1Metrologa..Medicin
Incertidumbre
Por: Rildon Valqui Cieza
Enfoque
Intuitivo (nos falta estadstica y tiempo)
Prctico(queremos trabajar en el laboratorio)
2
Indice
Medidas.
Unidades.
Clculo de incertidumbres.
Presentacin de resultados.
Media ponderada.
Regresin lineal.
Interpolacin.
Ejercicios
3
Medir
4
Comparar una cantidad con su respectiva
unidad, con el fin de averiguar cuantas
veces la segunda est contenida en la
primera.
Partes de una medida I
5
Si medimos el largo de una mesa ...
125,634
El resultado podra ser ?
125,634 cm
125,634 17,287 cm
125 17 cm
Partes de una medida II
6
Al medir una mesa podemos obtener
125 17 cm
valor
incertidumbre
Presen
tacinunidades
Error e incertidumbre I
7
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
Xmedido
DX Xreal
DX
Error e incertidumbre II
8
Xmedido
DX Xreal
DX
Error = Xreal XmedidoXreal (Xmedido -DX, Xmedido +DX)
Nivel de Confianza
DX depende de lo seguros que queramos estar
Nivel de confianza = fraccin de las veces que quiero acertar. 99%, 95%...
9
Xmedido
DX Xreal
DX
Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
10
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2 L1
L2
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
11
Sistemticos
Aleatorios
Derivados de los anteriores
Errores sistemticos
Errores sistemticos
Limitaciones de los aparatos o mtodos
12
Precisin
Calibracin
731072
Errores aleatorios I
Factores que perturban nuestra medida.
13
Suma de muchas causas
Tienden a ser simtricos.
Se compensan parcialmente.
Repetir las medidas.
Estadsticamedidas
Xreal
Errores aleatorios II
Distribuciones
Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios.
Tienden a curvas tpicas
14
Xreal
x xx
xx xx
xxx
x x
Cmo estimar el resultado
Frente a errores sistemticos.
Frente a errores aleatorios.
15
Medir correctamente
Calibrar los aparatos
Se compensan repetir varias veces la medida
La media es el valor ms probable
n
i
i
n
XX
1
Incertidumbre
Se suele expresar como:
Se suele descomponer en:
16
1. Incertidumbre factores sistemticos: ES1,ES2...
Destaca la de precisin
2. Incertidumbre factores aleatorios: EA
1. Absoluta: DX
2. Relativa:X
XEr
D
X
XenEr
D100%
Incertidumbre de precisin Es En casos sencillos la estimaremos como:
A veces depende del experimentador
No es fcil definir su intervalo de confianza
17
La mitad (?) de la divisin menor de la escala
Ej: Balanza
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronmetros
Incertidumbre aleatoria EA
Para n medidas
18
n
nntEA
11
--
s = Desviacin
tpica de las medidas
Desviacin tpica de la media
Factor de cobertura
t de Student
s: la dispersin de los datos
19
( ( ( (
12
2
13
454443
1
222
1
2
2
1
2 -
-+-+-
-
-
-
n
xx
s
n
i
i
n
4
Xreal
3 5
4X
Medir la separacin con respecto al valor real ?
No conocemos el valor real
Medir la separacin con respecto al valor medio ?
Cmo?
s: propiedades
Es la distancia del valor real a la que estar ms probablemente un nuevo dato
20
ctesn
Tiene las mismas unidades que el resultado
Dispersin de la media
SI hiceramos muchos grupos de n medidas...
La media es ms precisa que cualquier dato, los errores aleatorios se compensan
Pero despacio ....
Los errores de precisin no se compensan
21
n
ssX
t de Student
Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeo y
conlleva un nivel de confianza variable 4 multiplicamos por un factor
corrector.
Si a es el nivel de confianza a 0,95 p=0.05.
Para pocas medidas s= n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar.
Quien fue Student ?
22
X Xs XsX D
nt)()1( 444 pttt - a
Coeficientes tn
23
n 1 2 3 4 5 10 20 40
tnP=0.1
6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,81 1,72 1,68 1,64
tnP=0.05
12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,23 2,08 2,02 1,96
tnP=0.01
63,6 9,92 5,84 4,60 4,03 3,16 2,85 2,70 2,58
t de Student
Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeo y conlleva un nivel de confianza variable 4multiplicamos por un factor corrector.
Si a es el nivel de confianza a 0,95 p=0.05.
Para pocas medidas s= n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar.
Quien fue Student ?
24
X Xs XsX D
nt
)()1( 444 pttt - a
Un poco de Historia:Student
Inglaterra - Irlanda
Control de calidad industrial
Extraemos un nmero pequeo de muestras de un lote grande.
Representan al producto ?
25
W. Gosset 1876-1937
Ejemplo
Me peso varios das seguidos en iguales condiciones
26
Da L M X J V
Masa
(kg)73 72 74 72 73
kgM 8,725
)7372747273(
++++
Ejemplo
Me peso varios das seguidos en iguales condiciones
27
Da L M X J V
Masa
(kg)73 72 74 72 73
kgM 8,72
( ( ( ( ( 15
8,72738,72728,72748,72728,727322222
1-
-+-+-+-+--n
kgn 837,01 -
78,241 - ttn
kgtE nA 0415
8370782
5
14 ,
,, -
Incertidumbre total
Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:
Propiedades
28
+++D 222
1
2 X 22SA EEX +D
ASASA
SASASA
EEEEE
EEEEEE
+
++
22
22
,
,
Resumen medidas directas
29
22
SAfinal EEX +D
ES Media divisin
mniman
nntEA
11
--
XX final
Ejemplo
Me peso varios das seguidos en iguales condiciones
30
Da L M X J V
Masa
(kg)73 72 74 72 73
kgM 8,72
kgEA 97,0
kgES 50,
kgM 091,15,097,0 22 +D
( kgM 091,1800,72 Presentacin incorrecta !
Medidas indirectas I
Dependen de otras mediantes expresiones matemticas
Ej: Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L = 5 1 cm A 25 cm2 , DA ?
Recordando derivadas...
31
LdL
dAA
L
A
LdL
dAD
D
D
D
D
0
lim
Medidas indirectas II
Significado DA, DL
Vlido si DL pequeo
Interpretacin geomtrica
32
LLALdL
dADD 22
DL
DL
L
L
Medidas indirectas III
Area de un rectngulo
A = L1 x L2 L1 conocido perfectamente
Y si L1, ,L2 inciertos ?
33
211
2
LLALdL
dADD
DL2
DL2
L1
L2
L1
Medidas indirectas IV
Errores independiente se compensan parcialmente
34
?1221 LLLLA D+DD
DL1 x DL2L1 x DL2
L2 x DL1
L2
L1
( ( 222
21 LLLLA D+DD
Medidas indirectas V
( ,, 21 XXfY
35
+
D
+
D
D
2
2
2
2
1
1
XX
YX
X
YY
Derivada parcial de Y respecto a X1
Derivadas parciales
1X
Y
36
Como vara Y si vara slo X1
( ,, 21 XXfY
EJEMPLOS
zxy 43 +
32zxy
V
M
hrV 2
Casos simples
21 XXY
37
( ( 222
1 XXY D+DD
XcY XcY DD
21 XXY 2
2
2
2
1
1
D+
DD
X
X
X
XYY
2
1
X
XY
nXY X
XnYY
DD
Ejemplo (casi) completo I
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
38
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
V
M
1
23
Ejemplo (casi) completo II
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
39gEEM AS 282022
.+D
gES 05.0ggEA 278052240
782 ..
.
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1gM 400.14
gM 282040014 ..
Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
40
3
3
4rV rrr
r
VV D
D
D 2
2
4
33,12,4 cmV
r
r
V
VE VR
D
D 33.0,
Ejemplo (casi) completo IV
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
41
?0335,14377,33cm
g
V
M
22
D+
DD
V
V
M
M
Presentacin de resultados
Los resultados se presentan redondeados
43
1. NO tengo tanta precisin en D como pretendo
2. Si tengo una incertidumbre de unidades...Por qu doy diezmilsimas en ?
?0335,14377,33cm
g
3)0,14,3(cm
g
?0,14377,33cm
g
Cifras significativas
Cifras significativas Todas salvo los ceros a la izquierda
Sobreviven a un cambio de notacin
Ejemplos:
44
c.s. 3 0,670 c.s 2 0,67
c.s. 3 670 c.s. 2 67
s. c. 3 10 123 c.s. 3 0,123
c.s. 3 10 123 c.s. 3 123
3-
3
Reglas (arbitrarias) de Redondeo
45
La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
El valor se expresa con tantos decimales como la
incertidumbre.
Valor e incertidumbre se expresan con las mismas
unidades y potencia de 10.
Comparacin de resultados
46
Resultados compatibles
Resultado ms preciso.
Review of particle porperties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11
Calculadora
47
Excel
Clculos para la curva caracterstica de una resistencia
I) Medida de I frente a V (Salamanques & Anitua)
Promax (40 mA)
V (V) DV (V) I(mA) DI(mA) R(kW) DR(kW) I_teor(mA) I_residuo(mA) 1/DR(kW) 2^ R(kW)/DR(kW) 2^
1.00 0.101 0.45 0.0145 2.22222 0.23558985 0.455 0.005 18.01718182 40.03818182
4.00 0.104 1.82 0.0282 2.19780 0.06652046 1.80964286 -0.010357143 225.9901621 496.6816749
7.00 0.107 3.17 0.0417 2.20820 0.04453215 3.16428571 -0.005714286 504.2578521 1113.503143
10.00 0.110 4.52 0.0552 2.21239 0.03636286 4.51892857 -0.001071429 756.2824602 1673.191284
13.00 0.113 5.86 0.0686 2.21843 0.03234635 5.87357143 0.013571429 955.7611244 2120.289184
16.00 0.116 7.22 0.0822 2.21607 0.02991129 7.22821429 0.008214286 1117.711575 2476.923157
19.00 0.119 8.58 0.0958 2.21445 0.02834979 8.58285714 0.002857143 1244.228592 2755.284761
22.00 0.122 9.95 0.1095 2.21106 0.0272474 9.9375 -0.0125 1346.944938 2978.169713
II) Regresin Lineal
Media x: 11.5
Varianza x: 47.25 D: 378
(sigma_x) 2^
Media y: 5.19625
Varianza y: 9.634123438 E: 77.0729875
(sigma_y) 2^
Covarianza: 21.335625
(sigma_xy)
t_n-2: 2.446911846
s_res: 0.009850066
m: 0.451547619 Dm: 0.001239686 c: 0.003452381 Dc: 0.01660901
R (kW): 2.214605853 DR (kW): 0.006080012 dR (%): 0.274541517 Intervalo_R (kW): 2.20852584 2.22068587
III) Media Ponderada
R (kW): 2.213268273 DR (kW): 0.012731682 dR (%): 0.575243515 Intervalo_R (kW): 2.20053659 2.22599996
IV) Medida Directa
Promax (4 kW)
R (kW): 2.206 DR (kW): 0.020545 dR (%): 0.931323663 Intervalo_R (kW): 2.185455 2.226545
0
2
4
6
8
10
12
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00
V (V)
I (m
A)
2.18 2.222.21 2.232.19 2.20R (kW
48