Análisis de la impedancia reflejada
Como una primera aproximación a una teoría cuantitativa, considere un transformador con un
devanado primario de N1 número de vueltas y un devanado secundario de N2 número de vueltas,
como se esquematiza en la siguiente figura. Note que la corriente secundaria se define como
positiva y hacia fuera del devanado; por lo tanto, la corriente secundaria positiva produce una
fem en dirección opuesta con respecto a la corriente primaria. Considere que las propiedades de
este transformador se idealizaron bajo la suposición de que es posible ignorar las resistencias
del devanado, ya que todo el flujo se limita al núcleo y vincula ambos devanados (por ejemplo, el
flujo de dispersión no se considera); asimismo, que no existen pérdidas en el núcleo y que la
permeabilidad del núcleo es tan alta que únicamente se requiere una fem de excitación
demasiado pequeña que es posible ignorar para establecer el flujo. Estas propiedades son
aproximadas a la realidad, sin embargo, para los transformadores no es posible obtenerlas en la
práctica. Un transformador hipotético que posee estas propiedades con frecuencia se denomina
transformador ideal.
Bajo las suposiciones citadas en el párrafo anterior, cuando se aplica un voltaje de variación
temporal v1 en las terminales primarias, deberá establecerse un flujo del núcleo de tal modo
que el medidor de fem el iguale el voltaje aplicado. Por lo tanto, tenemos la siguiente expresión
a)
El flujo del núcleo también vincula el devanado secundario y produce una fem inducida e2 y un
voltaje en la terminal secundaria v2 igual, dada por la ecuación
b)
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Figura 1: Transformador ideal y
carga
A partir de las ecuaciones a) y b)
c)
De esta manera, un transformador ideal varía los voltajes en proporción directa con el número de
vueltas de sus devanados. Ahora considere que se ha conectado una carga al devanado
secundario. Una corriente y un fem se encuentran presentes en el devanado secundario.
Dado que la permeabilidad del núcleo se supone mayor y que el voltaje principal aplicado
establece el flujo del núcleo como se especifica en la ecuación 2.8, el flujo del núcleo no cambia
por la presencia de una carga en el devanado secundario, y por lo tanto, la fem de excitación
neta que actúa en el núcleo
(igual a ) no presentará una variación, y como consecuencia permanecerá sin
considerarse despreciable. Tenemos la siguiente expresión
d)
A partir de la ecuación anterior se observa que una fem compensadora principal deberá cancelar
la secundaria. Por lo tanto,
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e)
De esta manera, se observa que el requisito para que la fem neta permanezca constante es el
medio por el cual el devanado principal sabe de la presencia de la corriente de carga en el de-
vanado secundario; cualquier cambio en el flujo de la fem en el devanado secundario como
consecuencia de una cara deberá acompañarse por un cambio correspondiente en la fem del
devanado primario. Advierta que para las indicaciones de referencia que se presentan en la
formula las fuerzas magnetomotrices de é se encuentran en
direcciones opuestas y por lo tanto se compensan. Como consecuencia, la fem neta que actúa
en el núcleo es cero, de acuerdo con la suposición de que la corriente de excitación de un
transformador ideal es cero.
A partir de la ecuación e) tenemos la siguiente ecuación
f)
De esta forma, un transformador ideal convierte las corrientes en la proporción inversa del
número de vueltas en los devanados que posee. También advierta que a partir de las ecuaciones
c) y f) tenemos la siguiente expresión
g)
Por ejemplo, la entrada de potencia instantánea del devanado primario equivale a la salida de
potencia instantánea del devanado secundario, lo cual es una condición necesaria debido a que
se han ignorado todos los mecanismos de dispersión y de acumulación de energía en el
transformador.
2-a) 2-b) 2-c)
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Figura 2: Se muestran tres circuitos que son idénticos en sus terminales ab cuando el
transformador es ideal.
Es posible observar una propiedad adicional del transformador ideal al considerar el caso de un
voltaje sinusoidal aplicado y una carga de impedancia. Puede ser utilizado un simbolismo
fasorial. El circuito aparece simplificado en la figura 2, en donde las terminales punteadas del
transformador corresponden a las terminales marcadas de manera similar en la figura 1.
Estas marcas punteadas indican terminales de polaridad correspondiente; por ejemplo, si una de
ellas sigue a través de los devanados primario y secundario como el caso de la figura 1,
comenzando en sus terminales punteadas, se encontrará que ambos devanados encierran al
núcleo en la misma dirección que el flujo. Por lo tanto, si se comparan los voltajes de ambos
devanados, los voltajes de una terminal punteada a una sin marcar serán de la misma polaridad
instantánea tanto para el devanado primario como para el secundario. En otras palabras, los
voltajes y de la figura 2-a) se encuentran en fase. También las corrientes e se
encuentran en fase, tal como se observa en la ecuación d). Advierta de nuevo que la polaridad
de se define como dentro de la terminal punteada y la polaridad de se define como fuera de
la terminal punteada.
A continuación se investigan las propiedades de transformación de impedancia del transformador
ideal. En forma de fasorial, las ecuaciones c) y f) se expresan de la siguiente forma
y h)
y i)
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A partir de estas ecuaciones tenemos la siguiente expresión
Observe que la impedancia de carga se relaciona con los voltajes secundarios y las corrientes
donde es la impedancia compleja de la carga. Como consecuencia, en lo que respecta a este
efecto, una impedancia en el circuito secundario puede reemplazarse por una impedancia
equivalente en el circuito primario, sólo si
De esta forma, los tres circuitos de la figura 2 no se distinguen entre sí mientras su
funcionamiento se observe desde el punto de vista de sus terminales ab. A la transferencia de
impedancia de un lado al otro de un transformador se le denomina referir o reflejar la
impedancia al otro lado; las impedancias se transforman al cuadrado de la razón del número de
vueltas. De manera similar, es posible referir los voltajes y las corrientes de un lado a otro
utilizando las ecuaciones h) é i) para evaluar el voltaje equivalente y la corriente de ese lado.
Para resumir, en un transformador ideal los voltajes se convierten en proporción directa con el
número de vueltas del devanado, las corrientes en proporción inversa y las impedancias en
proporción directa al cuadrado; la potencia y los volts amperes permanecen sin cambios.
Reactancias del transformador y circuito equivalentes
Las diferencias técnicas de un transformador real a un transformador ideal deberán incluirse en
mayor o menor grado en la mayoría de los análisis del funcionamiento de un transformador; un
ejemplo más completo deberá tomar en cuenta los efectos de la resistencia del devanado, los
flujos de dispersión, así como la corriente de excitación finita debido a la permeabilidad finita del
núcleo (a su no linealidad). En algunos casos las capacitancias de los devanados también
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afectan de manera importante, lo cual es notable en problemas que tienen que ver con el
comportamiento del transformador en frecuencias por debajo de la gama de frecuencias audibles
o durante condiciones de rápida transición como las que se encuentran en los transformadores
de sistema de potencia; por ejemplo, el sobrevoltaje causado por alumbrado o disyunción. El
análisis de los problemas relacionados con la frecuencia alta se encuentra fuera de los temas
que se tratarán en esta publicación, en consecuencia, las capacitancias de los devanados no
serán consideradas.
Los dos métodos de análisis que toman en cuenta las diferencias técnicas de los
transformadores citados con respecto a los transformadores ideales son: 1) una técnica de
circuito equivalente que se basa en el razonamiento físico y 2) una aproximación matemática que
se fundamenta en la teoría clásica de circuitos acoplados magnéticamente. Ambos métodos se
usan cotidianamente y poseen analogías en las teorías de las máquinas rotativas. Debido a que
estos métodos ofrecen un valioso ejemplo del proceso de pensamiento relacionado con la
transformación de conceptos físicos a una teoría cuantitativa, en esta ocasión se presenta la
técnica de circuito equivalente.
Para iniciar la elaboración de un circuito equivalente, se considerará en primer lugar al devanado
principal. El flujo total que vincula el devanado principal se divide en dos componentes: el flujo
mutuo resultante, que está limitado esencialmente al núcleo de hierro y es producido mediante el
efecto combinado de las corrientes primaria y secundaria; además del flujo de dispersión
principal, que vincula únicamente el devanado principal. Estos componentes se presentan en el
transformador esquemático que aparece en la figura 3, donde, para fines de simplicidad, los
devanados primario y secundario se ubican en columnas opuestas del núcleo. En un
transformador real con devanados de distribución alterna, los detalles de cómo se distribuye el
flujo son más complicados, pero las características esenciales permanecen iguales.
Por su parte, el acoplamiento flujo de dispersión induce un voltaje en el devanado principal que
se añade al producido por el flujo mutuo. Debido a que el patrón de dispersión es mayor a través
del aire, este flujo y el voltaje inducido por dicho patrón, varían linealmente con la corriente
primaria . Por lo tanto, pueden representarse mediante una inductancia de dispersión primaria
(igual al flujo de dispersión que vincula con el devanado primario por unidad de corriente
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primaria). La reactancia de dispersión principal correspondiente se determina a partir de la
ecuación
Además, existirá una caída de voltaje en la resistencia principal .
En este momento se observa que el voltaje terminal principal se compone de tres elementos:
la caída: en la resistencia principal, la caída que surge a partir del flujo de dispersión
principal y la fem inducida en el devanado principal por medio del flujo mutuo resultante.
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Figura 4: Etapas del desarrollo de un circuito equivalente del transformador.
La figura 4 muestra un circuito equivalente para un devanado primario que incluye cada uno de
estos voltajes. El flujo mutuo resultante vincula ambos devanados y se crea al combinar su fem.
Es conveniente tratar estas fuerzas magnetomotrices considerando que la corriente principal
deberá estar al tanto de dos requisitos del circuito magnético: no sólo deberá producir la fem que
se requiere para producir un flujo mutuo resultante, al mismo tiempo deberá contrarrestar el
efecto de la fem secundaria que actúa para desmagnetizar el núcleo. Un punto de vista
alternativo es que la corriente primaria no sólo deberá magnetizar el núcleo, sino también
suministrar corriente a la carga conectada al devanado secundario. De acuerdo con este cuadro,
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es conveniente dividir la corriente principal en dos componentes: un componente de excitación y
un componente de carga. El componente de excitación se define como la corriente principal
adicional que se requiere para producir el flujo mutuo resultante. Ésta es una corriente no
sinusoidal del tipo que se describió anteriormente. El componente de carga se define como la
corriente componente en el devanado principal que contrarrestará de manera exacta la fem de la
corriente secundaria . Al considerar que el componente de excitación es el que produce el flujo
en el núcleo, la fem neta deberá ser igual a la por lo tanto, se obtiene la siguiente ecuación
Y apartir de la ecuación anterior se observa que
De la ecuación anterior, se observa que el componente de carga de la corriente principal iguala
la corriente secundaria relacionada con la primaria, como en el caso de un transformador ideal.
La corriente de excitación, puede tratarse como una corriente sinusoidal equivalente y dividirse
en un componente de pérdida del núcleo en fase con la fem y un componente magnetizante
que desfasa aproximadamente 90°. En un circuito equivalente (figura 4-b) la corriente de
excitación sinusoidal equivalente se mide por medio de una rama paralela conectada a través de
que comprende una resistencia de pérdidas en el núcleo en paralelo con una inductancia
magnetizante cuya reactancia se denomina reactancia magnetizante y está dada por la
siguiente ecuación
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En el circuito equivalente de la potencia (figura 4-b) se mide la pérdida de núcleo que se
debe al flujo mutuo resultante. Por lo tanto, se conoce como la resistencia magnetizante o
resistencia de pérdidas del núcleo y junto con conforma la rama de excitación del circuito
equivalente; por lo tanto, a la combinación paralela de y se le conocerá como la
impedancia de excitación . Cuando se asuma que es constante, se considera que la
pérdida del núcleo tendrá una variación como o (para ondas seno) como , donde
es el valor máximo del flujo mutuo resultante. Hablando estrictamente, la reactancia
magnetizante varía según la saturación del hierro. Cuando se asume que es constante, la
corriente magnetizante se considerará independiente de la frecuencia y directamente
proporcional al flujo mutuo resultante. Tanto como por lo general se determinan de
acuerdo con un voltaje y frecuencia nominales; entonces se asume que estos dos términos
permanecerán constantes para las pequeñas diferencias técnicas de los valores establecidos
asociados con una operación normal.
A continuación, al circuito equivalente mostrado anteriormente se añadirá una representación del
devanado secundario. Se comenzará por reconocer que el flujo mutuo resultante induce una
fem en el devanado secundario, y ya que este flujo vincula ambos devanados, la proporción
de fem inducida deberá igualar la proporción del número de vueltas en el devanado, por ejemplo,
tal como ocurre en un transformador ideal. Esta transformación de voltaje y la conversión de
corriente de la ecuación pueden medirse introduciendo un transformador ideal en el
circuito equivalente, como en el caso de la figura 4-c. Como en el caso del devanado primario,
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donde la fem no es el voltaje terminal secundario; sin embargo, debido a la resistencia
secundaria y también a la corriente secundaria se crea un flujo de dispersión secundario
(ver figura 3). El voltaje terminal secundario difiere del voltaje por la caída de voltaje que se
debe a la resistencia secundaria y a la reactancia de dispersión secundaria
(correspondiente a la inductancia de dispersión secundaria ), como sucedió en la porción del
circuito completo equivalente al transformador (figura 4-c) a la derecha de .
A partir del circuito equivalente de la figura 4, es posible observar que el transformador real, por
consecuencia, será equivalente a un transformador ideal más sus impedancias externas. Al
referir todas las cantidades al devanado primario o secundario, el transformador ideal
esquematizado en la figura 4-c podrá moverse a la derecha o a la izquierda, respectivamente, del
circuito equivalente. Esto es invariablemente posible y el circuito equivalente por lo general se
esquematiza como en la figura 4-d con el transformador ideal no visible, además de todos los
voltajes, corrientes e impedancias referidas ya sea al devanado primario o secundario. De forma
específica para la figura 4-d,
Al circuito de la figura 4-d se le denomina circuito equivalente T para un transformador. En la
figura 4-d, en donde las cantidades secundarias se refieren al devanado primario los valores
secundarios referidos se indican como primas, por ejemplo y , con el fin de distinguirlos
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de los valores reales en la figura 4-c. Sólo debe recordarse el lado del transformador al que se
referirán todas las cantidades.
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Ejemplos:
El circuito equivalente de la figura, muestra un transformador ideal con una impedancia de
conectado en serie con el secundario. La proporción de vueltas es de
.
1.- Dibuje un circuito equivalente con la impedancia serie proferida al lado primario,
2.- Para un voltaje primario de 120Vrms y un corto conectado a través de las terminales A-B,
calcule la corriente principal y la corriente que fluye en el corto.
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3.- Calcule en el mismo circuito, ahora para una impedancia serie de y
una proporción de vueltas de 14:1.
4.- Un sistema monofásico de potencia consta de un generador de 480V a 60Hz que alimenta
una carga a través de una línea e impedancia . Si el
sistema de potencia es exactamente como se describe a continuación ¿Cuál será el voltaje en la
carga? ¿Cuáles serán las pérdidas en la línea de transmisión?
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5.- Un transformador de 250 kVA, 4160 V/ 480V, 60 Hz tiene una impedancia de 5.1%. Calcule la
impedancia base del lado del primario y del secundario.
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