INTERPOLACIÓN En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos. Veremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolación segmentaria (splines).Comencemos dando la definición general.
Definición. Dados 1+n puntos que corresponden a los datos:
y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,
Si existe una función )(xf definida en el intervalo [ ]nxx ,0 (donde suponemos
que nxxx <<< 10 ), tal que ii yxf =)( para ni ,,2,1,0 = , entonces a )(xf se le llama una función de interpolación de los datos, cuando es usada para
aproximar valores dentro del intervalo [ ]nxx ,0 , y se le llama función de extrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera del intervalo.
Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; por ejemplo, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones polinomiales, combinaciones de éstas, etc. El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza de los datos que se están manejando, así como de los valores intermedios que se están esperando.
Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación , sea único.Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los datos, es el de menor grado posible.Caso n=0 Tenemos los datos:
En este caso, tenemos que 0)( yxf = (polinomio constante) es el
polinomio de menor grado tal que 00 )( yxf = , por lo tanto, es el polinomio de interpolación. Caso n=1 Tenemos los datos:
En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que
)()( 001
010 xx
xx
yyyxf −
−−+=
es el polinomio de interpolación. La siguiente gráfica representa este caso:
Observación. Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1 se encuentra como
primer término, 0y , que es el polinomio de interpolación del caso n=0.Continuemos:Caso n=2Tenemos los datos:
Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2. Tomando en cuenta la observación anterior, intuímos que el polinomio de interpolación será como sigue:
término cuadrático
Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como sigue:
))(()()( 102010 xxxxbxxbbxf −−+−+=
Si asignamos 0xx = , se anulan los valores de 1b y 2b , quedándonos el resultado:
00)( bxf =
Como se debe cumplir que 00 )( yxf = , entonces:
00 by =
Si asignamos 1xx = , el valor de 2b queda anulado, resultando lo siguiente:
)()( 01101 xxbbxf −+=
Como se debe cumplir que 11)( yxf = y ya sabemos que 00 by = ,
entonces )( 01101 xxbby −+= , de lo cual obtenemos el valor para 1b :
101
01 bxx
yy =−−
Asignando 2xx = , vamos a obtener :
))(()()( 1202202102 xxxxbxxbbxf −−+−+=
Como se debe cumplir que 22)( yxf = , y ya sabemos que 00 by = y
101
01 bxx
yy =−−
, sustituímos estos datos para después despejar el valor de 2b :
))(()( 120220201
0102 xxxxbxx
xx
yyyy −−+−
−−+=
De lo cual podemos hacer un despeje parcial para lograr la siguiente igualdad :
)(
)(
02212
0201
0102
xxbxx
xxxx
yyyy
−=−
−−−−−
Ahora en el numerador del miembro izquierdo de la igualdad, le
sumamos un cero ( )11 yy +− , de tal manera que no se altere la igualdad:
A continuación, aplicamos un poco de álgebra para así obtener los siguientes resultados:
Y finalmente despejando a 2b vamos a obtener :
02
01
01
12
12
2 xx
xx
yy
xx
yy
b−
−−−
−−
=
Por lo tanto, el polinomio de interpolación para este caso es:
Observación. Vemos que efectivamente el polinomio de interpolación contiene al del caso anterior, más un término extra que es de un grado mayor, pero además vemos que cada uno de los coeficientes del polinomio de interpolación, se forman a base de cocientes de diferencias de cocientes de diferencias, etc. Esto da lugar a la definición de diferencias divididas finitas de Newton, como sigue:
DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE NEWTONLas diferencias divididas finitas de Newton, se define de la siguiente manera:
ji
jiji xx
xfxfxxf
−−
=)()(
],[
ki
kjjikji xx
xxfxxfxxxf
−−
=],[],[
],,[
•••
0
011011
],,[],,[],,,,[
xx
xxfxxfxxxxf
n
nnnn −
−= −−
A manera de ejemplo citemos el siguiente caso específico :
03
0121230123
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxfxxxxf
−−=
donde a su vez:
13
1223123
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
−−=
y
012
0112012
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
−−=
Y donde a su vez:
23
2323
)()(],[
xx
xfxfxxf
−−=
etc. Podemos ahora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación.
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Dados 1+n datos:
- El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )110102010 −−−−++−−+−+= nn xxxxxxbxxxxbxxbbxf
donde :
( )00 xfb =],[ 011 xxfb =
[ ]0122 ,, xxxfb =
[ ]0,, xxfb nn
=
Para calcular los coeficientes nbbb ,,, 10 , es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente :
Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas.
Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :
Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton. Solución. Procedemos como sigue:
Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :
)2)(1)(2(3.0)1)(2(25.0)2(24)( −++−++−++= xxxxxxxf Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :
Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.
Solución. Procedemos como sigue:
Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda :
))(2)(3(20238.0)2)(3(66667.1)3(35)( xxxxxxxf ++−++−++= Antes de ver el siguiente tipo de polinomio de interpolación, veamos como el imponer la restricción del grado mínimo, implica la unicidad del polinomio de interpolación. TEOREMA .
Si nxxx ,,, 10 son números reales distintos, entonces para valores
arbitrarios nyyy ,,, 10 existe un polinomio único ( )xfn , de a lo más grado
n, y tal que:
( ) iin yxf = para toda ni ,,2,1,0 = DEMOSTRACIÓN. En realidad, no probaremos formalmente la existencia de un polinomio de interpolación, aunque informalmente aceptamos que dada cualquier tabla de datos, el polinomio de Newton siempre existe.Probemos la unicidad del polinomio de interpolación.
Supongamos que ( )xgn es otro polinomio de interpolación de a lo más grado n,
Sea ( ) ( ) ( )xgxfxh nnn −=
( ) ( ) ( ) 0=−=−=∴ iiininin yyxgxfxh para todo ni ,2,1,0 =
Por lo tanto, ( )xhn tiene 1+n raíces distintas, y es un polinomio de grado a lo
más n, esto solamente es posible si ( ) 0=xhn .
( ) ( )xgxf nn =∴ Que es lo que queríamos probar. Sin embargo, aunque el polinomio de interpolación es único, pueden existir diversas formas de encontrarlo. Una, es mediante el polinomio de Newton, otra mediante el polinomio de Lagrange.
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Nuevamente tenemos los datos :
El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue:
)()()()( 1100 xlyxlyxlyxP nn+++=
Donde los polinomios )(xli se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.
Como se debe satisfacer que 00 )( yxP = , esto se cumple si 1)( 00 =xl y 0)( 0 =xli para toda 0≠i .
Como se debe satisfacer que 11)( yxP = , esto se cumple si 1)( 11 =xl y 0)( 1 =xli para toda 1≠i .
Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición ( ) nnn yxP =
se cumple si ( ) 1=nn xl y ( ) 0=ni xl para toda ni ≠ .Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser
más claros, analicemos detenidamente el polinomio )(0 xl . De acuerdo al análisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes
condiciones para )(0 xl :
1)( 00 =xl y 0)(0 =jxl , para toda 0≠j
Por lo tanto, planteamos )(0 xl como sigue:
( ) ( ) ( ) ( )no xxxxxxcxl −−−= 21 Con esto se cumple la segunda condición sobre )(0 xl . La constante c se determinará para hacer que se cumpla la primera condición:
( ) ( ) ( ) ( )nxxxxxxcxl −−−=⇒= 0201000 11
( )( ) ( )nxxxxxxc
−−−=⇒
02010
1
Por lo tanto el polinomio )(0 xl queda definido como:
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )n
n
xxxxxx
xxxxxxxl
−−−−−−=02010
210
Análogamente se puede deducir que:
( )∏∏
≠
≠
−
−=
jiij
jii
j xx
xx
xl)(
)(
, para nj ,,1=
Ejemplo 1 Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:
Solución. Tenemos que:
)()()()()( 3321100 xlyxlyxlyxlyxf +++=
)(3)(2)()(2)( 3210 xlxlxlxlxf −++−= donde:
48
)7)(5)(3(
)6)(4)(2(
)7)(5)(3()(0 −
−−−=−−−
−−−= xxxxxxxl
16
)7)(5)(1(
)4)(2)(2(
)7)(5)(1()(1
−−−=−−
−−−= xxxxxxxl
16
)7)(3)(1(
)2)(2)(4(
)7)(3)(1()(2 −
−−−=−
−−−= xxxxxxxl
48
)5)(3)(1(
)2)(4)(6(
)5)(3)(1()(3
−−−=−−−= xxxxxxxl
Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:
−−−−
−−−−
−−−+
−−−=
16
)5)(3)(1(
8
)7)(3)(1(
16
)7)(5)(1(
24
)7)(5)(3()(
xxxxxxxxxxxxxf
Ejemplo 2. Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:
Solución. Tenemos que:
)()()()()( 3321100 xlyxlyxlyxlyxf +++=
)(2)(3)()()( 3210 xlxlxlxlxf −+−= donde:
48
)4)(2(
)6)(4)(2(
)4)(2)(0()(0 −
−−=−−−
−−−= xxxxxxxl
16
)4)(2)(2(
)4)(2)(2(
)4)(2)(2()(1
−−+=−−
−−+= xxxxxxxl
16
)4)(2(
)2)(2)(4(
)4)(0)(2()(2 −
−+=−
−−+= xxxxxxxl
48
)2)(2(
)2)(4)(6(
)2)(0)(2()(3
−+=−−+= xxxxxxxl
Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda como sigue:
−+−
−−++
−−+−
−−−=
24
)2)(2(
16
)4)(2(3
16
)4)(2)(2(
48
)4)(2()(
xxxxxxxxxxxxxf
En el capítulo de integración numérica, usaremos nuevamente a los polinomios de Lagrange. INTERPOLACIÓN DE SPLINES Terminamos este capítulo, estudiando un tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura, y que inclusive es usado para el diseño por computadora, por ejemplo, de tipos de letra. Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente. Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.
Definición. (Splines de grado k) Dada nuestra tabla de datos,
donde suponemos que nxxx <<< 10 , y dado k un número entero positivo, una función de interpolación spline de grado k, para
la tabla de datos, es una función )(xs tal que :
i) ii yxs =)( , para toda ni ,,1,0 = .
ii) ( )xs es un polinomio de grado k≤ en cada subintervalo [ ]ii xx ,1− .
iii ) ( )xs tiene derivada contínua hasta de orden 1−k en [ ]nxx ,0 . FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1 Dados los 1+n puntos
Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue:
Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, tenemos que para ested caso:
( ) [ ]( ) [ ]
( ) [ ]
∈
∈∈
=
− nnn xxxsixs
xxxsxs
xxxsixs
xs
,
,
,
)(
1
212
101
donde:
i) ( )xs j es un polinomio de grado menor o igual que 1
ii) ( )xs tiene derivada continua de orden k-1=0.
iii) ( ) jj yxs = , para nj ,,1,0 = .Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :
( )
[ ]( ) [ ][ ]( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
∈−+
∈−+∈−+
=
−−−− nnnnnn xxxsixxxxfy
xxxsixxxxfy
xxxsixxxxfy
xs
,,
,,
,,
1111
211121
100010
donde ],[ ji xxf es la diferencia dividida de Newton. FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2 Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos :
Y procedamos a calcular la interpolación por splines de grado 2.Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos :
[ ][ ][ ]9,7
7,5.4
5.4,3
En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue:
( )[ ][ ]
[ ]
∈++∈++∈++
=9,7
7,5.4
5.4,3
332
3
222
2
112
1
xsicxbxa
xsicxbxa
xsicxbxa
xs
Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir, se debe cumplir que:
5.0)9(,5.2)7(,1)5.4(,5.2)3( ==== ssss
Así, se forman las siguientes ecuaciones:
5.2395.2)3( 111 =++⇒= cbas
=++=++
⇒=15.4)5.4(
15.4)5.4(1)5.4(
2222
1112
cba
cbas
=++=++
⇒=5.2749
5.27495.2)7(
333
222
cba
cbas
5.09815.0)9( 333 =++⇒= cbas
Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incógnitas.El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas contínuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada contínua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua.Calculamos primero la primera derivada:
( )[ ][ ]
[ ]
∈+∈+∈+
=′9,72
7,5.42
5.4,32
33
22
11
xsibxa
xsibxa
xsibxa
xs
Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son 5.4=x y 7=x . Por lo
tanto para que ( )xs′ sea contínua, se debe cumplir que:
( ) ( ) 2211 5.425.42 baba +=+o lo que es lo mismo,
2211 99 baba +=+ También debe cumplirse que:
( ) ( ) 3322 7272 baba +=+o lo que es lo mismo,
3322 1414 baba +=+ Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incognitas; esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimos
por simple conveniencia 01 =a . De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas. Estas son las siguientes:
3322
221
333
333
222
222
11
11
1414
9
5.0981
5.2749
5.2749
15.425.20
15.4
5.23
baba
bab
cba
cba
cba
cba
cb
cb
+=++=
=++=++=++
=++=+
=+
Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:
=
−−−−
0
0
5.0
5.2
5.2
1
1
5.2
0114011400
00001901
198100000
174900000
000174900
00015.425.2000
00000015.4
00000013
3
3
3
2
2
2
1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
Usando Mathematica se obtiene la siguiente solución:
3.91
6.24
6.1
46.18
76.6
64.0
5.5
1
3
3
3
2
2
2
1
1
−==
−==
−===
−=
c
b
a
c
b
a
c
b
Sustituyendo estos valores (junto con 01 =a ), obtenemos la función spline cuadrática que interpola la tabla de datos dada:
( )[ ][ ]
[ ]
∈−+−∈+−∈+−
=9,73.916.246.1
7,5.446.1876.664.0
5.4,35.5
2
2
xsixx
xsixx
xsix
xs
La gráfica que se muestra a continuación, contiene tanto los puntos iniciales de la tabla de datos, así como la spline cuadrática. Esta gráfica se generó usando Mathematica.
3 4.5 7 9
-1
1
2
3
4
5
El siguiente caso, que es el más importante en las aplicaciones, sigue exactamente los mismos pasos del ejemplo que acabamos de resolver, solamente que en vez de trabajar con polinomios cuadráticos, lo hace con polinomios cúbicos. FUNCIONES SPLINES CUBICAS Para hacer más firme el entendimiento, escribimos la definición correspondiente a este caso (k=3).
Dados los 1+n datos:
Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función )(xs definida como sigue :
( )
( ) [ ]( ) [ ]
( ) [ ]
∈
∈∈
=
−− nnn xxxsixs
xxxsixs
xxxsixs
xs
,
,
,
11
211
100
donde cada ( )xsi es un polinomio cúbico; ( ) iii yxs = , para toda ni ,,1,0 = y tal que ( )xs tiene primera y segunda derivadas
contínuas en [ ]nxx ,0 . Ejemplo 1.Interpolar los siguientes datos mediante una spline cúbica :
Solución.Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman:
( ) [ ][ ]
∈+++∈+++
=5,3
3,2
222
23
2
112
13
1
xsidxcxbxa
xsidxcxbxaxs
A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:
( ) 124812 1111 −=+++⇒−= dcbas
( ) 2392723 1111 =+++⇒= dcbas
( ) 752512575 2222 −=+++⇒−= dcbas
Ahora calculamos la primera derivada de ( )xs :
( ) [ ][ ]
∈++∈++
=′5,323
3,223
222
2
112
1
xsicxbxa
xsicxbxaxs
Al igual que en el caso de las splines cuadráticas, se presentan ecuaciones que pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 3=x . Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 3=x en los dos polinomios e igualamos:
( ) ( ) ( ) ( ) 222
2112
1 32333233 cbacba ++=++ o lo que es lo mismo:
222111 627627 cbacba ++=++ Análogamenete procedemos con la segunda derivada :
( ) [ ][ ]
∈+∈+
=′′5,326
3,226
22
11
xsibxa
xsibxaxs
Para lograr que ( )xs ′′ sea continua :
( ) ( ) 2211 236236 baba +=+
2211 218218 baba +=+∴ En este punto contamos con 6 ecuaciones y 8 incognitas, por lo tanto tenemos 2 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 2 condiciones:
( )( ) 0
00
=′′=′′
nxs
xs
De lo cual vamos a obtener :
( ) ( ) 022602 11 =+⇒=′′ bas
0212 11 =+∴ ba
( ) ( ) 025605 22 =+⇒=′′ bas
0230 22 =+∴ ba
Con lo cual, hemos completado un juego de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas, el cual es el siguiente:
0230
0212
218218
627627
7525125
23927
23927
1248
22
11
2211
222111
2222
2222
1111
1111
=+=+
+=+++=++
−=+++=+++
=+++−=+++
ba
ba
baba
cbacba
dcba
dcba
dcba
dcba
Cuya forma matricial es la siguiente :
−
−
=
−−−−−
0
0
0
0
7
2
2
1
002300000
000000212
0021800218
0162701627
15251250000
139270000
000013927
00001248
2
2
2
2
1
1
1
1
d
c
b
a
d
c
b
a
Usando Mathematica, obtenemos la siguiente solución:
125.50
875.39
375.9
625.0
5.0
75.10
5.7
25.1
2
2
2
2
1
1
1
1
−==
−===
−==
−=
d
c
b
a
d
c
b
a
Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue:
( ) [ ][ ]
∈−+−∈+−+−
=5,3125.50875.39375.9625.0
3,25.075.105.725.123
23
xsixxx
xsixxxxs
Mostramos la gráfica correspondiente a este ejercicio, creada tambien en Mathematica.
Obsérvese la finura con la que se unen los polinomios cúbicos que conforman a la spline. Prácticamente ni se nota que se trata de dos polinomios diferentes!. Esto es debido a las condiciones que se impusieron sobre las derivadas de la función. Esta finura casi artística, es la que permite aplicar las splines cúbicas, para cuestiones como el diseño de letras por computadoras, o bien a problemas de aplicación donde la interpolación que se necesita es de un caracter bastante delicado, como podría tratarse de datos médicos sobre algún tipo de enfermedad.
Ejemplo 2.Interpolar los siguientes datos utilizando splines cúbicas:
Solución.Nuevamente, definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos:
[ ][ ][ ]
∈+++∈+++
−∈+++=
4,2
2,1
1,1
)(
332
33
3
222
23
2
112
13
1
xsidcxbxa
xsidxcxbxa
xsidxcxbxa
xs
Despues, hacemos que la spline pase por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:
1)1( −=−s implica que,11111 −=+−+− dcba
1)1( =s implica que, 11111 =+++ dcba
12222 =+++ dcba5)2( =s implica que,
5248 2222 =+++ dcba
5248 3333 =+++ dcba
Y finalmente 2)4( −=s implica que,
241664 3333 −=+++ dcba
Enseguida, calculamos la primera derivada:
[ ][ ][ ]
∈++∈++
−∈++=′
4,223
2,123
1,123
)(
332
3
222
2
1112
1
xsicxbxa
xsicxbxa
xsicxbxa
xs
Vemos entonces, que las posibles discontinuidades de )(xs′ son 1=x y 2=x . Por lo tanto, para hacer que )(xs′ sea contínua,
igualamos las ecuaciones correspondientes en ambos valores :
222111 2323 cbacba ++=++
333222 412412 cbacba ++=++ Ahora procedemos a calcular la segunda derivada:
[ ][ ][ ]
∈+∈+
−∈+=′′
4,226
2,126
1,126
)(
33
22
11
xsibxa
xsibxa
xsibxa
xs
Nuevamente, las posibles discontinuidades son 1=x y 2=x . Por lo
tanto, para que )(xs ′′ sea contínua , se igualan las ecuaciones en ambos valores :
22112211 332626 babababa +=+→+=+
33223322 66212212 babababa +=+→+=+ Finalmente, se agregan las condiciones de que la doble derivada se anule en los puntos inicial y final de la tabla. En este caso,
030260)1( 1111 =+−→=+−→=−′′ babas
01202240)4( 3333 =+→=+→=′′ babas
Con esto tenemos un juego de doce ecuaciones vs. doce incógnitas:
11111 −=+−+− dcba
11111 =+++ dcba
12222 =+++ dcba
5248 2222 =+++ dcba
5248 3333 =+++ dcba
241664 3333 −=+++ dcba
222111 2323 cbacba ++=++
333222 412412 cbacba ++=++
2211 33 baba +=+
3322 66 baba +=+03 11 =+− ba
012 33 =+ ba
Este sistema tiene la siguiente forma matricial:
−
−
=
−−−
−−−−−
−−−
−−
0
0
0
0
0
0
2
5
5
1
1
1
0011200000000
000000000013
001600160000
000000130013
01412014120000
000001230123
14166400000000
124800000000
000012480000
000011110000
000000001111
000000001111
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
Usando Mathematica, obtenemos la solución :
140
511 =a
, 10
212 −=a
, 35
243 =a
140
1531 =b
, 35
2972 =b
, 35
2883 −=b
140
891 =c
, 70
4732 −=c
, 70
18673 =c
40
1531 −=d
, 35
482 =d
, 35
7323 −=d
Por lo tanto, la spline cúbica es:
[ ][ ][ ]
∈−+−∈+−+−
−∈−++=
4,2
2,1
1,1
)(
35732
7018672
352883
3524
3548
704732
352973
1021
40153
140892
1401533
14051
xsixxx
xsixxx
xsixxx
xs
Finalmente, mostramos la gráfica correspondiente (creada en Mathematica): EJERCICIOS NOTA: CUANDO SEA NECESARIO, REDONDEA A CINCO DECIMALES.1. Calcula el polinomio de interpolación de Newton para los siguientes datos:
i) 8.74.235.0
4122
−−
y
x
ii) 129603
5.12.19.06.03.0
−−−y
x
Soluciones:
)1)(2)(2(4625.0)2)(2(925.0)2(875.05.0)() −+−++−−−+= xxxxxxxfi)9.0)(6.0)(3.0(18519.185)6.0)(3.0(50)3.0(103)() −−−+−−−−+−= xxxxxxxfii
)2.1)(9.0)(6.0)(3.0(53088.447 −−−−− xxxx
2. Calcula el polinomio de Lagrange para los siguientes datos:
i) 9.857.254.356.1
5321
−−−−
y
x
ii) 033529
4215.05.1
−−−−−
y
x
-1 1 2 4
-2
2
4
6
8
Soluciones:
++−−
+−−+
−+−+=
80
)5)(2)(1(57.2
45
)5)(3)(1(54.3
36
)5)(3)(2(56.1)()
xxxxxxxxxxpi
−−+−−
144
)3)(2)(1(9.8
xxx
−++−+−
++−+=
875.7
)4)(2)(1)(5.1(2
125.3
)4)(2)(1)(5.0(9)()
xxxxxxxxxpii
−+−+++
+++++
5.4
)4)(1)(5.0)(5.1(33
25.56
)4)(2)(5.0)(5.1(5
xxxxxxxx
3. Calcula las splines cúbicas para los siguientes datos:
i) 20540
312
−−−
y
x
ii) 406420
7325
−−−
y
x
Soluciones:
[ ][ ]
∈+−+−−∈+−+
=3,1125.8125.16375.3375.0
1,25.725.145.125.0)()
23
23
xsixxx
xsixxxxsi
[ ][ ]
[ ]
∈+−+−−∈−−+
−−∈−−−−=
7,3
3,2
2,5
)()
263860
789105112
52620933
1578299
13158012
3945156192
263022573
78901241
7895860
78947032
526753
5265
xsixxx
xsixxx
xsixxx
xsii
http://es.wikipedia.org/wiki/Splinehttp://dmaii.etsii.upm.es/~azarzo/downloads/Splines.pdfhttps://www.google.co.ve/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&ved=0CDQQFjAB&url=http%3A%2F%2Fudomatematica.files.wordpress.com%2F2010%2F02%2Finterpolacion.doc&ei=_hpsUuSjJsvKkAfa1oGgAQ&usg=AFQjCNGUR_GkdM7LzPrfNS2fC6IWvI37pw&sig2=ITj9zRWFcs0CFcjLbQhfvw&bvm=bv.55123115,d.eW0