Control I Conceptos básicos ¿Qué es el control (o control automático o automática o automatización)? Es la disciplina de la ingeniería que se concentra en la comprensión de sistemas de diversa naturaleza a través del modelado y análisis de su comportamiento dinámico para hacer que se comporten de cierta manera. ¿Qué NO es el control? - Sacar “1” y “0” con el micro, manejar PICs, ni PLCs. Sistema de control: Interconexión de componentes que forman una configuración en la que la respuesta se comporta de cierta manera y cuyo propósito es precisamente alterar el comportamiento de dicha respuesta. 3 elementos básicos:
Sistema de lazo abierto: Aquel que utiliza un actuador para controlar directamente el proceso sin utilizar ninguna retroalimentación.
Sistema de lazo cerrado: Aquel que utiliza una medición de la salida y la retroalimenta para compararla con la entrada o comando.
Sistema multi-variable: Dependiendo de complejidad de los sistemas y de la exactitud que se busque, puede ser necesario controlar múltiples variables del sistema al mismo tiempo.
2 tipos de señales: (a) continuas y (b) discretas
(a) (b)
Material de clase: http://www.robotica-up.org/ Education → Control Engineering I
Biblio: Nise (Norman), Control Systems Engineering, Wiley Dorf (Richard), Modern Control Systems, Prentice Hall
Block Diagrams Signals System
Summing junction Pickoff point
Cascaded subsystems Parallel subsystems
Feedback systems
Moving blocks forward & backwards
Moving pickoff points forward & backwards
Modeling dynamic systems
I. Electric systems Component Voltage-current Current-voltage Voltage-charge Impedance Z(s) Admittance Y(s)
Operational amplifiers (Opams) Inverting Opam Non-inverting Opam
)()(
)()(
1
2
sZsZ
sVsV
i
o −= )(
)()()()(
1
21
sZsZsZ
sVsV
i
o +=
Summing inverting Opam Potentiometer
∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
N
ii
i
ff V
ZZ
V1
max21
22
1
2
)()(
θθ
=+
==RR
RRR
sVsV
Ideal transformer
)()(
)()(
1
2
2
1
2
1
sisi
NN
sVsV
==
II. Translational mechanical systems
Levers
)()(
)()(
1
2
2
1
2
1
sFsF
dd
sXsX
−==−
III. Rotacional mechanical systems (a) (b) (c) (d)
(a): Solid cylinder around axis: 2
21 mrJ =
(b): Solid sphere: 2
52 mrJ =
(c):Rod about center: 2
121 mLJ =
(d):Rod about end: 2
31 mLJ =
Gear system Rack and pinion (Radial to linear motion)
2
1
2
1
1
2
TT
NN
==θθ θrx =
Moment of inertia: Defined as the product of the mass k-times the square of perpendicular distance to the rotation axis: I = kmr2
L
Derivation of a Schematic for a DC Motor
Current-carrying wire in a magnetic field
a. Current-carrying wire on a rotor; b. current-carrying wire on a rotor with commutation
and coils added to the permanent magnets to increase magnetic field strength
dt
dktV mbb
θ=)(
kb: emf constant )()( tiktT aTm = kT: motor torque constant DC motor circuit diagram
Modeling of a Pneumatic cylinder
Mechanical part:
( )atmPPSMgkxdtdxb
dtxdM −=+++2
2
where: M : moving mass x : rod’s position b : viscous friction k : spring constant S : rod’s area P : internal pressure Patm: atmospheric pressure g: gravity
Pneumatic part: Modeling is based on the following classic hypotheses:
• The air is a perfect gas, • The process is adiabatic, • The actuator’s internal temperature is constant and homogeneous, • The main chamber’s pressure is homogeneous due to its dimension, • The servovalve’s response time is negligible.
dtdx
VPS
dtdM
VRT
dtdP γγ
−=
where :
P: pressure dt
dM : mass input flow,
T : temperature R : air constant γ : specific heat ratio V : chamber’s volume
State Space Representation
So, we have seen that dynamic systems are represented by a set of n differential equations:
mmnn
mmnn
ububxaxaxaxububxaxaxax
212122221212
111112121111
......'......'
++++++=++++++=
.
.
. mnmnnnnnnn ububxaxaxax ++++++= ......' 112211
It is common (and more compact) to represent them in a matrix form:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
mnmn
m
nnmnn
n
n
n
u
u
bb
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
x
xx
............
......
............
'...
''
1
1
1112
1
21
22221
11211
2
1
x’ = A x + B u
BuAxx +=' is called space state equation. Vector x is called the state vector and contains the variables of interest of the system. Similarly, the output in state space form can be represented by: DuCxy += (Note: It is common to find systems with D=0, so Cxy = ) Graphically:
Time response First order systems
Time constant: The time that it takes for a step response to rise to 63% of its final value. Rise time: The time it takes to rise from 10% to 90% of the magnitude of the step response.
aTr
2.2=
Settling time: The time required to settle or to reach steady-state.
aTs
4=
Second order systems: Introduction
Performance of Second-Order Systems Fig.1. Transient response due to damping ξ
Natural frequency ωn: Frequency of oscillation of the system without damping. Damping ζ: is any effect, either deliberately engendered or inherent to a system, that tends to reduce the amplitude of oscillations of an oscillatory system. ζ=Exponential decay frequency/
Natural frequency
Fig.2. Step response of a control system
Rise time: The time it takes to rise from 10% to 90% of the magnitude of the step response
nrT
ωξ 6.016.2 +
=
Peak response: Magnitude of the overshoot
21/max 1 ξξπ −−+= eC
Peak time: Time required to reach the maximum overshoot
21 ξωπ−
=n
pT
Settling time: The time required to settle or to reach steady-state.
nsT
ξωτ 44 ==
Fig.3. Step responses of second-order systems as poles moves
Practica 1- Introducción a Matlab
Temario:
- Introducción a Matlab (Editor Matlab, Simulink y Command Window) - Transformada de Laplace - Transformada Inversa de Laplace - Derivar con Matlab - Integrar con Matlab - Vectores y Matrices - Operaciones con matrices: suma, multiplicación, producto punto, inversa,
transpuesta, determinante,… - Polinomios - Operaciones con polinomios: suma, convolución, deconvolución, raíces,
reconstrucción de polinomio a partir de raíces, evaluación polinomial, … - Señal continua - Señal discreta - Opciones de graficación: plot, subplot, colores, linewidth, strings,… - Respuesta a un escalón e impulso - Simulink: construcción de diagramas de bloques
************************************************************ Matlab: 1- Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes expresiones: a) tt etety 22 25.15.325.1)( −− ++−= b) )º604(5)º453cos(5)( 22 +++= − tsentettty t 2- Grafique la evolución temporal y(t) de las siguientes expresiones:
a) )23(
444)( 22
2
++++
=ssssssY
b) )75)(38)(8(
564)( 22
23
++++++++
=sssss
ssssY
3.- Resuelva las siguientes ecuaciones: a) )72)(26)(15)(2( 23 ++++= xxxxxy
b) 6.20
7.31148.4036.1306.192
234
−−−++
=x
xxxxy
c) ¿Cuáles son las raíces de b ? Num/Den
d) 3388
1)7756)(657681(
)536249)(14(56)1( 2223
23
+++
+++++++++
=−=xxxxxxx
xxxxxY
c) Considere: ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
012891321
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
567101654
B
c.1) 2A+B c.2) A*B c.3) AT-B c.4) det(A)/det(B) 4.- Para cada una de las funciones de transferencia siguientes obtener la respuesta a un escalón unitario:
(a) 72
1)( 2 ++=
sssH (b)
)8)(7(10)(
++=
sssG (c)
15982
23 ++++
ssss
5.- Considere los siguientes sistemas:
15.01)( 21 ++
=ss
sH 45.0
1)( 22 ++=
sssH
Compare (eso quiere decir las 2 graficas en una misma figura) la respuesta a un escalón del sistema en lazo abierto y lazo cerrado. (Lazo cerrado: Hacerlo automático con feedback) ************************************************************ Simulink: 6.- Considere el diagrama de bloques de la siguiente figura. (1) Obtenga en Simulink la respuesta de C(s) cuando R(s) es un escalón unitario (2) Reduzca la función a un solo bloque y compruebe su resultado con el obtenido en (1)
Practica 2 – Modelado de Sistemas
1.- Considere un circuito RCL en serie con R=L=C=1. a) Simule este sistema en Simulink y obtenga el comportamiento de la corriente y el voltaje en el capacitor para un voltaje de alimentación de 1V. b) ¿Cuál es el efecto de variar (i.e aumentar/disminuir) R en el voltaje y la corriente? (Intente R=3Ω y R=0. 5Ω) c) ¿Y de variar C? (Intente C=0.5, C=0.25, C=1.25, C=1.5) d) Con los valores iniciales de R=L=C=1, ¿Cuál es la frecuencia de carga del capacitor? 2.- Modele un sistema masa-resorte-amortiguador con M=2 kg, fv=0.7, k=1. Explique las respuestas de aceleración, velocidad y posición. 3.- Modele el siguiente sistema en Simulink y compare las velocidades y posiciones de ambos vehículos con: M1=1kg, fv= 0.0196, k=1, M2=0.5 kg.
4.- Considere el sistema mecánico de traslación de la sig. figura. Simule este sistema en Simulink y obtenga la evolución temporal de la posición y la velocidad para las tres masas: x1(t), x2(t), x3(t) y v1(t), v2(t), v3(t).
5.- Modele el comportamiento de un motor de DC sin carga con L=1, R=4, k=0.031, Jm=0.2, D=0.001. 6.- Compare el comportamiento de las 3 posiciones angulares del sig. sistema:
Practica 3
1. Encuentre H(s) a partir de la gráfica y compruebe sus resultados en Matlab/Simulink.
(a) (b)
(c) (d)
Sol: a) 3
18+s
, b) 40
80+s
, c) 92
92 ++ ss
, d) 92
32 ++ ss
2.- Use Matlab para construir el diagrama de polos y ceros de: 2746
22)( 234
2
++++++
=ssss
sssH
3.- Encuentre el voltaje en el capacitor si el switch se cierra en t=0. Asuma condiciones iniciales iguales a cero. De su gráfica en Matlab encuentre: a) la constante de tiempo, b) el tiempo de levantamiento, c) el tiempo de asentamiento y d) el voltaje final del capacitor. Sol: a) 2 , b) 1.1s , c) 2s , d) 5V
4.- Determine la validez de una aproximación a 2º grado para:
a) )20)(10)(5.6(
)7(71.185)(+++
+=
sssssH
b) )20)(10)(9.6(
)7(14.197)(+++
+=
sssssH
Sol: (a) No es valido, e>5% , (b) Es valido, e=1.5%
Trabajos de Implementación
1.- Amplificadores Operacionales (Opams) Fecha de entrega: La siguiente clase al 2° examen parcial. Diseñe en Simulink e implemente en circuito:
a) Un derivador b) Un integrador c) Un circuito que haga la función: 321 5.02 uuu ++ donde u1, u2 y u3 son señales
independientes de entrada. 2.- Neumática Fecha de entrega: Fin de curso Considere 2 pistones neumáticos en configuración antagonista y un bloque de madera (o cualquier otro material) entre ellos:
Diseñe un sistema de control de tal forma que, con la dinámica del sistema, el bloque nunca se caiga:
Pistón-1 Pistón-2 Bloque