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M.C.D. – M.C.M. Fracciones Algebraicas
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más expresiones algebraicas enteras, es otra expresión algebraica entera de mayor coeficiente numérico y mayor grado contenida un número exacto de veces en cada una de las expresiones dadas. Ejemplo 1 Dado los siguientes monomios:
� � 6������� � � 12��������� � � 30���������
Hallar el MCD Solución:
� ����, �, ��� 6������� Ejemplo 2: Hallar el MCD de los polinomios:
� � ��. ��� ���. �� � ���� � � ��. �� � ���. �� � ���
Solución: � ����, � �� ��. ��� ���
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más expresiones algebraicas enteras, es la menor expresión algebraica entera y de menor coeficiente que contiene exactamente a cada una de las expresiones dadas.
Ejemplos 1: Si 352 zyx3P = ; 635 zyx4Q = Entonces: M. C. M (P, Q) = 12x5y5z6
Ejemplos 2 Hallar el MCM de los polinomios:
� � ��. ��� ��� � � ������� ������ � ���
Solución: � �� � ���. �. �� � ������ � ���
PROPIEDADES: - Si dos o más expresiones algebraicas son
primas entre si, entonces, el MCM es el producto de ellas y el MCD es la unidad.
- Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras; entonces:
- MCD(A,B) x MCM(A,B) = A x B
- Todo polinomio P(x) , Q(x) contiene al MCD. Es
decir: MCD
)x(P da residuo cero.
- Todo MCM contiene a dichos polinomios.
PASOS PARA CALCULAR EL MCD Y MCM
a) Se factorizan cada una de las expresiones dadas.
b) El MCD está dado por el factor o producto de factores comunes afectados de sus menores exponentes.
c) El MCM está dado por el producto de factores comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.
Ejemplo 1: Hallar el grado absoluto del MCM de los polinomios: A = x5 – xy4 ; B = (x2 – y2) (x4-y4) a) 5 b) 4 c)3 d) 6 e)7 Solución: Factorizando : A = x (x4 – y4) = x(x2+y2) (x2- y2) A = x(x2+y2) (x+y) (x-y) B = (x + y) ( x – y) (x2+y2) (x+y) (x-y) B = (x + y)2 ( x – y)2(x2+y2) Por lo tanto: M.C.M(A,B) = x (x2+y2) (x+y)2(x-y)2; Se observa que el grado absoluto del m.c.m es: 1+2+2+2 = 7
Rpta. Alternativa “e”
Ejemplo 2 : Sean: P(x) = Ax2 +2x –B ; Q(x) = Ax2 – 4x + B Si (x-1) es el M.C.D de P y Q. Determinar el cociente B/A. a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Solución Por el teorema del resto: P(1) = A + 2 –B = 0 Q(1) = A –4 + B = 0 Resolviendo el sistema A – B = -2 A + B = 4 Luego : B/A = 3/1 = 3
Ejemplo 3 : Dados los polinomios: P(x) = 2x4 – 3x3 + x2 + Ax + B
Q(x) = 3x4 – 7x3 + Cx + D
Si : MCD (P,Q) = x2 – x – 6. Hallar AD + BC
Solución:
185
Si x2 – x – 6 es el MCD (P,Q), entonces x2 – x – 6 divide exactamente a P(x) y
a Q(x). Aplicando el método de Horner,
P(x) ÷ (x2 – x – 6) se resuelve por :
1 2 -3 1 A B 1 2 12
6 -1 -6 12 72 2 -1 12 A+6 B+72 Luego, afirmamos que el resto es cero ↔
A + 6 = 0 → A = -6 B + 72 = 0 → B = -72 También : Q(x) ÷ (x2 – x – 6) dividimos por el método de Horner: 1 3 -7 0 C D
1 3 18
-4 -24
6 14 84
3 -4 14 C-10 D+84 Así, si C – 10 = 0 entonces c = 10 y si
D + 84 = 0 entonces D = -84
Luego : AD + BC = (-6) (-84) + (-72) (10) = -216
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Las fracciones algebraicas son expresiones de
la forma )x(Q)x(P , donde P(x) y Q(x) son polinomios,
siendo Q(x) ≠ 0,
Ejemplos: a) 1x
1+
− b) 4x32x3
+−
Propiedad: "Si a los términos de una fracción algebraica
se les multiplica o divide por una misma cantidad distinta de cero, se obtiene otra fracción equivalente".
Así; kbka
kbka
ba
÷÷
=⋅⋅= , k ≠ 0
Ejemplo: Sea la fracción:
11
xx
+−
Si se le multiplica por 2 al numerador y denominador obtenemos:
2 22 2
xx
+−
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1. Fracciones Homogéneas: Cuando tienen el
mismo denominador.
Ejemplos: 3x2x y
3x2 2
++
+
2. Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son
equivalentes si toman los mismos valores numéricos para todos los valores admisibles de sus variables.
Ejemplo: 1x
1x2x y1x1x
2
2
−
++−+
Estas fracciones obtienen los mismos valores numéricos, para todo valor real de x, con excepción de ± 1.
3. Fracción Propia: Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Ejemplos:
1x
1-x ; 6x5x4
3x223
2
+++
−
4. Fracción Impropia: Cuando el grado del
numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Ejemplos:
1xx36x210x ;
1xx7x
3
5
23
3
−+
++
+−
−
5. Fracción Compuesta: Cuando el numerador
y/o denominador poseen a su vez otras fracciones algebraicas.
Ejemplos:
1x1x2
3x
2xx6
2
2
+
−−
+
−+
186
6. Fracción de Valor Constante : Cuando asume el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores asignados a sus variables:
Si ycxybxa
cybxyaxA111 ++
++= es una
fracción de valor constante. Entonces se cumple que:
111 cc
bb
aa
== = valor constante de A
Ejemplos: Sabiendo que la fracción az bcz d
++
Es independiente de “z” entonces el valor de la
expresión: 2b ad a
d bc c+ −
Solución
Bajo la propiedad tenemos: a bc d
=
Por proporciones: ad bc= , luego sustituyendo
en la expresión: 2 2 2a ad a ad
c bc c ad+ − = =
7. Fracción Irreductible : Cuando el
numerador y denominador no tienen factores comunes.
Ejemplo: 1x3x2
−+
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Para simplificar una fracción se procede de la siguiente manera: 1. Se factorizan el numerador y denominador de
la fracción.
2. Se eliminan los factores comunes hasta obtener una fracción irreductible. Ejemplos Resueltos
1.Simplificar:
3
a51a1616
a51a15
3a51a22
a51a1
A 2
2
+−+
+
−+
−−+
+
−+
=
Solución Haciendo el cambio de variable
x = a51a1
−+
Entonces ( )( )
( )( )3x1x51x3x
3x16x53x2xA 2
2
++−+
=++
−+=
1x51xA
+−
=
Finalmente reemplazando x;
aa
aaaa
A ==+
−+
−−+
=6
6
151
15
151
1
2. Simplificar:
b)1a(1
1)ab1(aab2
b1a
11
1A++
+++−
++
=
Solución: Evaluemos por partes :
=
++
=
++
1abb1
1
b1a
11
1
abb1ab1
1abb1ab
1++
+=
+++
Además :
abb11baaab2
b)1a(11)ab1(aab2 2
+++++
=++
+++
Restando ambos resultados; se obtiene:
=++
+++−
+++
abb11baaab2
abb1ab1 2
abb1)ab1b(a
abb1baaab 2
++++−
=++−−− = -a
3. Simplificar
2� � �2� � � � 2� � �
2� � �2� � �2� � � � 2� � �
2� � �.
��2� � ��� � 4���4
Solución Se hace un cambio de variable 2� � � � �2�� � � � Donde tenemos: ����
�����
�∗ ��������
�
Efectuando tenemos
�� � ��
���� � ��
��
∗��� � 4���
4
Luego al simplificar y remplazar los términos originales tenemos:
�2� � ��� � �2� � ���
�2� � ��� � �2� � ��� ∗��2�� ��� � 4���
4
187
Simplificando tenemos ab
FRACCIONES PARCIALES
Para descomponer una fracción racional en sus fracciones parciales, se debe cumplir las siguientes condiciones:
1. La fracción debe ser propia. 2. El denominador debe ser factorizable.
CASOS: Primer Caso: Cuando el denominador contiene factores lineales sin repetición. Ejemplo:
( )( ) ( ) ( ) cx
C bx
B ax
A cx bx ax
xP+
++
++
=+++
Segundo Caso: Cuando el denominador contiene factores lineales con repetición.
Ejemplo: :
323 a)(xC
a)(xB
axA
)ax()x(P
++
++
+=
+
Tercer Caso: Cuando el denominador contiene
factores cuadráticos irreductibles sin repetición. Ejemplo:
=++++
)dcx(x )baxx(
)x(P22
dcxxD Cx
baxxBAx 22 ++
++
++
+
Cuarto Caso: Cuando el denominador contiene
factores cuadráticos irreductibles con repetición.
Ejemplo :
2)bax2(x
DCx bax2x
B Ax 2)bax2x(
)x(P
++
++
++
+=
++
Quinto caso: Cuando el denominador contiene un factor lineal y un factor cuadrático irreductible, ambos factores sin repetición. Ejemplo:
)(x
Bx a) x(
A ))((
)(22 cbx
Ccbxxax
xP++
++
+=
+++
Sexto caso: Cuando el denominador tiene factores lineales y factores cuadráticos irreductible, ambos con repetición. Ejemplo:
22
22222
)(xEx
x
D Cx )(a)(x
A
)()()(
cbxF
cbxaxB
cbxxaxxP
+++
+
+++
++
++
=+++
Ejemplos Resueltos
ü Descomponer en sus fracciones parciales la
fracción: x2xx2x6x2
23
2
−−
−+
Solución:
)1x()2x(x2x6x2
)2xx(x2x6x2
x2xx2x6x2 2
2
2
23
2
+−−+
=−−
−+=
−−
−+
De esta manera :
1xC
2xB
xA
)1x()2x(x2x6x2 2
++
−+=
+−−+
=+−−+
)1x()2x(x2x6x2 2
)1x()2x(x)2x()x(C)1x()x(B)1x()2x(A
+−−++++−
Entonces: 2x2 + 6x– 2 = A (x – 2).(x + 1) + B x (x + 1) + Cx (x –2) .. (*)
Una forma práctica: igualamos a cero los factores lineales y obtenemos:
x = 0 , x = 2 , x = 1 Estos valores obtenidos los reemplazamos en
la ecuación (*) Si x = 0 : 2(0)2 + 6(0) – 2 = A (0 – 2)
(0 + 1) + B (0) (0 + 1) + C (0) (0 – 2) - 2 = -2 A A = 1 Si x = 2 : 2(2)2 + 6(2) – 2 = A (2 – 2)
(2 + 1) + B (2) (2 + 1) + C (2) (2 – 2) 18 = 6B B = 3
Si x = -1 : 2(-1)2 + 6(-1) – 2 = A (-1 – 2)
(-1 + 1) + B (-1) (-1 + 1) + C (-1) (-1 – 2) -6 = - C (-3) C = -2 De esta manera las fracciones parciales son :
xxx
xxxxx 2
2621
22
3123
2
−−
−+=
+−
−+