Diseño de FiltrosFiltros de respuesta al impulso infinita (IIR)

Filtros IIR

• Sistema con respuesta al impulso infinita (IIR)

𝐻 (𝑧 )= 1

1−𝑎𝑧− 1|z|>|a| h [𝑛 ]=𝑎𝑛𝑢[𝑛]

• Sistema con respuesta al impulso finita (FIR)

𝒉=[h0 h1 h2 h3 h4 …]𝑇

h [𝑛 ]=h0𝛿 [𝑛 ]+h1𝛿 [𝑛−1 ]+h2𝛿 [𝑛−2 ]+…

0 1 2 3 4 5 6H (𝑧 )=h0+h1𝑧−1+h2𝑧

−2+h3𝑧−3+…

0 5 10 15 20

• Los sistemas IIR tienen función de sistema racional

Filtros IIR

• Tienen estructuras más complicadas (con retroalimentación)

𝑧− 1+ 𝑦 [𝑛 ]x

-a

• Son más difíciles de implementar y analizar

• No tienen una respuesta en fase lineal

• Son más eficientes

Filtros IIR (dificultades en la implementación)• Problemas de estabilidad y desempeño debido a la

precisión finita de sistemas discretos• Cuantización de coeficientes• Errores de overflow• Errores de redondeo (roundoff)• Uso de filtros de orden pequeño en cascada• Implementaciones de tipo II

Diseño de filtros IIR

• Parten de diseños analógicos (e.g., filtros de Butterworth, Chevyshev, elípticos)

• Técnica de invarianza al impulso • Transformación bilineal• Optimización

Diseño de filtros IIR (Invarianza I)1. Diseñar el filtro en tiempo continuo2. Determinar la respuesta al impulso en tiempo

continuo 3. Muestrear la respuesta al impulso con un periodo

para obtener una respuesta en tiempo discreto 4. Calcular la transformada z de la respuesta al

impulso5. Obtener la ecuación en diferencias 𝐻 (𝑠 )=∑ 𝑏𝑘𝑠

𝑘

∑ 𝑎𝑘𝑠𝑘 𝐻 [ 𝑧 ]=∑ 𝑏𝑘 𝑧

−𝑘

∑𝑎𝑘𝑧−𝑘h𝑐(𝑡) h [𝑛 ]

Diseño de filtros IIR (invarianza I)

1. Diseñar el filtro en tiempo continuo: filtro Chebyshev de segundo orden, rizado de 1dB y frecuencia de corte de 20Hz.

-100 -50 0 50 100-30

-20

-10

0

10

Frecuencia (Hz)

Gan

anci

a (d

B)

|H(j)|

0 0.05 0.1 0.15 0.2-20

0

20

40

60

80

hc(t)

tiempo (s)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-20

0

20

40

60

80h[n]

tiempo (s)

-100 -50 0 50 100-30

-20

-10

0

Frecuencia (Hz)

Gan

anci

a (d

B)

|H(j)|

-50 0 50-20

-15

-10

-5

0

Frecuencia (Hz)

Gan

anci

a (d

B)

|H(j)|

-50 0 50-20

-15

-10

-5

0

|H(z)|

frecuencia (Hz)

2. Determinar la respuesta al impulso en tiempo continuo

3. Muestrear la respuesta al impulso con un periodo para obtener una respuesta en tiempo discreto . .

-100 -50 0 50 100-30

-20

-10

0

Frecuencia (Hz)

Gan

anci

a (d

B)

|H(j)|

-100 -50 0 50 100-30

-20

-10

0

|H(z)|

frecuencia (Hz)

Tiempo continuo Tiempo discreto

Diseño de filtros IIR (invarianza I)

• ¿Cómo minimizar el efecto del aliasing?

-50 0 50-20

-15

-10

-5

0

frecuencia (Hz)

Gan

anci

a (d

B)

|H(z)|

Fs = 100

Fs = 120

Fs = 150

• El diseño de filtros mediante invarianza al impulso es apropiado para filtros de banda limitada (pasa-bajas o pasa-bandas) cuando la frecuencia de corte máxima es pequeña respecto a la frecuencia de muestreo

Diseño de filtros IIR (invarianza I)

𝐻 (𝑠 )= 17410

𝑠2+137.9 𝑠+17410

𝐻 (𝑠 )= 112.5∗154.8(𝑠+68.97)2+112.52

h (𝑡 )=154.8𝑒−68.97 𝑡 sin (112.5𝑡)

h [𝑛 ]=154.8 𝑒− 0.6897𝑛 sin (1.125𝑛)

𝐻 (𝑧 )= 70.05 𝑧−1

1−0.4328𝑧+0.2517 𝑧−2

𝑦 [𝑛 ]=0.7 𝑥 [𝑛−1 ]+0.43 𝑦 [𝑛−1 ]−0.25 𝑦 [𝑛−2]

𝑇𝐻 (𝑧 )= 0.70 𝑧−1

1−0.4328 𝑧+0.2517 𝑧−2

1. Diseñar el filtro en tiempo continuo: filtro Chebyshev de segundo orden, rizado de 1dB y frecuencia de corte de 20Hz.

2. Determinar la respuesta al impulso en tiempo continuo

3. Muestrear la respuesta al impulso con un periodo para obtener una respuesta en tiempo discreto . .

4. Calcular la transformada z de la respuesta al impulso

5. Obtener la ecuación en diferencias

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)

1. Partir de un filtro en tiempo contínuo

2. Descomponer el filtro en unidades básicas

3. Convertir cada unidad a tiempo discreto

4. Obtener la transformada z racional a partir de las unidades básicas

5. Sacar la ecuación en diferencias

𝐻 (𝑠 )=𝑑0+𝑑1𝑠+𝑑2𝑠

2+…𝑒0+𝑒1𝑠+𝑒2𝑠

2+…

𝐻 (𝑠 )=𝐴1

(𝑠+𝑐1)+

𝐴2

(𝑠+𝑐2)+…

𝐻 (𝑧 )=𝐴1

(1+𝑝1𝑧−1)

+𝐴2

(1+𝑝2𝑧− 1)

+…

𝐻 (𝑧 )=𝑏0+𝑏1 𝑧

− 1+𝑏2𝑧−2+…

𝑎0+𝑎1𝑧−1+𝑎2 𝑧

− 2+…

¿Cómo mapear los polos de tiempo continuo a tiempo discreto? (𝑠+𝑐1) (1+𝑝1𝑧

−1)?

Transformada de Laplace vs. Transformada z• La transformada de Laplace es a la transformada de Fourier como la

transformada Z es a la Transformada discreta de Fourier

𝐻 (𝑠 ) :𝐻 (𝜔 ) ∷𝐻 (𝑧 ):𝐻 (𝑒 𝑗𝜔)

𝐻 (𝑠 )|𝑠= 𝑗 𝜔=𝐻 (𝜔 ) 𝐻 (𝑧 )|𝑧=𝑒 𝑗 𝜔=𝐻 (𝑒 𝑗𝜔 )

• La transformada de Fourier se corresponde a la transformada de Laplace evaluada en el eje

• La transformada Discreta de Fourier se corresponde a la transformada z evaluada en el círculo

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

𝛼

𝑗𝜔

x

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

𝛼

𝑗𝜔

x

+0.5𝜔𝑠

−0.5𝜔𝑠

x−0.5𝜔𝑠

+0.5𝜔𝑠

𝑧=𝑟 𝑒 𝑗 𝜔

Para entonces

𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔→𝑧=𝑒𝛼𝑇 𝑒 𝑗𝜔𝑇

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)

𝛼

𝑗𝜔

x

+0.5𝜔𝑠

−0.5𝜔𝑠

𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

x−0.5𝜔𝑠

+0.5𝜔𝑠

𝑧=𝑒𝛼𝑇𝑒 𝑗 𝜔𝑇

Efecto de

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)

𝛼

𝑗𝜔

x

+0.5𝜔𝑠

−0.5𝜔𝑠

𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

x−0.5𝜔𝑠

+0.5𝜔𝑠

𝑧=𝑒𝛼𝑇𝑒 𝑗 𝜔𝑇

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)

𝛼

𝑗𝜔

x

+0.5𝜔𝑠

−0.5𝜔𝑠

𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

x−0.5𝜔𝑠

+0.5𝜔𝑠

𝑧=𝑒𝛼𝑇𝑒 𝑗 𝜔𝑇

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)

𝛼

𝑗𝜔

x

+0.5𝜔𝑠

−0.5𝜔𝑠

𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

x−0.5𝜔𝑠

+0.5𝜔𝑠

𝑧=𝑒𝛼𝑇𝑒 𝑗 𝜔𝑇

Efecto de

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)

𝛼

𝑗𝜔

x

+0.5𝜔𝑠

−0.5𝜔𝑠

𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

x−0.5𝜔𝑠

+0.5𝜔𝑠

𝑧=𝑒𝛼𝑇𝑒 𝑗 𝜔𝑇

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)

𝛼

𝑗𝜔

x

+0.5𝜔𝑠

−0.5𝜔𝑠

𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

x−0.5𝜔𝑠

+0.5𝜔𝑠

𝑧=𝑒𝛼𝑇𝑒 𝑗 𝜔𝑇

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)

𝛼

𝑗𝜔

x

+0.5𝜔𝑠

−0.5𝜔𝑠

𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

x

−0.5𝜔𝑠

+0.5𝜔𝑠

𝑧=𝑒𝛼𝑇𝑒 𝑗 𝜔𝑇

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)

𝛼

𝑗𝜔

x

+0.5𝜔𝑠

−0.5𝜔𝑠

𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

x

−0.5𝜔𝑠

+0.5𝜔𝑠

𝑧=𝑒𝛼𝑇𝑒 𝑗 𝜔𝑇

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)

1. Partir de un filtro en tiempo contínuo

2. Descomponer el filtro en unidades básicas

3. Convertir cada unidad a tiempo discreto

4. Obtener la transformada z racional a partir de las unidades básicas

5. Sacar la ecuación en diferencias

𝐻 (𝑠 )=𝑑0+𝑑1𝑠+𝑑2𝑠

2+…𝑒0+𝑒1𝑠+𝑒2𝑠

2+…

𝐻 (𝑠 )=𝐴1

(𝑠+𝑐1)+

𝐴2

(𝑠+𝑐2)+…

𝐻 (𝑧 )=𝐴1

(1+𝒆𝑻𝒄𝟏𝑧−1)+

𝐴2

(1+𝒆𝑻 𝒄𝟐 𝑧−1)+…

𝐻 (𝑧 )=𝑏0+𝑏1 𝑧

− 1+𝑏2𝑧−2+…

𝑎0+𝑎1𝑧−1+𝑎2 𝑧

− 2+…

Diseño de filtros IIR (Invarianza II)1. Descomponer el filtro en unidades básicas

2. Convertir cada unidad a tiempo discreto

3. Obtener la transformada z racional a partir de las unidades básicas

4. Sacar la ecuación en diferencias

𝐻 (𝑠 )= 17410

𝑠2+137.9 𝑠+17410

𝐻 (𝑠 )= 𝑗77.8(𝑠+131.9𝑒 𝑗2.12)

+− 𝑗77.8

(𝑠+131.9𝑒− 𝑗2.12)

𝐻 (𝑧 )= 𝑗 77.8(1+0.5017 𝑒 𝑗1.1249 𝑧− 1)

+− 𝑗 77.8

(1+0.5017𝑒− 𝑗1.1249 𝑧−1)

𝐻 (𝑧 )= 70.4318 𝑧−1

1+0.4327 𝑧− 1+0.2517 𝑧− 2

Diseño de filtros IIR (Invarianza)• El primer método requiere menos álgebra pero

encontrar la transformada de Laplace y la transformada z inversa puede ser muy complicado para filtros de mayor orden

• El segundo método puede ser automatizado para ser realizado algoritmicamente

Diseño de filtros IIR (Algoritmo)• A partir de las especificaciones del filtro analógico (orden , y frecuencia

de corte ) obtener la transformada de Laplace del filtro

[b,a]=cheby1(n, 1, 2*pi*fc, ‘s’)

• Expandir mediante fracciones parciales

[A,c,r]=residue(b, a)

• Mapear los polos del plano s al plano z

p = exp(T*c)

• Generar la transformada z racional

[B,A] = residuez(A, p, r)

• Obtener la ecuación en diferencias

Diseño de filtros IIR (T. bilineal)• Permite substituir por una función de para permitiendo obtener

directamente de

• Mapea todo el plano-s al plano-z evitando así el aliasing

• Induce un mapeo no lineal en el eje de las frecuencias reduciendo la banda de transición

• Se obtienen filtros de mayor complejidad computacional

𝐻 (𝑠) 𝐻 (𝑠)𝑠= 𝑓 (𝑧)

Diseño de filtros IIR (T. bilineal)• Según el periodo de muestreo

𝑠= 2𝑇1− 𝑧−1

1+𝑧−1𝑧=

1+(0.5𝑇 )𝑠1− (0.5𝑇 )𝑠

• Se mapea todo el plano-s en z:

𝛼

𝑗𝜔

x

+∞

−∞

𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔

x+∞

−∞

𝑧=𝑟 𝑒 𝑗 𝜔

Diseño de filtros IIR (T. bilineal)• Efectos del mapeo

𝑧=¿𝑠=𝛼+ 𝑗 𝜔 𝑧

• Si <0 (el sistema es estable), entonces

Diseño de filtros IIR (T. bilineal)• Efectos del mapeo (frequency warping)

𝜔𝑐∈(−∞ ,+∞) Frecuencia en tiempo continuo (eje en el plano-s)

𝜔∈(−𝜋 ,+𝜋) Frecuencia en tiempo discreto (círculo unitario en el plano-z)

𝜔=2 tan− 1 (0.5𝑇𝜔𝑐 ) 𝜔𝑐=2𝑇tan−1 (0.5𝜔 )

-1000 -500 0 500 1000

-3.14

0.00

3.14

Frecuencia c (rad/s)

(

rad/

s)

T = 1/100

Diseño del filtros IIR (T. bilineal)• Frequency warping

+∞−∞ +𝝅−𝝅

Consiste en un mapeo no lineal de las frecuencias

Diseño de filtros IIR (T. bilineal)• Filtro pasa-bajas

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-15

-10

-5

0

5

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-200

-150

-100

-50

0

Frequency (Hz)

Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-40

-20

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-15

-10

-5

0

5

Normalized Frequency ( rad/sample)

Mag

nitu

de (

dB)

𝐻 (𝑠 )= 17410

𝑠2+137.9+17410𝐻 (𝑧 )=0.2048+0.4096 𝑧

−1+0.2048𝑧−2

1−0.5315𝑧−1+0.3508 𝑧−2