Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana
Estructuras de Materiales Compuestos
Resistencia de láminas
Introducción
2
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• Las láminas de compuestos son, en general, muy resistentes en la dirección de las fibras, y poco resistentes a cargas transversales o de corte en el plano.
• Los compuestos pueden sufrir diferentes tipos de fallas. Éstas pueden ocurrir en las fibras, la matriz o la interfase.
• Las fallas en la fibra son en general catastróficas llevando a la fractura del laminado.
• Las fallas en la matriz pueden ocurrir a una carga bastante menor a la de fractura del laminado.
• Estamos interesados en el comportamiento macroscópico de la falla de la lámina
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Tracción longitudinal
3
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• En tracción longitudinal, la fibra y la matriz trabajan en paralelo, es decir, a la misma deformación específica en la dirección longitudinal
• La fase con menor deformación de rotura fallará primero
• Recordando la expresión de micromecánica, la tensión presente en cada fase será:
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s1
sf
sm
sm
1 m m f fV Vs s s
sm, sf = tensión media en la matriz y fibra respectivamente
Vm, Vf = fracción volumétrica de matriz y fibra respectivamente
Tracción longitudinal
4
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• Primer caso: deformación última de la fibra menor a la deformación última de la matriz
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s1
sf
sm
sm
1
1max
1max max
m m f f
u
ft
m
f f m
f
V V
EV V
E
s s s
s s
u u
ft mt s1
1
fibras
matriz
f max mmax
sfmax
sfmax
Tracción longitudinal
5
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• En la realidad, no todas las fibras rompen al mismo tiempo
• La rotura de una fibra modifica la tensión localmente, afectando también a las fibras adyacentes
• El efecto global reduce el ancho portante en 2d
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Tracción longitudinal
6
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Dependiendo de las propiedades de los constituyentes, la rotura de una fibra produce diferentes tipos de fallas locales:
1. Fisura de la matriz transversal a la carga (matriz frágil - interfase resistente)
2. Pérdida de adherencia entre la matriz y la fibra (interface débil - alta deformación a rotura de la matriz)
3. Fisuras cónicas en la matriz (matriz dúctil - interfase resistente)
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Tracción longitudinal
7
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
A medida que se incrementa la carga, se incrementa la densidad de roturas puntuales, y la interacción produce fallas adyacentes.
Estas últimas a su vez interactúan para propagar una rotura catastrófica.
En la práctica, se oyen las fallas puntuales y la rotura catastrófica genera un ruido muy fuerte.
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Tracción longitudinal
8
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• Segundo caso: deformación última de la fibra mayor a la deformación última de la matriz
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s1
sf
sm
sm
s1
1
fibras
matriz
f maxmmax
sfmax
sfmax
u u
ft mt
1
1max
1max max
m m f f
u
mt
f
m m f
m
V V
EV V
E
s s s
s s
Tracción longitudinal
9
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• La falla inicia con la formación de múltiples fisuras de la matriz.
• Estas fisuras producen estados tensionaleslocalizados, con altas tensiones de corte en la interfase fibra - matriz
• En consecuencia se producen pérdidas de adherencia fibra - matriz, y roturas singulares de fibras.
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Compresión longitudinal
10
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• La falla esta asociada con el micropandeo de las fibras dentro de la matriz (pandeo en un medio elástico)
• Existen numerosos modelos propuestos para estimar la ocurrencia de dicho fenómeno
• Las tensiones de flexión generadas en las fibras llevan a la formación de bandas de falla (kink bands)
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Compresión longitudinal
11
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Kink bands
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La desalineación de las fibras reduce drásticamente la resistencia a compresión longitudinal del compuesto
Tracción transversal
12
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• Estado de tensión más crítico
• Caracterizado por la alta concentración de tensiones en la matriz y la interfase
• Dichas concentraciones se superponen a las tensiones residuales de la contracción de la matriz y a los efectos higrotérmicos
• La falla se caracteriza por fisuras en la matriz y pérdida de adherencia de la matriz
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Tracción transversal
13
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Las tensiones residuales del curado poseen gran influencia sobre la resistencia del compuesto a tracción transversal
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Tracción transversal
14
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
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Compuesto acondicionado en cámara térmica y ensayado en tracción transversal a temperatura
ambiente
Compresión transversal
15
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• La resistencia a compresión transversal suele ser mayor a la de tracción transversal
• La falla se suele producir en la matriz por corte o compresión
• Altas tensiones de corte en la interfase pueden generar pérdida de adherencia de la fibra y la matriz.
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Corte en el plano
16
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• Bajo cargas de corte en el plano se generan altas tensiones de corte en la interfase produciendo la falla por corte en la matriz o la pérdida de adherencia de la fibra y la matriz.
• Existen numeroso modelos para estimar la resistencia a corte en el plano
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Cargas fuera del plano
17
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• Las cargas fuera del plano pueden ser s3 , t4 , t5
• El plano 23 es un plano de isotropía
• Los modos de falla correspondientes a s3 en tracción y compresión serán los mismos correspondientes a tracción transversal y compresión transversal respectivamente
• El modo de falla correspondiente a t5 será equivalente al modo de falla correspondiente al corte en el plano
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Cargas fuera del plano
18
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• El estado de carga t4 es equivalente a una tracción y compresión de igual magnitud en un sistema tomado a 45°
• Debido a que la resistencia a tracción transversal es menor a la de compresión transversal, la falla se presentará como una falla de tracción transversal, pero con un plano de falla a 45°
• Sin embargo, la carga de falla será menor a la de tracción transversal debido a que el estado de carga en el sistema rotado es combinado
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2
3
t4 3' 4s t
2 ' 4s t
Estados de carga fundamentales
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Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
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1
2
s1 > 0 s1 < 0
s2 > 0 s2 < 0
t6 > 0
t6 < 0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Anisotropía
20
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• La resistencia de la lámina es una propiedad anisótropa
• La resistencia de la lámina es diferente para cada estado de carga fundamental
• En tensión plana, la resistencia se puede caracterizar por cinco parámetros de resistencia
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Parámetro Denominación
Resistencia a tracción longitudinal F1t
Resistencia a compresión longitudinal F1c
Resistencia a tracción transversal F2t
Resistencia a compresión transversal F2c
Resistencia a corte en el plano F6
Anisotropía
21
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Las resistencias definidas corresponden a los ejes principales de la lámina: sistema 123
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Parámetro Denominación
Resistencia a tracción longitudinal F1t
Resistencia a compresión longitudinal F1c
Resistencia a tracción transversal F2t
Resistencia a compresión transversal F2c
Resistencia a corte en el plano F6
1
2
3
Anisotropía
22
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
La resistencia a corte es indiferente al signo en el sistema 123
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t6 > 0
1
2
t6 < 0
1
2
6xs t
6ys t
6xs t
6ys t
Anisotropía
23
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
La resistencia a corte no es indiferente al signo en el sistema XYZ
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X
Y
ts > 0
X
Y
ts < 0
1 ss t
2 ss t
1 ss t
2 ss t
1
2
1
2
Criterios de falla
24
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• Hemos visto que, bajo los estados de carga fundamentales, podemos obtener la resistencia mediante ensayos o por medio de modelos micromecánicos
• En general, los estados de carga presentes en las láminas de un laminado no son los fundamentales sino combinaciones de éstos
• Existen diversos criterios para estimar la resistencia de una lámina bajo carga combinada
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Criterios de falla
25
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Los criterios de falla de lámina se pueden dividir en tres grupos
• Criterios no interactivos: no se considera una interacción entre los modos de falla. Predicen el modo de falla.
• Criterios interactivos: se considera la interacción entre modos. La resistencia se estima mediante una expresión en la que intervienen diferentes modos. No queda identificado el modo de falla
• Criterios basados en el modo de falla: las expresiones
para la falla de fibra y de matriz son diferentes.
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Criterio de tensión máxima
26
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
La falla ocurre cuando al menos una de las componentes de tensión en el sistema de ejes materiales de la lámina alcanza el valor de resistencia correspondiente.
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666
555
444
333
222
111
FF
FF
FF
FF
FF
FF
tc
tc
tc
t
t
t
s
s
s
Criterio de tensión máxima
27
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Si el material posee un plano de isotropía transversal 23
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
2 3
2 3
5 6
t t
c c
F F
F F
F F
4 2tF F
2
3
t43' 4s t
2 ' 4s t
Criterio de tensión máxima
28
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
En un caso de tensión plana, para cualquier tensión de corte t6 F6 la envolvente de falla es la siguiente
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s1
s2
F2t
F2c
F1c F1t
s2s2
s1
s1
Criterio de tensión máxima
29Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
1
x
y
2z=3
q
2 2
1
2 2
2
2 2
6
2
' 2 0
0
xm n mn
n m mn
mn mn m n
s s
s s
t
2
1
2
2
6
cos
cos
x
x
x
sen
sen
s s q
s s q
t s q q
Ejemplo de cálculo
Criterio de tensión máxima
30Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
1 1
2 2
2 2
2 2
6 6
cos cos
cos cos
c t
x
c t
x
x
F F
F F
sen sen
F F
sen sen
sq q
sq q
sq q q q
Conocidas las tensiones en los ejes materiales de la lámina, podemos aplicar el criterio de falla para saber a qué tensión sx
se produce la falla del material
Criterio de tensión máxima
31
Ejemplo
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Calcule utilizando el criterio de tensión máxima, la resistencia a tracción (sx
max) de una lámina unidireccional cuyas fibras están orientadas a 15° con respecto al eje x.
12
y
x sxsx
1
1
2
2
6
726
302
97.6
127
51.5
t
c
t
c
F MPa
F MPa
F MPa
F MPa
F MPa
Criterio de tensión máxima
32
Ejemplo
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Comenzamos calculando las tensiones en los ejes principales de la lámina
2 2
1
2 2
2
2 2
6
2 0.933 0.067 0.5
' 2 0 0.067 0.933 0.5 0
0 0.25 0.25 0.866 0
0.933* 0.067*0 0.5*0
0.067* 0.933*0 0.5*0
0.25* 0.25*0 0.8
x x
x
x
x
m n mn
n m mn
mn mn m n
s s s
s s
t
s
s
s
0.933*
0.067*
66*0 0.25*
x
x
x
s
s
s
Ahora debemos determinar si la falla se produce por tracción longitudinal, tracción transversal o corte.
Criterio de tensión máxima
33
Ejemplo
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
La falla por tracción longitudinal se producirá cuando:
La falla por tracción transversal se producirá cuando:
La falla por corte se producirá cuando:
Tomamos el mínimo de los valores calculados ya que la falla por corte ocurrirá antes que las fallas por tracción transversal y tracción longitudinal
max 778x MPas
max 1457x MPas
max 206x MPas
max 206x MPas
MPa F xt 726933.0 max
11 ss
MPa F xt 6.97067.0 max
22 ss
MPa- F x 5.5125.0 max
66 st
Criterio de deformación máxima
34
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
La falla ocurre cuando al menos una de las deformaciones medidas en el sistema de ejes materiales de la lámina alcanza el valor de la deformación específica máxima del ensayo uniaxial.
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1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
5 5 5
u u
c t
u u
c t
u u
c t
u u
u u
u u
Criterio de deformación máxima
35
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Las deformaciones máximas dependen directamente de las tensiones máximas
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1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
3 3
3 3
3 3
4
4
12
5
5
12
6
6
12
u uc t
c t
u uc t
c t
u uc t
c t
u
u
u
F F
E E
F F
E E
F F
E E
F
G
F
G
F
G
3121
1 2 3
3212
11 1 2 3
2 13 23
1 2 33
4
235
6
13
12
10 0 0
10 0 0
010 0 0
0
010 0 0 0 0
0
010 0 0 0 0
10 0 0 0 0
utt
E E E
FE E E
E E E
G
G
G
uu
uu
u u
Tensión simple
Criterio de deformación máxima
36
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
En el caso de tensión combinada, de acuerdo a este criterio, existe cierta interacción debido al efecto Poisson.
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3121
1 2 3
3212
1 11 2 3
2 213 23
3 31 2 3
4 4
235 5
6 6
13
12
10 0 0
10 0 0
10 0 0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
E E E
E E E
E E E
G
G
G
uu
uu
s
su u
s
t
t
t
Tensión combinada
Criterio de deformación máxima
37
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Asumiendo un estado combinado, las ecuaciones explícitas son:
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31 2
1 21 31 1 12 2 13 3
1 2 3 1
31 2
2 12 32 21 1 2 23 3
1 2 3 2
31 2
2 13 23 31 1 32 2 3
1 2 3 3
5 64
4 5 6
23 13 12
1
1
1
E E E E
E E E E
E E E E
G G G
ss s u u s u s u s
ss s u u u s s u s
ss s u u u s u s s
t tt
Criterio de deformación máxima
38
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Acotando las deformaciones a las máximas, pero expresado en función de las tensiones máximas
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1 1 12 2 13 3 1
2 21 1 2 23 3 2
3 31 1 32 2 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
c t
c t
c t
F F
F F
F F
F F
F F
F F
s u s u s
u s s u s
u s u s s
t
t
t
Criterio de deformación máxima
39
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
En un caso de tensión plana, para cualquier tensión de corte t6 F6 la envolvente de falla es:
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F2t
F2c
F1c F1t
s2
s2s2
s1
s12 21 1 2tFs u s
2 21 1 2cFs u s
Criterio de Tsai-Hill
40
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• Considera interacción
• Es una adaptación de los criterios energéticos conocidos para materiales isótropos
• Hill propuso una modificación del criterio para metales dúctiles anisótropos
• Azzi y Tsai adaptaron este criterio para materiales compuestos. A,B,C y D son parámetros característicos del material función de las resistencias fundamentales
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2 2 2
1 2 1 2 yps s s s s
2 2 2
1 2 1 2 6 1A B C Ds s s s t
Criterio de Von Mises para tensión plana. Componentes principales de tensión.
Criterio de Tsai-Hill
41
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Del ensayo uniaxial de tracción longitudinal a rotura se obtiene
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2
1 1tAF 2
1
1
t
AF
0
0
6
2
1
F 1t
u
t
s
s
Del ensayo uniaxial de compresión longitudinal a rotura se obtiene
2
1 1cAF 2
1
1
c
AF
0
0
6
2
1
F- 1c
u
t
s
s
El parámetro A toma diferentes valores de acuerdo al signo de la tensión normal s1
Criterio de Tsai-Hill
42
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Del ensayo uniaxial de tracción transversal a rotura se obtiene
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0
0
6
2
1
F
2t
u
t
s
s
Del ensayo uniaxial de compresión transversal a rotura se obtiene
El parámetro B toma diferentes valores de acuerdo al signo de la tensión normal s2
2
2 1tBF 2
2
1
t
BF
2
2 1cBF 2
2
1
c
BF
0
0
6
2
1
F-
2c
u
t
s
s
Criterio de Tsai-Hill
43
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
Del ensayo de corte puro en el plano a rotura se obtiene
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6
u F
6
2
1
0
0
t
s
s
El parámetro D es independiente del signo de la tensión t6
2
6 1DF 2
6
1D
F
Criterio de Tsai-Hill
44
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
El parámetro C que considera la interacción entre las tensiones s1 y s2 debe ser obtenido de ensayos.
Sin embargo, si se supone un estado biaxial de s1 = s2 y t6 = 0se puede aproximar por el criterio de tensión máxima. Como la resistencia en la dirección transversal es mucho menor que la resistencia en la dirección longitudinal, el material fallará cuando la tensión alcance el valor F2.
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2 2
22 2
22 2
1 2
1F F
CFF F
2
1
1C
F
El parámetro C toma diferentes valores de acuerdo al signo de la tensión normal s1
Criterio de Tsai-Hill
45
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
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2 2 2
1 2 1 2 6 1A B C Ds s s s t
12
1
12
1
10
10
t
c
siF
A
siF
s
s
22
2
22
2
10
10
t
c
siF
B
siF
s
s
12
1
12
1
10
10
t
c
siF
C
siF
s
s
2
6
1D
F
Criterio de Tsai-Hill
46
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
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Tomando valores de t6 podemos ver que la ecuación describe cuatro ecuaciones de elipse (una en cada cuadrante)
22 2
61 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 6
1F F F F
ts s s s
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 109
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
7
s1
s2
Criterio de Tsai-Hill
2 2
21 2 1 2
2 2 2
1 2 1
1 kF F F
s s s s
Criterio de Tsai-Wu
47
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
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• Tsai y Wu propusieron un criterio más general para considerar la interacción.
• Explícitamente para tensión plana:
• Como el signo de la tensión de corte no debe influenciar el criterio, se tiene:
Donde fi y fij son tensores de primer y segundo orden respectivamente
1i i ij i jf fs s s
2 2 2
1 1 2 2 6 6 11 1 22 2 66 6
12 1 2 16 1 6 26 2 62 2 2 1
f f f f f f
f f f
s s t s s t
s s s t s t
6 16 260 0 0f f f
Criterio de Tsai-Wu
48
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
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• Realizando las simplificaciones anteriores, la falla se asume cuando:
• Considerando los casos de falla en tensión uniaxial longitudinal de tracción y compresión:
2 2 2
1 1 2 2 11 1 22 2 66 6 12 1 22 1f f f f f fs s s s t s s
1 1
2
2 1 1 11 1 1
1 1
6
1 1
2112 1 1 11 1
1 1
6
1 10 1
0
10 1
0
t
t t
t c
c
c ct c
F
f F f F fF F
F
ff F f FF F
s
s
t
s
s
t
Criterio de Tsai-Wu
49
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
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• Considerando los casos de falla en tensión uniaxial transversal de tracción y compresión:
• Considerando corte puro hasta la falla:
1
2
2 2 2 2 22 2 2
2 2
6
1
2222 2 2 2 22 2
2 2
6
01 1
1
0
01
1
0
t t t
t c
c c ct c
F f F f F fF F
fF f F f FF F
s
s
t
s
s
t
1
2
2 66 6 66 2
6
6 6
01
0 1f F fF
F
s
s
t
Criterio de Tsai-Wu
50
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• Para obtener f12 es necesario realizar un ensayo biaxial. Sin embargo, dicho ensayo es generalmente complicado de implementar, y por lo tanto, los resultados son poco confiables. En la práctica, se utiliza la siguiente aproximación:
Se ha demostrado que típicamente para compuestos de vidrio o carbono:
Viendo esta relación, se puede definir un factor adimensional f12*
En la práctica se puede asumir f12* = 0 ó f12* = -0.5 para evitar la realización de los ensayos biaxiales:
12
11 22
0.9 0f
f f
* *12
12 12 12 11 22
11 22
ff f f f f
f f
Criterio de Tsai-Wu
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La ventaja de este criterio es que sólo se necesita una ecuación para representar la envolvente completa.
Para valores de t6 constantes representa la ecuación de una elipse de ejes rotados.
2 2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 *
6 12 1 22
1 1 2 26
1 1 1 1 1 1
1 12 1
t c t c t c t c
t c t c
F F F F F F F F
fF F F FF
s s s s
t s s
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 109
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
7
s1
s2
Criterio de Tsai-Wu
Comparación off-axis
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Comparación de criterios
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-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 109
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
7
s1
s2
Criterios de falla - Comparación
6 0t
Criterio basados en el modo de falla
54
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• Los modos de falla de fibra y de matriz o interfase son fenómenos físicos diferentes
• Los modos de falla de fibra están asociados a la tensión s1
(rotura de fibra en tracción - micropandeo en compresión)
• Los modos de falla de matriz o interfase están asociados a las tensiones s2 y t6
• Puck desarrolló un criterio muy aceptado que considera además no-linealidad del material. La falla de matriz o interfase esta basado en el criterio de Mohr, y el criterio predice el plano de fractura.
Criterio de Hashin - Rotem
55
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Hashin y Rotem presentaron un criterio que diferencia estos fenómenos
1 1
1
1 1
0
0
t
c
F siF
F si
s
s
1
1
1F
s
22
62
2 6
1F F
ts
2 2
2
2 2
0
0
t
c
F siF
F si
s
s
s2
s1
Validación experimental
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• Existen numerosos criterios además de los mostrados anteriormente para estimar la resistencia de láminas anisótropas bajo cargas combinadas
• Hinton, Soden y Kaddour organizaron el “Worldwide Failure Exercise” que duró 12 años, con el fin de comparar la capacidad de predicción de cada criterio
• Como resultado, se observó que el criterio de Tsai-Wu es uno de los más acertados en comparación con los resultados experimentales
• Cuadrante a cuadrante varía la precisión de los diferentes criterios dependiendo también del material
Validación experimental
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Validación experimental
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Validación experimental
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Diferentes enfoques
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Máxima deformación
Máxima tensión
Máxima tensión
Tsai-Wu
s2
s1
Híbrido