- 2015 –
1. ¿Qué tan lejos viaja la luz en el vacío en 1,0 ns, sabiendo que su velocidad es de 3,0 x 108 �� ?
R.: d = ct =3,0 x 108 �� x 1,0 ns = 3,0 x 108x1,0x10-9 m = 3,0 x 10-1 m = 0,30 m = 30 cm
2. ¿Cuántas revoluciones hace el segundero de un reloj en tres años, si no hay año bisiesto en el
intervalo?
R.: El segundero da una revolución en 60 s. Además, en 3 años hay 3x365x24x3600 s, por lo que el
segundero da en ese tiempo �� ������ rev = 3x365x24x60rev = 1576800rev. Como
en el año tiene 365 días, se están usando 3 cifras significativas, por lo que la respuesta debe
expresarse como 1,58 x 106 revoluciones.
3. La siguiente figura muestra la indicación de un voltímetro en la toma de cierta diferencia de
potencial. ¿Cuál de los siguientes reportes es el correcto?
Lectura N° 01: �, ! ± #, $ V
Lectura N° 02: �, ! ± #, ! V
Lectura N° 03: �, % ± #, $ V
Lectura N° 04: �, % ± #, ! V
R.: De la posición de la aguja se puede asegurar que la medida es menor que 5,5 V y mayor que 5,1
V, por lo que la lectura debe hallarse entre 5,2 V y 5,4 V. Por tanto, la medida deberá reportarse
como �, % ± #, $ V.
4. Si se miden los lados de un cuadrado, obteniéndose 10 cm con una exactitud del 1 %, ¿cuál
es el área del cuadrado con su incertidumbre asociada?
R.: El área del cuadrado es de 100 cm2, siendo su incertidumbre relativa
∆'' = (∆(() = 2 ∆(( = 2*0,01+ = 0,02, de donde la incertidumbre absoluta viene a ser
∆A = 0,02A = 0,02*100cm + = 2cm , luego, la respuesta es A = (100 + 2) cm2.
5. (a) Calcule la altura de un cilindro de radio R que tiene el mismo volumen de una esfera de
radio R. ¿Cuál es la incertidumbre en la altura si la del radio es del 1 %? (b) Demuestre que el
cilindro tiene un área superficial mayor que la esfera.
R.: (a) Como los volúmenes son iguales, se cumple que V/01 = V2�3, de donde πR h = �π67 , de tal
manera que la altura pedida es h = �6 .
En cuanto a la incertidumbre absoluta de la altura, ésta quedará expresada por ∆h = 8986 ∆R = �∆6 .
La incertidumbre relativa estará expresada por ∆99 = :∆;7 .:;7 = ∆66 , es decir, es igual a la incertidumbre
relativa del radio, por lo que coinciden también las incertidumbres porcentuales. Luego, la
incertidumbre en la altura es del 1 %.
(b) Áreasuperf/010ABCD = 2πRh + 2πR = 2πR F�6 G + 2πR = Hπ6) + 2πR = I�π6)
= 4,7πR
Áreasuperf2�32CJ = 4πR , de donde queda demostrado que el área superficial del cilindro es
mayor que el de la esfera.
6. Si el radio interior de un recipiente cilíndrico está dado por K# ± ∆K y su altura por L# ± ∆L,
¿cómo debe expresarse el volumen con su incertidumbre?
R.: El volumen del cilindro está dado por
V = πR� H� ± F8N86 ∆R + 8N8O ∆HG = πR� H� ± *2πR�H�∆R + πR� ∆H+
7. Calcular la cantidad de movimiento de una partícula de masa M= (120,00 + 0,05) kg y
velocidad V = (20,0 + 0,4) m/s, con la correspondiente incertidumbre.
R.: P0 = M0V0 = 120,00(20,0) kg.m/s = 2 400 kg.m/s, con ∆P = M�∆V + V�∆M = 120*0,4+ +20*0,05+ kg. m/s = (48+1) kg.m/s = 49 kg.m/s ≈ 50kg. m/s. La cantidad de movimiento es,
entonces, P=(2,40 + 0,05) x 102 kg.m/s.
8. Si se conoce el área de un círculo de radio V# con una exactitud del 2 %, ¿con qué exactitud se
determinará el volumen de una esfera de radio !V#?
R.: La incertidumbre relativa en el área del círculo está dada por
∆''W = X*Y+XZ ∆C
πCW) = CWπ
πCW) ∆r = ∆CCW = 0,02 , de donde la incertidumbre relativa en el radio es ∆CCW = 0,01
La incertidumbre relativa en el volumen está dada por
∆NNW = [X\XZ[∆C:π7 * CW+7 = �π* CW+) * +∆C:π*]ZW7+7= * πCW)+∆C πCW7 = ∆CCW = 0,03. Es decir, el volumen de la esfera de radio
2r� se determinará con una exactitud del 3 %.
9. Dos estudiantes, A y B, miden la resistencia eléctrica del mismo dispositivo obteniendo los
siguientes resultados:
Estudiante A: !� ± � ohmios Estudiante B: %! ± ^ ohmios
¿Es significativa la discrepancia de 7 ohmios en los resultados?
R.: La discrepancia no es significativa ya que, en este caso, los márgenes de error se superponen
en un intervalo muy grande, pudiendo ser correctos ambos resultados.
10. Si una fuerza de !�#, !� ± #, #_`se distribuye perpendicularmente a una superficie de
!, �� ± #, #�a�!, calcular la presión con su incertidumbre absoluta, relativa y porcentual.
R.: b� = cWdW = ��, � ,��×I�f: Pa = 98,137 × 10� Pa
Incertidumbre absoluta: ∆b = cW∆dhdW∆cdW) = *!�#,!�+i�,��×I�f:jhi!,��×I�f:j*�,��+*!,��×I�f:+) Pa
∆b = �,��I �I���,�� �×I�f] Pa = 19399Pa ≈ 1,9 × 10� Pa
El resultado final debe reportarse como
b = *98,1 ± 1,9+ × 104 Pa
Incertidumbre relativa: 0,0198
Incertidumbre porcentual: 1,98 %
11. Un estudiante mide la longitud de un péndulo simple y considera que su mejor estimación
es 110 mm y el intervalo en el que probablemente se encuentra la longitud es de 108 a 112 mm.
¿Cómo debe expresarse este resultado?
R.: 110 ± 2 mm
12. Un estudiante de la FIME determina la aceleración debido a la gravedad, k, midiendo el
tiempo l que tarda una piedra en caer desde una altura m, habiendo obtenido que l = $, n ±#, $� y m = _n, ! ± #, %opq�. ¿Qué resultado obtuvo, con la incertidumbre correcta? ¿Qué se
puede concluir? ¿Cómo se puede mejorar el resultado?
R.: De la fórmula ℎ = I gs se obtiene t = uv) , lo que lleva a t� = *��, +*I,�+) w02��) = 36,1 w02��) .
La incertidumbre relativa en t es ∆xxW = ∆uuW + 2 ∆vvW = �,��, + 2 �,II,� = 0,007 + 2*0,063+ = 0,133,
y la absoluta es ∆t = 36,1 × 0,133 w02��) = 4,80 w02��) , con lo que la respuesta correcta es
k = %n ± � opq��!
Ya que el valor conocido de t es 32 w02��) , puede concluirse que el resultado obtenido es bastante
coherente con el valor conocido ya que este último cae en los márgenes de error del estudiante.
Mejorar el resultado significa mejorar la medida de los datos. Observando las incertidumbres de la
altura y del tiempo se aprecia que les corresponde valores de 0,7 % y 6,3 %, respectivamente, lo
que permite sugerir mejorar la calidad de la medición del tiempo de caída, procurando disminuir
su incertidumbre relativa a fin de disminuir la incertidumbre relativa de t.
13. Justifique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
(a) El SI clasifica las unidades de medida como fundamentales, suplementarias y derivadas.
(b) La medida 4 030 kg puede tener solamente 3 ó 4 cifras significativas.
(c) El error experimental puede ser debido a las equivocaciones del experimentador.
(d) Si una expresión es dimensionalmente homogénea, entonces es correcta.
R.: (a) FALSO. Actualmente, en el SI se consideran solo unidades fundamentales y derivadas.
(b) VERDADERO. El “cero” del orden de las unidades puede o no ser significativo. Los otros tres
dígitos son significativos, por lo cual solo puede haber en total 3 ó 4 cifras significativas.
(c) FALSO. El error experimental aparece siempre, por mucho cuidado que se ponga al efectuar
la medición. Las equivocaciones del experimentador son fallas que no deben darse en una
actividad experimental y se consideran como errores graves.
(d) FALSO. Por ejemplo, la expresión 60m + 20m = 100m es dimensionalmente homogénea,
pero es incorrecta.
14. En la medida del tiempo de caída de un objeto desde cierta altura se han obtenido las
siguientes observaciones. Determinar el valor más probable y la incertidumbre asociada.
R.:
t� = ∑ t0I�I10 = 12,39s10 = 1,239s
σ� = z∑ *t0 − t�+ I�In*n − 1+ = z∑ *t0 − t�+ I�I 10*9+= z∑ 0,003609I�I 10*9+
σ� = }0,0000401s = 0,0063s
La sensibilidad del instrumento permite apreciar un
error de 0,01 s.
La incertidumbre absoluta se estimará mediante la expresión
∆s = √0,0000401 + 0,0001s = √0,0001401s = 0,011836 s ∆s = 0,012s
Luego, el resultado deberá expresarse como t = *1,239 ± 0,012+s
15. En la medición del voltaje proporcionado por una fuente, se obtuvo la tabla siguiente:
n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
V(voltios) 27,34 27,27 27,26 27,30 27,31 27,32 27,30 27,34 27,31 27,29
Determinar cómo deberá expresarse la medida
R.: El promedio viene a ser el valor más probable, obteniéndose
V� = ∑ tV0I�I10 = 273,04s10 = 27,304s
La sensibilidad del instrumento indica un error de medición de 0,01 V
N 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
t (en s) 1,20 1,25 1,23 1,24 1,23 1,24 1,26 1,25 1,27 1,22
N° t( s) ti-tm (s) (ti-tm)2 (s)
2
01 1,20 -0,039 0,001521
02 1,25 0,011 0,000121
03 1,23 -0,009 0,000081
04 1,24 0,001 0,000001
05 1,23 -0,009 0,000081
06 1,24 0,001 0,000001
07 1,26 0,021 0,000441
08 1,25 0,011 0,000121
09 1,27 0,031 0,000961
10 1,22 -0,019 0,000361
σ� = z∑ *V0 − V�+ I�In*n − 1+ = z∑ *V0 − V�+ I�I 10*9+ = z0,0062410*9+ V = 0,008326V ≈ 0,0083V
La incertidumbre absoluta se estimará mediante la expresión
∆V = }6,933 × 10�� + 0,0001V = }0,00016933V = 0,013012V
Por lo anterior, la medida deberá expresarse como V = *27,304 ± 0,013+voltios.
16. Una carga cuya masa es M está colgada de muelle. Durante el equilibrio el peso de la carga
se compensa por la tensión del muelle. Para alargar el muelle en h respecto de la posición de
equilibrio se necesita aplicar la fuerza F, proporcional a h (F=kh). Una fuerza de la misma
magnitud pero de sentido contrario, tiende a volver la carga a su posición inicial una vez
transcurrido el tiempo t. Determinar el tiempo t en función de h, M y k.
R.: La expresión para el tiempo deberá darse como t = ChJM�k/, donde C es una constante
adimensional. Las dimensiones de k vienen dadas por
�k� = ��9� = MLT� L�I = MT�
y las de t, por
�t� = LJM�*MT� +/ = LJM�T� /M/= LJM�h/T� / = L�M�TI.
n V(voltios) (Vi – Vm) (voltios) (Vi – Vm)2 (voltios)
2
01 27,34 0,036 0,001296
02 27,27 -0,034 0,001156
03 27,26 -0.044 0,001936
04 27,30 -0,004 0,000016
05 27,31 0,006 0,000036
06 27,32 0,016 0,000256
07 27,30 -0,004 0,000016
08 27,34 0,036 0,001296
09 27,31 0,006 0,000036
10 27,29 -0,014 0,000196
Igualando los exponentes para bases iguales, se concluye que a = 0, c = −1/2yb = 1/2, por lo
que el tiempo se expresa como
t = CMI/ k�I/ = C���
17. Sobre un cuerpo de masa M actúa una fuerza constante F en el tramo h. Determinar la
velocidad v adquirida por el objeto al final del recorrido, sabiendo que una fuerza constante de
100,0 N aplicada sobre un cuerpo de 2,0 kg, en un recorrido de 4,0 m permite adquirir la
velocidad de 20,0 m/s.
R.: La velocidad adquirida se expresará en función de la fuerza, la longitud del tramo y la masa del
objeto: v = CFJM�h/, de donde, usando el análisis dimensional, resulta
LT�I = MJLJT� JM�L/ = MJh�LJh/T� J,
de donde a =1/2, b = −1/2 y c = 1/2 y la expresión pedida será v = CFI/ M�I/ hI/ = C��9� .
Tomando en cuenta los valores numéricos señalados,
C = v� ��9 = *20,0+� ,�*I��,�+*�,�+ = �,�√ �� = �,�I�√ = √2,
por lo cual, la expresión definitiva es
v = � �9� .
18. Justificar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
(i) Una constante numérica es de dimensión igual a 1.
(ii) La exactitud requiere precisión, pero la precisión no requiere exactitud.
(iii) Un error de calibración es un tipo de error aleatorio.
(iv) El estado del medio ambiente en que se realizan los experimentos da origen a errores
sistemáticos.
(v) El error relativo de un cociente es igual al de un producto.
R.: (i) FALSO; una constante numérica tiene dimensiones nulas (o iguales a 0) respecto de las
magnitudes fundamentales.
(ii) VERDADERO; Un instrumento puede dar sucesivamente valores muy próximos entre sí, pero
muy alejados del verdadero, con lo cual estaríamos ante un instrumento muy preciso pero
bastante inexacto. En cambio, de darse que cierto instrumento resulte exacto, necesariamente los
datos que se tomen con éste deben ser muy próximos entre sí, con lo cual se prueba que la
exactitud requiere de precisión.
(iii) FALSO; se trata de un tipo de error sistemático, ya que puede corregirse o compensarse.
(iv) VERDADERO; el estado del medio ambiente puede ser controlado con lo cual puede
corregirse o compensarse el error así originado.
(v) VERDADERO; veamos:
* Error relativo de un cociente
EC21J� = ∆ZZ = 1y ∆x + xy ∆yxy = ∆xx + ∆yy = EC21*+ + EC21*�+
* Error relativo de un producto
EC21J� = ∆ZZ = y∆x + x∆yxy = ∆xx + ∆yy = EC21*+ + EC21*�+
En ambos casos, el error relativo es el mismo e igual a la suma de los errores relativos de los
datos.
19. Se tienen los vectores ��� = _�� + !�� + ��� , �� = −!�� + !�� + �� y a� = �� − !�� − !�� . Hallar:
(a) El área del paralelogramo determinado por los extremos de tales vectores.
(b) Si los orígenes de �� � a� están en los puntos (1,1,1) y ( 2,-1,2), determinar por métodos
vectoriales la ecuación de la recta que pasa por los extremos tales vectores.
(c) La proyección escalar sobre ��� del vector que une los orígenes de �� � a�.
(d) Un vector unitario no nulo paralelo a ��� y perpendicular a �� + a�.
(e) Los cosenos directores del vector resultante.
R.: (a) Sean P(4,2,5),Q(-2,2,1) y R(1,-2,2) los extremos de los vectores a��, b��y c�. Hallamos:
PQ������ = −6ı� − 4k��, PR������ = −3ı� − 4ȷ� − 3k��,
PQ������ X PR������ = � ı� ȷ� k��−6 0 −4−3 −4 −3� = *0 − 16+ı� − *18 − 12+ȷ� + *24 − 0+k�� = −16ı� − 6ȷ� + 24k��
�PQ������XPR������� = �−16ı� − 6ȷ� + 24k��� = }16 + 6 + 24 = √256 + 36 + 576 = √868 = 29,5u
R
P Q
Resp.: área del paralelogramo = 29,5u
(b) Hallamos las coordenadas de los extremos de b��y c�:
b�� = −2ı� + 2ȷ� + k�� = ix′, y′, z′j − *1,1,1+, de donde *x′, y′, z′+ = *−2,2,1+ + *1,1,1+ = *−1,3,2+;
c� = ı� − 2ȷ� − 2k��=*x′′, y′′, z′′+ − *2, −1,2+,con*x′′, y′′, z′′+ = *1, −2, −2+ + *2, −1,2+ = *3, −3,0+;
Dado que m����//n��, se cumple n�� = km����; es decir:m���� = *3, −3,0+ − *−1,3,2+ = *4, −6, −2+ y n�� = *x, y, z+ − *−1,3,2+ = *x + 1, y − 3, z − 2+ implica que k*4, −6, −2+ = *x + 1, y − 3, z − 2+
de donde: k = hI� = − ��� = − ¢� es la ecuación de la recta.
© El vector que une los orígenes de b��y c� es p�� = *2, −1,2+ − *1,1,1+−= ı� − 2ȷ� + k��; el vector unitario de a��es u�� = J��J = �£�h ¤�h�����√I�h�h � = �£�h ¤�h�����√�� = �£�h ¤�h�����√� ; Luego, la proyección escalar
de p��sobreu�� es
/ p��. u��/=/iı� − 2ȷ� + k��j. ¦�£�h ¤�h�����√� § /= ���h�√� = √� .
(d)b�� + c� = −2ı� + 2ȷ� + k���+ ı� − 2ȷ� − 2k�� = −ı� − k��. Debe cumplirse que λa��. ib�� + c�j = 0.
Veamos: λi4ı� + 2ȷ� + 5k��j. *−ı� − k��+= λ*−4 − 5+ = −9λ = 0,de donde se concluye que no
existe el vector pedido.
(e) La resultante es a�� + b�� + c� = 3ı� + 2ȷ� + 4k��. Los cosenos directores son:
Cosα = 3√9 + 4 + 16 = 3√2929
Cosβ = √¨h�hI� = √ ¨ ¨
Cosδ = �√¨h�hI� = �√ ¨ ¨
20.- El producto mixto ���.*�� © a�) nos da el volumen del paralelepípedo determinado por los
vectores no coplanares ���, �� � a�.
(a) Calcule el volumen del paralelogramo de la figura, sabiendo que O(2,1,1), A(4,3,3), B(3, 6 ,6) y
C(3,-3,8)
(b)D.q. los vectores ��� = −%�� + _�� + %�� , �� = �� + !�� + �� � a� = −�� + %�� + !�� son coplanares.
R.:
(a) De la figura,a�� = *4,3,3+ − *2,1,1+ = 2ı� + 2ȷ� + 2k��,b�� = *3, 6,6+ − *2,1,1+ = ı� + 5ȷ� + 5k�� y c� = *3, −3,8+ − *2,1,1+ = ı� − 4ȷ� + 7k��.
b�� X c� = � ı� ȷ� k��1 5 51 −4 7� = *35 + 20+ı� − *7 − 5+ȷ� + *−4 − 5+k�� = 55ı� − 2ȷ� − 9k��
a��.*b��x c�)=i2ı� + 2ȷ� + 2k��j. i55ı� − 2ȷ� − 9k��j= 110 – 4 – 18 = 110 – 22 = 88
(b) Si son coplanares, el producto mixto debe ser nulo:
b�� X c� = � ı� ȷ� k��1 2 1−1 3 2� = *4 − 3+ı� − *2 + 1+ȷ� + *3 + 2+k�� = ı� − 3ȷ� + 5k��
a��.*b��x c�)=i−3ı� + 4ȷ� + 3k��j. iı� − 3ȷ� + 5k��j= - 3 – 12 + 15 = -15 +15 = 0, como quería probarse.
21. Hallar la constante “a” de modo que los vectores sean coplanarios o��� = !�� − �� + �� ,ª��� =
�� + !�� − %�� y V� = %�� + ��� + ��� sean coplanarios.
R.: Para que los vectores sean coplanarios, su producto mixto debe ser cero:
q�� X r� = � ı� ȷ� k��1 2 −33 a 5 � = *10 + 3a+ı� − *5 + 9+ȷ� + *a − 6+k�� = *10 + 3a+ı� − *14+ȷ� + *a − 6+k��
p��.*q��x r�)=i2ı� − ȷ� + k��j. **10 + 3a+ı� − *14+ȷ� + *a − 6+k��+ = 20 + 6a +14 + a – 6 = 28 + 7a = 0,
de donde a = −4.
22. Demostrar que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
R.: Sean los vectores de la figura y <ABC el ángulo inscrito en la semicircunferencia.
¬
®
�̄�� °��� ±
Hallemos p��.q��:
p��.q�� = iAO������ + OB������j. iOC������ − OB������j = AO������. OC������ − AO������. OB������ + OB������. OC������ − OB������. OB������
p��.q�� = R − R Cosβ + R Cosβ − R = 0, y donde β es la medida de
< BOC.
Como el producto escalar es nulo, se concluye que el ángulo inscrito en una
semicircunferencia es un ángulo recto.
23. Hallar la ecuación del plano perpendicular a �́�� = !�� + %�� + n�� y que pasa por el extremo del
vector µ��� = �� + ��� + %�� (ver fig.)
R.: PQ������ = B��� - r� es perpendicular a A���, por lo que ( B��� - r�). A��� = 0.
Expresando lo anterior en coordenadas rectangulares, se tiene
ixı� + yȷ� + zk��j. i2ı� + 3ȷ� + 6k��j − i2ı� + 3ȷ� + 6k��j. iı� + 5ȷ� + 3k��j = 0
2x + 3y + 6z – 2 – 15 - 18 = 0
2x +3y + 6z = 35 es la ecuación del plano requerida.
24. ¿Cuáles proposiciones, de las siguientes, son verdaderas y cuáles son falsas?
Justifique.
l. Es posible que la suma de dos vectores unitarios sea otro vector unitario.
ll. Un vector solo puede tener tres componentes como máximo.
lll. Si el modulo de un vector es 3 y el modulo de otro es 4, su suma vale 5.
R.:
I. VERDADERO, lo cual se da cuando el ángulo entre los vectores que se suman es de 120°. En este
caso, al seguir el método del triángulo se construye un triángulo equilátero.
II.FALSO, ya que siempre se pueden hallar muchos vectores que sumados entre sí permitan
obtener el vector dado.
III. FALSO, ya que depende del ángulo entre los vectores que se van a sumar. Solo si éste ángulo es
de 90° y los sumandos de 3 y 4 unidades, la resultante será de 5 unidades.
25. Hallar el vector unitario tangente a la curva ¶ = l − l!, · = l!, ¸ = l + l! , en el
punto t=1.
R.: ¹º¹s = »*1 − 2s+|v½I = −1
¹¾¹s = »*2s+|v½I = 2
¹¿¹s = »*1 + 2s+|v½I = 3
Vector unitario tangente:
À� = −Á� + 2Â� + 3Ã��}*−1+ + *2+ + *3+ = −Á� + 2Â� + 3Ã��√15
26. Hallar un vector unitario perpendicular a la superficie del paraboloide de revolución
¸ = ¶! + ·!, en el punto *$; !; �+.
R.: Escribimos la función de superficie Å*º; ¾; ¿+ = º2 + ¾2 − ¿ y evaluamos el gradiente de
esta función:
∇���φ = ∂φ∂x ı� + ∂φ∂y ȷ� + ∂φ∂z k�� = 2xı� + 2yȷ� − k��
120°
R B=1
A=1
60°
En el punto *1; 2; 5+, ∇���φ = 2ı� + 4ȷ� − k�� es un vector normal a la superficie y un vector unitario
normal o perpendicular a la misma en dicho punto es
É�� = 2ı� + 4ȷ� − k��}*2+2 + *4+2 + *−1+2 = 2ı� + 4ȷ� − k��√21
27. Si se da el vector Ê��� = *ËÌÍÎlÏ� + ÍÐÑÎlÒ�+, donde y Î son constantes y l un escalar,
se pide: (a) hallar: ÓÊ���Ól y [ÓÊ���Ól[ ; (b) D.q. Ê��� y
ÓÊ���Ól son perpendiculares.
R.:
(a) ÔÕ��Ôv = Ö×i−ØÙÚ×sÛ� + ÜÝØ×sÞ�j y
ß¹à�¹s ß = Ö×}*−ØÙÚ×s+2 + *ÜÝØ×s+2 = Ö×
(b) ÔÕ��Ôv = Ö×i−ØÙÚ×sÛ� + ÜÝØ×sÞ�j y
à� ∙ ÔÕ��Ôv = Ö ×i−ÜÝØ×sØÙÚ×sÛ� + ØÙÚ×sÜÝØ×sÞ�j = 0,
concluyéndose que à�y ÔÕ��Ôv son vectores perpendiculares entre sí.
28. Si el módulo del vector diferencia de dos vectores es √! , entonces esos vectores deben:
a) ser colineales. b) ser paralelos. c) ser perpendiculares.
d) ninguna respuesta anterior es correcta.
R.:
* Si dos vectores son colineales o paralelos, del mismo sentido, pero el módulo de uno de ellos es
2√2 y el del otro√2, el módulo de la diferencia es √2 .
* Si se tienen dos vectores unitarios perpendiculares entre sí, el módulo de su resultante debe ser
√2.
De lo anterior se concluye que la respuesta correcta es la d).