42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Introduccin Mtodos Matemticos
en Ingeniera ICI-2204 Semestre 2015 1
Profesor:
Claudio Carmona C.
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Contenidos
1. Solucin numrica de ecuaciones lineales y no
lineales.
2. Integracin y diferenciacin numrica.
3. Mtodos Numricos para la Resolucin de
Ecuaciones Diferenciales.
4. Mtodos numricos en problemas de contorno.
5. Ecuaciones en derivadas parciales.
6. Ecuacin de Difusin y de Onda.
7. Mtodos Numricos en Ecuaciones Diferenciales
en Derivadas Parciales.
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Evaluacin y asistencia Evaluacin
Solemne 1 : 25%
Solemne 2 : 25%
Trabajo : 25%
Laboratorio : 25% (Comienzo primera semana de abril)
Asistencia
Ctedra : 70%
Laboratorio : 90%
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Bibliografa Titulo Autor Editorial Cdigo biblioteca
Anlisis Numrico.
Sptima Edicin Burden, R. L.,
Faires, J. D.
CENGAGE Learning 519.4 B896 2002
Mtodos
numricos para
ingenieros.
Cuarta Edicin
Chapra, Steven C.
Canale, Raymond
P.
Mc Graw-Hill 519.4 Ch467m
2003
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Qu son los Mtodos
Matemticos?
El trmino se refiere a tcnicas o
procedimientos directos (formales), y de
aproximacin numrica, a la solucin de
problemas de ingeniera expresados
matemticamente.
Estn basados en el Algebra Lineal y en el
Clculo.
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Qu son los Mtodos
Matemticos?
Por qu usar tcnicas de aproximacin
numrica?
Para resolver aquellos problemas para los
cuales no existen mtodos directos de
solucin, o bien, para aquellos que existe un
mtodo de solucin pero no es viable, como
ocurre con la regla de Cramer para la
resolucin de sistemas lineales; solo es
aplicable cuando la dimensin es pequea.
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Qu son los Mtodos
Matemticos?
Las tcnicas o procedimientos numricos
debern ser eficientes.
La eficiencia depender tanto de la
precisin que se requiera como de la
facilidad de su implementacin.
Su estudio se apoyar en el software
matemtico Matlab.
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Algoritmos
Las tcnicas o procedimientos numricos
normalmente se disearn usando
algoritmos.
Un algoritmo es un procedimiento que
describe, sin ambigedades, una serie finita
de pasos a realizar en un orden especifico
para resolver o aproximar la solucin de un
problema.
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Algoritmos
Inicio
leer base, altura
si base>0 y altura>0
area base*altura perimetro 2*(base + altura) escribir (area, perimetro)
si-no
escribir (datos incorrectos)
fin-si
Fin
Diagrama de flujo
Seudocdigo
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Algoritmos
El algoritmo resultante puede ser
implementado usando algn lenguaje de
programacin (Ej.: Java, Fortran, etc.), o
programado en un software matemtico
(Matlab, Maple, etc.).
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Algoritmos
function [] = Area_Perimetro()
base = input('Ingrese longitud base: ');
altura = input('Ingrese longitud altura: ');
if base>0 && altura>0
area = base*altura;
perimetro = 2*(base + altura);
fprintf('Area = %4.2f\t Perimetro =
%4.2f\n',area,perimetro);
else
disp('Datos incorrectos');
end
end
Inicio
leer base, altura
si base>0 y altura>0
area base*altura perimetro 2*(base + altura) escribir (area, perimetro)
si-no
escribir (datos incorrectos)
fin-si
Fin
Seudocdigo
Matlab
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejemplo Procedimiento
Numrico (algoritmo)
Problema: Calcular la raz cuadrada de un
numero positivo p. Usamos la serie
siguiente:
a0 = p
a1 = 0.5*(a0 + p/a0)
a2 = 0.5*(a1 + p/a1) ..
an = 0.5*(an-1 + p/an-1)
hasta que an =an-1 para alguna precisin
predefinida.
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejemplo
Calcular la raz de 12.27
Solucin: a0 = 12.27
a1 = 0.5*(12.270000 + 12.27/12.270000) 6.635
a2 = 0.5*(6.635000 + 12.27/6.635000) 4.24214
a3 = 0.5*(4.242140 + 12.27/ 4.242140) 3.567274
a4 = 0.5*(3.567274 + 12.27/ 3.567274) 3.503437
a5 = 0.5*(3.503437 + 12.27/ 3.503437) 3.502856
a6 = 0.5*(3.502856 + 12.27/ 3.502856 ) 3.502855
a7 = 0.5*(3.502856 + 12.27/ 3.502856 ) 3.502855
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejemplo
Respuesta
raz (12.27) = 3.502855
(Qu precisin tiene esta respuesta?)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Computacin y Calculadora
Afortunadamente hoy tenemos calculadora
y computador.
En este curso haremos nuestras aplicaciones
usando fundamentalmente MatLab, aunque
en la practica se puede usar otros software.
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Repaso de Clculo
Teorema del valor medio
Si f C[a,b] y f es derivable en (a,b), entonces
existe un nmero c en (a,b) tal que:
ab
afbfcf
)()()('
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Repaso de Clculo
Teorema de Rolle
Suponga que f C[a,b] y f es derivable en (a,b).
Si f(a)=f(b), entonces existe un nmero c en
(a,b) tal que f(c)=0.
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Repaso de Clculo
Ejercicio
Demuestre que f(x) se anula al menos una
vez en el intervalo [0,1] .
))2/(()1(1)( xseneexf x
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Repaso de Clculo
Teorema de los valores extremos
Si f C[a,b], entonces existen c, d [a,b]
tales que para toda x [a,b].
Adems, si f es derivable en (a,b), entonces los
nmeros c, d aparecen en los extremos de [a,b] ,
o bien donde se anula f.
)()()( cfxfdf
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Repaso de Clculo Teorema de los valores extremos
(continuacin)
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Repaso de Clculo
Teorema del valor intermedio
Si f C[a,b] y K es cualquier nmero entre f(a)
y f(b), entonces existe un nmero c en (a,b) tal
que f(c)=K.
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Repaso de Clculo
Ejercicio
Demuestre que f(x) tiene al menos una
solucin en el intervalo [0.2;0.3] .
132)cos()( 2 xxxxxf
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Repaso de Clculo
Teorema de Taylor
Suponga que f Cn [a,b], que f(n+1) existe en
[a,b] y x0 [a,b]. Para cada x [a,b], existe un
nmero (x) entre x0 y x tal que
donde
),()()( xRxPxf nn
n
k
kk
n xxk
xfxP
0
00
)(
)(!
)()(
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Repaso de Clculo
Teorema de Taylor (continuacin)
y )1(0
)1(
)()!1(
))(()(
nn
n xxn
xfxR
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Repaso de Clculo
Ejercicio
Suponga que se utiliza el polinomio P2(x)
de Taylor para aproximar f(x)=cos(x) en el
intervalo [-0.5;0.5]. Determine una cota
para el error mximo.