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1
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.•Definiciones•Triángulos esféricos. Triangulo polar•Propiedades de los triángulos esféricos•Superficie de un triángulo esférico
Tema 2: Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.
•Fórmulas de Bessel•Teorema del coseno•Teorema del seno•Teorema de la cotangente•Teorema del coseno para los ángulos
• Funciones del ángulo mitad•Analogías de Gauss-Delambre•Analogías de Neper•Distancia esférica entre dos puntos
Tema 3: Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. •Triángulos esféricos rectángulos•Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos•Triángulos esféricos rectiláteros
Índice2
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Circunferencia máxima o ciclo: es la intersección de una esfera con un plano que pasa por su centro.
Plano
Esfera
Índice3
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Circunferencia menor: es la intersección de una esfera con un plano que no pasa por su centro.
Plano
Circunferencia menor
Esfera
Índice4
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Distancia esférica entre dos puntos de una superficie esférica: Es la longitud del menor arco de circunferencia máxima entre dos puntos.
Índice5
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Ángulo esférico entre dos ciclos: Es el ángulo formado por las tangentes a las semicircunferencias en uno de sus puntos de contacto.
Índice6
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
El ángulo esférico es el correspondiente al diedro formado por los planos de los dos ciclos.
Índice7
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Polos de un ciclo: Son los extremos de un diámetro perpendicular al plano de un ciclo trazado por el centro de la esfera.
Índice8
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Triángulo esférico: Es la porción de superficie esférica comprendida entre tres arcos de ciclo que se cortan dos a dos.
Longitud del ciclo 360º 2 r
Longitud del arco grados del arco L
• Ángulos: A, B y C son los ángulos planos de cada diedro.
Cálculo de los lados:
Elementos del triángulo:
• Vértices: A, B y C son los puntos de intersección de los arcos de ciclo.
• Lados: a, b y c son los lados del triángulo, son arcos, son expresados en unidades angulares.
Índice9
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Triedro: si se unen los vértices de un triángulo esférico con el centro de la esfera, se obtiene un triedro.
O
A
B
C
c
b
a
Triángulo esférico: es la intersección de la esfera con las tres caras del triedro.
Ángulos: A, B y C miden los ángulos planos de cada diedro.
Lados: a, b y c son los lados del triángulo, son los ángulos respectivos de cada cara del triedro.
AOC b AOB c
BOC a
Vértices: A, B y C son la intersección de las aristas del triedro con la esfera.
Índice10
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Propiedades de los triángulos esféricos:
1. Cualquier lado de un triángulo esférico es menor que 180º.
2. Cada lado del triángulo esférico verifica: |a – b | < c < a + b.
3. La suma de los ángulos de un triángulo esférico verifica:
180º < A + B + C < 540º
EXCESO ESFÉRICO: A + B + C – 180º.
Sigue
Índice11
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Propiedades de los triángulos esféricos (continuación)
4. La suma de los lados de un triángulo esférico verifica:
0º < a + b + c < 360º
DEFECTO ESFÉRICO: 360º - (a + b + c)
5. En un triángulo esférico se verifica: a = b ⇔ A = B.
6. En un triángulo esférico se verifica: a > b ⇔ A > B
Índice12
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Dos triángulos esféricos entre sí pueden ser:
• Adyacentes: si tienen un lado común.
• Simétricos: si los vértices de uno de ellos son diametralmente opuestos a los vértices del otro.
• Opuestos por el vértice: si tienen un vértice común.
Índice13
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Tipos de triángulos esféricos:
1. Equilátero: si tiene los tres lados iguales.
2. Isósceles: si tiene dos lados iguales.
3. Rectángulo: si tiene uno o más ángulos rectos.
Nota.
Un triángulo esférico se llama rectilátero si tiene al menos un lado recto.
Índice14
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Criterios de igualdad de triángulos esféricos.
Dos triángulos esféricos son iguales si tienen iguales:
1. Tres lados.
2. Tres ángulos.
3. Dos ángulos y el lado adyacente.
4. Dos lados y el ángulo comprendido.
Índice15
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Triángulos esféricos polares.
El vértice Ap es el polo del cicloOBC, perteneciente al mismo hemisferio que el vértice A del triángulo inicial ABC.
Bp es el polo del ciclo OAC queestá en el mismo hemisferio que el vértice B.
Cp es el polo del ciclo OAB quepertenece al mismo hemisferio que el vértice B.
El triángulo esférico ApBpCp se llama triángulo polar del ABC
Dado el triángulo esférico ABC:
Índice16
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Los triángulos esféricos polares poseen la siguiente relación:
“Cada ángulo de un triángulo esférico es suplementario de un lado de su triángulo polar.”
Es decir:
Ap = 180º - a ap = 180º - A
Bp = 180º - b bp = 180º - B
Cp = 180º - c cp = 180º - C
Índice17
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Queremos calcular el área del triángulo esférico ABC.
Para ello, consideramos los cuatro triángulos esféricos que forman la mitad de la superficie esférica que se ve.
S= área del t. ABC
S’= área del t. A’BC
S’’= área del t. AB’C
S’’’= área del t. A’B’C
Se cumple que:
24' '' '''
2
rS S S S
Sigue
Superficie de la esfera de radio r: 24 r
Superficie de un triángulo esférico.
Índice18
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
24' '' '''
2
rS S S S
24' '' ''' 2 2
2
rS S S S S S
24
' '' ''' 22
r
S S S S S S S
De la expresión anterior podemos pasar a la
igualdad: y agrupando de dos
en dos triángulos formando husos esféricos.
2 24 4
'' ''' 2360º 2
r r
S S S S S
2 2 24 4 4
''' 2360º 360º 2
r r r
S S S
2 2 2 24 4 4 42
360º 360º 360º 2
r r r rS
º180180º
r S
2
Despejando S:
En este caso, al ser opuestos por el vértice se forma el huso esférico con el triángulo esférico simétrico del A’B’C que tiene la misma área.
Índice19
Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.
Superficie de un triángulo esférico.
Superficie de un polígono esférico:
Siendo: A1, A2, …,An ángulos del polígono n = nº de lados del polígono
Siendo: r = radio de la esfera y , , γ = ángulos del T. esférico
º180180º
r S
2
180º2)-n(A...AA180º
r S n21
2
Polígono esférico: es la porción de superficie esférica comprendida entre una poligonal cerrada, cuyos lados son arcos de circunferencia máxima.
Índice20
Tema 2: Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.
Fórmulas de Bessel: teorema del coseno para lados, teorema
del seno, teorema de la cotangente, teorema del coseno para
ángulos.
Fórmulas de Briggs. Analogías de Gauss-Delambre. Analogías
de Neper.
Distancia esférica entre dos puntos.
Índice21
Federico Bessel.Matemático y Astrónomo alemán (1784-1846).Director del Observatoriode Konigsberg.Fórmulas de Bessel.
FÓRMULAS DE BESSEL
Objetivo: poder calcular un lado o un ángulocualquiera, en un triángulo esférico,a partir del conocimiento de otros tres elementos de dicho triángulo.
A
B
C
c
a
b
Clasificación de las Fórmulas de Bessel
1er Grupo de Bessel. Teorema del coseno para lados.
2º Grupo de Bessel. Teorema del seno.
3º Grupo de Bessel. Teorema de la cotangente.
4º Grupo de Bessel. Teorema del coseno para ángulos.
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice22
1ª Fórmula de Bessel.- Teorema del coseno para lados
A
B
C
c
a
b
Enunciado del Teorema del coseno para lados:
En todo triángulo esférico, el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos delos otros dos lados, más el producto de lossenos de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido.- Es decir:
cos a = cos b · cos c + sen b · sen c · cos A.
cos b = cos a · cos c + sen a · sen c · cos B.
cos c = cos a · cos b + sen a · sen b · cos C.
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice23
Conceptos previos
H
O
A
B
C
hc
a
c
P
r
rbM
90º
90ºN
a) Definición de altura esférica.
Se llama altura esférica hc (CH)del triángulo esférico ABC sobreuna esfera de radio r al arco del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C.
b) Proyecciones.
Proyección de C sobre el plano OAB
produce P.
Proyección de P sobre la recta OA es N
Proyección de P sobre la recta OB es M
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice24
Conceptos previos. Continuación
H
Ohc
90º
90ºN90º
M
b
P
A
B
C
r
r a
c
90º
c) Triángulos formados:
N P
C
A .P
C
M
B. b
O N
C C
M O
a
cos A = NP
CN
cos B = CMPM
cos b = rON
sen b = rCN
cos a = rOM
sen a =r
CM
r r
Aclaración de ángulos
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice26
Demostración: Teorema del coseno
N P
C
A .
P
C
M
B.
b
O N
C
C
M O
a
cos B = CMPM
cos a = rOM
sen a =r
CM
cos b = rON
sen b = rCN
OM = r · cos a
CM = r · sen a
ON = r · cos b
CN = r · sen b
Acos CN P N
B cos CM PM Sustituyendo CN yCM
PM = r · sen a · cos B
P N = r · sen b · cos A
r
r
II)
III)
IV)
V)
Tema 2. Trigonometría esférica.
cos A = PN
CN
Índice27
A
B
C
hc
a
c
Pr
rbM90º
90ºN
Demostración Teorema del coseno (Continuación).
a cosr OM )OCProyOB
(
c cosb cosr c cosON OG )ONProyOB
(
O
.
.
B
H
AN
P
MG
OJ c
c sen Acosb senr
c senP N JP GM )P NProyOB
(
Por tanto:
GM OG OM
r. cos a = r· cos b· cos c + r·sen b· cos A· sen c
Simplificando (dividir entre r):
cos a = cos b· cos c + sen b· sen c· cos A
a
cc
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice28
Demostración Teorema del coseno (Continuación).
Análogamente para los cosenos de los lados “b” y “ c”.
Se tendría:
cos b = cos a · cos c + sen a · sen c · cos B
cos c = cos a · cos b + sen a · sen b · cos C
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Permiten calcular: Los ángulos, conociendo los tres lados. Un lado, conociendo los otros dos y el ángulo comprendido.
Índice29
Enunciado del Teorema del seno
En todo triángulo esférico, los senos de los
lados son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos, es decir:
C sen
c sen
B sen
b sen
Asen
a sen
A
B
C
c
a
b
2ª Fórmula de Bessel.- Teorema del seno
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Permiten calcular un lado o un ángulo, conociendo su ángulo opuesto, o lado opuesto, y otro par de elementos opuestos.
Índice30
Demostración: Teorema del seno
H
Ohc
90º
90ºN
90º
M
b
P
A
B
C
r a
c
90º
N P
C
A .b
sen A = CP
CN
sen b = rCN
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Se llama altura esférica hc (CH) del triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio r al arco del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C.
c c
CPsen CP r sen
rh h
CP CN sen A
CN r senb
y sustituyendo:
chsen
CP r sen b sen A
Necesitamos calcular CP:
y ahora CN:
Índice31
Demostración: Teorema del seno
r
P
C
M
B.
sen B = CM
CPIII)
C
M O
a
sen a =r
CMIV)
CP CM sen B
B sen
b sen
Asen
a sen Simplificando
yordenando
CM r sen a
Despejando:
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Asen b sen r CP
B sen a sen r CP Igualando: Asen b sen r B sen a sen r
Análogamente, volvemos a calcular CP:
Despejando:
y sustituyendo:
chsen
CP r sen a sen B
y ahora CM:
Índice32
Demostración: Teorema del seno. (Continuación)
Trazando la altura esférica ha sobre el lado a, se
probaría la relación:
C sen
c sen
B sen
b sen
Asen
a sen
Por tanto:
C sen
c sen
B sen
b sen
c.q.d
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice33
Aplicación práctica del Teorema del seno
A
B
C
a
b
c
Razonar si puede, al menos, existir un triángulo esférico con los
elementos siguientes:
a = 30º 53’ b = 31º 09’ A = 87º 34’
Solución:
Tenemos dos lados y un ángulo no comprendido.
Aplicamos el Teorema del seno:
Asen
a sen
B sen
b sen
a sen
b sen Asen B sen
; Despejamos sen B:
. Sustituyendo por los datos:
30º53' sen
31º09' sen 34' 87º sen B sen 1,006862 > 1. Luego NO EXISTE
triángulo esférico
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice34
3
Por el teorema del coseno y del seno se tiene:
3er grupo del Teorema del seno3ª Fórmula de Bessel.- Teorema de la cotangente
C sen Asena sen
c sen
C cosb sena sen b cosa cos c cos
Acosc senb sen c cosb cos a cos
A
B
C
c
a
b
Sustituyendo cos c y sen c en la primera fórmula obtenemos:
cos a = cos b(cos acos b + sen asen bcos C) + Asen
a sensen Ccos A sen b
Simplificando:
cos a = cos acos 2 b + cos b sen asen bcos C + sen bsen C cot A· sena
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice35
Pasamos el 1er sumando del 2º término al 1er miembro:
cos a – cos acos2 b = cos bsen asen bcos C + sen bsen asen Ccot A
Sacamos factor común cos a en el 1er término:
cos a (1 – cos2b) = cos bsen asen bcos C + sen bsen asenC cotA
Teorema de la cotangente (continuación)
cos asen2 b = cos b sen a sen bcos C + sen b sen a sen C cot A
R.F.T
• Dividimos ambos miembros por sen asen b, se tiene:
cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice36
De forma análoga y por permutación, se tiene:
cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A
cot a sen c = cos c cos B + sen B cot A
cot b sen a = cos a cos C + sen C cot B
cot b sen c = cos c cos A + sen A cot B
cot c sen a = cos a cos B + sen B cot C
cot c sen b = cos b cos A + sen A cot C
Teorema de la cotangente (continuación)
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice37
4ª Fórmula de Bessel.- Teorema del coseno para ángulos
Recordar:
Triángulo Polar: Dado el triángulo ABC, hallamos el polo Cp del lado c más próximo al vértice C. Del mismo modo determinamos el polo Bp del lado b y el polo Ap del lado a.
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice38
Aplicando el Teorema del Coseno para lados al triángulo polar ABC, se tiene:
cos ap = cos bp cos cp + sen bpsen cpcos Ap
4ª Fórmula de Bessel.- Teorema del coseno para ángulos
Por tanto:
cos(180º - A) = cos(180º - B)cos(180º - C) + sen(180º - B)sen(180º - C)cos(180º - a)
Simplificando:
- cos A = (- cos B) (- cos C) + sen Bsen C ( - cos a)
Multiplicando la igualdad por (-1):
cos A = - cos B cos C + sen Bsen C · cos aSigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice39
Obteniéndose las fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado:
cos A = - cos Bcos C + sen Bsen Ccos a
cos B = - cos Acos C + sen Asen Ccos b
cos C = - cos Acos B + sen Asen Bcos c
Teorema del coseno para ángulos (continuación)
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice40
Funciones del ángulo mitad
Sabemos por trigonometría plana que:
21
2A cos2 (1 + cos A) AR (*)
Y por el Teorema del Coseno para lados tenemos:
cos A = c senb sencoscb cos - a cos
Sustituyendo cos A en la ecuación (*), se tiene:
cos2 21
2A (1 + c senb sen
coscb cos - a cos
) =
c senb senc cosb cos - c senb sen a cos
21
c) cos(b -
Sigue
=
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice41
Funciones del ángulo mitad (continuación)
sencb sen2
a - c bsen
2c b a
sen
sencb senc) cos(b - a cos
21
=
Recordar:
• cos A – cos B = - 2 2
B-Asen
2BA
sen
• sen (- A) = - sen A
Llamamos: a + b + c = 2 p (perímetro) b + c – a = 2p – 2a = 2(p – a)
Sustituyendo nos queda:c senb sen
a) - sen(pp sen
2A
cos2
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice42
Funciones del ángulo mitad (continuación)
Por tanto:c senb sen
a) - sen(pp sen
2A
cos
Análogamente, si partimos de: sen2 21
2A (1 - cos A)
Se obtiene:c senb sen
c) - sen(pb) - (p sen
2A
sen
Efectuando el cociente, se tiene:
a) - (p senp senc) - sen(pb) - (p sen
2A
cos
2A
sen
2A
tg
Estas fórmulas permiten calcular los ángulos de un triángulo esférico, conocidos tres lados o bien el perímetro y dos lados.
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice43
Ejemplo de aplicación de las Funciones del ángulo mitad
En un triángulo isósceles los lados miden: b = c = 60º, a = 90º.
Calcula A, B y C
Solución
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
16" 28' 109º A 3
2 sen arc
2
A
tanto por3
2
sen60º
sen45º
sen60º
)60º-sen(p
2
Asen
2pcba
c senb sen
c)-sen(pb)-sen(p
2
Asen
Sigue
Índice44
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Ejemplo de aplicación de las Funciones del ángulo mitad
Cálculo de B:
C = B = 54º 44’ 08” ; A = 109º 28’ 16”
Índice45
Analogías de Gauss - Delambre
Partimos de:2B
sen2A
sen - 2B
cos2A
cos 2B
2A
cos
Sustituyendo por las fórmulas del ángulo mitad:
b sena senb) - sen(pa) - sen(p
c senc) - sen(p
-
- b sena sen
b) - sen(pa) - sen(pc senp sen
c sensena
c) - sen(pa) - sen(pc senb sen
c) - sen(pb) - sen(p
- c sena sen
b) - sen(pp senc senb sen
a) - sen(pp sen
2B
2A
cos
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice46
Analogías de Gauss - Delambre (continuación)
“sen C/2 se pasa al 1ermiembro”
Por tanto:
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
A B 2p-c ccos 2cos sensen p - sen(p - c)2 2 2 2 C c ccsen 2sen cossen 22 2
Simpli
2
ficando
2
a bcos
2c
cos2
Índice47
Analogías de Gauss - Delambre (continuación)
2C
sen
2BA
cos
2c
cos
2ba
cos
Luego:
De forma análoga:
2C
cos
2BA
sen
2c
cos
2ba
cos
2C
sen
2BA
cos
2c
sen
2ba
sen
2C
cos
2BA
sen
2c
sen
2ba
sen
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice48
Analogías de Neper
Calculemos:2
BAtg
2C
cot
2ba
cos
2b-a
cos
2C
sen
2c
cos
2ba
cos
2C
cos
2c
cos
2b-a
cos
2BA
cos
2BA
sen
2BA
tg
Por tanto:
2BA
cot
2ba
cos
2b-a
cos
2C
tg
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice49
Analogías de Neper (continuación)
De forma análoga se obtienen:
2BA
cot
2ba
sen
2b-a
sen
2C
tg
Y para el lado c:
2
b-atg
2BA
sen
2BA
sen
2
ctg
2
batg
2BA
cos
2BA
cos
2
ctg
Fórmulas que permiten resolver un triángulo esférico conocidos dos lados y el ángulo comprendido, ó bien dos elementos y el opuesto a uno de ellos, usando previamente el teorema del seno
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice50
Dadas las coordenadas geográficas de doslugares, hallar la distancia esférica que lossepara.
Punto A Longi
Latit
tud
ud C
OC
A
Punto B Longi
Latit
tud
ud D
OD
B
• Se pide calcular la distancia AB.• PGP’ es el meridiano de Greenwich.• El triángulo esférico a estudiar es PAB.
• CD = OD (Longitud de B) – OC(Longitud de A).• CD es la medida del ángulo P en el triángulo esférico PAB.
Distancia esférica entre dos puntos
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice51
En el triángulo esférico PAB:
Conocemos PA: (90º – Latitud de A).Conocemos PB: (90º – Latitud de B).Conocemos el ángulo P que es CD.
Queremos calcular AB, es decir p:Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados.cos p = cos a· cos b + sen a· sen b· cos P
cos p = cos(90º- Latitud del punto B) · cos(90º- Latitud del punto A) +
sen(90º- Latitud del punto B) · sen(90º- Latitud del punto A) · cos P
p
Distancia esférica entre dos puntos (continuación)
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice52
Punto A.
Longitud = 4º 05’ 10’’ W.Latitud = 44º 36’ 0’’ N.
Punto B.
Longitud = 12º 10’ 0’’ E.Latitud = 40º 10’ 20’’ N.
El meridiano de Greenwich está entre los meridianos de A y B.
El ciclo EDF es el ecuador.
El arco DF es el valor del ángulo esférico en P y es la suma de las long. de A y B.
Los ciclos PAD y PBF son los meridianos respectivos de A y B.
Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos.
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice53
El arco AP es el lado b del triángulo esférico APB y su valor es el ángulo complementario al arco DA.
El arco BP es el lado a del triángulo esférico APB y su valor es el ángulo complementario del arco FB.
Se pide calcular el arco AB, es decir p en el triángulo esférico PAB.
Teorema del coseno para lados:
cos p = cos a · cos b + sen a · sen b · cos P
Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos.(continuación)
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice54
p = arc cos (0’975724) = 12º 46’ 05”.
Calculemos a, b, p.
a = 90º - Latitud de B = (90º - 40º 10’ 20” N) a = 49º 49’ 40”.
b = 90º - Latitud de A = (90º - 44º 36’ 0”N) b = 45º 24’ 0”.
P = Longitud A + Longitud B = = 4º 05’ 10” + 12º 10’ 0” = 16º 15’ 10”. P = 16º 15’ 10”.
cos p = cos(49º 49’ 40”)·cos(45º 24’) + sen(49º 49’ 40”)·sen(45º 24’)·cos(16º 15’10”)
Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos (continuación)
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice55
p = arc cos(0’9752724) = 12º 46’ 05”
Considerando la Tierra esférica con radio R = 6.373 km, el valor de un ciclo es 2πR = 40.042 km.
Un grado de ciclo valdrá:
El arco 12º 46’ 05” en grados son: 12’76º.
La distancia AB en km es 12,76 · 111,2 km = = 1.418,9 km.
40.042 / 360º = 111,2 km por grado
Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos (continuación)
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice56
Resolución de triángulos esféricos
Resolver un triángulo esférico es conocer sus tres lados y sus tres
ángulos.
Se pueden presentar los siguientes casos:
1. Se conocen tres lados.
2. Se conocen tres ángulos.
3. Se conocen dos lados y el ángulo comprendido.
4. Se conocen dos ángulos y el lado comprendido.
5. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
6. Se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice57
Resolución de triángulos esférico: 1er caso
Se conocen tres lados y se quieren conocer los tres ángulos.
Ejemplo
Datos: a = 39º 27’ 42’’; b = 71º 13’ 15’’; c = 54º 02’ 02’’
Incógnitas: A, B, CSolución
Aplicación del teorema del coseno para lados:
cos a = cos b · cos c + senb · senc· cos A
Despejamos cos A, es decir:
'55' 27' 40º A 0,7607976
0,766279
0,5829833
c sen b sen
c cosb cos - a cos A cos
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice58
Resolución de triángulos esférico: 1er caso
'45' 48' 104º B
810,25565376- 20,51440119
30,13150860-
c sena sen
c cosa cos - cosb B cos
Ángulo B:
Ángulo C:
'12' 44' 55º C
270,56299001 210,60172857
650,33876717
b sena sen
b cosa cos - c cos C cos
SiguePropiedades triángulos
esféricos
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice60
Resolución de triángulos esférico 1er caso
La solución del problema es:
A = 40º 27’ 55’’
B = 104º 48’ 45’’
C = 55º 44’ 12’’
Se puede observar que cumple todas las propiedades de los triángulos esféricos.
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice61
Resolución de triángulos esférico: 2º caso
Se conocen tres ángulos y se quiere calcular los tres lados:
Ejemplo
Datos: A = B = 52º 14’ 24’’; C = 82º 12’ 03’’
Incógnitas: a, b, c.Solución
Comprobamos que se trata de
un triángulo esférico:
A + B + C = 186º 40’ 51’’
Luego: 180º < A + B + C < 540º
Para resolver este 2º caso se aplica el teorema del coseno para ánguloscos A = - cos B · cos C + sen B · sen C· cos a.
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice62
Resolución de triángulos esférico: 2º caso
'29' 23' 27º a 90,88788397 C sen B sen
C cosB cos - A cos a cos
Se despeja cos a del teorema del coseno para ángulos:
Como a = b A = B. Luego: b = 27º 23’ 29’’
Se aplica otra vez el teorema del coseno para ángulos, esta vez para
el ángulo C: cos C = - cos A · cos B + sen A · sen B· cos c.
Despejamos cos c y nos queda:
'30' 12' 35º c 650,81706074 B sen A sen
B cos A cos C cos c cos
Se puede observar que cumple todas las propiedades de los triángulos esféricos.
Propiedades triángulos esféricos
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice63
Resolución de triángulos esférico: 3º caso
Se conocen dos lados y el ángulo comprendido.
Ejemplo
Datos: a = 73º 58’ 58’’; b = 38º 45’ 00’’; C = 46º 33’ 41’’
Incógnitas: A, B, c
Solución
Para resolver este caso se utiliza el teorema
del coseno para lados. En este ejemplo se
aplica dicho teorema para calcular el lado c.
Una vez calculado el lado c, se vuelve aplicar
dicho teorema para calcular los ángulos A y B
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice64
Resolución de triángulos esférico: 3º caso
Teorema del coseno para lados:
cos c = cos a · cos b + sen a · sen b · cos C .
Sustituyendo los datos nos queda:
cos c = 0,62885370 c = 51º 02’ 03’’
• Ahora ya conocemos los tres lados.
Se vuelve aplicar el teorema del coseno para lados.
cos a = cos b · cos c + sen b · sen c · cos A despejando cos A, se tiene:
cos A = - 0,440764432 A = 116º 09’ 9’’
• Cálculo del ángulo B.
cos b = cos a · cos c + sen a · sen c · cos B despejando cos B, se tiene:
cos B = 0,81136809103 B = 35º 46’ 12’’
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice65
Resolución de triángulos esférico: 4º caso
Se conocen dos ángulos y el lado comprendido.
Ejemplo.
Datos: A = 40º 30’; B = 109º 20’; c = 120º 10’
Incógnitas: C, a, b.Solución
Para resolver este caso se utiliza el teorema
del coseno para ángulos. En este ejemplo
se aplica dicho teorema para calcular el
ángulo C.
Una vez calculado el ángulo C, se vuelve aplicar dicho teorema para
calcular los lados a y b. Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice66
Resolución de triángulos esférico: 4º caso
Teorema del coseno para ángulos:
cos C = - cos A · cos B + sen A · sen B · cos c .
Sustituyendo los datos nos queda:
cos C = - 0, 0562122 C = 93º 13’ 20’’
• Ahora ya conocemos los tres ángulos.
Se vuelve aplicar el teorema del coseno para ángulos.
cos A = - cos B · cos C + sen B · sen C · cos a despejando cos a, se
tiene: cos a = 0,82684229724 a = 34º 13’ 27’’
• Cálculo del lado b.
cos B = - cos A · cos C + sen A · sen C · cos b despejando cos b, se
tiene: cos b =0,57637105996 b = 54º 48’ 15’’
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice67
Resolución de triángulos esférico: 5º caso
Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.EjemploDatos: a = 42º 42’ 12’’; A = 37º 45’; b = 65º 36’Incógnitas: B, C, c
Solución
En este caso disponemos de dos valores como posibles soluciones. Se darán los siguientes pasos:1. Se aplica el teorema del seno para calcular el ángulo B y decidiremos si tiene 1 ó 2 soluciones (según las propiedades de los triángulos esféricos).2. Se aplica las fórmulas de Neper para calcular el lado c. 3. Se aplica el teorema del coseno para lados para calcular el ángulo C,
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice68
Resolución de triángulos esférico: 5º caso
Teorema del seno para calcular el ángulo B:
a sen
b sen A sen B sen
B sen
b sen
Asen
a sen Sustituyendo los datos
Sen B = 0,822079446783.
Hay dos posibles soluciones ya que el seno es positivo en el 1er cuadrante
y el 2º cuadrante, siendo ambas soluciones menores que 180º. Estas
soluciones son: B1 = 55º 17’ 36’’ ; B2 = (180º - 55º 17’ 36’’) = 124º 42’ 23’’
¿Son válidas ambas soluciones? Se tiene que comprobar la propiedad de
los triángulos esféricos: a > b ⇔ A > B para todos los lados del
triángulo esférico. En este caso a < b A = 37º 45’ < B, pero esto lo
cumplen ambos ángulos Hay dos soluciones. Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice69
Resolución de triángulos esférico: 5º caso
Primera solución
Datos: a = 42º 42’ 12’’; A = 37º 45’; b = 65º 36’; B1= 55º 17’ 36’’
Incógnitas: c1, C1
Solución: Para calcular el lado c1, aplicamos la fórmula de Neper:
2
batg
2BA
cos
2BA
cos
2
ctg
1
1
1
Cálculos:
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice70
Resolución de triángulos esférico: 5º caso
90,43155548 - b sen a sen
b cos a cos - c cos C cos 1
1
Por tanto:
c1 = 87º 52’ 38’’
Cálculo del ángulo C1, se utiliza el teorema del coseno para lados:
C1 = 115º 33’ 58’’
Sigue
Triángulo solución 1:
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice71
Segunda solución
Datos: a = 42º 42’ 12’’; A = 37º 45’; b = 65º 36’; B2= 124º 42’ 23’’
Incógnitas: c2, C2
Resolución de triángulos esférico: 5º caso
2
batg
2BA
cos
2BA
cos
2
ctg
2
2
2
060,72563562 2
'23' 57' 86º- cos
2
B -A cos
620,15249856 2
'23' 27' 162º cos
2
B A cos
2
2
Solución: Para calcular el lado c2, aplicamos la fórmula de Neper:
Cálculos:
361,38407174 2
b a tg
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice72
Resolución de triángulos esférico: 5º caso
50,87496695 b sen a sen
b cos a cos - c cos C cos 1
2
Por tanto:
c2 = 32º 26’ 12’’
Cálculo del ángulo C2, se utiliza el teorema del coseno para lados:
C2 = 28º 57’ 32’’
Triángulo solución 2:
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice73
Resolución de triángulos esférico: 6º caso
Se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
Ejemplo
Datos: C = 42º 12’ 20’’; B = 83º 34’ 15’’ ; b = 74º 18’ 02’’
Incógnitas: a, c y A SoluciónEn este caso disponemos de dos valores como posibles soluciones. Se darán los siguientes pasos:1. Se aplica el teorema del seno para calcular el lado c y decidiremos si tiene 1 ó 2 soluciones (según las propiedades de los triángulos esféricos).2. Se aplica las fórmulas de Neper para calcular el lado a . 3. Se aplica el teorema del coseno para lados para calcular el ángulo A,
Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice74
Resolución de triángulos esférico: 6º caso
B sen
b sen C sen c sen
B sen
b sen
C sen
c sen
Teorema del seno para calcular el lado c:
= 0,65082377777
Puede haber dos soluciones:c1 = 40º 36’ 13’’ y c2 = (180º - 40º 36’ 13’’) = 139º 23’ 46’’
¿Son válidas ambas soluciones?
Se tiene que comprobar la propiedad
de los triángulos esféricos: B > C b > c,
esta propiedad solo se cumple para la
1ª solución. Luego rechazamos c2 = 139º 23’46’’Sigue
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Índice75
Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.
Resolución de triángulos esférico: 6º caso
2
cbtg
2CB
cos
2CB
cos
2
atg
2
a
Solución única del problema:
Datos: C = 42º 12’ 20’’; B = 83º 34’ 15’’ ; b = 74º 18’ 02’’; c = 40º 36’ 13’’
Incógnita: a, A.
• Analogía de Neper para el lado a:
= 0,76322043565 = 37º 21’ 6’’
a = 74º 42’ 11’’
• Cálculo del ángulo A, mediante el teorema del coseno para lados:
5430,09317902 c sen b sen
c cos b cos - a cos A cos
A = 84º 39’ 13’’
Índice76
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Un triángulo esférico se llama rectángulo si tiene uno o más
ángulos rectos.
Para hallar las fórmulas relativas a los triángulos rectángulos
basta sustituir un ángulo por 90º en las fórmulas generales
obtenidas anteriormente. Sea el ángulo recto A, sen A = 1,
cos A = 0 y apliquemos a los diferentes teoremas estos valores:
Sigue
Índice77
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Teorema del coseno para lados
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
Sustituyendo A = 90º cos 90º = 0 cos a = cos bcos c
Teorema del seno
C senc sen
B senb sen
Asena sen
B senb sen
90º sena sen
1
sen b = sen a sen B
C senc sen
90º sena sen sen c = sen asen C Sigue
Índice78
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Teorema de la cotangente
• cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A
Sustituyendo A = 90º cot A = 0. Por tanto:
cot asen b = cos b cos C + 0 Trasladamos “cos b” al 1er miembro y
“cot a” al 2º miembro. Nos queda: tg b = tg a cos C
• cot a sen c = cos c cos B + sen B cot A
Sustituyendo A = 90º cot A = 0. Luego:
cot asen c = cos ccos B + 0 Trasladamos “cos c” al 1er miembro y
“cot a” al 2º miembro. Nos queda: tg c = tg acos BSigue
Índice79
• cot b sen c = cos c cos A + sen A cot B
Sustituyendo A = 90º cos A = 0, sen A = 1. Nos queda:
cot b sen c = 0 + 1cot B tg b = sen c tg B
• cot c sen b = cos b cos A + sen A cot C
Sustituyendo A = 90º cos A = 0, sen A = 1. Nos queda:
cot c sen b = cot C tg c = sen b tg C
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Sigue
Índice80
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Teorema del coseno para ángulos
• cos A = - cos Bcos C + sen Bsen Ccos a
Sustituyendo A = 90º cos A = 0. Nos queda:
0 + cos Bcos C = sen Bsen Ccos a Despejamos “cos a”:
cos a = cot B cot C
• cos B = - cos Acos C + sen Asen Ccos b
Sustituyendo A = 90º cos A = 0, sen A = 1. Nos queda:
cos B = sen C cos b
• cos C = - cos Acos B + sen Asen Bcos c
Sustituyendo A = 90º cos A = 0, sen A = 1 cos C = sen Bcos c
Índice81
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Regla de Neper de los elementos circulares.
Las fórmulas anteriores pueden recordarse mediante la regla
descubierta por Neper.
Puestos los elementos del triángulo
esférico en los vértices de un pentágono
y en el orden que indica la figura, el
coseno de cada vértice es igual al
producto:
• De los senos de los vértices opuestos.
• De las cotangentes de los vértices
adyacentes.
Índice82
Ejemplos
• cos a = sen(90º- c) sen(90º- b) = cos ccos b
• cos a = cot B cot C
• cos B = sen C sen(90º - b) = sen C cos b
• cos B = cot a cot (90º - c) = cot a tg c
• cos C = sen B sen(90º - c) = sen B cos c
• cos C = cot a cot(90º - b) = cot a tg b
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Índice83
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Proposición
En todo triángulo esférico rectángulo, un cateto y su ángulo
opuesto son ambos agudos o ambos obtusos.
Demostración
En las fórmulas de la cotangente tenemos:
tg b = sen c tg B y tg c = sen b tg C
Como sen c y sen b siempre son factores positivos
(no puede haber ángulos mayores ni iguales a 180º)
tg b y tg c han de tener siempre el mismo signo que tg B y tg C,
respectivamente.
Índice84
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Proposición
En todo triángulo rectángulo, o los tres lados son menores de 90º,
o uno tan solo de ellos cumple con esa condición.
Demostración
•Si la hipotenusa “a” es aguda. Por el teorema del coseno para lados
tendremos:
cos a = cos b cos c. Sabemos que cos a > 0
+ = + + ó
+ = - -
Por tanto, los tres lados son agudos o solo lo es uno de ellos.Sigue
Índice85
• Si la hipotenusa a es obtusa. Por el teorema del coseno para
lados tendremos:
cos a = cos b cos c. Sabemos que cos a < 0
- = + - ó
- = - +
Por tanto, solo uno de ellos es agudo.
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Índice86
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Proposición
En todo triángulo esférico rectángulo, la hipotenusa es menor o
mayor que 90º, según que los dos catetos sean de la misma o de
distinta especie, (igual o distinto signo), respectivamente.
Demostración
Es consecuencia inmediata
de la proposición anterior.
Índice87
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
senh= senBsenc=0.562321217 h = 145 º
34º 1
47' 1
2 '
''
59 ''
90º
Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el lado “a” y decir si es interior o exterior al triángulo.
C
B
A
H
c=100º
b=40º
a=80ºh
180º-C
Si la altura sobre el lado a es interior (h), al triángulo ABC, entonces B y C han de ser ambos agudos o ambos obtusos, pues son ángulos que se oponen al cateto (h), en los triángulos rectángulo en que (h),divide al triángulo ABC.Si la altura es exterior (h), entonces han de ser B y 180º-C ambos agudos o ambos obtusos, es decir, B y C tienen distinto carácter.
h
Solución:
Por tanto, hemos de hallar primero B y C:
cosB=cosb cosa cosc
sena senc
= 0.820952891 34 49 11B º ' ''
cosC=cosc cosa cosb
sena senb
= -0.484454398 118 5 3C º 8' 6 ''
Luego al ser las soluciones válidas B = 34º 49’ 11’’<90º y C = 118º 58’ 36’’, deducimos que la altura sobre el lado a es exterior al triángulo ABC y su valor es un ángulo agudo. Considerando el triángulo ABH rectángulo en H
Índice88
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Triángulos esféricos rectángulos
Resolución de triángulos esféricos rectángulos.
Se pueden presentar los siguientes casos:
1. Se conocen dos catetos y el ángulo recto A.
2. Se conocen la hipotenusa a y un cateto.
3. Se conocen un cateto b, y su ángulo opuesto.
4. Se conocen un cateto b, y el ángulo adyacente C.
5. Se conocen la hipotenusa a y un ángulo C.
6. Se conocen tres ángulos A, B y C.
Índice89
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 1er caso
Se conocen dos catetos y el ángulo recto AEjemploDatos: b = 75º 47’, c = 102º 38’Incógnitas: a, B y C
SoluciónPara resolver este caso, mediante la regla de Neper,
Se calcula:
1. cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b)
2. cos B = cot a · cot (90º - c). Si se quiere utilizar solo
datos del enunciado, se aplica el t. de la cotangente:
c senb tg
B tg
3. cos C = cot a · cot (90º - b). Si se quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica el t. de la cotangente.
(1)
(1) (1)
(2)
(2)
(2)
Sigue
Índice90
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 1er caso
Solución1. cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b) = cos c · cos b =
= (-0,21871096) · 0,245589475 = - 0,053713109
Luego: a = 180º - 86º 55’ 15’’ = 93º 4’ 44’’
2. Cálculo de B, aplicando el t. de la cotangente
34,04506539 60,97578968
13,94713309
c sen
b tg B tg
Luego
B = 76º 6’ 50’’
3. Cálculo del ángulo C, aplicando el t. de la cotangente:
14,60250504- 10,96937395
74,46154889-
b sen
c tg C tg Luego:
C = 180º - 77º 44’ 30’’ = 102º 15’ 29’’
Índice91
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 2º caso
Se conocen la hipotenusa a y un cateto.
Ejemplo
Datos: a = 112º 42’ 36’’, b = 76º 44’ 15’’, A = 90º
Incógnitas: c, B y C.
Solución Para resolver este caso, mediante la regla de Neper,
Se calcula:
1. cos C = cot a · cot (90º - b)
2. cos B = sen C · cot (90º - c). Si se quiere utilizar
solo datos del enunciado, se aplica el t. del seno:
a senb sen
B sen
3. Cálculo del lado c: cos (90º - c) = sen a · sen C. Si se quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica el t. de la cotangente:
a tgb tg
C cos Sigue
Índice92
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 2º caso
Solución
1. Cálculo del ángulo C
cos C = cot a · cot (90º - b) =
= 0,4185141149 · 4,2426990544
= 1,775629586
Como cos C > 1 No existe tal triángulo
esférico
Índice93
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 3er caso
Se conocen un cateto b, y su ángulo opuesto.
Ejemplo
Datos: b = 34º 40’ 23’’, B = 52º 56’ 32’’, A = 90º
Incógnitas: C, a y c
Solución1. Cálculo del lado c: cos(90º - c) = cot B · cot (90º - b)
2. Cálculo de C: cos C = sen B · sen (90º - c). Si se
quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica
el t. del coseno para ángulos: cos B = cos b sen C
b cosB cos
C sen
3. Cálculo del lado a: cos a = sen(90º - c) · sen(90º - b)Aplicar solo datos del enunciado, se utiliza el t. delseno. Sigue
Índice94
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 3er caso
1. Cálculo del lado c: cos(90º - c) = cot B · cot (90º - b)
sen c = 0,6917373308 · 0,6917373084 = 0,522355942042
Por tanto: c1 = 31º 29’ 25’’. (1er cuadrante) c2 = 148º 30’ 39’’ (2º cuadrante)
2. Cálculo de C: cos C = sen B · sen (90º - c).
Cos C1 = 0,7980282263 · 0,85277275472 =
= 0,6805006520 C1 = 47º 07’ 02’’.
Solución para c2:
C2 = 132º 52’ 58’’3. Cálculo del lado a: cos a = sen(90º - c) · sen(90º - b) cos a = 0,852727547 · 0,8224116647 = 0,701293081722 a1 = 45º 28’ 09’’.2ª solución: a2 = 134º 31’ 51’’
Índice95
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 4º caso
Se conocen un cateto b, y el ángulo adyacente C.
Ejemplo
Datos: b = 41º 52’ 14’’; C = 59º 0’ 12’’; A = 90º
Incógnitas: B, a y c
Solución
1. Cálculo de B: cos B = sen C · sen (90º - b)
sen
sen
3. Cálculo del lado a: cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b) Si solo se quiere aplicar datos del enunciado, se utilizará el t. de la cotangente:
Sigue
2. Cálculo de c: cos (90º -c) = cot B · cot(90º - b). Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza el teorema de la cotangente: tg c = sen b · tg C
C cos
b tg a tg
Índice96
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 4º caso
cos B = sen C · sen (90º - b) =
= 0,85719726 · 0,744654648 = 0,638315924
Luego: B = 50º 20’ 1’’
1. Cálculo de B
2. Cálculo de c:
cos (90º -c) = cot B · cot(90º - b) sen c = cot B · tg b =
= 0,829225517 · 0,896321489 = 0,743252650c = 48º 0’ 33’’ (2ª solución = 131º 59’ 27’’ no
es válida ya que un cateto y su vértice opuesto
son ambos agudos o ambos obtusos)
3. Cálculo de a: cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b) = 0,9818267482 Luego: a = 60º 7’ 12’’
Índice97
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 5º caso
Se conocen la hipotenusa a y un ángulo C.
Ejemplo
Datos: a = 60º 07’ 13’’; C = 59º 00’ 12’’; A = 90º
Incógnitas: b, c y B
Solución 1. Cálculo de c: cos (90º - c) = sen a · sen C
2. Cálculo de B:
cos B = cot a · cot (90º - c). Si solo se quiereaplicar datos del enunciado; entonces se utiliza del teorema seno:sen c = sen a · sen C
3. Cálculo de b cos (90º - b) = sen a · sen B.
Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se
utiliza del teorema de la cotangente; tg b = tg a · cos C Sigue
Índice98
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 5º caso
1. Cálculo de c:
cos (90º - c) = sen a · sen C = 0,7432527021
sen c c = 48º 00’ 33’’ . La 2ª solución
no es válida ya que en todo t. esf. rectángulo
un cateto y su vértice opuesto son ambos
agudos o ambos obtusos.(*)
2. Cálculo de B:
cos B = cot a · cot (90º - c) = 0,6383145377 B = 50º 20’ 01’’
3. Cálculo de b:
cos ( 90º - b) = sen a · sen B = 0,6674517715 b = 41º 52’ 14’’. La 2ª solución no es válida (*)
Índice99
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 6º caso
Se conocen tres ángulos A, B y C.
Ejemplo
Datos: A = 90º, B = 50º 20’ 01’’y C = 59º 00’ 12’’
Incógnitas: a, b y c
Solución 1. Cálculo de a: cos a = cot B · cot C
2. Cálculo b: cos (90º - b) = sen B · sen a
Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza el t. del coseno para ángulos:cos B = cos b · sen C (despejar cos b)
3. Cálculo de c: cos(90º - c) = sen a · sen C
Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza el t. del coseno para ángulos: cos C = cos c · sen B (despejar cos c)Sigue
Índice100
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 6º caso
1. Cálculo de a: cos a = cot B · cot C = 0,829225517 · 0,600781440 == 0,49818330025 a = 60º 07’ 12’’
2. Cálculo de b: cos (90º - b) = sen B · sen a
sen b = 0,769774139 · 0,867070701 =
= 0,66744860244 b = 41º 52’ 14’’. La
2ª solución no es válida ya que en todo t.
esf. rectángulo un cateto y su vértice
opuesto son ambos agudos o ambos
obtusos.(*)
3. Cálculo de c: cos (90º - c) = sen a · sen C
sen c = 0,867070701 · 0,857197262 = = 0,743250631 c = 48º 00’ 33’’ (*)
Índice101
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros
Definición: Un triángulo esférico es rectilátero si uno de sus lados es un cuadrante (a = 90º).
Para hallar las fórmulas relativas a los triángulos esféricos rectiláteros
basta sustituir un lado por 90º en las fórmulas generales obtenidas
anteriormente. Si el lado recto es a, sen a = 1, cos a = 0, y apliquemos
a los diferentes teoremas estos valores.
Índice102
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros
Teorema del coseno para lados
• cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A. Se sustituye “cos a” = 0
y se pasa “cos b · cos c” al 1er miembro, nos queda:
cos b cos c = - sen b sen c cos A se despeja “cos A”
cos A = - cot b cot c
• cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B. Se sustituye “cos a = 0”
y “sen a = 1”, nos queda: cos b = sen c cos B
• cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C. Se sustituye “cos a = 0”
y “sen a = 1”, nos queda: cos c = sen b · cos C
Índice103
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros
C senc sen
B senb sen
Asena sen
Teorema del seno
Sustituyendo sen a = 1 nos queda:
Sen B = sen A sen b
Sen C = sen A sen c
Índice104
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros
Teorema de la cotangente
• cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A.
Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 0 = cos b cos C + sen C cot A
- cos b cos C = sen C cot A tg C = - tg A cos b
• cot a sen c = cos c cos B + sen B cot A
Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 0 = cos c cos B + sen B cot A
- cos c cos B = sen B cot A tg B = - tg A cos c
Sigue
Índice105
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
T. de la cotangente (continuación)
• cot b sen a = cos a cos C + sen C cot B
Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 cot b = sen C cot B
tg B = tg b sen C
• cot c sen a = cos a cos B + sen B cot C
Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 cot c = sen B cot C
tg C = tg c sen B
Índice106
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Teorema del coseno para ángulos
cos A = - cos B cos C + sen B sen C cos a
Sustituyendo cos a = 0. Nos queda:
cos A = - cos B cos C
Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros
Índice107
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros
Resolución de triángulos rectiláteros
Las fórmulas anteriores nos permiten resolver los triángulos
rectiláteros. También se pueden resolver reduciéndolos a los
casos de triángulos rectángulos, pues si a = 90º, su triángulo
polar ApBpCp es rectángulo en Ap. Resuelto el polar, se
determina el triángulo dado hallando los suplementos de los
ángulos y lados de ApBpCp.
Índice108
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros
Ejemplo
Resolver el triángulo esférico a = 90º, A = 36º 25’ 08”, c = 102º
y calcular la superficie que ocupa él y su triángulo polar sobre
una esfera de radio 1.
Solución
Lo resolveremos pasando el triángulo dado a su triángulo polar,
que será un triángulo rectángulo en A = 90º .
Recordar triángulo esféricos polares:
Dado un triángulo ABC de lados a, b, c se denomina triángulo
polar a aquel cuyos lados son ap, bp, cp son suplementarios de
los vértices A, B, C del triángulo dado, y los vértices Ap, Bp, Cp
son suplementarios de los lados a, b, c.Sigue
Índice109
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros
Cálculos: Cp = 180º - c = 180º - 102º = 78º
ap =180º- A = 180º - A = 36º 25’ 08” = 143º 34’ 52”
Datos: Cp, Ap, ap
Incógnitas: Bp, bp, cp Cálculo de Bp:
cos ap = cot Bp · cot Cp ; se despeja “cot Bp”
ppp a cos
1C tg1
B tg = 0,2125565(-1,2427020) =
= - 0,26414 Bp = 165º 12’ 13”
Sigue
Índice110
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros (continuación)
Cálculo de cp:
Aplicamos el T. del seno para triángulos rectángulos:
sen cp = sen apsen Cp
Por tanto:
sen cp = sen 143º 34’ 52” sen 78º = 0,5807107
Luego cp=
58" 29' 144º
02" 30' 35º La solución lado obtuso, no es
válida, ya que no cumple:
Cp < Ap cp < ap
Solución: cp = 35º 30’ 02”
Sigue
Índice111
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros (continuación)
Cálculo de bp:
Aplicamos el teorema del seno para calcular bp
sen bp = sen apsen Bp = 0,1483047 . Luego bp =
17" 28' 171º
43" 31' 8º
La solución lado agudo, no es válida, ya que no cumple:
Bp > Ap bp > ap
Solución: bp = 171º 28’ 17”
Sigue
Índice112
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros (continuación)
La solución pedida será:
b = 180º - Bp = 180º - 165º 12’ 13” = 14º 47’ 47”
C = 180º - cp = 180º - 35º 30’ 02” = 144º 29’ 58”
B = 180º - bp = 180º - 171º 28’ 17” = 8º 31’ 43”Superficie del triángulo pedido
)180º- 58" 29' 144º31'43" 8º08" 25' (36º 180º
)180º-CB(A180º
r S
2
Sigue
Índice113
Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros
Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros (continuación)
Superficie del triángulo polar al dado
)180º- 78º12'13" 165º(90º 180º
)180º-CB(A180º
r S ppp
2
Índice114
AYRES, F. y MOYER, R. (1991).Trigonometría. Schaum. McGraw-Hill. Madrid.
PUIG ADAM, P. (1978).Curso de Geometría métrica (tomo II). Editado por P. Puig Adam. Madrid.
UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS. (2003).Apuntes de Trigonometría esférica. Publicaciones de la EUIT Topográfica. Madrid.
VILA MITJA, A. (1993).
Elementos de Trigonometría esférica. Editado por Aula teórica.
Trigonometría esférica.
Bibliografía específica.