MATEMATICAS BASICAS
Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Oscar Guillermo Riano
Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas
Sede Bogota
Enero de 2014
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 1 / 45
Definicion intuitiva de conjunto
Definicion
Un conjunto es una coleccion de objetos.
Ejemplos
A = {Laura,Gabriela,Diana}B = {Cuadrado, rectangulo, rombo, trapecio}C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }D = {x | x es un estudiante activo de la UN}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 3 / 45
Definicion intuitiva de conjunto
Definicion
Un conjunto es una coleccion de objetos.Ejemplos
A = {Laura,Gabriela,Diana}
B = {Cuadrado, rectangulo, rombo, trapecio}C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }D = {x | x es un estudiante activo de la UN}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 3 / 45
Definicion intuitiva de conjunto
Definicion
Un conjunto es una coleccion de objetos.Ejemplos
A = {Laura,Gabriela,Diana}B = {Cuadrado, rectangulo, rombo, trapecio}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }D = {x | x es un estudiante activo de la UN}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 3 / 45
Definicion intuitiva de conjunto
Definicion
Un conjunto es una coleccion de objetos.Ejemplos
A = {Laura,Gabriela,Diana}B = {Cuadrado, rectangulo, rombo, trapecio}C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }
D = {x | x es un estudiante activo de la UN}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 3 / 45
Definicion intuitiva de conjunto
Definicion
Un conjunto es una coleccion de objetos.Ejemplos
A = {Laura,Gabriela,Diana}B = {Cuadrado, rectangulo, rombo, trapecio}C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }D = {x | x es un estudiante activo de la UN}
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Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Extension y Comprension
Cuando un conjunto es descrito por una propiedad que comparten suselementos se dice que esta determinado por comprension.
Cuando damos una lista explıcita de los elementos del conjunto, decimosque esta determinado por extension.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 4 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Extension y Comprension
Cuando un conjunto es descrito por una propiedad que comparten suselementos se dice que esta determinado por comprension.
Cuando damos una lista explıcita de los elementos del conjunto, decimosque esta determinado por extension.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 4 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplo
A = {x | x es un numero impar positivo, menor que 30}
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
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Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplo
A = {x | x es un numero impar positivo, menor que 30}A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 5 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplo
B = {x | x es un entero mayor que − 3}
B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Ejemplo
C = {x | x es un entero mayor o igual que − 3}
C = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 6 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplo
B = {x | x es un entero mayor que − 3}B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Ejemplo
C = {x | x es un entero mayor o igual que − 3}
C = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 6 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplo
B = {x | x es un entero mayor que − 3}B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Ejemplo
C = {x | x es un entero mayor o igual que − 3}
C = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 6 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplo
B = {x | x es un entero mayor que − 3}B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Ejemplo
C = {x | x es un entero mayor o igual que − 3}C = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 6 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplo
D = {x | x es un numero par y primo}
D = {2}
Ejemplo
E = {x | x es un numero impar y primo}
E = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . }
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 7 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplo
D = {x | x es un numero par y primo}D = {2}
Ejemplo
E = {x | x es un numero impar y primo}
E = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . }
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 7 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplo
D = {x | x es un numero par y primo}D = {2}
Ejemplo
E = {x | x es un numero impar y primo}
E = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . }
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 7 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplo
D = {x | x es un numero par y primo}D = {2}
Ejemplo
E = {x | x es un numero impar y primo}E = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . }
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 7 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplos
Consideremos el conjunto
G = {x | x es par, primo y mayor que 5}
El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacıo y seacostumbra a notar por ∅ o { }.
OJO {∅} NO es el conjunto vacıo, es un conjunto con un elemento.
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Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplos
Consideremos el conjunto
G = {x | x es par, primo y mayor que 5}
El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacıo y seacostumbra a notar por ∅ o { }.
OJO {∅} NO es el conjunto vacıo, es un conjunto con un elemento.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 8 / 45
Conjuntos determinados por extensiony por comprension
Ejemplos
Consideremos el conjunto
G = {x | x es par, primo y mayor que 5}
El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacıo y seacostumbra a notar por ∅ o { }.
OJO {∅} NO es el conjunto vacıo, es un conjunto con un elemento.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 8 / 45
Pertenencia
Definicion
Consideremos una relacion binaria denotada por ∈, definida entre unelemento a y un conjunto A.
Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamospor a ∈ A.En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a /∈ A.
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Pertenencia
Definicion
Consideremos una relacion binaria denotada por ∈, definida entre unelemento a y un conjunto A.Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamospor a ∈ A.
En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a /∈ A.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 9 / 45
Pertenencia
Definicion
Consideremos una relacion binaria denotada por ∈, definida entre unelemento a y un conjunto A.Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamospor a ∈ A.En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a /∈ A.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 9 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Consideremos el conjunto
A = {x | x es primo} ,
¿hay un conjunto de referencia?
¿letras?
¿colores?
¿reales?
¿naturales?
El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjuntolo tomamos como el conjunto universal.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 10 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Consideremos el conjunto
A = {x | x es primo} ,
¿hay un conjunto de referencia?
¿letras?
¿colores?
¿reales?
¿naturales?
El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjuntolo tomamos como el conjunto universal.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 10 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Consideremos el conjunto
A = {x | x es primo} ,
¿hay un conjunto de referencia?
¿letras?
¿colores?
¿reales?
¿naturales?
El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjuntolo tomamos como el conjunto universal.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 10 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Consideremos el conjunto
A = {x | x es primo} ,
¿hay un conjunto de referencia?
¿letras?
¿colores?
¿reales?
¿naturales?
El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjuntolo tomamos como el conjunto universal.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 10 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Consideremos el conjunto
A = {x | x es primo} ,
¿hay un conjunto de referencia?
¿letras?
¿colores?
¿reales?
¿naturales?
El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjuntolo tomamos como el conjunto universal.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 10 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Consideremos el conjunto
A = {x | x es primo} ,
¿hay un conjunto de referencia?
¿letras?
¿colores?
¿reales?
¿naturales?
El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjuntolo tomamos como el conjunto universal.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 10 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Consideremos el conjunto
A = {x | x es primo} ,
¿hay un conjunto de referencia?
¿letras?
¿colores?
¿reales?
¿naturales?
El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjuntolo tomamos como el conjunto universal.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 10 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Ejemplos
Son ejemplos de conjuntos universales:
U : NU : ZU : RU : Estudiantes activos de la Universidad Nacional
U : Habitantes de Colombia
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 11 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Ejemplos
Son ejemplos de conjuntos universales:
U : N
U : ZU : RU : Estudiantes activos de la Universidad Nacional
U : Habitantes de Colombia
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 11 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Ejemplos
Son ejemplos de conjuntos universales:
U : NU : Z
U : RU : Estudiantes activos de la Universidad Nacional
U : Habitantes de Colombia
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 11 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Ejemplos
Son ejemplos de conjuntos universales:
U : NU : ZU : R
U : Estudiantes activos de la Universidad Nacional
U : Habitantes de Colombia
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 11 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Ejemplos
Son ejemplos de conjuntos universales:
U : NU : ZU : RU : Estudiantes activos de la Universidad Nacional
U : Habitantes de Colombia
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 11 / 45
Conjunto de referencia o conjunto universal
Ejemplos
Son ejemplos de conjuntos universales:
U : NU : ZU : RU : Estudiantes activos de la Universidad Nacional
U : Habitantes de Colombia
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 11 / 45
Subconjuntos
Definicion
Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto deB si todo elemento de A es tambien elemento de B,
lo cual se nota porA ⊆ B y se lee A esta contenido en B.En otras palabras
(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).
Para decir A 6⊆ B negamos la proposicion anterior, ası
∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 12 / 45
Subconjuntos
Definicion
Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto deB si todo elemento de A es tambien elemento de B, lo cual se nota porA ⊆ B y se lee A esta contenido en B.
En otras palabras
(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).
Para decir A 6⊆ B negamos la proposicion anterior, ası
∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 12 / 45
Subconjuntos
Definicion
Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto deB si todo elemento de A es tambien elemento de B, lo cual se nota porA ⊆ B y se lee A esta contenido en B.En otras palabras
(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).
Para decir A 6⊆ B negamos la proposicion anterior, ası
∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 12 / 45
Subconjuntos
Definicion
Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto deB si todo elemento de A es tambien elemento de B, lo cual se nota porA ⊆ B y se lee A esta contenido en B.En otras palabras
(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).
Para decir A 6⊆ B negamos la proposicion anterior,
ası
∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 12 / 45
Subconjuntos
Definicion
Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto deB si todo elemento de A es tambien elemento de B, lo cual se nota porA ⊆ B y se lee A esta contenido en B.En otras palabras
(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).
Para decir A 6⊆ B negamos la proposicion anterior, ası
∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 12 / 45
Diagramas de Venn
A
BU
Figura : A ⊆ B
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 13 / 45
Subconjuntos
Propiedades
Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.
Pues de no ser ası, existirıa x ∈ ∅ tal que x /∈ A, lo cual contradice elhecho de que vacıo no tiene elementos.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 14 / 45
Subconjuntos
Propiedades
Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.Pues de no ser ası, existirıa x ∈ ∅ tal que x /∈ A,
lo cual contradice elhecho de que vacıo no tiene elementos.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 14 / 45
Subconjuntos
Propiedades
Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.Pues de no ser ası, existirıa x ∈ ∅ tal que x /∈ A, lo cual contradice elhecho de que vacıo no tiene elementos.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 14 / 45
Subconjuntos
Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C .
Veamos
{(∀x)(x ∈ A→ x ∈ B)(∀x)(x ∈ B → x ∈ C )
=⇒ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ C )
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 15 / 45
Subconjuntos
Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C . Veamos{(∀x)(x ∈ A→ x ∈ B)(∀x)(x ∈ B → x ∈ C )
=⇒ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ C )
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 15 / 45
Subconjuntos
Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C . Veamos{(∀x)(x ∈ A→ x ∈ B)(∀x)(x ∈ B → x ∈ C )
=⇒ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ C )
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 15 / 45
Igualdad entre conjuntos
Igualdad entre conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.
En otras palabras
(∀x)(x ∈ A←→ x ∈ B)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 16 / 45
Igualdad entre conjuntos
Igualdad entre conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.En otras palabras
(∀x)(x ∈ A←→ x ∈ B)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 16 / 45
Subconjuntos
Ejemplo
Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.
Tenemos que B ⊆ A, pero C 6⊆ A.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 17 / 45
Subconjuntos
Ejemplo
Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.Tenemos que B ⊆ A, pero C 6⊆ A.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 17 / 45
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Sea A un conjunto. Definimos la coleccion
P(A) := {X | X ⊆ A}
Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 18 / 45
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Sea A un conjunto. Definimos la coleccion
P(A) := {X | X ⊆ A}
Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 18 / 45
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a}.
P(A) = {∅, {a}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b}.
P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b, c}.
P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 19 / 45
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b}.
P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b, c}.
P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 19 / 45
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b}.
P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b, c}.
P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 19 / 45
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b}. P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b, c}.
P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 19 / 45
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b}. P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b, c}.
P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 19 / 45
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b}. P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.
Ejemplo
Sea A = {a, b, c}.P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 19 / 45
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Propiedades
Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).
Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2n
elementos.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 20 / 45
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Propiedades
Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).
Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2n
elementos.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 20 / 45
Operaciones entre conjuntos
Union
Sean A y B dos conjuntos, definimos la union de A y B como
A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 21 / 45
Interseccion
Interseccion
Sean A y B dos conjuntos, definimos la interseccion de A y B como
A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 23 / 45
Interseccion
UA B
Figura : A ∩ B
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 24 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 25 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 25 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ ∅ = ∅
A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 25 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 25 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 25 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 25 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ⊆ A ∪ B
A ∩ B ⊆ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 26 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ⊆ A ∪ B
A ∩ B ⊆ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 26 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ⊆ A ∪ B
A ∩ B ⊆ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 26 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ⊆ A ∪ B
A ∩ B ⊆ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 26 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ⊆ A ∪ B
A ∩ B ⊆ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 26 / 45
Union e Interseccion
Propiedades
A ⊆ A ∪ B
A ∩ B ⊆ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 26 / 45
Complemento
Definicion
Sea A un conjunto considerado como subconjunto de un conjuntouniversal U. Definimos el complemento de A (con respecto a U) como
A′ := {a ∈ U| a /∈ A}
El complemento de A se nota por A′ o por AC .
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Complemento
A
A′
U
Figura : A′
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Complemento
Propiedades
A′′ = A
A ⊆ B si y solo si B ′ ⊆ A′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′
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Complemento
Propiedades
A′′ = A
A ⊆ B si y solo si B ′ ⊆ A′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 29 / 45
Complemento
Propiedades
A′′ = A
A ⊆ B si y solo si B ′ ⊆ A′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 29 / 45
Complemento
Propiedades
A′′ = A
A ⊆ B si y solo si B ′ ⊆ A′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 29 / 45
Diferencia
Definicion
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B como
A− B := {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}
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Diferencia
A BU
Figura : A− B
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Diferencia
Propiedades
A− B = A ∩ B ′
A− A = ∅A− ∅ = A
A− B = A si y solo si A ∩ B = ∅A− B = ∅ si y solo si A ⊆ B
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Diferencia
Propiedades
A− B = A ∩ B ′
A− A = ∅
A− ∅ = A
A− B = A si y solo si A ∩ B = ∅A− B = ∅ si y solo si A ⊆ B
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Diferencia
Propiedades
A− B = A ∩ B ′
A− A = ∅A− ∅ = A
A− B = A si y solo si A ∩ B = ∅A− B = ∅ si y solo si A ⊆ B
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 32 / 45
Diferencia
Propiedades
A− B = A ∩ B ′
A− A = ∅A− ∅ = A
A− B = A si y solo si A ∩ B = ∅
A− B = ∅ si y solo si A ⊆ B
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 32 / 45
Diferencia
Propiedades
A− B = A ∩ B ′
A− A = ∅A− ∅ = A
A− B = A si y solo si A ∩ B = ∅A− B = ∅ si y solo si A ⊆ B
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 32 / 45
Diferencia
Ejercicio
Sean U = {a, b, c , d , e, f , g , h, i , j , k}, A = {a, b, d , f , h},B = {b, c , d , e, f } y C = {c , g , h, k}. Encuentre
A− B
B − A
(A− B) ∪ C ′
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Diferencia Simetrica
Definicion
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia simetrica de A y Bcomo
A4B = (A− B) ∪ (B − A)
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Diferencia Simetrica
A BU
Figura : A4B
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Diferencia Simetrica
Propiedades
A4B = B4A
A4∅ = A
A4A = ∅A ⊆ B entonces A4B = B − A
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Diferencia Simetrica
Propiedades
A4B = B4A
A4∅ = A
A4A = ∅A ⊆ B entonces A4B = B − A
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 36 / 45
Diferencia Simetrica
Propiedades
A4B = B4A
A4∅ = A
A4A = ∅
A ⊆ B entonces A4B = B − A
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 36 / 45
Diferencia Simetrica
Propiedades
A4B = B4A
A4∅ = A
A4A = ∅A ⊆ B entonces A4B = B − A
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 36 / 45
Producto cartesiano
Definicion
Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B,notado A× B como
A× B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}
Los elementos de A×B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre loindica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) 6= (b, a). Ası
B × A = {(b, a)| b ∈ B ∧ a ∈ A}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 37 / 45
Producto cartesiano
Definicion
Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B,notado A× B como
A× B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}
Los elementos de A×B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre loindica importa el orden en que aparece,
esto es, (a, b) 6= (b, a). Ası
B × A = {(b, a)| b ∈ B ∧ a ∈ A}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 37 / 45
Producto cartesiano
Definicion
Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B,notado A× B como
A× B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}
Los elementos de A×B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre loindica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) 6= (b, a).
Ası
B × A = {(b, a)| b ∈ B ∧ a ∈ A}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 37 / 45
Producto cartesiano
Definicion
Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B,notado A× B como
A× B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}
Los elementos de A×B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre loindica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) 6= (b, a). Ası
B × A = {(b, a)| b ∈ B ∧ a ∈ A}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 37 / 45
Producto cartesiano
Ejercicio
Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2}. Encuentre
A× B
B × A
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Producto cartesiano
Propiedades
¿ A× B es igual a B × A ?
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Cardinal de un conjunto
Definicion
Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier numero natural,decimos que el cardinal de A es k y se nota
n(A) = k .
Ejemplo
Si A = {a, b, c}
entonces n(A) = 3
Si B = {x | x es primo y x < 12}
entonces n(B) = 5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 40 / 45
Cardinal de un conjunto
Definicion
Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier numero natural,decimos que el cardinal de A es k y se nota
n(A) = k .
Ejemplo
Si A = {a, b, c}
entonces n(A) = 3
Si B = {x | x es primo y x < 12}
entonces n(B) = 5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 40 / 45
Cardinal de un conjunto
Definicion
Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier numero natural,decimos que el cardinal de A es k y se nota
n(A) = k .
Ejemplo
Si A = {a, b, c}
entonces n(A) = 3
Si B = {x | x es primo y x < 12}
entonces n(B) = 5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 40 / 45
Cardinal de un conjunto
Definicion
Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier numero natural,decimos que el cardinal de A es k y se nota
n(A) = k .
Ejemplo
Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3
Si B = {x | x es primo y x < 12}
entonces n(B) = 5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 40 / 45
Cardinal de un conjunto
Definicion
Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier numero natural,decimos que el cardinal de A es k y se nota
n(A) = k .
Ejemplo
Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3
Si B = {x | x es primo y x < 12}
entonces n(B) = 5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 40 / 45
Cardinal de un conjunto
Definicion
Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier numero natural,decimos que el cardinal de A es k y se nota
n(A) = k .
Ejemplo
Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3
Si B = {x | x es primo y x < 12} entonces n(B) = 5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 40 / 45
Producto Cartesiano
Numero cardinal de un producto
Si n(A) = a y n(B) = b, entonces
n(A× B) =
n(B × A) = n(A)× n(B) = n(B)× n(A) = ab.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 41 / 45
Producto Cartesiano
Numero cardinal de un producto
Si n(A) = a y n(B) = b, entonces
n(A× B) = n(B × A) =
n(A)× n(B) = n(B)× n(A) = ab.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 41 / 45
Producto Cartesiano
Numero cardinal de un producto
Si n(A) = a y n(B) = b, entonces
n(A× B) = n(B × A) = n(A)× n(B) =
n(B)× n(A) = ab.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 41 / 45
Producto Cartesiano
Numero cardinal de un producto
Si n(A) = a y n(B) = b, entonces
n(A× B) = n(B × A) = n(A)× n(B) = n(B)× n(A) =
ab.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 41 / 45
Producto Cartesiano
Numero cardinal de un producto
Si n(A) = a y n(B) = b, entonces
n(A× B) = n(B × A) = n(A)× n(B) = n(B)× n(A) = ab.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 41 / 45
Producto Cartesiano
Ejercicios
Encuentre el numero cardinal en cada caso
Si n(A× B) = 36 y n(A) = 12, encuentre n(B)
Si n(A× B) = 100 y n(B) = 4, encuentre n(A)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 42 / 45
Producto Cartesiano
Ejercicios
Encuentre el numero cardinal en cada caso
Si n(A× B) = 36 y n(A) = 12, encuentre n(B)
Si n(A× B) = 100 y n(B) = 4, encuentre n(A)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 42 / 45
Resumen
Operaciones entre conjuntos
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal.
El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.La diferencia simetrica de A y B es
A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}
.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 43 / 45
Resumen
Operaciones entre conjuntos
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal.
El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.
La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.La diferencia simetrica de A y B es
A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}
.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 43 / 45
Resumen
Operaciones entre conjuntos
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal.
El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.La diferencia simetrica de A y B es
A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}
.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 43 / 45
Resumen
Operaciones entre conjuntos
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal.
El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.La diferencia simetrica de A y B es
A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}
.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 43 / 45
Resumen
Operaciones entre conjuntos
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal.
El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.
La diferencia simetrica de A y B es
A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}
.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 43 / 45
Resumen
Operaciones entre conjuntos
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal.
El complemento de A es A′ = {x ∈ U| x /∈ A}.La union de A y B es A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.La interseccion de A y B es A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.La diferencia de A y B es A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.La diferencia simetrica de A y B es
A4B = {x | (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}
.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 43 / 45
Resumen
Leyes de De Morgan
Para dos conjuntos A y B
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 44 / 45
Resumen
Leyes de De Morgan
Para dos conjuntos A y B
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 44 / 45
Conjuntos
Ejercicio
Cierta empresa entrevisto a 160 personas en un centro comercial con el finde averiguar sus preferencias a la hora de las comunicaciones y obtuvo lossiguientes resultados:
115 tienen internet en casa,
96 tienen cable en casa,
91 tienen celular,
68 tienen internet y cable en casa,
60 tienen internet en casa y celular,
54 tienen cable y celular,
38 tienen los tres,
2 no tienen ni internet , ni cable, ni celular.
Realice un diagrama donde se puedan leer estos datos.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Conjuntos 45 / 45