EL MODO HELMHOLTZ DE DOS OSCILADORES PARADIGMÁTICOS:
EL SISTEMA MASA RESORTE Y EL PÉNDULO
Dr. Reinaldo Welti – UNR - FCEIAMaterial preparado para el Taller TA2 de REF 17 – Sept 2011
Modos de oscilación de una botella
L
Si la botella se comporta como un tubo cerrado abierto, la longitud de onda del modo más bajo sería del orden de 4L,y su frecuencia f1 sería del orden de
c/4L,
donde c es la velocidad del sonido
Los dos primeros modos de un tubo abierto – cerrado
-0.6
00.6
y(u
nida
des
arbi
tria
s)
O L x
-0.6
00.6
y(u
nida
des
arbi
tria
s)
O L x
-0.6
00.6
y(u
nida
des
arbi
tria
s)
O L x
l
f1 = c/4l
f2 = 3c/4l
Si la botella no tiene cuello = tubo abierto cerrado
La frecuencia del modo más bajo de la botella con cuello es mucho menor. Esto significa que la longitud de onda de este modo es mucho
mayor que la longitud característica de la botella
m
keq
m
keq
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05
0
5
10
15
x (cm)
pre
sió
n (
línea c
intinua)
velo
cid
ad (
línea a
tra
zos)
Si la longitud de onda es “grande”, las funciones que describen las ondas de desplazamientos y de presión son “casi” rectas.
Sólo energia potencial eléstica
Sólo energia cinética
Para el estudio de su primer modo la botella puede considerarse como de “parámetros concentrados”
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05
0
5
10
15
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05-10
-5
0
5
10
x (m)
x (m)
pres
ión
(lín
ea c
onti
nua)
ve
loci
dad
(lín
ea a
traz
os)
[uni
dade
s ar
bitr
aria
s]
primer modo
segundo modo
(a)
(b)
Se observa que en el 2º modo las energías potencial y cinética se distribuyen sobre toda la botella. El sistema debe ser analizado como
de parámetros distribuidos.
Un interesante problema de elasticidad
OSCILADOR MASA RESORTE
¿porqué en muchos libros al sistema masa resorte se lo pone sobre una superficie horizontal?
En ausencia de campo gravitatorio
Estiramiento producido por el
campo gravitatorio
22
( )2
mg mgu x x x
kL kL
x
L
x
( )2
mgu x L
k
En ausencia de campo gravitatorio
Estiramiento producido por el
campo gravitatorio
22
( )2
mg mgu x x x
kL kL
x
L
x
( )2
mgu x L
k
Si al sistema se lo perturba se
generan ondas
Las ondas son análogas a las que se excitan en un
tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro
Se comporta igual que la botella sin el cuello
desplazamiento longitudinal
posi
ció
n de las e
spiras e
n e
l equili
brio
1er. modo
2do. modo
Resorte para mostrar las ondas longitudinales
Es un típico sistema de parámetros distribuidos
A la búsqueda de un “cuello” para el resorte
Se tiene que deformar poco (módulo de Young grande)
La masa tiene que ser lo suficientemente grande para que su energía cinética sea mayor que la del resorte
Cómo convertirlo en un sistema de parámetros concentrados
Líneas continuas: primer modo
Líneas a rayas: segundo modo
-0.6 0 0.6
y (unidades arbitrias)x
O
L-0.6 0 0.6
y (unidades arbitrias)x
O
L-0.6 0 0.6
y (unidades arbitrias)
O
L
x-0.6 0 0.6
y (unidades arbitrias)
O
L
x
Líneas continuas: primer modo
Líneas a rayas: segundo modo
-0.6 0 0.6
y (unidades arbitrias)x
O
L-0.6 0 0.6
y (unidades arbitrias)x
O
L-0.6 0 0.6
y (unidades arbitrias)
O
L
x-0.6 0 0.6
y (unidades arbitrias)
O
L
x
Figura 3. Los dos primeros modos de oscilación de un sistema masa-resorte,
para 1m M (gráfica de la izquierda) y para 0M (gráfica de la derecha).
Nueva posición
de equilibrio
m
M
Efecto de la masa M sobre la forma de los modos: el primer modo es casi rectilíneo.
La frecuencia del segundo modo es más de 10 veces más alta
-1 0 1
y (unidades arbitrias)
O
l
x
-1 0 1
y (unidades arbitrias)
O
l
x
Figura 5. Los dos primeros modos de oscilación de un péndulo: línea continua (1º modo), línea a rayas (2º modo).
Figura 6. La forma que toma el péndulo durante una oscilación según Galileo.
EL PÉNDULO
En la Fig. 6 se muestra un dibujo de Galileo basado en observaciones de las oscilaciones de un péndulo cuando la masa suspendida es
pequeña (del orden de la masa de la cuerda). Palmieri (2009) afirma que Galileo conocía la existencia de los llamados modos de
oscilación (“modos latentes de oscilación”) y que el péndulo se mueve en una superposición de sus diferentes modos. Si esto ocurre el
movimiento del péndulo deja de ser periódico.
Palmieri afirma que esta es la causa por la cual Galileo en sus experimentos para demostrar el isocronismo insistía en utilizar hilos
delgados de masa despreciable comparada con la masa suspendida en su extremo.
En este caso la frecuencia del segundo modo es muy grande (30 veces más grande que la frecuencia fundamental) y, por lo tanto, oscila
solamente en su modo fundamental.
desolazamiento longitudinal del resorte
long
itud
del r
esor
te