UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS COMPUTACIONALES
DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN Y SIMULACIÓN DE SISTEMAS
LIC. EN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS
PROFESORA JACQUELINE DE CHING
PROYECTO N.3
MONOGRAFIA: METODO DE EULER
INTEGRANTES
AGRAZAL, CELSO ARAUZ, ANGEL BERNAL, JOY
BONILLA, NASHLA MARCIAGA, FERNANDO MIRANDA, ESTEPHANIE
MITCHELL, NICOLE RODRIGUEZ, RODRIGO ROSALES, FERNANDO
VIVAR, LUIS
GRUPO I-IL-122
6 DE DICIEMBRE DE 2011
2 Método de Euler|| 2011
Índice de Contenido
INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 3
LEONHARD EULER ............................................................................................... 4
EL MÉTODO DE EULER ........................................................................................ 5
PROCEDIMIENTO .................................................................................................. 7
USO EL MÉTODO DE EULER ............................................................................... 9
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE EULER................................. 11
EL FALLO EN EL MÉTODO DE EULER.............................................................. 13
EJEMPLOS DEL MÉTODO DE EULER ............................................................... 14
CONCLUSIÓN ...................................................................................................... 17
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................... 18
3 Método de Euler|| 2011
Introducción
En el curso de Métodos Numéricos para Ingenieros hemos aprendido diversos
métodos para resolver sistemas de ecuaciones, integrales, graficas, en fin
diversos problemas matemáticos para así aplicarlos al mundo de la programación.
Pero entre tantos métodos no nos podíamos olvidar de las ecuaciones
diferenciales. En este trabajo conoceremos el método de Euler para resolución de
este tipo de ecuaciones, en donde presentaremos la vida de su desarrollador,
ejemplos explicativos, los procedimientos a realizar en este método, entre otros
puntos importantes.
4 Método de Euler|| 2011
Leonhard Euler
Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un respetado
matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18
de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal
matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.
Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del
mundo real a través del análisis matemático, en lo que
se conoce como matemática aplicada, y en la
descripción de numerosas aplicaciones de los números
de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de
Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las
fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo
diferencial de Leibniz con el Método de Fluxión de
Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil
la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler
ya empleaba las series de Fourier antes de que el
mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de
Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para
resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de
Euler. Las más notable de estas aproximaciones son el método de Euler para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este
método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y
hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de
ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introducción de la constante
de Euler-Mascheroni.
5 Método de Euler|| 2011
El Método de Euler
Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado, cuyo procedimiento
consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando
la siguiente imagen con la derivada, este es el más simple de los métodos
numéricos resolver un problema del siguiente tipo:
Podemos dar una descripción informal del método de la siguiente manera:
Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que
comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se
puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite
calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la
curva, siempre que el punto se conozca.
La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de
comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación
diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo
tanto la recta tangente a la curva.
6 Método de Euler|| 2011
Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo
punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el
mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de
la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos
formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos
al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre
ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar
sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos
es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables,
como se discute más abajo).
7 Método de Euler|| 2011
Procedimiento
A continuación los pasos para el desarrollo del método de Euler:
Se multiplican los intervalos que van de “X0” a “Xf” en “n” cantidad de sub-
intervalos con ancho “h”; es decir:
Con esto se obtiene un conjunto discreto de “n+1” puntos: X0, X1, X2… Xn del
intervalo que nos interesa [X0, Xf]. Para cualquiera de estos puntos se
cumple que:
Ya con la condición inicial , que representa el punto
y por donde pasa la curva obtenemos la solución de la ecuación del
planteamiento inicial, la cual se denotará como:
Con el punto “P0” se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese
punto; por lo tanto:
8 Método de Euler|| 2011
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por “P0” y de
pendiente “F(x0,y0)”. Esta recta aproxima “F(x)” en una vecinidad de “x0”.
Se toma la recta como reemplazo de F(x) y se localiza en ella el valor de y
correspondiente a x1.
Entonces, se puede deducir según esta información para la gráfica A que:
9 Método de Euler|| 2011
Uso el Método de Euler
Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable
independiente:
El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para
extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:
Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso
O bien,
yi+1=yi + φ h (ecuación 1)
De esta manera, la formula (1), se aplica
paso a paso para encontrar un valor en el
futuro y así trazar la trayectoria de la
solución. La figura 1, muestra el
procedimiento aplicado con la ecuación
(1).
.
El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una
aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera
derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi.
φ = (x, y)
10 Método de Euler|| 2011
(xi , yi), es la ecuación diferencial evaluada en x i y yi. Sustituyendo esta
estimación de la pendiente en la ecuación (1), se tiene:
yi+1 = yi + (xi , yi)h (ecuación 2)
La ecuación (2), se le conoce como el método de Euler. En esta fórmula se
predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera
derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma
lineal sobre el tamaño de paso h.
11 Método de Euler|| 2011
Ventajas y desventajas del Método de Euler
Ventajas
Uno de los aspecto resaltante del método es que a medida que
dividimos el tamaño del paso h, los errores también se
disminuyen en aproximadamente la mitad. Es un método sencillo
de implementar pero de orden bajo por lo que dependiendo del
grado de precisión que se desees, el h puede ser muy pequeño.
Una forma de mejorar el método de Euler (Euler mejorado) es
utilizar una mejor aproximación a la integral- podríamos
considerar por ejemplo una aproximación por trapecio de modo
que:
Noten que el último término hace referencia al valor que
queremos aproximar en esta iteración ( ), sin embargo
podemos usar un paso del método de Euler para aproximar la
solución, obteniendo finalmente:
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Desventajas
El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente
instantánea, es decir, la función f(x,y) x.
Ese método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del
x es la misma para todo el intervalo.
Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto
inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta
aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar
el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el
método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo
de ese valor mediante el método original de Euler para evaluar la f(x,y) del
lado derecho del inter x, para después calcular el promedio de ambas
y que actualizaría y.
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El fallo en el Método de Euler
El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente
instantánea, es decir, la función f(x,y) cambia rápidamente dentro de la x. Ese
método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del intervalo x es la misma para todo el intervalo.
Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo de ese valor mediante el método original
de Euler para evaluar la f(x,y) del lado derecho del intervalo x, para después
calcular el promedio de ambas pendientes y utilizarlo para calcular el valor de y que actualizaría y.
En la solución numérica de ecuaciones EDO, utilizando el método de Euler se obtuvieron los siguientes errores
1. Errores de Truncamiento, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
2. Errores de Redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que pueden retener una computadora.
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Ejemplos del método de Euler
Ejemplo #1: Dada la ecuación diferencial y’ = y, el punto inicial y(0) =1, utilice el
Método de Euler para aproximar y3 con tamaño de paso h = 1.
El método de Euler es: Yn+1= yn + h (f(tn,yn)) así que primero tenemos que calcular
f(t0,y0), esta ecuación diferencial depende solo de y, por lo que solo introduciremos
valores de y.
f(y0) = 1
Al hacer el paso anterior, encontramos la pendiente de la recta que es tangente a
la curva solución en el punto (0,1). Recuerde que la pendiente se define como el
cambio de y dividido por el cambio de t o
El siguiente paso consisten en multiplicar el valor anterior por el tamaño del paso
h.
h * f(y0) = 1*1 = 1
Dado que el tamaño del paso es el cambio en t, cuando se multiplica el tamaño del
paso y la pendiente de la tangente, se obtiene un cambio en el valor y. Este valor
se añade al valor inicial, y para obtener el siguiente valor a ser utilizado para los
cálculos.
Y0+ h * f(y0) = y1 = 1 +1*1 = 2
Entonces debemos repetir los pasos anteriores para encontrar y2 y y3
Y1+ h * f(y1) = y2 = 2 +1*2 = 4
Y2+ h * f(y2) = y3 = 4 +1*4 = 8
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Debido a la naturaleza de este algoritmo, puede ser útil para organizar los cálculos
en forma de grafico para evitar errores
yn tn y'(t) h dy yn + 1
1 0 1 1 1 2
2 1 2 1 2 4
4 2 4 1 4 8
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Ejemplo #2: Calcular una iteración con el método de Euler para el sistema,
y’ = (1+z)z + y, x0=0, y0=1
z’ = (1+x)y +z, z0=1
Solución: La iteración general se escribe,
Xn+1 = xn + h
yn+1 = yn + h(( xn + 1)zn + yn)
zn+1 = zn + h((1+xn)yn + zn)
para n=0 se tiene que x0 = 0, y0=z0=1
x1 = 0 + h = h
y1 = y0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h
z1 = z0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h
Ejemplo #3: Use el método de Euler 0.1 construya una tabla con valores
aproximados al problema de valor inicial
y’=x+y y(0) = 1
Solución:
Tenemos que h = 0.1 , x0 = 0, y0 = 1 y F(x,y) = x+y luego
Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1+0.1(0+1) = 1.1
Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.1 + 0.1(0.1+1.1) = 1.22
Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.22+0.1(0.2+1.22) = 1.362
Esto significa que si y(x) es la solución exacta entonces y(0.3) = 1.362
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Conclusión
Hemos encontrado diversos puntos en este trabajo, hemos aprendido otro método,
ingresando cada vez más en el mundo de la programación y en nuestro camino
como Ingenieros en Sistemas.
El método de Euler, entonces, es el método desarrollado por Leonhard Euler, con
el propósito de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) incrementando
cada la variable independiente h.
Aunque encontramos diversos errores en este método (por ejemplo errores de
precisión), que llevaron a la creación de una modificación de este método, pero
aun así para nosotros los Ingenieros en Sistemas resulta de gran utilidad a la hora
de resolver sistemas matemáticos como este.
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Bibliografía
1. http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler
2. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-
Geo/edo-cap1-geo/node14.html
3. http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/euler.pdf
4. http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/Euler.htm
5. http://euler.us.es/~renato/clases/edo/files/tra-euler.pdf
6. Libro Métodos Numéricos para Ingenieros, Steven C. Chapra, Quinta
Edición
7. Libro de Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis
Gill, Sexta Edicion