MATEMÀTIQUES – 4t d’ESO FEINA DE RECUPERACIÓ
CURS 2013-14 NOM DE L’ALUMNE/A: …………………………………………………………………. CURS I GRUP:…………………………
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 2
• Aquests exercicis que us presentem és la feina mínima que ens ha semblat adient per
preparar amb garanties la prova de setembre. • A l’hora de fer-los, i perquè siguin d’utilitat, us demanem que tingueu en compte els
següents punts:
1. Resoleu els exercicis en fulls (quadriculats o blancs) de la mateixa grandària (DIN-A4), indicant el tema i el número d’exercici.
2. Exemple: Nombres reals: 1) .... 2) ......
3. En cada exercici s’ha de veure tota la resolució (totes les passes que us han calgut),
de forma clara, entenedora i amb polidesa. 4. Consulteu la llibreta i el llibre, tants cops com us faci falta 5. Comproveu els resultats al solucionari.
• Cal que imprimiu la portada d’aquest dossier i grapar-ho amb els exercicis que heu resolt. • Recordeu que és imprescindible presentar aquesta feina el mateix dia de la prova.
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 3
GUIÓ MATEMÀTIQUES 4t
U.1: EL NOMBRE REAL
Fracció generatriu
Potències
Radicals. Racionalització U2 : POLINOMIS
Operacions amb polinomis : suma, resta, multiplicació, divisió, Ruffini
Productes Notables.
Arrels d’un polinomi. Factorització
Fraccions algebràiques o Simplificació o Operacions (suma, resta, producte, divisió)
U3: EQUACIONS I SISTEMES
EQUACIONS o Equacions de 2n grau. o Equacions biquadrades o Equacions racionals o Equacions radicals
SISTEMES D’EQUACIONS U4: INEQUACIONS
Inequacions de 1r i 2n grau
Inequacions racionals U5: TRIGONOMETRIA
Raons trigonomètriques en triangles rectangles: o Definició de sinus, cosinus i tangent o Valors típics en el 1er quadrant: 0º, 30º, 45º, 60º i 90º
Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol: reducció al primer quadrant
Resolució de problemes
Resolució d’equacions trigonomètriques U6. SUCCESSIONS I PROGRESSIONS
Progressions aritmètiques: terme general i suma
Progressions geomètriques: terme general i suma U7. FUNCIONS
Conceptes fonamentals: domini .
Estudi i representació gràfica de funcions
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 4
o Rectes o Paràboles o Racionals o Funcions definides a trossos
U8. EXPONENCIALS I LOGARITMES
Exponencials: o Funció exponencial. Propietats o Resolució d’equacions o Resolució de sistemes
Logaritmes o Definició i propietats o Resolució d’equacions
U9. GEOMETRIA ANALÍTICA
Vectors o Mòdul i Producte escalar o Punt mig i distància entre dos punts
Rectes: o Equacions o Condició de paral·lelisme i de perpendicularitat. o Posicions relatives o Distància d’un punt a una recta.
U10. COMBINATÒRIA
Agrupacions o Variacions i permutacions o Combinacions
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 5
U.1: EL NOMBRE REAL
Fracció generatriu. Notació científica
1. Expressa els següents nombres decimals en forma de fracció generatriu:
a) 2,34
b) 15,3
c) 0,263
Potències
2. Simplifica tant com puguis aplicant propietats de les potències:
a)
32
23
3
3 3
2 2
23 2
3
b)
23
54
7 33 :
3 7
77
3
c)
24
1
2
3
33
94
13
3
2
2
19
3
4
Radicals. Racionalització
3. Extreu tots els factors possibles dels radicals i simplifica:
a) 6 7 8
53 6 9
64a b c
x y z b) 3
0,027
8
4. Opera:
a) 3 18 6 50 2 72
b) 2 50 3 40 5 90 4 128 160
c) 2
5 2 3 10 5 2 3 13
d) 2 3 1 2 2 1 3 2
5. Racionalitza:
a) 24 27
x
x b)
2 3 5
2 2 5
c)
32 4
3 2
x y
y x
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 6
U2 : POLINOMIS
Operacions amb polinomis : suma, resta, multiplicació, divisió, Ruffini 6. Donats els polinomis R(x) i S(x) calcula’n la suma, la resta i el producte:
7 8() 5 1Rx x x 2 6() 1Sx x x
7. Calcula les següents divisions per Ruffini, indicant qui és el quocient Q(x) i el residu R(x) en cada cas:
a) 3 22 3 55: 2x x x x
b) 2 1: 1x x
Productes Notables.
8. Desenvolupa els següents productes notables:
a) 2
3 3x y
b)
2
23 2
2 3a b
c)
2
55
3
5
2
3
xyyx
Arrels d’un polinomi. Factorització
9. Factoritza els següents polinomis:
a) 2 16x
b) 216 x
c) 5 4 32 4 4x x x
d) 133 23 xxx
Fraccions algebràiques 10. Calcula i simplifica tant com puguis:
a)
211
x x
xx
b) 2
3 5 2
25 5
x
x x
c)
2
2
13 3:
12 12 1
aa
a a
d)
2 9 2
3 2
x x
x x
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 7
U3: EQUACIONS I SISTEMES
EQUACIONS
11. Resol les següents equacions i comprova les solucions quan sigui obligatori:
a) 3 8
1 2 1
x
x x
b) 2
2
122 10x
x
c) 1 3 0x x d) 2 2 3 9 2x x
SISTEMES D’EQUACIONS
12. Resol les següents equacions i comprova les solucions quan sigui obligatori
a)
9
122 yx
yx b)
2 2 25 2
3
x y xy
x y
U4: INEQUACIONS
Inequacions de 1r i 2n grau
13. Resol les següents inequacions
a)
3 1 1
2 12 3
x xx
b) 2 4 12 0x x
c) 2 12 0x x
Inequacions racionals
14. Resol les següents inequacions
a)
30
3 9
x
x
b)
2 8 150
2
x x
x
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 8
U5: TRIGONOMETRIA
Raons trigonomètriques . Reducció al primer quadrant
15. Expressa els angles en radiants tenint en compte que el resultat ha d’estar entre [0,2]
a) 1290º = b) 1125º = c) 1470º =
16. Calcula les raons trigonomètriques dels angles de l’exercici anterior
17. Determina el valor de x sabent que 0 x /2:
a)1
2sen x =
b) cos(210º ) (45º )
cos(135º )
sensen x =
Resolució de problemes 18. Quina distància hi ha entre la costa i un vaixell, sabent que aquest observa la llum d'un far que està a 300m
sobre el nivell del mar amb una pendent de 2º?
19. Des de dos punts A i B d’un camp d’aviació, distants 250 m l’un de l’altre, dos observadors troben que els
angles d’elevació d’un avió situat en el mateix pla vertical que ells són de 80º i 88º respectivament. Determineu la distància a què es troba l’avió de l’observador del punt A.
Resolució d’equacions trigonomètriques
20. Resol les següents equacions trigonomètriques:
a) 2· sin4x + 3 =0
b) 4
5)(sin)cos( 2 xx
U6. SUCCESSIONS I PROGRESSIONS
Progressions aritmètiques: terme general i suma
21. Escriu el desè terme d’una progressió aritmética de primer terme –4 i de diferencia 5. És 120 un terme d’aquesta progressió?
22. En una progressió aritmètica sabem que 3 7a i 10 21a , calcula la diferència, el primer terme i la suma
dels dotze primers termes.
23. Calcula la suma dels múltiples de 3 que hi ha entre 200 i 2000.
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 9
Progressions geomètriques: terme general i suma
24. En una progressió geomètrica el primer terme és 3 i la raó 2, troba el lloc que ocupa el terme que val 15
25. En una progressió geomètrica es coneixen 3 4a i 8 972a . Troba el primer terme i la raó.
26. Posem 20€ a una guardiola el dia 1 de gener de 2012. Cada primer dia de mes hi posem el doble que el cop anterior durant un any. Calcula quants diners hi tindrem el dia 31 de desembre de 2012.
U7. FUNCIONS
Conceptes fonamentals: domini i simetries
27. Calcula el domini de les funcions següents (Nota: fixa’t bé en si els intervals han de ser oberts o tancats)
a)
2
2
2( )
2 8
xf x
x
b) 2 2
4( )
1f x
x x
c) 2( ) 1f x x
Estudi i representació gràfica de funcions 28. Identifica les següents funcions amb la seva gràfica:
a) 2() 4 4fx x x b) ( ) 3 3f x x c)
1( )
1f x
x
d) ( ) 2 3f x x e) 1
( )1
f xx
f) 2() 2 3f x x x
g) 2() 2f x x x h) ( ) 3 3f x x i)
1( ) 1
1f x
x
Graf 1 Graf 2 Graf 3
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 10
Graf 4 Graf 5 Graf 6
Graf 7 Graf 8 Graf 9
29. Representa gràficament les següents funcions:
Per a cadascuna d’elles calcula: f(-4), f(1), f(2) i f(3)
U8. EXPONENCIALS I LOGARITMES
Exponencials
30. Resol les següents equacions exponencials:
1 1
2 1 1
)5 5 5 775 : 3
) 6 9 6 8 0 : 0
)2 5 2 2 0 : 0 2
x x x
x x
x x
a Sol x
b Sol x
c Sol x i x
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 11
31. Resol els següents sistemes d’equacions exponencials:
1
1 1
1 1
2 3 713) : 4, 5
2 3 49
3 2 5 3 3) : 4, 2
2 3 59
x y
x y
x y
x y
a Sol x y
b Sol x y
Logaritmes
32. Sabent que log2 = 0,301030 i que log3 = 0,477121 , calcula:
4
) log 45 :1,653212
) log 125 : 0,52422
a Sol
b Sol
33. Resol les equacions logarítmiques:
2 55
2
1 1) log 5 :
2 25
) log( 4) log( 1) 0 : 1, 4
) log log 9 : 10
log 11) log log 6 log5 : 5
2
xa Sol x
b x x Sol x x
c x x Sol x
xe x Sol x
U9. GEOMETRIA ANALÍTICA
34. Determina la posició relativa dels següents parells de rectes. Justifica-ho
a).- 2 3
2 5 0
y x
x y
b).- 13
3 1
xy
x y
c).- 2
1 3 2( )
x y
y x
35. Donats els punts : ( 4,7)A i (1, 3) B
a) Troba la distancia entre A i B. Solució:
b) Troba el punt mig del segment ____
AB . Solució:
c) Troba un punt C de manera que B sigui el punt mig del segment
____
AC .
Solució:
36. Troba l’equació general de la recta que passa pel punt ( 2,5) A i té vector director (2,3)u
37. Troba un punt i un vector director per a cadascuna de les rectes següents:
a) 2 2
1 3
x k
y k
b)
4 4
2 3
x y c) 3 1 0 x y
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 12
U10. COMBINATÒRIA 38. Un estudiant per a aprovar un control que consta de 10 preguntes, n’ha de contestar 7.
a).- De quantes maneres pot fer la selecció per a aprovar el control?
b).- I si les 4 primeres són obligatòries?
39. Una societat científica està formada per 16 persones. És necessari escollir al president, al vice-president, al secretari científic i al tresorer. De quantes formes es pot efectuar aquesta elecció, si cada membre de la societat només pot ocupar un sol càrrec?
40. Tirem 4 monedes d’1€. Quants resultats possibles es poden obtenir si tenim en compte l’ordre de les monedes?
41. En un concurs de natació participen 12 nedadors. Els premis són medalla d’or, de plata i de bronze. a) De quantes maneres poden ser distribuïdes?
b) Si a més es donen 4 plaques honorífiques iguals als 4 següents classificats, quins són els possibles resultats (comptant també les 3 primeres posicions)?
42. De quantes maneres es poden alinear 10 persones, si 3 d’elles han d’estar juntes?
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 13
SOLUCIONS U.1: EL NOMBRE REAL
1. a) 117/50, b) 46/3, c) 29/110
2. a) 7 123 2 , b) 13 107 3 , c) 4 112 3
3. a) 2 3
53 4
2 2abc ab c
yz x yz , b) 3/20
4. a) 27 2 , b) 22 2 25 10 , c) 3
5. a) 24 3
3
x, b)
19 7 10
3
, c)
3 262 2
3
x y
y
U2 : POLINOMIS
6. 8 7 6 2() () 5RxSx xxxx 8 7 6 2()() 5 2RxSxxxxx 14131097862()() 5 55 1RxSxxxxxxxxx
7.
a) 2()2 3, () 11Qx xx Rx
b) () 1, ()0Qx x Rx
8.
a) 6 3 3 62x x y y
b) 4 2 29 42
4 9a a b b
c) 10 2 6 6 2 109 255
4 9x y x y x y
9.
a) 4 4x x , b) 4 4x x , c) 232 2x x , d)
31x
10.
a)
2
21
x
x , b)
1
5x
, c)
1
4 , d)
6
2
x
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 14
U3: EQUACIONS I SISTEMES
11.
a) 1 3
4 2x x
,
b) 6x
c) 2 ( 5x x NO es solució). Comprovació obligatòria
d) 9x . Comprovació obligatòria
12.
a) x=5, y=4 b), 1 1
2 2
4 1
1 4
x y
x y
U4: INEQUACIONS
13.
a) 1,
b) , 6 2, c) 4,3
14. a) 3,3
b) 2,3 3,
U5: TRIGONOMETRIA
15.
a) 7/6 b) /4 c) /6
16.
a) 1
1290º2
sen = , 3
cos1290º2
= , tg =3
1290º3
b) 2
1125º2
sen = , 2
cos1125º2
= , 1125º 1tg =
c) 1
1470º2
sen = , 3
cos1470º2
= , 1
1470º3
tg =
17. a) x=30º b) x= 60º
18. 8590,88 m
19. 1197 m
20.
a) x
x
60
75 b)
120
240
x
x
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 15
U6. SUCCESSIONS I PROGRESSIONS
21. a5=41, i 120 NO és un terme de la p.a.
22. d=2, 1 3a , 12 168S
23. 659700S
24. n = 10.
25. r = 3 i 1a = 2/3
26. 81900€
U7. FUNCIONS
27.
a) 2fD
b) 0fD
c) , 1 1,fD
28. a).- Graf5 b).- Graf3 c).- Graf7 d).- Graf1 e).- Graf8 f).- Graf4 g).- Graf6 h).- Graf2 i). Graf9
29.
a) b) f(-4)=-1 f(1)=-1, f(2)=0 , f(3)= 1 f(-4)=-12, f(1)=-2, f(2)= 4, f(3)=3 c) d) f(-4)= 5 , f(1)=0 , f(2)=3, f(3)=4 f(-4)= -1, f(1)=2, f(2)=3, f(3)=6
Escola de Secundària Els Arcs Matemàtiques 4t d’ESO – Feina de recuperació
Pàgina 16
U8. EXPONENCIALS I LOGARITMES
30. a) x=3, b) x=0, c) x=0, x=2
31. a) x=4, y=5, b) x=, y=2
32. a) 1,653212 b) 0,52422 33. a) x=1/25, b) x=-1, x=4, c) x=10-5 , d) x=5
U9. GEOMETRIA ANALÍTICA
34. a).- Secants i perpendiculars, ja que els seus vectors directors formen 90º
b).- Paral·leles, ja que els seus vectors directors són proporcionals però no passen pels mateixos punts
c).- Secants, ja que els seus vectors directors NO són proporcionals
35. a) 11,18 u
b) ( 3 2,2) M
c) (6, 1) C
36. 3 2 16 0 x y
37. a) 2, 1 2, 3 A i v b) 4,4 2,3 A i v c) 0,1 1,3 A i v
U10. COMBINATÒRIA. PROBABILITAT
38. a) 10,7 120C , b) 6,3 20C
39. 16,4 43.680V
40. VR2,4 = 16
41. a).- 12,3 1320V b).- 12,3 9,4 1320 126 166.320V C
42. 3 78 241.920P P