Sistema de Medida Angular Razones TrigonométricasIdentidades Trigonométricas
SISTEMA DE MEDICIÓN ÁNGULAR
La trigonometría es parte de matemática.
Etimológicamente, la palabra trigonométricas proviene
delas palabras griegas gonos (ángulo), trío (tres) y
metrom (medida), de lo que puede deducir que trata de
la medida de los triángulos.
La medida de las distancias largas ha sido uno
de los problemas que el hombre ha buscado resolver
con ayuda de la matemática. La geometría ha resuelto
en parte este problema. El aporte de la trigonometría ha
sido fundamental en la resolución del problema sobre la
medición de distancia, por que ha establecido una
relación entre el ángulo y la longitud.
Aparte de la medición de distancia, las
funciones trigonométricas han logrado modelar una
serie de fenómenos de carácter periódico, como la
corriente eléctrica, los latidos del corazón, la vibraciones
del sonido, de las ondas sísmicas, la luz etc.
ÁNGULO TRIGONOMETRICO
El ángulo trigonométrico se genera por la
rotación de un rayo alrededor de su origen (llamado
vértice) desde una posición inicial (llamado lado inicial)
hasta una posición final (llamado lado final)
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR
La medición de un ángulo requiere de otro
ángulo como unidad de medida. La unidad de medida
angular se ha establecido principalmente con dos
criterios dividiendo el ángulo de una vuelta en partes
iguales y utilizando la relación del arco con el radio de
la circunferencia.
A continuación veremos tres sistema de
medición angular.
1.- SISTEMA SEXAGESIMAL:
Denominado también Sistema Ingles, este
sistema tiene como unidad a un ángulo que se obtiene
al dividir al ángulo de una vuelta en 360 partes iguales,
a esta unidad se llama Grado Sexagesimal cuya
medida se representa así 1o
Equivalencias:
1 vuelta < > 360°
1° < > 60' < > 3600 "
1' < > 60"
2.- SISTEMA CENTESIMAL
Denominado también Sistema Francés este
sistema tiene como unidad a un ángulo que se obtiene
al dividir al ángulo de una vuelta en 400 partes iguales,
a esta unidad se le llama Grado Centesimal cuya
medida se representa así 1g
Equivalencias:
1 vuelta < > 400 g.
1 g. < > 100m. < > 10,000 s
1 m < > 100 s.
3.- SISTEMA RADIAL
Denominado también Sistema Circular o
también Sistema Internacional este sistema tiene
como unidad a un ángulo cuyo vértice esta en el centro
de una circunferencia y que subtiende a un arco cuya
longitud es igual al radio de dicha circunferencia.
270
SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR - RAZONES TRIGONOMÉTRICASIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
CAPÍTULO X
OBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :
Conocer la medida de un ángulo en los diversos sistemas. Conocer el cálculo de longitudes de arcos de circunferencia y sus diversas
aplicaciones. Determinar las razones trigonométricas de un ángulo agudo Definir las condiciones que debe cumplir una identidad trigonometrica. Clasificar las identidades fundamentales. Identificar las diferentes situaciones problemáticas que se presenta
B
AO
LADO FINAL
LADO INICIAL
ORIGEN
A esta unida se llama RADIAN cuya medida se
representa así 1 rad.
1 vuelta = 2 rad.
CAMBIO DE UNIDADES DE MEDICIÓN ANGULAR
Sea el ángulo AOB cuyas medidas en grado
sexagesimal es S o, en grado centesimal es Cg y en
radianes, R rad. Debemos encontrar una relación entre
ellos.
S : # de grados sexagesimales
C : # de grados centesimales
R : # de radianes
RELACIONES PARTICULARES:
m = # de minutos sexagesimales
n = # de minutos centesimales
p = # de segundos sexagesimales
q = # de segundos centesimales
LONGITUD DEL ARCO :
En el numero de radianes que mide un ángulo central es
igual al cociente de la longitud del arco que subtiende
entre el radio de la circunferencia que lo contiene.
Numero de Radianes =
Si representamos con el número de radianes que
mide el ángulo central tenemos.
L = longitud del arco
R = Longitud del radio
= Medida del ángulo central en radianes
NUMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA Y LONGITUD
DE ARCO
Una rueda en rotación barre arcos cuyas
longitudes depende del número de vueltas que da la
rueda y la longitud del radio.
A continuación analizaremos tres situaciones
distintas.
1.- Rotación de una rueda sobre el plano:
En cada vuelta barre la longitud de la circunferencia (2
R) en n vueltas barre 2 Rn. Luego
n = numero de vueltas que da la rueda al
desplazarse
L = longitud del arco barrido por la rueda
R = radio de la rueda
271
α R
R = 1 radian
A
O
B
SO = C g = R rad
α R
RL =
R
L = 2Rn
L = 2RnL = 2Rn R2
Ln
π
2.- Rotación de una rueda sobre una superficie
circular cóncava
3.- Rotación de una rueda sobre una superficie
circular convexa
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
A la porción sombreada de la figura ,se le denomina
sector circular
Si el es el ángulo central expresado en radianes, de
una circunferencia de radio r y si “S “denota el área de
un sector circular subtendido por entonces:
RAZON TRIGONOMETRICA
Es el cociente que se obtiene al dividir las longitudes de
dos de los lados de un triángulo rectángulo con respecto
a un ángulo agudo.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL
TRIANGULO RECTÁNGULO ( R T )
En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 90o y los
otros dos ángulos agudos a su lado mayor se llama
hipotenusa y a los lados menores se le llama catetos
Si ACB es un triángulo rectángulo recto en C, las
razones trigonometrías de se define:
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULO
COMPLEMETARIOS.
CO - RAZONES
Dado el triángulo rectángulo ACB
272
R R
r r
Rrr
α
SAOB =
cC
B
A
α
bβ
ac
o90βαβ CscαSen
a
cβ Csc
a
cα Sec
o90βαβCtan αTan
ba
βCtan
ab
αTan
o90βαβ CosαSen
c
bβ Cos
c
bαSen
C
B
A
α
bβ
acC
RAZONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS (Recíproca)
Una razón trigonométricas es inversa o reciproca de otra
si sus valores son uno el inverso del otro Aplicando esta
definición en el ABC se obtiene los siguientes
resultados:
RAZONES TRIGONOMETRICAS
DE ÁNGULOS NOTABLES
Para Calcular las razones trigonométricas de ángulos
notables, citaremos tres triángulos notables.
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Todo ángulo trigonométrico tiene tres elementos:
LI = Lado Inicial, V = Vértice
LF = Lado Final
Observación:
Si el sentido es horario el signo del ángulo es
negativo.
Si el sentido es antihorario, el signo del ángulo
es positivo.
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Sea un ángulo trigonométrico en posición normal , (x;
y) un punto de su lado final y r (r > 0) el radio vector
de dicho punto, entonces las Razones Trigonometrías
de , se definen como sigue:
SIGNOS DE LA RAZONES
TRIGONOMETRICAS
Desde que las razones trigonometrías depende de dos
cantidades: abcisa, ordenada y / o radio vector ,
reconocemos que la R.T tienen un signo que viene dado
por la combinación de los signos que posean las
cantidades de las que ellas dependa. Es oportuno
sintetizar todas estas combinaciones posibles en los
273
30o 60o 45o 37o 53o
Sen
Cos
Tan 1
Ctan 1
Sec 2
Csc 2
LF
V LI
x
y
r
(x,y)
siguientes esquemas lo mismo que se constituyen en
una regla práctica.
Así se concluye que :
a) En el IC todas las R.T son positivas
b) En el IIC sólo son positivas el seno y la
cosecante.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS
NEGATIVOS
Sen (- ) = - Sen
Cos (- ) = Cos
Tg (- ) = - Tg
Ctg (- ) = - Ctg
Sec (- ) = Sec
Csc (- ) = - Csc
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS
CUADRANTALE
REDUCCIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTICAS AL
PRIMER CUADRANTE
r : ángulo de referencia del I cuadrante
: ángulo a reducir
Fórmula General
RT = RT r
Casos:
a) Si IIC r = 180º -
b) Si IIIC r = - 180º
c) Si IV C r = 360º -
Rt ( ) = Rt entonces:
Rt (180º ) = Rt
Rt (2 ) = Rt entonces :
Rt(360º )= Rt
Rt (/2 ) = Co-Rt entonces :
Rt(90º ) = Co-Rt
Rt = Co-Rt entonces :
Rt (270º ) = Co-Rt
: ángulo agudo
Cuando > 360°
360º = n x 360º A
n : # de vueltas
A : ángulo buscado
Si A > 90° o / 2 se reduce al 1er cuadrante utilizando
cualquiera de los casos.
Nota :
El signo depende del cuadrante en que se ubica la RT.
inicial
Ejemplo:
Sen 570º = Sen 210º 210º IIIC
r = 210º – 180º = 30º
Signo = Sen está en el III C (-)
IDENTIDADES
La columna vertebral de la trigonometría la constituyen
las identidades trigonométricas sin las cuales seria
materialmente imposible reducir o simplificar todas las
fórmulas trigonométricas en especial las de ángulo
compuestos, ángulos múltiples etc.
IDENTIDAD:
Una identidad de dos expresiones matemáticas que al
asignar cualquier valor real a sus variables siempre se
obtiene una igualdad numérica.
IDENTIDAD TRIGONOMETRICA:
Designamos con este nombre a aquella igualdad entre
Razones trigonométricas que se verifican para todo
valor admitido de su variable angular.
Las Identidades trigonométricas par un mejor estudio, se
clasifican en cuatro grupos
Identidades fundamentales
Identidades de Arco Compuesto
Identidades de Arco Múltiple ( doble, mitad y triple )
identidades de la suma o diferencia de seno y
coseno a producto y viceversa ( transformaciones
trigonométricas)
274
(rad) 0 y 2 / 2 3 / 2
(grados) 0o y 360o 90o 180o 270o
Sen 0 1 0 -1
Cos 1 0 -1 0
Tan 0 0
Ctan 0 0
Sec 1 -1
Csc 1 -1
(+) Sen -Csc
(+) Tan - Cotan (+) Cos- Sec
(+) Todas
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Una identidad trigonométricas es una igualdad que
involucra expresiones trigonometrías. La cual se verifica
par todos los valores admisibles de las variables entre
ellas tenemos:
IDENTIDADES RECÍPROCAS:
IDENTIDADES DE COCIENTE :
IDENTIDADES PITAGÓRICAS :
IDENTIDADES AUXILIARES:
Conociendo las identidades fundamentales y mediante
el uso de identidades algebraicas se demuestran las
siguientes identidades:
Sen4 x + Cos4 x 1 - 2 Sen2 x . Cos2 x
Sen6 x + Cos6 x 1 - 3 Sen2 x . Cos2 x
Sec2 x + Csc2 x = Sec2 x .Csc2 x
( Senx Cosx)2 = 1 2Senx.Cosx
Tan2 x – Sen2 x = Tan2 x .Sen2 x
Cot2x – Cos2 x = Cot2x.Cos2 x
TIPO DE PROBLEMAS SOBRE IDENTIDADES
FUNDAMENTALES
Se podrá indicar la siguiente clasificación:
I.- Demostración de identidades:
1. Se debe conocer las identidades
fundamentales , es decir las identidades reciprocas , de
cociente y pitagóricas
2. Si uno de los lados de la identidad parece más
complejo que el otro. Intente simplificar el lado mas
complejo y transformarlo, paso a paso, hasta que se vea
exactamente como el otro de la identidad. Este paso
podría ser mas sencillo si escribe de nuevo todas las
expresiones trigonometricas en términos de seno y
coseno.
Ejemplo 1 :
Demuestre la siguiente identidad:
Tan x + Ctan x = Secx.Cscx
Resolución:
Tan x + Ctan x = Secx.Cscx
= Secx.Cscx
= Secx.Cscx
= Secx.Cscx
Secx.Cscx = Secx.Cscx
II.- Problemas de simplificación o reducción:
Significa , simplificar la expresión a su mínima expresión
con ayuda de las identidades fundamentales y las
auxiliares
Ejemplo 1 :
Reducir la expresión:
M= (RCosx)2 +( RSenx.Cosy)2+(Rsenx.Seny)2
Resolución:
Factorizando: (Rsenx)2
M = (RCosx)2+ (RSenx)2(Sen2x + Cos2 x)
M = (RCosx)2+ (RSenx)2(1)
M= R2 (Sen2x + Cos2 x)
M = R2
III.- Problemas con condición:
Para este tipo de problemas la expresión que se pide
calcular depende de la condición, por tanto se
recomienda poner la expresión que se pide calcular en
términos de la condición ó viceversa. También, si fuese
275
Sen x. Csc x = 1Cos x . Sec x = 1Tan x . Ctan x = 1
Tan x =
Ctan x =
Sen2 x + Cos2 x = 11 + Tg2 x = Sec2 x1 + Ctg2 x = Csc2 x
posible, se puede calcular el valor de una razón
trigonométrica de la condición y utilizarlo en la expresión
que se pide calcular.
Ejemplo 1:
Si Sec x + Tan x = 2
Calcular el valor de Sec x
Resolución:
De la identidad pitagórica
Sec2 x = 1 + Tan2 x
Sec2 x – Tan2 x = 1
(Secx+ Tanx)( Secx- Tanx) = 1
2 (Secx- Tanx ) = 1
Secx – Tanx = 1 / 2
Sec x + Tan x = 2
2Sec x = 5 / 2
Sec x = 5 / 4
III.- Problemas de la eliminación de la variable
angular:
Dadas las condiciones de la variable angular se
puede eliminar efectuando operaciones algebraicas con
las condiciones, de modo que conduzca a la eliminación
de la variable angular.
Ejemplo 1:
Eliminar el ángulo “ “ a partir de :
Sen + Cos = a …….. ( I )
Sen . Cos = b ………( II )
Resolución:
Elevando al cuadrado (I)
(Sen + Cos )2 = a2
Sen2 + Cos2 +2 Sen . Cos =a2
1 + 2 Sen . Cos = a2
de la (II) obtenemos : 1 + 2 b = aFUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULO
COMPUESTOS
Empezaremos nuestro estudio analizando las funciones
trigonométricas seno , coseno , tangente y cotangente
de la adición y la sustracción de dos números o arcos
dirigido :
FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA SUMA
DE DOS ÁNGULOS
FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA
DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS :
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LA SUMA
DE TRES ÁNGULOS :
Notación
S( + + ) = SCC + SCC + SCC - S
S S
C( + + ) = SCC - CSS - CSS -
CSS
IDENTIDADES AUXILIARES
Si : + + = 90° se cumple :
Tan . Tan + Tan . Tan + Tan . Tan = 1
Cot + Cot + Cot = Cot . Cot . Cot
Sen2 + Sen2 + Sen2 = 1 – 2Sen . Sen. Sen
Cos2 + Cos2 + Cos2 = 2 (1+Sen . Sen. Sen)
Si : + + = 180° se cumple :
Tan + Tan + Tan = Tan . Tan . Tan
Cot . Cot + Cot . Cot + Cot . Cot = 1
276
Sen ( + ) = Sen Cos + Cos Sen Cos ( + ) = Cos Cos - Sen Sen
Tan ( + ) =
Ctan ( + ) =
Sen( - ) = Sen Cos – Cos Sen Cos( - ) = Cos Cos + Sen Sen
Tan( - ) =
Ctan( - ) =
Sen( + ) Sen ( - ) = Sen2 - Sen2 Cos( + ) Cos ( - ) = Cos2 - Sen2
Tan + Tan =
Tan - Tan =
Cot + Cot =
Cot - Cot =
Tan + Tan + Tan(+) . Tan Tan = Tan(+)
Tan(+)-Tan - Tan = Tan(+ ) . Tan . Tan
Tan
Cot
Sen2 + Sen2 - Sen2 = 2 Sen . Sen. Sen
Cos2 + Cos2 + Cos2 = 1- 2Cos .Cos . Cos
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ÁNGULO
DUPLO :
Asumiendo que x es el ángulo simple , su doble
será 2x ; bien lo que buscamos ahora es expresar
una función trigonometría de un ángulo doble
( 2x )en términos de funciones trigonometrías del
ángulo simple ( x ) .
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
IDENTIDADES ADICIONALES :
1+Tan2x 2 Tan x
2x
1 – Tan2 xIDENTIDADES PARA “ DEGRADAR”
IDENTIDADES AUXILIARES
IDENTIDADES DE ARCO MITAD :
Ahora intentaremos expresar una función de un ángulo
mitad ( ) en términos de un ángulo simple ( x ) .
ángulo simple ( x ) .
Nota : La eliminación del valor absoluto depende del cuadrante al cual pertenece x/2.
IDENDIDADES ADICIONALES :
IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE:
A continuación trataremos de expresar una función
trigonométricas de un ángulo triple (3x ) en términos de
su ángulo simple ( x )
IDENTIDADES ADICIONALES
277
Sen 2x = 2Sen x . Cos xCos 2x = Cos2 x – Sen2 xCos 2x = 1 – 2Sen2xCos 2x = 2Cos2x - 1
Tan 2x =
Sen 2x =
Cos 2x =
Cot x + Tan x = 2Csc 2xCot x - Tan x = 2Cot 2x
1 + Sec 2x =
Sen 3x = 3Sen x – 4Sen3 xCos 3x = 4Cos3x – 3Cos x
Tan 3x =
4 Sen3 x = 3 Sen x – Sen 3x
Sen 3x = Sen x (2Cos2x+1)
4 Cos3 x = 3 Cos x + Cos 3x
Cos 3x = Cosx( 2Cos2x –1 )
4 Senx .Sen (60°-x) .Sen (60°+x) = Sen3x
4 Cosx .Cos (60°-x) .Cos (60°+ x) = Cos3x
Tanx .Tan (60°-x) .Tan (60°+ x) = Tan 3x
2 Sen2 x = 1 – Cos2 x2 Cos2 x = 1 + Cos2 x8 Sen4 x = 3 – 4 Cos 2x + Cos 4x8 Cos4 x = 3 + 4 Cos 2x + Cos 4x
EJERCICOS DE RESUELTOS
PROBLEMA Nº 01
Un ángulo mide (6 n)g y su complemento mide
(12 n + 3)° ¿Cuánto mide el suplemento de dicho
ángulo en radianes?
SOLUCION
1-
2-
Suplemento del ángulo
PROBLEMA Nº 02
En la expresión algebraica :
simplificar y dar respuesta en términos de sec
SOLUCION
Respuesta
EJERCICIOS
PROBLEMA Nº 01
Simplificar : R =
a) b) 1 c) 2 d) e)
PROBLEMA Nº 02
Sabiendo que: sen (60 - ) = . Calcular:
F = Sen 3
a) b) c) d) e)
PROBLEMA Nº 03
Si : tg (45 – x) = 4 Calcular tg2x
a) b) c) d) e)
278
¡APRENDIENDO A RESOLVER ………………………………………… RESOLVIENDO!