MA1002 Cálculo IITema 03: Secciones cónicas
Parte 01: Secciones cónicas
Profesor Jesús Sánchez Guevara
U.C.R.
I Semestre 2020
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1002: T03P01 secciones cónicas I Semestre 2020 1 / 16
En esta clase
1 Graficar en el plano.
2 Parábolas, elipses y hipérbolas.
3 Cálculo de áreas de regiones.
Introducción
¿Qué son secciones cónicas?
1 Son familias de curvas del plano.
2 Muchos movimientos f́ısicos se describena partir de ellas.
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o ¿Cómo graficar en el plano?
1 Se usa el sistema cartesiano.
2 Punto P “ px, yq en el plano.3 Rectas ax` by ` c “ 0. Hacer ejemplos.
Intersección de rectas
Calcule el punto donde se intersecan lasrectas:
1 L1 : 3x` 2y ` 1 “ 0.2 L2 : x` y ´ 1 “ 0
Hacer en pizarra: P “ p´3, 4q
oGeogebra:
3x+2y+1=0, x+ y-1=0, P=(-3,4)
Familias de rectas
1 Crecientes ax` by ` c “ 0, con ab ă 0.Pendiente m “ ´a{b ą 0.
2 Decrecientes ax` by ` c “ 0, con ab ą 0.Pendiente m “ ´a{b ă 0.
3 Horizontales y “ y0. Pendiente m “ 0.4 Verticales x “ x0. Pendiente m “ `8
oNota:Si en ax` by ` c “ 0, c “ 0, la rectapasa por el origen p0, 0q.
Distancia entre dos puntos
Si A “ pa1, a2q y B “ pb1, b2q son dos puntosdel plano (en coordenadas cartesianas),entonces la distancia entre ellos es:
d “ dpA,Bq “b
pb1 ´ a1q2 ` pb2 ´ a2q2
o Es consecuencia del teorema de Pitágoras.Hacer en pizarra.
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Curvas en el plano
Una curva C en el plano R2 es el conjunto depuntos P “ px, yq P R2 (coordenadascartesianas) que satisfacen una ecuación de laforma:
F px, yq “ 0
En tal caso:
1 Esta ecuación se llama ecuacióncartesiana de C.
2 Se le llama gráfica de C al conjunto (y asu representación gráfica)
G “
px, yq P R2 : F px, yq “ 0(
3 Al conjunto G también se le llama lugargeométrico.
Ejemplo
1 Para la función cuadráticafpxq “ x2 ` 2x` 1:
1 F px, yq “ ´y ` x2 ` 2x` 12 G “
px, yq P R2 : ´y ` x2 ` 2x` 1 “ 0(
2 Para la recta 2x` 3y ` 1 “ 0:1 F px, yq “ 2x` 3y ` 1 “ 02 G “
px, yq P R2 : 2x` 3y ` 1 “ 0 “ 0(
oNota: No toca curva en el plano puede serdescrita con una ecuación de este tipo.
Completar cuadrados pa ą 0q
ax2 ` bx` c “ ax2 ` bx`ˆ
b
2?a
˙2
´ˆ
b
2?a
˙2
` c
“ˆ?
ax`b
2?a
˙2
´ˆ
b
2?a
˙2
` c
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Ćırculo
Un ćırculo A es el conjunto de puntosP “ px, yq cuya distancia a un punto fijoC “ pa, bq es constante. Al punto C se lellama centro de A. La distancia constante rse le llama radio de A.
o Ecuación cartesiana:
DpP,Cq “ r
ôb
px´ aq2 ` py ´ bq2 “ r
ôpx´ aq2 ` py ´ bq2 “ r2 (Ec. Canónica)
Ejemplo
Identifique la curva
x2 ` y2 ` 2y ` x´ 1 “ 0
Geogebra: x^2+y^2+2y+x-1=0
Hacer en pizarra:px` 1
2q2 ` py ` 1q2 “ p3{2q2
Elipses
Sean A “ pa1, a2q y B “ pb1, b2q dos puntosfijos del plano. Una elipse E de focos A y B,es el conjunto de puntos P “ px, yq tales quela suma de las distancias a A y B es unaconstante r ě 0.
Ecuación cartesiana: dpP,Aq ` dpP,Bq “ r
b
px´ a1q2 ` py ´ a2q2
`b
px´ b1q2 ` py ´ b2q2 “ r
o Solamente estudiaremos los casos donde losfocos de la elipse se encuentran en rectasparalelas a los ejes coordenados:
1 Posición horizontal a2 “ b2.2 Posición vertical a1 “ b1.3 Si A “ B, es un ćırculo de radio r{2.
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o Ecuación canónica: elipse de centroph, lq, longitud eje horizontal 2a y longitudeje vertical 2b.
px´ hq2
a2`py ´ lq2
b2“ 1
1 Centro C “ ph, lq.2 Semi-eje vertical x “ h, Semi-eje
horizontal y “ l.3 Distancia entre focos 2c “ 2
a
|a2 ´ b2|.4 Vertices verticales ph, l ` bq y ph, l ´ bq.5 Vertices horizontales ph`a, lq y ph´a, lq.
Ejemplo
Identifique las cónicas 4x2 ´ 8x` y2 “ 0 yx2 ´ 2x` 4y2 “ 0
opx´1q2
12` y
2
22“ 1 y px´1q
2
22` y
2
12“ 1.
Propiedad
1 Si a ą b:1 : La elipse está en posición horizantal.2 : c2 “ a2 ´ b2.3 : Focos en ph` c, lq y ph´ c, lq.
2 Si a ă b:1 : La elipse está en posición vertical.2 : c2 “ b2 ´ a2.3 : Focos en ph, l ` cq y ph, l ´ cq.
3 Si a “ b:1 : Es un ćırculo de centro ph, lq.2 : c “ 0.3 : Radio a “ b “ r{2.
Ejemplo
Determine las coordenadas de los focos de laselipses del ejemplo anterior.
o:Hacer en pizarra, p1,˘?
3q y p1˘?
3, 0q,respectivamente.
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Ejemplo
Calcule el área entre el eje x y la mitad
superior de la elipse x2
4` y2 “ 1
Solución:
1 Esta es una elipse horizontal. Dibujar.
2 La parte superior de la elipse está dadapor la gráfica de la función:
y “
d
1´x2
4
3 El área buscada está dada por la integral:
A “ż 2
´2
d
1´x2
4dx “ 2
ż 2
0
d
1´x2
4dx
“ px “ 2 sinpθqq “ 2ż π{2
0cospθq ¨ 2 cospθqdθ
“ 2ż π{2
0p1` cosp2θqqdθ “ π
Ejemplo
Calcule el área entre las elipses:
x2
42`y2
62“ 1 y
px´ 2q2
22`y2
12“ 1
Geogebra: x*x/16+y*y/36=1
(x-2)*(x-2)/4+y*y=1
o Explicar en pizarra. Cálculo se deja comoejercicio.
Ejemplo, caso degenerado de elipse r “ 0¿Cuál es la ecuación cartesiana de la curvadada por un solo punto pn,mq?
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Hipérbolas
Sean A “ pa1, a2q y B “ pb1, b2q dos puntosfijos del plano. Una hipérbola H de focos A yB, es el conjunto de puntos P “ px, yq talesque la resta de las distancias a A y B es unaconstante r ě 0.
Ecuación cartesiana:|dpP,Aq ´ dpP,Bq| “ r
|b
px´ a1q2 ` py ´ a2q2
´b
px´ b1q2 ` py ´ b2q2| “ r
o Solamente estudiaremos los casos donde losfocos de las hipérbolas se encuentran enrectas paralelas a los ejes coordenados:
1 Posición horizontal a2 “ b2.2 Posición vertical a1 “ b1.
o Ecuación canónica: hipérbolahorizontal de centro ph, lq:
px´ hq2
a2´py ´ lq2
b2“ 1
1 Centro C “ ph, lq.2 Eje vertical de simetŕıa x “ h, Eje
horizontal de simetŕıa y “ l.3 Distancia entre focos 2c “ 2
?a2 ` b2
(c2 “ a2 ` b2).4 Vertices ph` a, lq y ph´ a, lq.5 Focos ph` c, lq y ph´ c, lq.6 Semiejes: a semi-eje principal y b
semi-eje imaginario.
7 Rectas aśıntotas: y “ l ˘ bapx´ hq
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o Ecuación canónica: hipérbola verticalde centro ph, lq:
´px´ hq2
a2`py ´ lq2
b2“ 1
1 Centro C “ ph, lq.2 Eje vertical de simetŕıa x “ h, Eje
horizontal de simetŕıa y “ l.3 Distancia entre focos 2c “ 2
?a2 ` b2
(c2 “ a2 ` b2).4 Vertices ph, l ` bq y ph, l ´ bq.5 Focos ph, l ` cq y ph, l ´ cq.6 Semiejes: a semi-eje imaginario y b
semi-eje principal.
7 Rectas aśıntotas: y “ l ˘ bapx´ hq
Ejemplo
Grafique las hipérbolas x2 ´ y2{4 “ 1 yx2{4´ y2 “ 1. En cada caso indique elcentro, los vértices, los focos, los ejesprincipales e imaginarios, las rectas aśıntotas.Hacer en pizarra y Geogebra
Ejemplo
Calcule el área en el primer cuadrante, entrela hipérbola x2 ´ y2 “ 1 y la recta verticaly “ 6.
Solución:
1 x2 ´ y2 “ 1 es una hipérbola horizontal.Hacer dibujo.
2 La parte superior de brazo derecho tieneecuación y “
?x2 ´ 1, para x ě 1.
3 El área es:
A “ż 6
1
a
x2 ´ 1dx „ 16 y pico.
Wolfram Alpha: \int_1^6\sqrt{x^2-1}dx
Caso degenerado r “ 0
px´ hq2{a2 ´ py ´ lq2{b2 “ 0
Son las dos rectas aśıntotas depx´ hq2{a2 ´ py ´ lq2{b2 “ 1.
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Parábolas
Sean A “ pa1, a2q un punto fijo del plano y Luna recta fija. Una parábola P de foco A ydirectriz L, es el conjunto de puntosP “ px, yq que son equidistantes al punto A yla recta L.
Ecuación cartesiana:
|dpP,Lq| “ |dpP,Aq|
o Solamente estudiaremos los casos donde ladirectriz es paralela a alguno de los ejescoordenados:
1 Posición vertical: directriz x “ h.2 Posición horizontal: directriz y “ l.
Ejercicio
Determine la ecuación cartesiana de laparábola de foco A “ p1, 0q y directrizL : x “ ´1.
1 Hacer dibujo.
2
|dpP,Lq| “ |dpP,Aq||dppx, yq, p´1, yqq| “ |dppx, yq, p1, 0qq|
b
px` 1q2 ` 02 “b
px´ 1q2 ` y2
px` 1q2 “ px´ 1q2 ` y2
px` 1q2 ´ px´ 1q2 “ y2
4x “ y2
Aśı, la ecuación cartesiana es:
y2 ´ 4x “ 0
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Definición
El vértice de una parábola es donde ladistancia al vértice y la directriz en mı́nima.
o En el ejemplo anterior el vértice es p0, 0q. Yla distancia mı́nima es c “ 1.
Ecuación canónica
Parábola vertical de vértice V “ pa, bq.
px´ aq2 “ 4ppy ´ bq
1 Recta directriz y “ b´ p2 Eje de simetŕıa x “ a.3 Distancia del vértice al foco c “ |p|.4 Foco pa, b` pq.5 Si p ą 0, la parábola es cóncava hacia
arriba.
6 Si p ă 0, la parábola es cóncava haciaabajo.
Ecuación canónica
Parábola horizontal de vértice V “ pa, bq.
py ´ bq2 “ 4ppx´ aq
1 Recta directriz x “ a´ p2 Eje de simetŕıa y “ b.3 Distancia del vértice al foco c “ |p|.4 Foco pa` p, bq.5 Si p ą 0, la parábola es cóncava hacia la
derecha.
6 Si p ă 0, la parábola es cóncava hacia laizquierda.
Ejemplo
Describa la parábola y2 ´ 2y ` x “ 0
o py ´ 1q2 “ 4p´1{4qpx´ 1q
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Definición unificada
Cónicas
Sean A “ pa1, a2q un punto fijo del plano, Luna recta fija y � P R una constante. Unacónica C de foco A y directriz L, es la curvadada por el conjunto de puntos P “ px, yqtales que:
|dpP,Aq||dpP,Lq|
“ �
A � se le llama excentricidad de la cónica C.
Teorema
1 Si 0 ă � ă 1, C es una elipse.2 Si � “ 1, C es una parábola.3 Si � ą 1, C es una hipérbola.
Nota: Si � “ 0, C es un punto. Sin embargo,se le asocia excentricidad nula a los ćırculos.
Teorema
1 Para una elipse de semiejes a y b,� “ c{a. Recuerde que c “
a
|b2 ´ a2|.2 Para una hiperbola de semiejes a y b,� “ c{a. Recuerde que c “
?b2 ` a2.
Hacer dibujo en la pizarra para todoslos valores de �. Ver libro Walker página 40pdf Secciones Cónicas v0.4.
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Parametrizaciones de cónicas
Idea
Se quiere describir F px, yq “ 0, como unsistema:
"
x “ xptqy “ yptq
donde t P rt0, t1s Ď R. A t se le llamaparámetro
Ejemplo
Parametrice la recta ax` by ` c “ 0. Dondea, b ‰ 0.
1 Si se toma x “ t:"
x “ ty “ ´1
bpat` cq
donde t P R.2 Si se toma y “ t:
"
x “ ´1apbt` cq
y “ t
donde t P R.
Parametrización de parábolas
1 Para la parábola py ´ bq2 “ 4ppx´ aq:"
x “ a` 14ppt´ bq2
y “ t
Donde t P ra,`8s si p ą 0, y t P r´8, assi p ă 0.
2 Para la parábola px´ aq2 “ 4ppy ´ bq:"
x “ ty “ b` 1
4ppt´ aq2
Donde t P rb,`8s si p ą 0, y t P r´8, bssi p ă 0.
Nota: tanto en el caso de la rectas, como enel de las parábolas, se toma una de lasvariables como parámetro y la otra se despejaen términos de esta, usando la ecuacióncanónica.
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Parametrización de ćırculos y elipses
1 Si x2
a2` y
2
b2“ 1, entonces, una
parametrización está dada por:
"
x “ a cosptqy “ b sinptq
Donde t P r0, 2πs.
2 Si px´hq2
a2` py´lq
2
b2“ 1, entonces, una
parametrización está dada por:
"
x “ h` a cosptqy “ l ` b sinptq
Donde t P r0, 2πs.
Parametrización de hipérbolas
1 Si x2
a2´ y
2
b2“ 1, entonces,
1 Una parametrización de la curva de subrazo derecho es:
"
x “ a coshptqy “ b sinhptq
Donde t P R.2 Una parametrización de la curva de su
brazo izquierdo es:"
x “ ´a coshptqy “ b sinhptq
Donde t P R.
2 Describa como ejercicio laparametrización del caso
px´ hq2
a2´py ´ lq2
b2“ 1
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Parametrización de hipérbolas
1 Si ´x2
a2` y
2
b2“ 1, entonces,
1 Una parametrización de la curva de subrazo superior es:
"
x “ a sinhptqy “ b coshptq
Donde t P R.2 Una parametrización de la curva de su
brazo izquierdo es:"
x “ a sinhptqy “ ´b coshptq
Donde t P R.
2 Describa como ejercicio laparametrización del caso
´px´ hq2
a2`py ´ lq2
b2“ 1
Ejemplo
Ver ejemplo 2.13 libro Walker página 29Secciones Cónicas V0.4.
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F I N
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