MA1002 Calculo IITema 01: Integrales Impropias
Parte 02: Criterios de convergencia y funciones hiperbolicas
Profesor Jesus Sanchez Guevara
Universidad de Costa Rica
I Semestre 2020
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 1 / 22
En esta clase
1 Criterios de convergencia para integralesde primera especie.
2 Criterios de convergencia para integralesde segunda especie.
3 Funciones hiperbolicas.
Introduccion
¿Cual es la utilidad de los criterios deconvergencia?
o El estudio del comportamiento deintegrales sin tener que integral la funcion.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 2 / 22
Integrales impropias de primera especie Criterio p-integrales
o Criterios de convergencia paraintegrales impropias de primera especie
Una familia de integrales impropias muyusada es:
ż `8
1x´αdx
donde α P R es un parametro. Tambien sepuede escribir:
ż `8
1
1
xαdx
Veamos el comportamiento de esta integral:
Recuerde que
Si α ‰ 1, entonces
ż
x´αdx “x´α`1
´α` 1` C
ż `8
1x´αdx “ lım
hÑ`8
ż h
1x´αdx
“ lımhÑ`8
x´α`1
´α` 1
ˇ
ˇ
ˇ
h
1x´α
“ lımhÑ`8
ˆ
h´α`1
´α` 1´
1
´α` 1
˙
Observe el exponente de h:
y Si p´α` 1q ą 0 (o tambien α ă 1), el lımite
da `8, entoncesş`8
1 x´αdx diverge.
y Si p´α` 1q ă 0 (o tambien α ą 1):
lımhÑ`8
ˆ
h´α`1
´α` 1´
1
´α` 1
˙
“ 0´1
´α` 1“
1
α´ 1
por lo queş`8
1 x´αdx converge.
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Integrales impropias de primera especie Criterio p-integrales
¿Que sucede si α “ 1?
ż `8
1x´αdx “
ż `8
1
1
xdx
“ lımhÑ`8
ż h
1
1
xdx
“ lımhÑ`8
lnpxqˇ
ˇ
ˇ
h
1
“ lımhÑ`8
ln |x| ´ lnp1q
“ lımhÑ`8
lnpxq “ `8
Por lo tanto, tambien diverge. Resumiendo:
Criterio p-integrales
ż `8
1x´αdx “
#
1α´1
, si α ą 1 (Convergente)
`8, si α ď 1 (Divergente)
Ejemplo:
Estudiar la convergencia o divergencia de
ż `8
3x´3dx
Solucion:Para aplicar el criterio con α “ 3, observe:
ż `8
1x´3dx “
ż 3
1x´3dx`
ż `8
3x´3dx
ñ
ż `8
3x´3dx “
ż `8
1x´3dx´
ż 3
1x´3dx
“1
3´ 1´
ż 3
1x´3dx
“1
2´
ˆ
x´2
´2
˙
ˇ
ˇ
ˇ
3
1
“1
2`
1
18´
1
2“
1
18
Ası, esta integral es convergente y se dice queconverge a 1
18.
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Integrales impropias de primera especie Criterio de constante M
Criterio de acotacion por una constante M
Suponga que la integral propia
ż b
afpxqdx
existe para todo b ě a y que fpxq ě 0, paratodo x ě a, entonces:
ż `8
afpxqdx converge
ô existe una constante M ą 0 tal que
ż b
afpxqdx ďM
para todo valor de b ě a.
Observacion: M debe ser independiente delos lımites de integracion.
Ejemplo:
Estudiar la convergencia o divergencia de
ż `8
0e´xdx
Solucion:Sea b ą 0 y se calcula:
ż b
0e´xdx “p´e´xq
ˇ
ˇ
ˇ
b
0
“´ e´b ` 1 ď 1 “M
Ya que para cualquier b ą 0 se tiene que0 ď e´b ñ ´e´b ď 0 ñ ´e´b ` 1 ď 1.
Ası, por el criterio de la constante M , laintegral
ş`8
0 e´xdx es convergente.
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Integrales impropias de primera especie Criterio de comparacion directa
Criterio de comparacion directa
Suponga que las integrales propias
ż b
afpxqdx y
ż b
agpxqdx
existe para todo b ě a, y para todo x ě a,0 ď fpxq ď gpxq, entonces:
Siş`8
a gpxqdx converge entoncesş`8
a fpxqdx converge y
ż `8
afpxqdx ď
ż `8
agpxqdx
.
Siş`8
a fpxqdx diverge entoncesş`8
a gpxqdx tambien diverge.
Observacion: A menudo se dice que laintegral
ş`8
a gpxqdx domina a la integralş`8
a fpxqdx.
Ejemplo:
Estudiar la convergencia o divergencia de
ż `8
1
1` sinpxq
x2dx
Solucion:Para todo x ě 1, sinpxq ď 1, entonces @x ě 1
fpxq “1` sinpxq
x2ď
2
x2“ gpxq
Por p-integralesş`8
1 gpxqdx converge, y ası,por el criterio
de comparacionş`8
11`sinpxq
x2 dx covergetambien.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 6 / 22
Integrales impropias de primera especie Criterio de comparacion al lımite
Criterio de comparacion al lımite
Suponga que las integrales propias
ż b
afpxqdx y
ż b
agpxqdx
existe para todo b ě a, y que fpxq ě 0 paratodo x ě a, y gpxq ą 0 para todo x ě a.
Si lımxÑ`8
fpxq
gpxq“ L, con L ‰ 0 y finito,
se tiene que
ż `8
afpxqdx,
ż `8
agpxqdx,
o ambas convergen o ambas divergen.
Observacion: En el caso de que L “ 0, loque se puede decir es que la convergencia deş`8
a gpxqdx implica la convergenciaş`8
a fpxqdx.
Ejemplo:
Estudiar la convergencia o divergencia de
ż `8
1
1` x` 3x2
4´ x` x4dx
Solucion:Observe que:
lımxÑ`8
1` x` 3x2
4´ x` x4“ lımxÑ`8
x2p1{x2 ` 1{x` 3q
x4p4{x4 ´ 1{x3 ` 1q
“ lımxÑ`8
p1{x2 ` 1{x` 3q
x2p4{x4 ´ 1{x3 ` 1q
“ lımxÑ`8
3
x2
Por lo tanto si fpxq “ 1`x`3x2
4´x`x4 y gpxq “ 3x2 ,
entonces lımxÑ`8fpxqgpxq
“ 1 “ L ‰ 0.
Por p-integralesş`8
13x2 dx converge, y ası,
por el criterio de comparacion al lımiteş`8
11`x`3x2
4´x`x4 dx coverge tambien.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 7 / 22
Integrales impropias de primera especie Criterio de Abel-Dirichlet
Criterio de Abel-Dirichlet
Sean f, g continuas @x ě a tal que :
fpxq decrece cuando xÑ `8.şba gpxqdx es acotada @b ě a, es decir,
existe constante M ą 0 tal queşba gpxqdx ďM , @b ě a.
Entonces,
ż `8
afpxqgpxqdx
es convergente.
Ejemplo:
Estudiar la convergencia o divergencia de
ż `8
1
sinpxq
xdx
Solucion:Sean fpxq “ 1
xy gpxq “ sinpxq. Veamos que
cumplen las condiciones.
Claramente fpxq es decreciente cuandoxÑ `8, pues f 1pxq “ ´1{x2 que esnegativo.
ş`8
1 sinpxqdx “ ´ cospxqˇ
ˇ
ˇ
b
1“
´ cospbq ` cosp1q ď 2 “M . Pues ningunade las dos expresiones es mayo a 1.
Finalmente, el criterio garantiza que
ż `8
1fpxqgpxqdx “
ż `8
1
sinpxq
xdx
es convergente.Nota: Si se cambia “sin”por la funcion “cos”,sucede lo mismo.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 8 / 22
Integrales impropias de primera especie Convergencia absoluta y condicional
Definicion convergencia absoluta
Dada la integralş`8
a fpxqdx,
si
ż `8
a|fpxq|dx converge,
entonces, se dice queş`8
a fpxqdx convergeabsolutamente.
Propiedad
Si
ż `8
a|fpxq|dx converge entonces,
ż `8
afpxqdx tambien converge.
es decir,convergencia absoluta ñ convergencia.
Definicion convergencia condicional
Dada la integralş`8
a fpxqdx,
si
ż `8
a|fpxq|dx diverge,
entonces, la integral
ż `8
afpxqdx
puede ser divergente o convergente.
En el caso de que sea convergente, se dice que
ż `8
afpxqdx
converge condicionalmente.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 9 / 22
Integrales impropias de primera especie Convergencia absoluta y condicional
Ejemplo
Se vio que la integral
ż `8
1
sinpxq
xdx
es convergente por le criterio de Dirichlet.Pero
ż `8
1
| sinpxq|
xdx
es divergente (esto se probara mas adelanteen el curso).Por lo tanto,
ż `8
1
sinpxq
xdx
es un ejemplo de integral condicionalmenteconvergente.
Nota:ş`8
1cospxqx
dx tambien convergecondicionalmente.
Ejemplo
Se vio que la integral
ż `8
1
sinpxq
x2dx
es convergente por le criterio de Dirichlet.(Proceso similar al ejemplo pasado)Pero
ż `8
1
| sinpxq|
x2dx ď
ż `8
1
1
x2dx
Esta ultima integral es convergente por
p-convergencia, por lo tantoş`8
1| sinpxq|x2 dx
converge.Ası,
ż `8
1
sinpxq
x2dx
es un ejemplo de integral absolutamenteconvergente.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 10 / 22
Integrales impropias de segunda especie Criterio p-integrales
o Criterios de convergencia paraintegrales impropias de segunda especie
Criterio p-integrales (asıntota en cero)
ż 1
0x´αdx “
#
11´α
, si α ă 1 (Convergente)
`8, si α ě 1 (Divergente)
Ejemplo
Estudie la convergencia o divergencia de
ż 3
0p3´ xq´6dx
Solucion: Haga el cambio de variable
u “3´ x
3
,entonces du “ ´ 1
3dx, y
si xÑ 0, entonces uÑ 1 ysi xÑ 3´, entonces uÑ 0`.
ż 3
0p3´xq´6dx “ ´
1
35
ż 0
1u´6du “
1
35
ż 1
0u´6du
Y esta ultima integral es divergente, por lotanto
ż 3
0p3´ xq´6dx
es divergente.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 11 / 22
Integrales impropias de segunda especie Criterio de comparacion directa y al lımite
Criterio de comparacion directa
Suponga f, g son continuas en ra, bs, tales queno son acotadas en x “ a y para todox P ra, bs, 0 ď fpxq ď gpxq, entonces:
Sişba gpxqdx converge entonces
şba fpxqdx
converge.
Sişba fpxqdx diverge entonces
şba gpxqdx
tambien diverge.
Observacion: El criterio es valido si elproblema se presenta en x “ b o en cualquierpunto interior del intervalo.
Criterio de comparacion al lımite
Suponga f, g son continuas en ra, bs, tales queno son acotadas en x “ a y f, g son positivasen el intervalo ra, bs.
Si lımxÑa`
fpxq
gpxq“ L, con L ‰ 0 y finito,
se tiene que
ż b
afpxqdx,
ż b
agpxqdx,
o ambas convergen o ambas divergen.
Observacion: En el caso de que L “ 0, loque se puede decir es que la convergencia deşba gpxqdx implica la convergencia
şba fpxqdx.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 12 / 22
Integrales impropias de segunda especie Criterio de comparacion directa y al lımite
Ejemplo
Estudie la convergencia o divergencia de
I “
ż 5
2
13a
px´ 2qpx` 4qdx
Solucion (Usando comparacion directa)
1 ď x` 4 ñ1
x` 4ď 1 ñ
13?x` 4
ď 1
ñ1
3a
px´ 2qpx` 4qď
13?x´ 2
ñ
ż 5
2
13a
px´ 2qpx` 4qdx ď
ż 5
2
13?x´ 2
dx
Esta ultima converge por p-integrales paraα “ 1{3 ă 1, y por comparacion directa Iconverge tambien.
Solucion (Usando comparacion al lımite)
lımxÑ2´
13a
px´ 2qpx` 4q“ lımxÑ2´
13?
6px´ 2q1{3
Lo que implica que
lımxÑ2´
13?px´2qpx`4q
1px´2q1{3
“13?
6‰ 0
Por comparacion al lımite I converge si y solosi
ż 5
2
1
px´ 2q1{3dx
converge. La cual es convergente porp-integrales para α “ 1{3 ă 1.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 13 / 22
Integrales impropias de segunda especie Convergencia absoluta y condicional
Definicion convergencia absoluta
Suponga f continua en ra, bs no acotada enx “ a.
si
ż b
a|fpxq|dx converge,
entonces, se dice queşba fpxqdx converge
absolutamente.
Propiedad
Si
ż b
a|fpxq|dx converge entonces,
ż b
afpxqdx tambien converge.
es decir,convergencia absoluta ñ convergencia.
Definicion convergencia condicional
Suponga f continua en ra, bs no acotada enx “ a.
si
ż b
a|fpxq|dx diverge,
entonces, la integral
ż b
afpxqdx
puede ser divergente o convergente.
En el caso de que sea convergente, se dice que
ż b
afpxqdx
converge condicionalmente.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 14 / 22
Integrales impropias de segunda especie Convergencia absoluta y condicional
Ejemplo
Estudie la convergencia de
I “
ż 1
0
sinpxq
x3{2dx
lımxÑ0`
sinpxq
x3{2“ lımxÑ0`
x
x3{2“ lımxÑ0`
1
x1{2
Por comparacion al lımite I converge si y solosi
ż 1
0
x
x1{2dx
converge.Y esta ultima lo hace por p-criterio paraα “ 1{2 ă 1.Ademas, I converge absolutamente porquesin es positiva en r0, 1s.
Ejemplo
Estudie la convergencia de
I “
ż 1
0x2 sinp1{xqdx
Se hace el cambio de variable u “ 1{x:
ż 1
0x2 sinp1{xqdx “
ż `8
1
sinpuq
u4du
que es absolutamente convergente.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 15 / 22
Funciones hiperbolicas
o Funciones hiperbolicas
Definicion
Se definen las funciones hiperbolicas de lasiguiente manera:
1 Seno hiperbolico:
sinhpxq “ex ´ e´x
2, x P R
2 Coseno hiperbolico:
coshpxq “ex ` e´x
2, x P R
3 Tangente hiperbolica:
tanhpxq “sinhpxq
coshpxq“ex ´ e´x
ex ` e´x, x P R
o Su nombre se debe a que mantienenpropiedades similares a las funcionestrigonometricas.
Propiedad
cosh2pxq ´ sinh2pxq “ 1
o Verificacion:
cosh2pxq ´ sinh2pxq
“
ˆ
ex ` e´x
2
˙2
´
ˆ
ex ´ e´x
2
˙2
“e2x ` 2` e´2x
4´e2x ´ 2` e´2x
4
“ 1
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 16 / 22
Funciones hiperbolicas
o Graficando las funciones hiperbolicas
En Geogebra
1 Graficar fpxq “ 12ex y gpxq “ 1
2e´x.
(e^x)/2 , (e^(-x))/2
2 Graficar
sinhpxq “ fpxq ´ gpxq “ ex´e´x
2.
(e^x)/2-(e^(-x))/2
3 Graficar
coshpxq “ fpxq ` gpxq “ ex`e´x
2.
(e^x)/2+(e^(-x))/2
4 Graficar tanhpxq “ sinhpxqcoshpxq
tanh(x)
5 Graficar las asıntotas horizontales y “ 1y y “ ´1.
Propiedad
Las rectas y “ 1 y y “ ´1 son asıntotashorizontales de tanhpxq.
o Verificacion:
1
lımxÑ`8
tanhpxq “ lımxÑ`8
ex ´ e´x
ex ` e´x
“ lımxÑ`8
1´ e´2x
1` e´2x“
1´ 0
1` 0“ 1
ñ y “ 1 es asıntota horizontal.
2
lımxÑ´8
tanhpxq “ lımxÑ´8
e2x´1
e2x ` 1
“0´ 1
0` 1“ ´1
ñ y “ ´1 es asıntota horizontal.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 17 / 22
Funciones hiperbolicas
Definicion
Tambien se definen:
1 Secante hiperbolica:
sechpxq “1
coshpxq
2 Cosecante hiperbolica:
cschpxq “1
sinhpxq
3 Cotangente hiperbolica:
cotanhpxq “coshpxq
sinhpxq
o Ejercicio: determine el dominio maximode estas funciones.
Propiedades y derivadas
1ddxpsinhpxqq “ coshpxq
2ddxpcoshpxqq “ sinhpxq
3ddxptanhpxqq “ sech2pxq
4ddxparcsinhpxqq “ 1?
x2`1
5ddxparcCoshpxqq “ 1?
x2´1
6ddxparctanhpxqq “ 1
1´x2
Verificacion:
1ddxpsinhpxqq “ d
dx
´
ex´e´x
2
¯
“
ex`e´x
2“ coshpxq
2
d
dxptanhpxqq “
d
dx
ˆ
sinhpxq
coshpxq
˙
“cosh2pxq ´ sinh2pxq
cosh2pxq“
1
cosh2pxq“ sech2pxq
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Funciones hiperbolicas
Arcoseno hiperbolico
La funcion fpxq “ sinhpxq es biyectiva y suinversa esta dada por:
arcsinhpxq “ lnpx`a
x2 ` 1q
con x P R.
Verificacion:
y “ex ´ e´x
2(despejamos x)
ñ2yex “ e2x ´ 1
ñpexq2 ´ 2ypexq ´ 1 “ 0
ñex “2y ˘
a
4y2 ` 4
2“ y ˘
a
y2 ` 1
la exponencial siempre es positiva
ñex “ y `a
y2 ` 1
ñx “ lnpy `a
y2 ` 1q
Propiedad
ż
dx?x2 ` 1
“ arcsinhpxq ` C
Verificacion:
d
dxarcsinhpxq “
d
dxlnpx`
a
x2 ` 1q
“1
x`?x2 ` 1
ˆ
1`2x
2?x2 ` 1
˙
“1
?x2 ` 1
Ejercicio
ż
dx?x2 ` a2
“ arcsinhpx
aq ` C
donde a constante.
Se hace con la sustitucion u “ x{a y laformula anterior.
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Funciones hiperbolicas
o De manera similar se obtienen losiguiente:
ArcoCoseno hiperbolico
La funcion fpxq “ coshpxq es biyectivacuando x P r0,`8s y su inversa esta dadapor:
arcCoshpxq “ lnpx`a
x2 ´ 1q
con x P r1,`8s. Ademas:
ż
dx?x2 ´ 1
“ arcCoshpxq ` C
Ejercicio: Verificar estas formulas.
Arcotangente hiperbolica
La funcion fpxq “ tanhpxq es biyectiva y suinversa esta dada por:
arctanhpxq “1
2ln
ˆ
1` x
1´ x
˙
con x P p´1, 1q. Ademas:
ż
dx
1´ x2“ arctanhpxq ` C
Ejercicio: Verificar estas formulas.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 20 / 22
Funciones hiperbolicas
Ejemplo
Estudie la convergencia o divergencia de:
ż `8
1
dx?x2 ´ 1
Solucion directa:
ż `8
1
dx?x2 ´ 1
“ lımhÑ`8
ż h
1
dx?x2 ´ 1
“ lımhÑ`8
arcCoshpxq|h1
“ lımhÑ`8
parcCoshphq ´ arc cosp1qq
“ lımhÑ`8
arcCoshphq
“ lımhÑ`8
lnpx`a
x2 ´ 1q
“ lımhÑ`8
lnp2xq “ `8
Por lo tanto es divergente.
Solucion indirecta:
lımxÑ`8
1?x2 ´ 1
“ lımxÑ`8
1
x
ñ
ż `8
1
dx?x2 ´ 1
„
ż `8
1
dx
x
Y esta ultima es divergente por criterio dep-integral.
Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 21 / 22
Funciones hiperbolicas
F I N
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