical, como se muestra en el diagrama, la masa se esta moviendo a 2.8m/s. En ese instante. ¿Cuál es la componente de la fuerza sobre la varilla en la dirección perpendicular a la misma?
Solución
Datos:
smV
kgM
mNK
8.2
3
550
En la ecuación:
2)º30(4.3º30cos1 senLL ff
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
7
mL f 689.0 mx 3111.0689.01
Hallando radio de Curvatura:
y
y 23
2])(1[
4.32
])4.32(1[ 23
2x
Para x = 0.3445
m43.2
Fuerza Normal:
2
43.2
8.23N
cN
F
maF
679.9NF N
Además para saber el ángulo θ:
xdx
dytg 8.6
Para x = 0.3445
º88.66
)3445.08.6(Arctg
679.9)º30º88.66cos(cos RN FmgF N
Donde:
105.1715503111.0KxFR
Reemplazando:
679.9)º88.36cos(105.171)º88.66cos(81.93
63.115 N
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
8
Cinética de Trabajo y Energía de una Partícula
13.48. Un cojinete A de 15kg de masa desliza sin rozamiento por un tubo. El cojinete
está conectado a un muelle lineal cuya constante K vale 1N/mm. Si el cojinete, inicialmente en reposo, se suelta en la posición que se muestra. ¿Cuál será su velocidad cuando el muelle este en la posición EF? En la posición inicial del cojinete el muelle esta alargado 75mm.
Solución
Datos:
kgm
mmNK
15
1
mN
m
mm
mm
NK 1000
1
1000.
1
mmL f 41.335150300 22
mmi 75
mmL 41.2607541.335 longitud( sin )elongación
mm
mmL
E
E
6.3941.260300
300
Planteando Ecuación de Energía:
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
9
EEE
EGCOEOGOC EEEEEE 111
222 ))((
2
10
2
1)(
2
1)15.0(0 EKmViKmg
222 )0396.0)(1000(2
115
2
1)075.0(1000
2
1)15.0(81.915 V
smV 79.1
13.50. Un cojinete A con una de 5kg puede deslizar por un tubo sin rozamiento. Si se suelta, partiendo del reposo, en la posición que se muestra, en la que el muelle no presenta deformación, ¿Qué velocidad tendrá el cojinete después de haber recorrido 50mm? La constante del muelle es de 2N/m.
Solución
Datos:
kgm
mN
mmNK
5
20002
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
10
Por Ley de Cosenos:
mmx 13.2920013.299
Planteando Ecuación de Energía:
AA EE
GECGEC EEEEEE
0))((2
1
2
10 22 xKmVmgh
22 )02913.0)(2000(2
1)5(
2
1)025.0(81.95 V
smV 39.0
13.70. Se dispara un proyectil de peso W1N contra un bloque de madera que pesa
W2N. El proyectil se aloja en la madera y ambos cuerpos se mueven hasta la posición indicada en el diagrama mediante línea discontinua antes de volver a caer. Calcular la cantidad de trabajo interno realizado durante esta acción. Discutir los efectos de este trabajo. El proyectil tiene una velocidad V0 antes de impactar contra el bloque. Desestimar la masa de la barra de soporte y el rozamiento de A.
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
11
Solución
W1: Proyectil. W2: Bloque.
708.1
º45.64cos33
P.C.C.M:
)(. 2101 WWVVW
21
10
WW
WVVi
Planteando por Conservación de Energía:
2211 PCPC EEEE
)708.1)((.)(
.2
121
221 WWVg
WWi
8.5
)708.1(2
i
i
V
gV
2
01212
1)(8.5 VWWWW
13.78. Un péndulo tiene un peso con un disco uniforme comparativamente grande de
0.6m de diámetro y una masa M de 1.5kg. En el instante que se muestra, el sistema
tiene una velocidad angular ω de 0.3rad/s. Si despreciamos la masa de la barra. ¿Cuál
es la energía cinética del péndulo en ese instante? ¿Cuál es el error en el que
incurrimos si consideramos el peso como una partícula, tal como hemos hecho
anteriormente con otros péndulos? Utilizar el resultado del problema 13.76.
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
12
Solución
Datos:
kgM
mr
5.1
3.0
2
2
1IEc
2
2
1mRI
a)
222 )3.0()5.1)(5.1()3.0)(5.1(2
1
2
1CE
JEC 1549.0
b) Error:
22 )5.13.0)(5.1(2
1
2
1mVE
rticularotacionpaC
JE
PRC 1519.0.
Error 1519.01549.0E
%3.0E
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
13
13.99. Partiendo del reposo, un cuerpo A se suelta cobre una superficie circular sin
rozamiento. A continuación el cuerpo se mueve sobe una superficie horizontal CD
cuyo coeficiente de rozamiento dinámico con el cuerpo es de 0.2. Un muelle cuya
constante K = 900N/m esta colocado en C como se muestra en el diagrama. ¿Cuánto
se comprimirá el muelle? El cuerpo tiene una masa de 5kg.
Solución
Datos:
kgm
mNK
5
900
Hallando velocidad de la masa en el punto D.
smghVD 72.117)81.9(22
Conservación de energía en el tramo CD.
frCD wEE
)10()()(2
10
2
1 22xfrxKmVD
Donde:
)(2.0 mguNFr
)10())((2.0)(2
1
2
1 22xgmxKmVD
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
14
)10()81.9)(5(2.0)(9002
1)72.11)(5(
2
1 22 xx
Resolviendo:
mx 727.0
13.120. Un collar desliza sin rozamiento por un tubo como se muestra. El muelle no
presenta deformación cuando esta en posición horizontal y tiene una constante de
180N/m. ¿Cuál es la masa mínima que debe tener A para justo alcanzar A´ si se suelta
partiendo del reposo y en la posición que se muestra en el diagrama? ¿Cual será la
fuerza sobre el tubo cuando A ha recorrido la mitad de la distancia hasta A´?
Solución
Datos:
?
180
m
mNK
523.1
6.04.1 22
c
c
a) Planteando Ecuación de Energía:
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
15
AO EE
2)(2
1xKmgh
2)8.0523.1)(180(2
1)6.0)(81.9(m
kgm 99.7 mínima masa
b) cuando recorre una distancia AA´/2:
Por ley de senos
Energía:
22
2
1)(
2
1)º456.0( mVxKsenmg
22 )99.7(2
1)8.0064.1(180
2
1)º456.0)(81.9)(99.7( Vsen
smV 6.2
Luego
6.0
)6.2(99.7
2
N
CN
F
maF
02.90NF N
02.90NF
02.90)º45()5.21( senmgsenFr
84.161 N
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
16
Cinética de Cantidad de Movimiento de una Partícula
14.56. Los cilindros A y B deslizan sin rozamiento a lo largo de una barra. El cilindro A,
inicialmente en reposo y de forma que el muelle K1 al que está conectado está
inicialmente no deformado, se suelta. El impacto con el cilindro B tiene un coeficiente
de restitución e igual a 0.8. Antes del impacto el cilindro B esta en reposo y esta
soportado en la posición que se muestra por el muelle K2. Suponer que los muelles no
tienen masa.
a) ¿Cuánto se comprimirá el muelle inferior?
b) ¿Cuánto descenderá el cilindro B después del impacto antes de alcanzar su
posición mas baja?
Solución
Datos:
8.0
1100
1000
800
500
2
1
e
mNK
mNK
NW
NW
B
A
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
17
a)
º45senWxK B
2
2.
1100
800x
mx 051.0
Se comprime 51mm inicialmente b) Cuando A apenas impacta a “B”
AOA EE 1
mghmVxKmgh 22
2
1)(
2
1
2
1
2 .81.9
)500(
2
1)8.0(1000
2
1º45cos)8.0(500 iV
smVAi 313.3)(
Para ecuaciones de choque: P.C.C.M
BfBAfABiBAiA VmVmVmVm .... ;
0BiV
BfAf VV 800500)313.3(500
).........(..........85565.16 IVV BfAf
Además.
8.0AiBi
AfBf
VV
VVe
)........(..........6504.2 IIVV AfBf
)(357.0
smVA
)(293.2s
mVB
Luego aplicando Ecuación de Energía:
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
18
BB EE EEEEEE GCGC
2
2
2
2
2 )2051.0(2
100)051.0(
2
1)(
2
1KKmgVm BfB
222 )2051.0)(1100(2
1)051.0(1100
2
1)(800)293.2(
81.9
)800(
2
1
m14.0
)(desciende
m198.02
)(compresión
14.57. La masa A y B deslizan sin rozamiento a lo largo de una barra. El muelle, que
en su configuración libre tiene 0.8m de longitud, esta comprimido hasta la posición que se muestra. El sistema, que inicialmente esta en reposo, se suelta A y B realizando un impacto plástico. El muelle no tiene masa. a) ¿Cuál será la velocidad de las masas después de que B recorra 0.2m? b) ¿Cuál será la perdida de energía mecánica del sistema?
Solución
Datos:
mNK
kgM
kgM
B
A
1000
1
2
mLi 8.0
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
19
mxi 5.03.08.0
Impacto Plástico o Inelástico (e = 0) Hallando la velocidad para A (inicial)
22
2
1000)(
2
10 mVxK
22 2)5.0(1000 V
smVAi 18.11
Como el impacto es plástico:
BfAf VV Ambos llevan la misma velocidad
P.C.C.M:
BBfAAfBBiAAi mVmVmVmV
)12()2(18.11 fV
a) smV f 45.7
b) Pérdida de Energía
if EEE
22
2
1
2
1AAVmMVE
22 )18.11)(2(2
1)45.7)(12(
2
1E
99.12425.83E
Pérdida de Energía J74.41
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
20
Cinética de Leyes de Newton de un Cuerpo Rígido 16.80. Una barra AB, inicialmente en reposo, de 3m de longitud y un peso de 445N se
muestra inmediatamente después de haberse soltado. Calcular la fuerza de tracción en los cables EA y DB en ese instante.
Solución
Torque en el CIR:
I
)12
1()
4
33(445 22 mbml
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
21
Donde:
4.5)33(15 22b
)4.512
3(445)
4
33(445 2
2
2426.0s
rad
Torque en A:
AAI
)426.0(3)81.9
445(
3
1)3()
4
33(445 2
2T
01.2462T N
Torque en B:
BBI
)426.0(3)81.9
445(
3
1)
2
º30cos3(445)º30cos3( 2
1T
81.2011T N
16.81. La barrara AB se suelta en la configuración que se muestra. ¿Cuáles serán las
fuerzas de soporte en ese instante si despreciamos el rozamiento? La barra pesa 900N y tiene 6m de longitud.
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
22
Solución
Mediante ley de senos:
Luego, haciendo torque en C.I.R
I
)12
1()º45cos3923.4º15cos3(900 22 mdml
Reemplazando valores:
NW 900
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
23
)8879.312
6(
81.9
900)208.0(900 2
2113.0
srad
Torque respecto a B:
BBI
26)81.9
900(
3
1)º30cos6()º15cos3(900 AF
038.209AF N
Torque respecto a A:
AAI
26)81.9
900(
3
1)º15cos3(900)º45(cos6 BF
2.874BF N
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
24
Cinética de Trabajo y Energía de un Cuerpo Rígido 17.5. Considerar que la biela AB es una barra delgada de 1kg de masa, y calcular la
energía cinética para los datos que se dan.
Solución
srad
s
rad50
60
min1.
min3000
Hallando VB: smVB 75.3075.050
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
25
)4308.0(BV )4308.0(75.3
srad705.8
rVA
smVA 81.3438.0705.8
Luego por cinética:
ACGBCG VVV
)ˆº30075.0ˆº30cos075.0(ˆ50 jsenikVCG
)ˆ)º22.73(ˆ)º22.73cos()(2
225.0(ˆ705.8 jsenik
jiVCGˆ53.3ˆ937.0
smVCG 65.3
EC (Energía Cinética de la barra)
22
2
1
2
1ImVE
ABC
222 )705.8).(225.0)(1(12
1(
2
1)65.3)(1(
2
1ABCE
JEABC 82.6
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
26
17.6. Dos bielas idénticas CB y AB están articulada entre si en el punto B. La biela B
esta articulada con el bloque D que pesa 225N. Cada biela tiene 600mm de longitud y pesa 45N. La biela BA gira en sentido opuesto al de las agujas del reloj con una velocidad angular constante w de 3rad/s. Calcular la energía cinética del sistema cando BA este orientada (a) formando un anulo de 60º con la vertical y (b) formando un ángulo de 90º con la vertical (esta ultima posición se muestra en el diagrama con línea discontinua).
Solución
Datos:
srad
ucNW
W
Barras
D
3
)(45
225
smV
ABCG 9.0)3.0(0.3
srad
BC 3
)ˆcos6.0ˆ6.0(ˆ3 jisenkVBCCG
)ˆcos3.0ˆ3.0(ˆ3 jisenk
jseniVBCCG
ˆ6.0ˆcos7.2
)ˆcos6.0(ˆ3)ˆcos6.0(ˆ3 jkjkVC
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
27
iVCˆcos6.3
a) Para θ =60º
smV
ABCG 9.0
smV
BCCG 56.1
smVC 8.1
22222
2
1
2
1
2
1
2
1CBCABBCABC MVIImVmVE
22222 )8.1(81.9
225
2
1)3()6.0(
81.9
45
12
1)56.1(
81.9
45
2
1)9.0(
81.9
45
2
1º60CE
JEC 83.45º60
b) Para θ =90º
smV
ABCG 9.0
smV
BCCG 9.0
0CV
222 )3()6.0(81.9
45
12
1)9.0(
81.9
45
2
12º90CE
JEC 95.4º90
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
28
Cinética de Cantidad de Movimiento de un Cuerpo Rígido
17.83. Un cilindro escalonado tiene 50kg de masa y un radio de giro de 1.2. Un boque
A de 25kg esta soldado al cilindro. Si en la configuración que se muestra el muelle no presenta deformación y si constante K es de 0.1N/mm. ¿Cuál será la velocidad angular del cilindro después de girar 90º? Suponer que el cilindro rueda sin deslizar.
Solución Datos:
mNK
m
kgm
kgm
C
A
100
2.1
50
25
IC
)2
1()3.05.1)((25)()45.0( 22 dmImgxF AACR
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
29
))8.1()2.16.0)(25(12
1)2.1)(50(
2
1()8.1)(81.9(25)5.1
2(100 2222
Am
278.2s
rad
dt.
).........(.......... Ict
Si t = 0 ; ω =0
t
2
2
1attVd O
2)5.1(2
1)5.1(
2t
78.2t
st 063.1
srad96.2
)063.1)(78.2(
17.83. Un cilindro A de 150N de peso y un radio de giro de 100mm se coloca sobre una cinta transportadora que se esta moviendo con una velocidad constante VB = 10m/s. Hallar la velocidad deleje del cilindro para el instante t = 5s. El coeficiente de rozamiento entre el cilindro y la cinta es de 0.5.
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
30
Solución
Datos:
st
smV
mT
NW
5
10
1.0
150
smVO 10
ff
t
mVmVdtF0
En dirección x:
º30cos5.0 WFr Conservación de Energía:
FO EE Pérdida
xFmVhmgImV rAFFOO
2222
2
1
2
1)(
2
2
2
1
2
1
)º30)(150(225.0
210)1.0(
81.9
150
8
1)10(
81.9
1502
22 xsen
xV
V )2
3)(150(
2
1
25.0
2)1.0(
81.9
150
2
1
81.9
1502
22
Resolviendo:
).....(..........18.2035.2018048.85 2 IVx
DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada
31
Para t = 5s
tVV
x O .2
52
5 Vx
Reemplazando en (I)
smV 7.18