Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos: desde los ordenadores y la informática hasta la carrera espacial.
La fórmula que expresa el movimiento de un cuerpo en caída libre viene dada por el siguiente polinomio:2
21)( gttP
t: tiempog: gravedad
La fórmula para calcular el volumen de un cubo en función de la longitud (l) de su lado viene dada por:
3)( llV
MonomiosMonomiosUn monomio es una expresión algebraica en la que la únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y la potencia de exponente natural.
Son monomios:
NO son monomios:22x
2312 yzx
154abc
22 x
32
27 xyz
Partes de un monomioPartes de un monomioLos coeficientes son los números que aparecen multiplicando.
La parte literal la forman las letras y sus exponentes.
El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.
2. Gr 6213. Gr 171511. Gr
1 1 1
Tipos de monomiosTipos de monomiosMonomios semejantessemejantes: tienen la misma parte literal.
Monomios opuestosopuestos: son semejantes y sus coeficientes son números opuestos.
NO semejantes NO opuestos
2325 ba 3225 bacba 323 32ba
3225 ba 32ba
xy5 xy71
3225 ba 3225 ba
23
71 yx23
71 yx
32ba 32ba
xy xy
Operaciones con monomiosOperaciones con monomiosLa suma (o resta)suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.
2xy
222 35 yxxy No son semejantes, luego no se pueden sumar.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
2xy 2xy 2xy2xy 2xy
5 3 5 7
10( )
5 3 5 7
Operaciones con monomiosOperaciones con monomios
Para multiplicarmultiplicar por un lado, multiplicamos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales.
2415 yx
Ejemplo 3: yy 73 2
Ejemplo 4:
3 72y y 321y( )
32 35 xxy ( )5 32xy 3x
Operaciones con monomiosOperaciones con monomios
Para dividirdividir por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede).
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
27 7:21 yy
bba 4:25 23
21 7: ( ) ( )7y 2y : 53y
25 4ba3 b 3
425 a
PolinomiosPolinomiosUn polinomiopolinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama términotérmino, y si no tiene parte literal se llama término término independienteindependiente.
El mayor de los grados de todos sus términos se denomina gradogrado del polinomio.
21373 523 xyzyxxy
Términos
Términoindependiente
Grado: 2 + 5 = 7
Se llama coeficiente principal al coeficiente del monomio de mayor grado.
Coeficiente principal
PolinomiosPolinomiosEl valor numéricovalor numérico de un polinomio P(x), para un valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando.
10437)( 34 xxxxP 10242327)2( 34P
10141317)1( 34P
Ejemplo:
861082411210883167
4104371041317
PolinomiosPolinomiosEl polinomio opuestopolinomio opuesto de un polinomio P(x), que designamos como -P(x), se obtiene cambiando el signo de todos los términos de P(x).
10437)( 34 xxxxP
10437)( 34 xxxxP
Ejemplo:
Polinomio opuesto:
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara sumarsumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.
Ejemplo: 172)( 245 xxxxP87223)( 234 xxxxxQ
)()( xQxP
52x 4x 27x 143x 32x 22x x7 8
775222 2345 xxxxx
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara restarrestar polinomios sumamos al primero el opuesto del segundo.
Ejemplo: 172)( 245 xxxxP87223)( 234 xxxxxQ
)()( xQxP
52x 4x 27x 143x 32x 22x x7 8
979242 2345 xxxxx
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara multiplicar un monomio por un polinomiomultiplicar un monomio por un polinomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Ejemplo: 3245 2por 172)( xxxxxP
)(2 3 xPx
32x
3578 21424 xxxx
172 245 xxx
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosEl producto de dos polinomioproducto de dos polinomio se halla multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por el otro, y sumando después los polinomios semejantes.Ejemplo: 43)( 152)( 23 xxQxxxP
)()( xQxP
43 2 x
4203236 235 xxxx
152 3 xx
4208 3 xx235 3156 xxx
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un monomiodividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplos:
245 2796)( xxxxP 932
3 :273:93:63:)(23
2224252
xx
xxxxxxxxP
xyyxxQ 57)( 3
yxxxy
xyxxxQ
25
27
25
272:)( 2
3
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un polinomiodividir un polinomio entre un polinomio, seguiremos los siguientes pasos:
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor y los dispondremos como una división normal.
xxxxxP 3011202)( 243 23)( 2 xxxQ
32x4x 211x x30 20 2x x3 2
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, así se obtiene el primer término del cociente.
32x4x 211x x30 20 2x x3 22x
3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto pasa restando al dividendo.
2x4x
234
2
2
23
23
xxx
x
xx
234 23 xxx
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
32x4x 211x x30 20 2x x3 24º) Se suman algebraicamente.
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.
2x234 23 xxx 203095 23 xxx
x5
xxx
xxx
10155
523
23
2
xxx 10155 23
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.
32x4x 211x x30 20 2x x3 22x234 23 xxx
203095 23 xxxx5
xxx 10155 23 20206 2 xx
6
12186 2 xx82 x
Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
32x4x 211x x30 20 2x x3 22x x5 6
82 x
Polinomio dividendo)(xD
32x4x 211x x30 20 2x x3 2
Polinomio divisor
Polinomio cociente
Polinomio resto
)(xd
)(xc
)(xr
2x x5 6
82 x
Regla de RuffiniRegla de RuffiniLa regla de Ruffiniregla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo.
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor.
532)( 23 xxxxD1)( xxd
Regla de RuffiniRegla de Ruffini532)( 23 xxxxD 1)( xxd
2º) Se colocan los coeficientes de cada término. Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0.
2 1 3 5
3º) A la izquierda se pone el número que se resta a x en d(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado.
1
4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman .
22
Regla de RuffiniRegla de Ruffini5º) El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso.
2 1 3 51
223
30
05
El último número (recuadro rojo) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.
xxxc 32)( 2 5)( xr532)( 23 xxxxD 1)( xxd
Identidades notablesIdentidades notablesLas siguientes operaciones con binomios son simples multiplicaciones.
Es recomendable aprenderlas de memoria por su constante utilidad.
Uno de los errores mas frecuentes es considerar que la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.
(a+b)2
Identidades notablesIdentidades notablesCuadrado de una suma:Cuadrado de una suma: el cuadrado de una suma es igual a:
• el cuadrado del primero,• más el doble del primero por el segundo,• más el cuadrado del segundo.
a + ba + b
ab + b2
a2 + ab
a2 + 2ab + b2
a2
ab
ab
b2
a
b
a b
a + b
a + b
a2(a-b)2
Identidades notablesIdentidades notablesCuadrado de una diferencia:Cuadrado de una diferencia: el cuadrado de una diferencia es igual a:
• el cuadrado del primero,• menos el doble del primero por el segundo,• más el cuadrado del segundo.
a - ba - b
- ab + b2
a2 - ab
a2 - 2ab + b2ab
ab
b2
Identidades notablesIdentidades notablesSuma por diferencia:Suma por diferencia: una suma por una diferencia es igual a:
• el cuadrado del primero,• menos el cuadrado del segundo.
a + ba - b
- ab - b2
a2 + ab
a2 - b2
Identidades notablesIdentidades notables