xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
¿En qué intervalos la función crece (decrece.)?
x
y
A
B
C
D
E
F
G
H
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(DEFINICIÓN: Una función f es creciente en un intervalo I, si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I
Es decreciente en I si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en I
Nota:Una función que es creciente o decreciente en I se llama monótona en I.
MONOTONIA DE UNA FUNCIÓN
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
5x12x4x3)x(F 234
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(Si f es continua en [a; b] y es diferenciable en (a; b):
a)si f’(x) > 0 x en (a; b), entonces f es creciente en [a; b]
b)si f’(x) < 0 x en (a; b), entonces f es decreciente en [a; b].
PRUEBA DE LAS FUNCIONES MONÓTONAS:
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
• COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE LAS FUNCIONES
1x
x3)x(f
2
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
Criterio de la Primera Derivada para Extremos Locales
Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c entonces:
• Si f ’ cambia de positivo a negativo en c, entonces f tiene un valor máximo local en c.
• Si f ’ cambia de negativo a positivo en c, entonces f tiene un valor mínimo local en c.
• Si f ’ no cambia de signo en c, entonces f no tiene un valor extremo local en c.
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
Ejemplos
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
Ejemplos
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
Ejemplos
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
COMENTARIOS
•Es importante notar que en los puntos de extremos locales la derivada puede ser cero, no existir o ser infinita.
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA PUNTOS ESTACIONARIOS
TEOREMA:• Sea f una función derivable dos
veces en (a-r,a+r) tal que a es un punto estacionario de f, f’(a)=0, entonces:
• Si f”(a)<0, en a hay un máximo local.
• Si f”(a)>0, en a hay un mínimo local.• Si f”(a)=0 el criterio no decide.
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
EJEMPLO
• Determine los puntos de máximo y mínimo local de la función f cuya regla de correspondencia es :
2xa) f ( x) e ( x x) 1 3/b) f ( x) x
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
NOTAS IMPORTANTES
• Es importante notar que este criterio sólo puede emplearse una vez que hemos confirmado que estamos en presencia de un punto estacionario.
• Note que cuando f ”(x) es nula en el punto estacionario, entonces puede ocurrir cualquier cosa.
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
CONCAVIDAD
• Sea f una función derivable en el intervalo (a,b).
• i) La función f se dice que es cóncava hacia arriba (convexa) si la curva y = f(x) se encuentra por encima de cualquier tangente a ella en el intervalo (a,b).
• ii) La función f se dice cóncava hacia abajo (cóncava) si la curva y = f(x) se encuentra por debajo de cualquier tangente a ella en el intervalo (a,b).
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
INTERVALOS DE CONCAVIDAD
• Sea y = f(x) dos veces diferenciable en un intervalo I.
• A) Si y” > 0 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia arriba.
• B) Si y” < 0 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia abajo.
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
Indicar los intervalos de concavidad
x
y
A
B
C
D
E
F
G
H
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
EJEMPLOS
• Determine los intervalos de concavidad de las siguientes funciones:
4 3 212 48 50
21
y x x x
y ln( x )
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
PUNTOS DE INFLEXION
• Sea f una función continua en un intervalo I, y x=a un punto de su interior de modo que f tiene derivada finita o infinita en dicho punto.
• El punto (a,f(a)) de la gráfica y=f(x) se llama punto de inflexión si al pasar por dicho punto el sentido de la concavidad cambia.
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
EJEMPLOS
• Determine los puntos de inflexión de la gráfica de las funciones definidas como:
0x,x
0x,x)x(h
0x,senx
0x,x)x(g
x)x(f
3
2
2
3/1
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
GRÁFICAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES
Graficar las siguientes funciones:
1x
1xy)a
2
3/2x3xy)b
1x
1
ey)c
x1x
1y)d
xsinx
0xx
lim
b
a
dxxf )(
EJERCICIOS ADICIONALES
xsensenx2y)e 2
02x
f ) y senx, x
2g) y x(ln x)2
2 5x
h) yx