Momento angular en mecanica cuantica
A. Prados
Fısica TeoricaUniversidad de Sevilla
Mecanica Cuantica, Grado en Fısica yGrado en Fısica e Ingenierıa de Materiales, US
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Outline
1 Autovalores y autovectoresDefiniciones y notacionAutovalores de J2 y Jz
2 Momento angular orbital. EspınMomento angular orbital ~LEspın ~S
3 Composicion de momentos angularesUn ejemplo sencillo: sistema de dos partıculas de espın 1/2
El problema general
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Autovalores y autovectores Definiciones y notacion
Momento angular orbital ~L
Operador momento angular “orbital”
~L = ~R ∧ ~P , Lj = εjklRk Pl . (1)
I Tensor antisimetrico εjkl =
0 si dos ındices coinciden,1 si jkl es permutacion par de 123−1 si jkl es permutacion impar de 123.
Relaciones de conmutacion
~L ∧ ~L = i~~L, [Lj , Lk ] = i~εjklLl . (2)
El conmutador con ~L determina si un observable es escalar o vectorial:I L2 = L2
x + L2y + L2
z es un escalar [L2, Lj
]= 0. (3)
I ~R y ~P son observables vectoriales[Rj , Lk
]= i~εjkl Rl , (4)[
Pj , Lk]
= i~εjkl Pl . (5)
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Autovalores y autovectores Definiciones y notacion
Momento angular general
En general, un momento angular es un operador
~J = Jx~ux + Jy~uy + Jz~uz (6)
cuyas componentes verifican
~J ∧ ~J = i~~J, esto es, [Jj , Jk ] = i~εjklJl . (7)
En consecuencia,
J2 = J2x + J2
y + J2z verifica
[J2, ~J
]= 0 . (8)
Por tanto, podemos buscar autovectores comunes a J2 y Jz
(elegimos el eje z como eje polar)
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Autovalores y autovectores Definiciones y notacion
Algunas definiciones utiles
Operadores escalera J±
J+ = Jx + iJy , J− = Jx − iJy (9)
(J+)† = J− (10)
Conmutadores[Jz , J±] = ±~J±, (11)
[J+, J−] = 2~Jz , (12)[J2, J±
]=[J2, Jz
]= 0. (13)
Expresion de J2
J2 =12
(J+J− + J−J+) + J2z . (14)
I J+J− = J2x + J2
y − i [Jx , Jy ] = J2 − J2z + ~Jz .
I J−J+ = J2x + J2
y + i [Jx , Jy ] = J2 − J2z − ~Jz .
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
Notacion de autovalores y autovectores
Notacion |kλm〉:
J2|kλm〉 = λ~2|kλm〉, Jz |kλm〉 = m~|kλm〉. (15)
1 Es claro que λ ≥ 0 ya que 〈kλm|J2j |kλm〉 =
∥∥Jj |kλm〉∥∥2 ≥ 0.
2 λ = 0⇔ Jj |kλm〉 = 0, ∀j .
3 Indice k adicional: J2 y Jz en general no son un CCOC.
Demostramos que λ ≥ m2:
(λ−m2)~2 = 〈kλm|(J2 − J2z )|kλm〉 = 〈kλm|(J2
x + J2y )|kλm〉 ≥ 0 . (16)
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
Conmutadores y operadores escalera
J2 y J± conmutan,[J2, J±
]= 0 por tanto
J2J±|kλm〉 = λ~2J±|kλm〉, (17)
J± no cambia (k , λ)
Sin embargo, Jz y J± no conmutan, [Jz , J±] = ±~J± y entonces
JzJ±|kλm〉 = ([Jz , J±] + J±Jz) |kλm〉 = (m ± 1)~J±|kλm〉, (18)
J± realiza el cambio m→ m ± 1 (operador escalera)
Conclusion: J±|kλm〉 es un autovector de correspondiente a los autovalores
I (m ± 1)~ de Jz
I λ~2 de J2
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
El numero cuantico j
La condicion λ ≥ m2 limita la magnitud de |m|I Ha de existir un valor maximo de m, mmax = j , tal que
J+|kλj〉 = 0. (19)
I Ha de existir un valor maximo de m, mmin = j ′, tal que
J−|kλj ′〉 = 0. (20)
Aplicamos J− en (19),
J−J+|kλj〉 = (J2 − J2z − ~Jz)|kλj〉 = ~2(λ− j2 − j)|kλj〉 = 0 . (21)
λ = j2 + j = j(j + 1) (22)
Aplicamos J+ en (20),
J+J−|kλj ′〉 = (J2 − J2z + ~Jz)|kλj ′〉 = ~2(λ− j ′2 + j ′)|kλj ′〉 = 0 . (23)
En consecuencia,
λ = j ′2 − j ′ = j ′(j ′ − 1) (24)
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
j es entero o semientero
Cambio de notacion: λ→ j , escribiremos |kjm〉
J2|kjm〉 = j(j + 1)~2|kjm〉Jz |kjm〉 = m~|kjm〉
(25)
Se tiene que j ′ = −j , esto es, mmin = −mmax
λ = j(j + 1) = j ′(j ′ − 1)⇒ j ′ = −j . (26)
Los operadores J± cambian m en una unidad, luego mmax −mmin = 2j ha de serentero
j = 0,12, 1,
32, 2,
52, . . . (27)
Para un valor dado de j , los posibles valores de m son
m = −j ,−j + 1, . . . , j − 1, j (28)
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
Autovectores y matrices que representan a los observables
Se tiene queJ+|kjm〉 = c+(kjm)~|kjm + 1〉. (29)
I Calculando la norma |c+(kjm)|2~2 = 〈kjm|J−J+|kjm〉I Aplicando J−J+ = J2 − J2
z − ~Jz , se tiene que
c+(kjm) =√
j(j + 1)−m(m + 1) =√
(j −m)(j + m + 1), (30)
escogiendo la fase arbitraria de los vectores propios.
De modo analogo se tiene que
J−|kjm〉 = c−(kjm)~|kjm − 1〉. (31)
I c−(kjm) =√
j(j + 1)−m(m − 1) =√
(j + m)(j −m + 1).
J±|kjm〉 =√
j(j + 1)−m(m ± 1)~|kjm ± 1〉 (32)
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
Matrices que representan a los observables
Matriz de J2
(j ,m) (0, 0) ( 12 ,
12 ) ( 1
2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·
(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1
2 ,12 )
( 12 ,−
12 )
03~2/4 0
0 3~2/40 · · ·
(1, 1)
(1, 0)
(1,−1)
0 0
2~2 0 0
0 2~2 0
0 0 2~2
· · ·
......
......
. . .
(33)
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
Matrices que representan a los observables
Matriz de Jz
(j ,m) (0, 0) ( 12 ,
12 ) ( 1
2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·
(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1
2 ,12 )
( 12 ,−
12 )
0~/2 0
0 −~/20 · · ·
(1, 1)
(1, 0)
(1,−1)
0 0
~ 0 0
0 0 0
0 0 −~
· · ·
......
......
. . .
(33)
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
Matrices que representan a los observables
Matriz de J+
(j ,m) (0, 0) ( 12 ,
12 ) ( 1
2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·
(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1
2 ,12 )
( 12 ,−
12 )
00 ~
0 00 · · ·
(1, 1)
(1, 0)
(1,−1)
0 0
0√
2~ 0
0 0√
2~
0 0 0
· · ·
......
......
. . .
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
Matrices que representan a los observables
Matriz de J−
(j ,m) (0, 0) ( 12 ,
12 ) ( 1
2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·
(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1
2 ,12 )
( 12 ,−
12 )
00 0
~ 00 · · ·
(1, 1)
(1, 0)
(1,−1)
0 0
0 0 0
√2~ 0 0
0√
2~ 0
· · ·
......
......
. . .
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
Matrices que representan a los observables
Matriz de Jx = 12 (J+ + J−)
(j ,m) (0, 0) ( 12 ,
12 ) ( 1
2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·
(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1
2 ,12 )
( 12 ,−
12 )
00 ~/2
~/2 00 · · ·
(1, 1)
(1, 0)
(1,−1)
0 0
0 ~/√
2 0
~/√
2 0 ~/√
2
0 ~/√
2 0
· · ·
......
......
. . .
(33)
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
Matrices que representan a los observables
Matriz de Jy = −i2 (J+ − J−)
(j ,m) (0, 0) ( 12 ,
12 ) ( 1
2 ,−12 ) (1, 1) (1, 0) (1,−1) · · ·
(0, 0) 0 0 0 · · ·( 1
2 ,12 )
( 12 ,−
12 )
00 −i~/2
i~/2 00 · · ·
(1, 1)
(1, 0)
(1,−1)
0 0
0 −i~/√
2 0
i~/√
2 0 −i~/√
2
0 i~/√
2 0
· · ·
......
......
. . .(33)
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Autovalores y autovectores Autovalores de J2 y Jz
Distintos valores de j no se mezclan
Todas las matrices de los J ’s son diagonales por bloques
Sea J(j)k el bloque (2j + 1)× (2j + 1) de la componente j-esima correspondiente a
cada valor de j [J(j)
x , J(j)y
]= i~J(j)
z , j = 0,12, 1,
32, . . . (34)
La expresion de las matrices J(j)k son consecuencia directa de las relaciones de
conmutacion
I Generan las rotaciones para cada j
I Para el caso j = 1/2: matrices de Pauli ~J = ~2~σ
σx =
(0 11 0
), σy =
(0 −ii 0
), σz =
(1 00 −1
). (35)
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Momento angular orbital. Espın Momento angular orbital~L
Definiciones. Expresiones en esfericas
Coordenadas esfericas
x = r sin θ cosϕ y = r sin θ sinϕ z = r cosϕ , (36)
donde r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π.
I Elemento de volumend~r = r2drdΩ dΩ = sin θdθdϕ . (37)
Representacion de posiciones |~r〉: expresiones de L2, Lz , L± = Lx ± iLy
L2 → − ~2(∂θ2 +
1tan θ
∂θ +1
sin2 θ∂ϕ2
), (38)
Lz → − i~ ∂ϕ , (39)
L± → ~e±iϕ (± ∂θ + i cot θ ∂ϕ) . (40)
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Momento angular orbital. Espın Momento angular orbital~L
Autovalores y autofunciones de L2,Lz
~L solo actua sobre las variables angulares: autofunciones son una funcionarbitraria de r por una funcion de los angulos (θ, ϕ)
L2Y m` (θ, ϕ) = `(`+ 1)~2Y m
` (θ, ϕ) , (41)
LzY m` (θ, ϕ) = m~Y m
` (θ, ϕ) . (42)
Estas ecuaciones solo tienen una unica solucion linealmente independiente paracada pareja de autovalores `(`+ 1) y m.
Incluyendo la dependencia respecto de r ,
ψk`m(r , θ, ϕ) = fk`m(r)Y m` (θ, ϕ) . (43)
Normalizacion: ∫dΩ|Y m
` (θ, ϕ)|2 = 1 , (44)∫ ∞0
dr r 2|fk`m(r)|2 = 1 . (45)
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Momento angular orbital. Espın Momento angular orbital~L
Valores de los numeros cuanticos ` y m
Tenemos que−i~∂ϕY m
` (θ, ϕ) = m~Y m` (θ, ϕ) , (46)
Por tanto,Y m` (θ, ϕ) = F m
` (θ)eimϕ . (47)
La funcion de onda es monovaluada: ϕ y ϕ+ 2π corresponden al mismo puntodel espacio ~r :
eim2π = 1 ⇒ m es entero ⇒ ` es entero . (48)
Todos los valores enteros no negativos son posibles para el numero cuantico `:calculamos |``〉
L+|``〉 = 0→ eiϕ (∂θ + i cot θ∂ϕ) F `` (θ)ei`ϕ = 0 . (49)
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Momento angular orbital. Espın Momento angular orbital~L
Valores de los numeros cuanticos ` y m
Tenemos que−i~∂ϕY m
` (θ, ϕ) = m~Y m` (θ, ϕ) , (46)
Por tanto,Y m` (θ, ϕ) = F m
` (θ)eimϕ . (47)
La funcion de onda es monovaluada: ϕ y ϕ+ 2π corresponden al mismo puntodel espacio ~r :
eim2π = 1 ⇒ m es entero ⇒ ` es entero . (48)
Todos los valores enteros no negativos son posibles para el numero cuantico `:calculamos |``〉
L+|``〉 = 0→ (∂θ − ` cot θ) F `` (θ) = 0 . (49)
I Integrando y normalizando
F `` (θ) = c`(sin θ)`, c` = (−1)`1√
4π
√(2`+ 1)!
2``!. (50)
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Momento angular orbital. Espın Momento angular orbital~L
No degeneracion de los armonicos esfericos
Y `` (θ, ϕ) = F `` (θ)ei`ϕ es unico: la pareja (`, `) no presenta degeneracion.
Definimos el resto de armonicos esfericos aplicando sucesivamente L−:
L−Y m` (θ, ϕ) =
√`(`+ 1)−m(m − 1)~Y m−1
` (θ, ϕ). (51)
Demostramos que todas las parejas (`,m) son no degeneradas:
I El caso ` = 0 es directo, ya que m = 0: nos restringimos a ` 6= 0.
I Supongamos que existe Z `−1` que es linealmente independiente de Y `−1
` .
I Aplicamos L+: L+Z `−1` =
√2`Z `` =
√2`A`Y `` , con A` una constante no nula.
I Ahora aplicamos L−:L−L+︸ ︷︷ ︸
L2−L2z−~Lz
Z `−1`
︸ ︷︷ ︸2`Z`−1
`
=√
2`A` L−Y ``︸ ︷︷ ︸√
2`Y`−1`︸ ︷︷ ︸
2`A`Y`−1`
(52)
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Momento angular orbital. Espın Momento angular orbital~L
Armonicos esfericos para ` = 0, 1 y 2
Armonicos esfericos Y m` (θ, ϕ)
` = 0, 1, 2, 3, . . .
m = −`,−`+ 1, . . . , `− 1, ` (para cada `)
Para ` = 0, 1, 2:
Y 00 =
1√4π
(53)
Y±11 (θ, ϕ) = ∓
√3
8πsin θe±iϕ (54)
Y 01 (θ, ϕ) =
√3
4πcos θ (55)
Y±22 (θ, ϕ) =
√15
32πsin2 θe±2iϕ (56)
Y±12 (θ, ϕ) = ∓
√158π
sin θ cos θe±iϕ (57)
Y 02 (θ, ϕ) =
√5
16π
(3 cos2 θ − 1
)(58)
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Momento angular orbital. Espın Momento angular orbital~L
Algunas propiedades de los armonicos esfericos
Tomadas del complemento AVI del libro de CohenOperadores escalera (propiedad general de momentos angulares)
L±Y m` (θ, ϕ) =
√l(l + 1)−m(m ± 1)~Y m±1
` (θ, ϕ) . (59)
Ortonormalidad∫ 2π
0dϕ∫ π
0dθ sin θ
[Y m′`′ (θ, ϕ)
]∗Y m` (θ, ϕ) = δ``′δmm′ . (60)
Cualquier funcion de los angulos
f (θ, ϕ) =∞∑`=0
+∑m=−`
c`mY m` (θ, ϕ) , (61)
c`m =
∫ 2π
0dϕ∫ π
0dθ sin θ
[Y m` (θ, ϕ)
]∗ f (θ, ϕ) .
(62)
Paridad y conjugacion
Y m` (θ, ϕ) = (−1)`Y m
` (π − θ, π + ϕ),[Y m` (θ, ϕ)
]∗= (−1)mY−m
` (θ, ϕ) . (63)
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Momento angular orbital. Espın Espın~S
Evidencia experimental
Espın: Momento angular “intrınseco”
I Estructura fina de las lıneas espectrales
I Efecto Zeeman anomalo en atomos con Z impar(numero par de lıneas cuando 2`+ 1 es siempre impar)
I Experimento de Stern-Gerlach: division en dos haces simetricos al pasar por uncampo magnetico inhomogeneo, ¿¿2`+ 1 = 2??
Variables “orbitales”: cuantizacion
I Magnitudes clasicas (~r , ~p)→ operadores cuanticos (~R, ~P) tales que[Rj ,Pk
]= i~δjk
I Variables dinamicas A(~r , ~p, t)→ A = A(~R, ~P, t)
I Espacio de estados E~r que es isomorfo al espacio de las funciones de onda F
|ψ〉 ∈ E~r ↔ ψ(~r) ∈ F . (64)
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Momento angular orbital. Espın Espın~S
Postulados para el espın
El operador de espın ~S es un momento angular: [Sj ,Sk ] = i~εjklSl
Los operadores de espın actuan en un espacio de Hilbert Es distinto:En ese espacio S2,Sz forman un CCOC
I Base comun: S2|sm〉 = s(s + 1)~2|sm〉, Sz |sm〉 = m~|sm〉I Cada partıcula tiene un valor caracterıstico de s: tiene espın s
(todos los estados son autoestados de S2)
I Dimension de Es : (2s + 1)
El espacio de estados de la partıcula es E = E~r ⊗ Es
I Todos los observables orbitales conmutan con los de espınI CCOC en E : Union de CCOC’s en E~r y Es
I Base |~r ±〉 = |~r〉 ⊗ |±〉: ~R|~r ±〉 = ~r |~r ±〉, Sz |~r ±〉 = ± ~2 |~r ±〉
El electron tiene espın 1/2
I Momento magnetico intrınseco ~µe = ge︸︷︷︸'2
µB~~S, µB = e~
2me.
I Otras partıculas con espın 1/2: proton, neutron (factor giromagnetico g distinto)
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Momento angular orbital. Espın Espın~S
Espın 1/2. Vectores (I)
Notacion: |+〉 = | 1/2,1/2〉, |−〉 = | 1/2,− 1/2〉
S2|±〉 =34~2|±〉, Sz |±〉 = ±~
2|±〉 (65)
Relacion de cierre y ortogonalidad
Is =∑ε
|ε〉〈ε| = |+〉〈+|+ |−〉〈−|. (66)
〈ε|ε′〉 = δεε′ , ε = (+,−). (67)
Estado general de espın |χ〉:
|χ〉 = c+|+〉+ c−|−〉. (68)
I Componentes cε = 〈ε|χ〉I Normalizacion |c+|2 + |c−|2 = 1
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Momento angular orbital. Espın Espın~S
Espın 1/2. Vectores (II)
Sea un estado arbitrario |ψ〉 ∈ E = E~r ⊗ Es
Representacion (base) |~rε〉 = |~r〉 ⊗ |ε〉
〈~rε|~r ′ε′〉 = δ(~r −~r ′)δεε′ Ortogonalidad (69)
I = I~r ⊗ Is =∑ε
∫d~r |~rε〉〈~rε| Cierre (70)
Componentes de un estado |ψ〉 y espinor
|ψ〉 =∑ε
∫d~r |~rε〉〈~rε|ψ〉 (71)
Componentes Espinor
ψε(~r) ≡ 〈~rε|ψ〉 [ψ] (~r) =
ψ+(~r)
ψ−(~r)
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Momento angular orbital. Espın Espın~S
Espın 1/2. Vectores (III)
Bra 〈ψ|: 〈ψ| =∑ε
∫d~r 〈ψ|~rε〉〈~rε|
I Componentes ψ∗ε (~r) ≡ 〈ψ|~rε〉I Representacion espinorial: [ψ]† (~r) =
(ψ∗+(~r) ψ∗−(~r)
)Norma al cuadrado 〈ψ|ψ〉
1 = 〈ψ|ψ〉 =∑ε
∫d~r 〈ψ|~rε〉〈~rε|ψ〉 =
∫d~r(|ψ+(~r)|2 + |ψ−(~r)|2
). (72)
I Probabilidad de encontrar la partıcula en el intervalo (~r ,~r + d~r)con valor ± ~/2 de la componente z del espın:
d~r |ψ±(~r)|2
I Representacion espinorial
〈ψ|ψ〉 =
∫d~r [ψ]† (~r) [ψ] (~r) (73)
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Momento angular orbital. Espın Espın~S
Espın 1/2. Operadores (I)
Componentes del espın Sx , Sy y Sz : matrices de Pauli
Sx →~2
(0 11 0
)︸ ︷︷ ︸
σx
, Sy →~2
(0 −ii 0
)︸ ︷︷ ︸
σy
, Sz →~2
(1 00 −1
)︸ ︷︷ ︸
σz
. (74)
Propiedades basicas de las matrices de Pauli
σ2x = σ2
y = σ2z = Is, (75)
σxσy + σyσx = 0, (76)
σxσy = iσz , [σx , σy ] = 2iσz , (77)
Trσj = 0, detσj = −1. (78)
Las ecuaciones (75)-(77) pueden resumirse en
σjσk = δjk + iεjklσl , (79)
(~σ · ~A)(~σ · ~B) = ~A · ~B + i ~σ · (~A ∧ ~B), (80)
si ~A y ~B conmutan ambos con ~S.
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Momento angular orbital. Espın Espın~S
Espın 1/2. Operadores (II)
Probabilidades de medir los posibles valores de una componente del espın: porejemplo Sx
I Hallar los autovalores (son ±~/2) y autovectores |±x 〉 de Sx
I Proyectar el estado de espın |χ〉 sobre los autovectores:
P(Sx = ±~/2) = |〈±x |χ〉|2 (81)
Espacio E = E~r ⊗ Es
I Operadores de espın, por ejemplo S+
S+|ψ〉 = S+
∑ε
∫d~r |~rε〉〈~rε|ψ〉 =
∑ε
∫d~r |~r〉 ⊗ S+|ε〉〈~rε|ψ〉
=∑ε′
∫d~r |~rε′〉
∑ε
〈ε′|S+|ε〉〈~rε|ψ〉. (82)
I Representacion espinorial [S+ψ] (~r) = [S+] [ψ] (~r)
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Momento angular orbital. Espın Espın~S
Espın 1/2. Operadores (III)
Operadores orbitales ~R y ~P
I Ejemplo: ~R
~R|ψ〉 = ~R∑ε
∫d~r |~rε〉〈~rε|ψ〉 =
∑ε
∫d~r ~r |~rε〉〈~rε|ψ〉 =
∑ε
∫d~r |~rε〉 ~r 〈~rε|ψ〉︸ ︷︷ ︸
componentes
.
(83)
I Representacion espinorial[~Rψ]
(~r) =[~R]
[ψ] (~r),[~R]
=
(~r 00 ~r
).
I Analogamente[~P]
=
(−i~∇ 0
0 −i~∇
)I Operadores “mixtos”: Ejemplo ~S · ~P[
~S · ~P]
=~2
[σx Px + σy Py + σzPz ] =~2
2i
(∂z ∂x − i∂y
∂x + i∂y −∂z
)(84)
En general: mejor usar el cierre etc. como hemos hecho en otros casos queemplear la representacion de espinores directamente.
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Momento angular orbital. Espın Espın~S
Rotaciones en el espacio de espın 1/2 (I)
Operador de rotacion en Es: R(s)(~φ) = exp(− i~φ~n · ~S
), ~φ = φ~n.
Desarrollo en serie
R(s)(~φ) =∞∑
k=0
(−i)k (φ/2)k
k !(~n · ~σ)k . (85)
I (~n · ~σ)2 = Is ~n · ~n︸︷︷︸=1
+i ~σ ·: 0(
~n ∧ ~n)
⇒ (~n · ~σ)k =
Is si k es par~n · ~σ si k es impar
Sumando las series de pares e impares:[usando que (−i)2j = (−1)j ]
R(s)(~φ) = Is cosφ
2− i~n · ~σ sin
φ
2(86)
Representacion en la base |+〉, |−〉
R(s)(~φ)→
cos φ2 − inz sin φ
2 (−inx − ny ) sin φ2
(−inx + ny ) sin φ2 cos φ
2 + inz sin φ2
(87)
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Momento angular orbital. Espın Espın~S
Rotaciones en el espacio de espın 1/2 (II)
Rotacion de angulo 2π:R(s)(2π~n) = −Is, ∀~n. (88)
Signo menos: ¡factor de fase irrelevante!I “Activa” (rotan los vectores) |χ′〉 = R(s)|χ〉 = −|χ〉I “Pasiva” (rotan los operadores) A′ = R(s)†A R(s) = A
Espacio completo E = E~r ⊗ Es → R(~φ) = R(~r)(~φ)⊗ R(s)(~φ)
I Momento angular total ~J = ~L + ~S
R(~φ) = exp(−
i~φ~n · ~L
)⊗ exp
(−
i~φ~n · ~S
)= exp
(−
i~φ~n · ~J
). (89)
I Relaciones de conmutacion “buenas”~J ∧ ~J = i~~J. (90)
|ψ〉 ∈ E → |ψ′〉 = R(~φ)|ψ〉
ψ′ε(~r) =∑ε′
R(s)εε′(
~φ)ψε′(R−1(~φ)~r) (91)
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Composicion de momentos angulares Un ejemplo sencillo: sistema de dos partıculas de espın 1/2
Espacio producto directo Es = Es1 ⊗ Es2
Base comun a S21 ,S1z ,S2
2 ,S2z
I Vectores |ε1ε2〉 ≡ |ε1〉 ⊗ |ε2〉, con εj = ±
S2j |ε1ε2〉 =
34~2|ε1ε2〉, Sjz |ε1ε2〉 = εj
~2|ε1ε2〉. (92)
Espın total ~S = ~S1 + ~S2
Relaciones de conmutacion caracterısticas ~S ∧ ~S = i~~S
¿Cuales son los autovectores comunes a S2 Y Sz en funcion de los autovectores|ε1ε2〉 comunes a S1z y S2z?
I S21 y S2
2 conmutan con S2 y Sz(siguen siendo escalares en el espacio Es)
I Autovalores de S2: s(s + 1)~2, con s entero o semientero
I Autovalores de Sz : m~, con m = −s,−s + 1, . . . , s − 1, s (para cada s)
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Composicion de momentos angulares Un ejemplo sencillo: sistema de dos partıculas de espın 1/2
Matrices de S2 y Sz en la base |ε1ε2〉
Matriz de Sz : diagonal porque Sz |ε1ε2〉 = (ε1 + ε2) ~2 |ε1ε2〉
Sz → ~
1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 −1
(93)
en el orden |+ +〉, |+−〉, | −+〉, | − −〉.
Matriz de S2: diagonal por cajas porque conmuta con Sz
(pero no con S1z y S2z por separado)
Se tiene que S2 = S21 + S2
2 + 2~S1 · ~S2 = S21 + S2
2 + 2S1zS2z + S1−S2+ + S1+S2−
S2 → ~2
2 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 2
(94)
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Composicion de momentos angulares Un ejemplo sencillo: sistema de dos partıculas de espın 1/2
Base comun a S2,Sz
Diagonalizamos la caja “central” de S2: combinaciones lineales de |+−〉 y | −+〉Autovalores 2~2 y 0: correspondientes a s = 1 y s = 0
I Autovectores
|s = 1,m = 0〉 =1√
2(|+−〉+ | −+〉) , S2|s = 1,m = 0〉 = 2~2|s = 1,m = 0〉,
(95)
|s = 0,m = 0〉 =1√
2(|+−〉 − | −+〉) , S2|s = 0,m = 0〉 = 0. (96)
Base del espın total S2|sm〉 = s(s + 1)~2|sm〉, Sz |sm〉 = m~|sm〉
|11〉 = |+ +〉
|10〉 =1√2
(|+−〉+ | −+〉)
|1− 1〉 = | − −〉
|00〉 =1√2
(|+−〉 − | −+〉)
(97)
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Composicion de momentos angulares Un ejemplo sencillo: sistema de dos partıculas de espın 1/2
Algunos comentarios
Espacio Es puede verse como:
I Producto directo de espacios monoparticulares Es1 ⊗ Es2(dimension 2× 2 = 4)
I Suma directa de los espacios con espın total s = 1 y s = 0, Es=1 ⊕ Es=0(dimension 3 + 1 = 4)
Estados de s total: simetrıa bien definida ante el intercambio de partıculas
I s = 1 (triplete, m = 1, 0,−1): |1m〉 es simetrico ante el intercambio 1↔ 2
I s = 0 (singlete, m = 0): |00〉 es antisimetrico ante el intercambio 1↔ 2
I Las partıculas de espın 1/2 son fermiones
Partıculas identicas:Si el estado de espın es antisimetrico, la “parte orbital” ha de ser simetrica(y viceversa)
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Composicion de momentos angulares El problema general
Introduccion
Acoplo de dos momentos angulares ~J1 y ~J2, ~J = ~J1 + ~J2
Base comun a J21 , J1z , J2
2 , J2z: |j1m1, j2m2〉 = |j1m1〉 ⊗ |j2m2〉
J2k |j1m1, j2m2〉 = jk (jk + 1)~2|j1m1, j2m2〉, k = 1, 2, (98)
Jkz |j1m1, j2m2〉 = mk~|j1m1, j2m2〉 (99)
Los vectores producto directo son autovectores de Jz ,
Jz |j1m1, j2m2〉 = (m1 + m2)︸ ︷︷ ︸m
~|j1m1, j2m2〉 (100)
I Autovalor m~ es degenerado en general: varias parejas (m1,m2) con m1 + m2 = mI Unicos casos no degenerados
F m = j1 + j2 ⇒ m1 = j1, m2 = j2F m = −(j1 + j2)⇒ m1 = −j1, m2 = −j2
I Podrıamos (igual que en el caso “elemental” j1 = j2 = 1/2 discutido antes) diagonalizarJ2 en cada subespacio degenerado
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Composicion de momentos angulares El problema general
Valores posibles de j
Intuicion: j va desde j1 + j2 (paralelos) hasta j = |j1 − j2| (antiparalelos)
I Caso particular j1 = j2 = 1/2: deducimos j = 0, 1 OK!
I La dimension es correcta (a partir de ahora, j1 ≥ j2 y quitamos el valor absoluto)
j1+j2∑j=j1−j2
(2j+1) =
j1+j2∑j=0
(2j+1)−j1−j2−1∑
j=0
(2j+1) = (j1+j2+1)2−(j1−j2)2 = (2j1+1)(2j2+1)
(101)
Simplificamos la notacion (quitamos etiquetas de J21 , J2
2 )
I |j1m1, j2m2〉 → |m1m2〉 propios de J1z , J2z
I |jm, j1j2〉 → |jm〉 propios de J2, Jz
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Composicion de momentos angulares El problema general
Construccion de los coeficientes del cambio de base (I)
Comenzamos por el valor maximo de m, mmax = j1 + j2, que se corresponde conjmax = j1 + j2
I No puede haber un j > jmax, ya que llevarıa a m > mmax
I Solamente un vector propio de Jz correspondiente a ese autovalor: m1 = j1, m2 = j2
F El autovalor de J2 es “obvio” por los razonamientos anteriores y puede calcularseexplıcitamente usando que
J2 = J21 + J2
2 + 2J1z J2z + J1−J2+ + J1+J2− (102)
F J2|j1 j1, j2 j2〉 = (j1(j1 + 1) + j2(j2 + 1) + 2j1 j2) ~2|j1 j1, j2 j2〉 = (j1 + j2)(j1 + j2 + 1)|j1 j1, j2 j2〉
En conclusion|j = j1 + j2,m = j1 + j2〉 = |j1j1, j2j2〉 (103)
Resto de vectores propios de J2 y Jz correspondientes a j = j1 + j2 y otros m:Aplicacion sucesiva de J− = J1− + J2−
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Composicion de momentos angulares El problema general
Construccion de los coeficientes del cambio de base (II)
Construccion del vector para m = j1 + j2 − 1I Actuando con J− sobre |j1 + j2, j1 + j2〉
J−|j1 + j2, j1 + j2〉 =√
2(j1 + j2)~|j1 + j2, j1 + j2 − 1〉 (104)
I Actuando con J1− + J2− sobre |j1j1, j2j2〉
(J1− + J2−)|j1 + j2, j1 + j2〉 =√
2j1~|j1(j1 − 1), j2j2〉+√
2j2~|j1j1, j2(j2 − 1)〉 (105)
I Concluimos que
|j1 + j2, j1 + j2 − 1〉 =
√j1
j1 + j2|j1(j1 − 1), j2j2〉+
√j2
j1 + j2|j1j1, j2(j2 − 1)〉 (106)
Iterando con J−: llegarıamos hasta m = −j1 − j2
Hay dos vectores propios (l.i.) de Jz correspondientes al autovalor j1 + j2 − 1:Uno es el dado por (106) y el otro lo podemos escribir√
j2j1 + j2
|j1(j1 − 1), j2j2〉 −
√j1
j1 + j2|j1j1, j2(j2 − 1)〉 (107)
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Composicion de momentos angulares El problema general
Construccion de los coeficientes del cambio de base (III)
El vector√
j2j1+j2|j1(j1 − 1), j2j2〉 −
√j1
j1+j2|j1j1, j2(j2 − 1)〉 tiene que ser propio de J2
I Es perpendicular a |j1 + j2, j1 + j2 − 1〉
I En la caja 2× 2 en que Jz presenta degeneracion para m = j1 + j2 − 1 la submatriz deJ2 serıa (j1 + j2)(j1 + j2 + 1)~2 0
0 ?
(108)
ya que la primera columna son las componentes de J2|j1 + j2, j1 + j2 − 1〉 y J2 es unoperador hermıtico
El valor de j tiene que ser j = j1 + j2 − 1 ya que
I Se tiene la desigualdad |m| ≤ j
I j no puede ser igual a j1 + j2 ya que hemos calculado su vector propio correspondiente(y no hay degeneracion)
I El calculo directo, aplicando J2, proporciona ese valor
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Composicion de momentos angulares El problema general
Construccion de los coeficientes del cambio de base (IV)
Conclusion
|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1〉 =
√j1
j1 + j2|j1j1, j2(j2 − 1)〉 −
√j2
j1 + j2|j1(j1 − 1), j2j2〉
(109)
I Condon-Shortley: El coeficiente del vector con m1 = j1 es real y positivoI Aplicando J− = J1− + J2− se calculan el resto de vectores propios |j1 + j2 − 1,m〉I Todos los coeficientes son reales (consecuencia de Condon-Shortley)
Hay tres vectores propios de Jz correspondientes al autovalor (j1 + j2 − 2)~(m1 = j1, m2 = j2 − 2, m1 = j1 − 1, m2 = j2 − 1, m1 = j1 − 2, m2 = j2)
I Una combinacion lineal de ellos es |j1 + j2, j1 + j2 − 2〉I Otra combinacion lineal es |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2〉, que es ortogonal a la primeraI Solo hay un vector (direccion) propio de Jz correspondiente al mismo autovalor y
ortogonal a los dos anteriores: tiene que ser vector propio de J2
F Como j 6= j1 + j2, j1 + j2 − 1 (por la ortogonalidad), ha de ser j = j1 + j2 − 2F Aplicando J− a |j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2〉 → resto de |j1 + j2 − 2, m〉
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Composicion de momentos angulares El problema general
Construccion de los coeficientes del cambio de base (V)
¿Cuando se acaba el proceso?Cuando tenemos tantos vectores |jm〉 como vectores |j1m1, j2m2〉
I Por tanto jmin = j1 − j2I Ecuaciones de cambio de base
|jm〉 =
+j1∑m1=−j1
+j2∑m2=−j2
|j1m1, j2m2〉 〈j1m1, j2m2|jm〉︸ ︷︷ ︸Clebsch-Gordan
(110)
Propiedades
I 〈j1m1, j2m2|jm〉 6= 0 solo si j1 − j2 ≤ j ≤ j1 + j2I 〈j1m1, j2m2|jm〉 6= 0 solo si m = m1 + m2
I
〈j1m1, j2m2|jm〉 ∈ R
〈j1j1, j2(j − j1)|j j〉 > 0
Convencion de Condon-Shortley
I Solo se calculan para m > 0: 〈j1m1, j2m2|jm〉 = (−1)j1+j2−j 〈j1(−m1), j2(−m2)|j(−m)〉
A. Prados (US) Momento angular en mecanica cuantica 22/01/2019 37 / 37