8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
1/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
Suponemos que ya conocemos los smbolos > (mayor que), 1 para sealar que 4 es mayor que 1. Tambin podemosescribir 2 < 3 para sealar que 2 es menor que 3.
Ejemplos como estos se conocen comodesigualdades.
Sabido esto, diremos que una inecuacin es el enunciado de una desigualdad que incluyealguna de las siguientes relaciones de orden: mayor que(>); menor que ( 1, porque 4 est a la derecha de 1 en la recta numrica.
2 < 3, porque 2 est a la izquierda de 3 en la recta numrica
3 < 1, porque -3 est a la izquierda de 1 en la recta numrica
0 > 4, porque 0 est a la derecha de 4 en la recta numrica
Una inecuacin lineal, entonces, es una expresin matemtica que describe cmo serelacionan entre s dos expresiones lineales.
Por ejemplo: 3 + 5x 18; y otro, 2(x + 3) < 9.
INECUACIONES LINEALES O INECUACIONES DE PRIMER GRADO
SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: MatemticaNOMBRE GUIA Y/O MODULO N2: Inecuaciones lineales o inecuaciones de primer gradoNIVEL: 3 MedioPROFESORA: Alejandra UrreaOBJETIVOS GUIA Y/O MODULO DE APRENDIZAJE:
Aplicar Concepto y propiedades de inecuaciones.
Reconocer intervalos en la recta numrica.
Resolver inecuaciones de primer grado con una incgnita.
Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
Resolver sistemas de inecuaciones lineales con una incgnita.
Resolver inecuaciones de primer grado con dos incgnitas.
Resolver sistemas de inecuaciones lineales con dos incgnitas.
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Desigualdades.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Desigualdades.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Desigualdades.html8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
2/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________Como resolver una inecuacin
Resolver una inecuacin es encontrar los valores de la incgnita para los cuales se cumple ladesigualdad. La solucin de una inecuacin es, por lo general, un intervalo o una unin deintervalos de nmeros reales, por ello es que se puede representar haciendo uso deintervalos en la recta numrica, la cual contiene infinitos nmeros reales
Las reglas para la resolucin de una inecuacin son prcticamente las mismas que seemplean para la resolucin de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades delas desigualdades.
Como ya dijimos, se puede ilustrar la solucin de una inecuacin con una grfica, utilizando larecta numrica y marcando el intervalo entre los nmeros que dan solucin a la desigualdad.Si la solucin incluye algn extremo definido del intervalo, en la grfica representamos dichoextremo con un crculo en negrita; en cambio, si la solucin no incluye el extremo, lorepresentamos mediante un crculo en blanco.
Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)
Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numrica y no incluyen al 7.
En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe:
Ejemplo: x 7 (equis es mayor o igual a 7)
Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numrica e incluyen
al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se escribe:Ntese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinadadentro del intervalo.
Resolucin de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incgnita
Veamos algunos ejemplos:
Resolver la inecuacin 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)
Debemos colocar las letras a un lado y los nmeros al otro lado de la desigualdad (en estecaso, mayor que >), entonces para llevar el 3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamosel operador inverso (el inverso de 3 es +3, porque la operacin inversa de la resta es lasuma).
Tendremos: 4x 3 + 3 > 53 + 3
4x > 53 +3
4x > 56
Ahora tenemos el nmero 4 que est multiplicando a la variable o incgnita x, entonces lopasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operacin inversa de la multiplicacines la divisin).
Tendremos ahora: x > 56 4
x > 14
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Intervalos_Inecuaciones.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Intervalos_Inecuaciones.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Intervalos_Inecuaciones.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Intervalos_Inecuaciones.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Intervalos_Inecuaciones.html8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
3/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________Entonces el valor de la incgnita o variable "x" sern todos los nmeros mayores que 14, noincluyendo al 14.
Grficamente, esta solucin la representamos as:
Esto significa que en la recta numrica, desde el nmero 14 (sin incluirlo) hacia la derechatodos los valores (hasta el infinito + ) resuelven la inecuacin.
Veamos el siguiente ejemplo: 11x -5x +1 < 65x +36
Llevamos los trminos semejantes a un lado de la desigualdad y los trminos independientesal otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).
11x 5x +65x < 36 1
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente
49x < 35
Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.
Casos EspecialesCuando el lado de la incgnita queda con signo negativo (), se debe realizar un arreglo paraeliminar ese signo negativo, ya que la incgnita nunca debe quedar con valor negativo.
Veamos el siguiente ejemplo:
2x [x (x 50)] < x (800 3x)
Primero quitamos los parntesis:
2x [x x +50] < x 800 +3x
Reducimos trminos semejantes.
2x [50] < 4x 800
Ahora quitamos los corchetes2x 50 < 4x 800
Transponemos los trminos, empleando el criterio de operaciones inversas.
2x 4x < 800 +50
Nuevamente reducimos trminos semejantes y llegamos a
2x < 750
Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incgnita, entoncescambiamos de signo a todo (2x queda 2x y 750 queda 750), y adems cambiamos elsentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).
2x > 750
Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
4/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________Resolucin de Problemas
No es muy comn encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si nosencontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemtico y luego realizarlas operaciones correspondientes para hallar el valor de la incgnita (el dato que deseamosconocer).
Veamos un problema sencillo como ejemplo:
Dentro de cinco aos, Ximena tendr no menos de 18 aos. Qu edad tiene actualmenteXimena?
Tenemos entonces:
x edad de Ximena
x + 5 edad de Ximena en 5 aos
Sabemos que la edad de Ximena en cinco aos ser mayor que 18 aos (Dentro de cincoaos, Ximena tendr no menos de 18 aos).
x + 5 > 18
Resolvemos la inecuacin:
x + 5 > 18
x > 18 -5
x > 13
Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene ms de 13 aos, pero no podemosdeterminar exactamente su edad.
Dos ejemplos de inecuaciones representando la solucin en la recta numrica e indicando elintervalo en el cual se ubica sta:
a) X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido.
b) X pertenece al intervalo que va entre la fraccin incluida y el infinito hacia la derecha.
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
5/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
Inecuaciones que involucran valor absoluto
Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma , donde y son
constantes con y es una variable real. Para esto utilizaremos la definicin de valor absoluto, y en los
casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas las aplicaremos, con el fin de facilitar el
procedimiento de resolucin.
Ejemplo 1
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Solucin
1.
Sabemos que:
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
6/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
Con esta informacin construimos la siguiente tabla:
En consecuencia el conjunto solucin
Nota: La inecuacin y otras similares se pueden resolver aplicando propiedades del valor absoluto y
adems algunos resultados que se enuncian a continuacin y que aceptaremos sin demostrar.
Resultado 1
1.
2.
Resultado 2
1.
2.
Resultado 3
1.
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
7/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
2.
Ejemplo
Usando estos resultados y las propiedades correspondientes del valor absoluto, se resuelve as.
Ejemplo
Ejemplo
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
8/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
Ejercicios
Resuelva cada une de las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Ejemplos Adicionales
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
Solucin:
1.
En este caso se tiene que:
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
9/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
As:
2.
En este caso se tiene que:
Con esta informacin construimos la siguiente tabla:
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
10/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
3.
Como:
As:
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
11/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
4.
Adems:
As:
De aqu se tiene que:
Ejercicio 4
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
12/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
Sistemas de inecuaciones l ineales con dos incgnitas
La so luc in a este s istema es la interseccin de las regiones que
corresponden a la solucin de cada inecuacin.
1 Re pr es ent am os la r eg i n s ol uci n de l a p ri me ra
inecuacin.
Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
D amo s a u na d e l as d os v ar ia bl es d os v al or es , c on l o q ue
obtenemos dos puntos.
x = 0; 2 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta .
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
13/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
14/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
Tomamos un punto , por e jemplo e l (0, 0) , los sustituimos en la
desigualdad. Si se cumple, la solucin es el semiplano donde se
encuentra el punto, si no la solucin ser el otro semiplano.
2x + y 3
2 0 + 0 3 0 3 S
2 Re pr es ent amos l a r eg i n s ol uci n d e l a s eg und a
inecuacin.
x + y = 1
x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1)
x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
15/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
;
x + y 1
0 + 0 1 No
3 La solucin es la interseccin de las regiones soluci ones.
Inecuaciones. Ejercicios
1 Resolver las siguientes inecuaciones
8/3/2019 MATEMATICA DIFERENCIADO A.URREA MODULO N2-3MEDIO
16/16
Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica
___________________________________________________________________________________
1
2
3
2 Resuelve el s istema: