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Formación Básica
de Personas Adultas
Graduado en Educación Secundaria
P R O C E S O S EI N S T R U M E N T O S
M A T E M Á T I C O S
CONSELLERIA DE CULTURA I EDUCACIÓDIRECCIÓ GENERAL D’ORDENACIÓ I INNOVACIÓ EDUCATIVA I POLÍTICA LINGÜÍSTICA
GENERALITATVALENCIANA
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© Consuelo Clemente Díaz
© José Antonio Moraño Fernández
© Mª Dolores Ortells González
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i Política Lingüística
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Tema 1: Números
15
La principal diferencia entre unos sistemas y otros se encuentraen:
• La grafía de los signos, símbolos o cifras y su valor.
• Su carácter:
¾Aditivo o sumativo si la expresión de la cantidad total seconsigue por adición o acumulación de símbolos.
¾Posicional si los símbolos adquieren valores diferentessegún su posición.
• Reglas de combinación.
Nos centraremos en los sistemas de numeración romana ydecimal por ser ambos los sistemas de uso en la actualidad.
Sistema de numeración romana
• Símbolos y valor:
I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1.000
• Carácter: aditivo o sumativo.
Para expresar trescientos escribían CCC.
• Reglas:
¾Toda cifra igual o menor colocada a la derecha de otra,suma su valor con ella.
XX=2 0XXI = 21
¾Toda cifra menor colocada a la izquierda de otra resta suvalor con ella.
I X = 9XL=40
¾Si entre dos cifras existe otra de menor valor, se combinacon la siguiente para disminuirla.
XIX = 19¾Ninguna cifra puede escribirse más de tres veces
seguidas. La I, la X, La C y la M pueden escribirse hastatres veces seguidas; la V, la L y la D, no puedenescribirse seguidas.
¾Las unidades simples pueden convertirse en millaresponiéndoles una raya horizontal encima.
621.4DCXXIIV = .
Numeración babilónica
”cuneiforme”
Signo Valor
1
10
60
Ejemplo. 193
Numeración egipcia
jeroglífica
Signo Valor
1
10
100
1000Ejemplo 1.213
El sistema decimal esmás “económico” quela numeración romanapues permite escribirlas mismas cantidadesutilizando menoscifras.
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Tema 1: Números
17
¾Los números decimales constan de una parte entera y unaparte decimal, la parte entera es la que preceda a la comay la parte decimal es la que se obtiene sustituyendo la
parte entera por cero y añadiendo a la derecha de la comalas cifras decimales.
Parte entera ’ Parte decimal
Para leer un número decimal se lee primero la parteentera, si la hay, y luego la parte decimal como si fueraentera, añadiendo el nombre de la unidad decimal queexpresa su última cifra.
28’62 se lee 28 unidades 62 centésimas0’3186 se lee 3.168 diezmilésimas
2’0005 se lee 2 unidades 5 diezmilésimas.
$SUHQGDPRVSUD.WL.DQGR
1. Toma un libro y fíjate en la numeración que contiene:
capítulos, páginas,..
Si miras el índice verás algo similar a esto:
ÍNDICE:
Capítulo I............... 4Capítulo II ............ 25Capítulo III........... 36Capítulo IV........... 78Capítulo V........... 102Capítulo VI.......... 125Capítulo VII ........ 143Capítulo VIII ....... 171Capítulo IX.......... 194Capítulo X........... 220
Generalmente se utilizan números romanos para los capítulos,los tomos, las ediciones,… , y se reservan los arábigos para lapaginación.
El número 235’724 sepuede leer como:
• 235 unidades 724milésimas.
• 235’724 unidades.• 23’5724 decenas.• 2’35724 centenas.• 2.357’24 décimas.• 23.572’4 centésimas.• 235.724 milésimas
Numeración romana referida alas sucesivas convocatorias de
un concurso matemático.
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Tema 1: Números
18
2. Pensemos ahora en la cronología.
En este caso la numeración romana se usa para indicar siglos y,en ocasiones, los meses, mientras que la arábiga se utiliza paraaños y días.
Para indicar el día 7 de Agosto del año 2001 lo podemos
escribir
7 / VIII / 2001
y decimos que pertenece al siglo XXI.
El motivo de que no coincida el número de centenas del año conel siglo, en este caso 20 centenas de 2001 con siglo XXI, se debea que la cronología parte del año del nacimiento de Cristo, año1, y hasta el año 100 se considera el siglo I, del 101 al 200 elsiglo II y así sucesivamente.
7~PLVPR
Para los hechos queocurrieron antes delnacimiento de Cristo
se utiliza lasiguiente
abreviatura:a. C.
El año 0 no existió
Este es también elmotivo por el que elsiglo XXI comenzó el1-I-2001 y no el día1-I-2000.
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 1 al 8propuestos en el libro de actividades.
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Tema 1: Números
21
• Asociativa de la suma: Si tenemos que sumar tres o mássumandos podemos sumar dos cualesquiera de ellos(asociarlos) y sustituirlos por el resultado de su suma.Podemos escribir: (a + b) + c = a + (b + c).
Si queremos calcular el resultado de 56 + 70 + 30 podemos respetar el orden y sumar antes 56 + 70
5 6 + 7 0 + 3 0 = 1 2 6 + 3 0 = 1 5 6o sumar antes 70 + 30
56 + 70 + 30 = 56 + 100 = 156.
• Asociativa del producto: Si tenemos que multiplicartres o más factores podemos multiplicar dos cualesquierade ellos (asociarlos) y sustituirlos por el resultado de suproducto.Podemos escribir: (a · b)· c = a · (b · c).
Si queremos calcular el resultado de 6 · 50 · 3podemos
respetar el orden y multiplicar antes 6 · 506 · 50 · 3 = 300 · 3 = 900
o multiplicar antes 50 · 36 · 50 · 3 = 6 · 150 = 900.
• Conmutativa de la suma: El orden de los sumandos noaltera el resultado de la suma.Podemos escribir: a + b = b + a.
• Conmutativa del producto: El orden de los factores noaltera el resultado del producto.Podemos escribir: a · b = b · a
Otra propiedad de la suma y del producto es la existencia delelemento neutro.
• Elemento neutro de la suma: Es el 0 y se llama neutroporque al sumar 0 a cualquier número éste no varía.Podemos escribir: a + 0 = a.
• Elemento neutro del producto: Es el 1 ya que al
multiplicar cualquier número por 1 éste no varía.Podemos escribir: a · 1 = a.
En el caso de la resta y en el de la división, no presenta estaspropiedades teniendo que respetar el orden en que aparecen.
El resultado de 20 – 5 – 3 no es el mismo si realizamos las
operaciones en orden (20 – 5 – 3 = 15 – 3 = 12), que si
calculamos antes 5 – 3 , cuyo resultado es 18.
Igualmente, el resultado de 40 : 8 : 2 no es el mismo si
hacemos las operaciones en orden (40 : 8 : 2 = 5 : 2 = 2’5 ),
que si calculamos antes 8 : 2 , cuyo resultado es 10.
La propiedad conmu-tativa tiene un enun-
ciado muy popular y seaplica en situaciones
cotidianas. Si el ordenen que se mezclan losingredientes de una
receta no importa y nospreguntan por él
seguramentecontestaremos:
“Da igual, el orden delos factores no altera el
producto”
Propiedad conmutativa
• 1 2 + 5 4 = 5 4 + 1 2 = 7 4• 5 · 42 = 42 · 5 = 210
Para realizar restas ydivisiones
encadenadas hay querespetar el orden en el
que aparecen.Para alterar este orden
hacemos uso de losparéntesis.
Elemento neutro
• 1 2 0 + 0 = 1 0• 534 · 1 = 534
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Tema 1: Números
22
De una suma se obtienen dos restas relacionadas con ella yde una multiplicación dos divisiones.
12 – 7 = 5
5 + 7 = 1 212 – 5 = 7
3 2 : 4 = 8
8 · 4 = 3232 : 8 = 4
Por tanto, conociendo dos de los elementos de cualquiera deestas operaciones, podemos calcular el tercero.
Si 3 + a = 24 ; a = 24 – 3 = 21Si b : 3 = 18 ; b = 18 · 3
7~PL
VPR
Cuando aparecen encadenadas varias operaciones, e inclusoparéntesis, hay que seguir ciertas reglas:
1. En primer lugar hay que calcular la expresión queaparece entre paréntesis.
2. Después se efectúan las multiplicaciones ydivisiones.
3. Se acaba realizando las sumas y las restas.
5 + 3 – 4 ( 5 – 3 ) = (Primero el paréntesis)
5 + 3 – 4 · 2 = ( Después la multiplicación)5 + 3 – 8 = 0 (Finalmente sumas y restas)
Si solo aparecen sumas y restas se pueden agrupar lascantidades a sumar por un lado y las cantidades a restar porotro y realizar al final una resta.
5 + 6 – 7 + 4 – 2 + 6 – 1 = 21 – 10 = 11.
Estas propiedades lasutilizaremos más
adelante pararesolver ecuaciones:
3 + x = 2 4 ;x = 24 – 3
x = 2 1
Si traduces al lenguajecoloquial las
operaciones indicadasverás la lógica de lasreglas enunciadas: “
cinco más tres menoscuatro veces el
resultado de restarletres a cinco”.
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 11 y 12
propuestos en el libro de actividades.
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Tema 1: Números
29
Es importante diferenciar los diferentes “significados” quepuede tener un signo negativo.
• Acompañando a un número indica que su valor esinferior a cero y como ejemplos servirían los que hemoscitado anteriormente. Los números mayores de cero nollevarán ningún signo o el signo positivo.
• Como operación tiene el significado de una variaciónnegativa frente al signo + que implica una variaciónpositiva.
Un submarino que baja 40 metros respecto a su posición
original tiene una variación de – 40 m.
Un coche que baja dos sótanos más abajo del que seencontraba tiene una variación de – 2 plantas.
Un cliente que realiza un reintegro de 50 ¼ de su cuenta de
ahorro tiene una variación en su saldo de – 50 ¼
No sólo los números enteros pueden ser positivos o negativos,los números decimales también pueden serlo.
Observa la recta sobre la que hemos representado los númerosenteros. Los números crecen de izquierda a derecha ydisminuyen de derecha a izquierda.
Aplicando este criterio podemos ordenar los números enteros:
• El mayor de dos números enteros se sitúa más a laderecha en la recta numérica.
0 1 2 3 …… -3 - 2 -1
-1’3 2’6
La temperatura en unaciudad del interior de
la ComunidadValenciana en Eneroes de –3ºC a las 11 h.de la mañana. Si hastalas 24 horas baja tresgrados la variación
será de –3ºC,alcanzándose a esta
hora una temperaturade –6ºC.
0
CRECEN
DISMINUYEN
Comparamos las
siguientes temperaturasregistradas en un mismo
momento en cuatrociudades diferentes:
Ciudad A:..............-4ºCCiudad B:..............10º CCiudad C:.............. 0ºCCiudad D:..............-7ºC
Las situamos sobre larecta numérica:
-7 –4 0 10
Ordenamos:
- 7 < - 4 < 0 < 1 0
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Tema 1: Números
30
• Cualquier número positivo es mayor que cualquiernúmero negativo.
• El cero es mayor que cualquier número negativo y menorque cualquier número positivo.
7~PLVPR
Operaciones
Vamos a analizar las operaciones que incluyen númerosnegativos a partir de ejemplos concretos.
Es importante aclarar que nunca pueden ir juntos dos signos.
Cuando hemos de sumar o restar (variación positiva o negativa)un número negativo tenemos dos opciones:
• Separarlos incluyendo el del número junto con lacifra dentro de un paréntesis.
5 + (–3) 5 – (– 3)• Traducir el conjunto de ambos signos en una
variación.
+ (–3) = – 3 5 – 3– (– 3) = + 3 5 + 3
Es conveniente imaginar alguna situación “real” para entenderlas operaciones con números negativos. Una que puede ser útiles asociar las siguientes ideas:
• Sumar = Dar• Restar = Quitar• Num. positivo = Dinero efectivo• Num. negativo = Deuda
+ ( ±3) = ± 3 se interpreta como que “dar una deuda de 3 ¼
es igual a quitar 3 ¼ ”.
± ( ±3) = +3 se interpreta como que “quitar una deuda de
3 ¼ es igual a dar 3 ¼ ”.
En la cartilla lo quese registran son lasvariaciones.Los reintegros sonvariaciones negativas
y por eso vanacompañadas delsigno , mientras quelos ingresos sonvariaciones positivasaunque generalmenteprescinden del signo.
Al no poder ir juntos los signosse han de separar
mediante unparéntesis.
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 17 propuestoen el libro de actividades.
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Tema 1: Números
31
• Suma
1 5 + 2 5 = 4 0
15 + (–25) = 15 – 25 = –10–15+25=10–15 + (–25) = –15 –25 = – 40
Con la asociación sugerida quedaría:
Tengo Me dan Acabo con(Sit. Inicial) (Variación) (Sit. Final)
15 25 4015 deuda de 25 deuda de 10
deuda de 15 25 10deuda de 15 deuda de 25 deuda de 40
Al igual que ocurre con los números naturales, la suma denúmeros enteros también cumple las propiedades asociativa,conmutativa y elemento neutro.
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] 4523523 −=−+−+=−+−+
5 + (–7) = (–7) + 5 = – 2(–3) + 0 = (–3).
• Resta
15 – 25 = –1015–(–25)=15+25=40– 15 – 25 = – 40– 15 – (–25) = –15 + 25 = 10
Con la asociación sugerida quedaría:
Tengo Me quitan Acabo con(Sit. Inicial) (Variación) (Sit. Final)
15 25 deuda de 1015 deuda de 25 40deuda de 15 25 deuda de 40deuda de 15 deuda de 25 10
7~PLVPR
+ ( – ) = –– (– ) = +
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 18, 19 y 20propuestos en el libro de actividades.
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Tema 1: Números
32
• Producto
Una multiplicación es la expresión de una suma desumandos repetidos.
3 · 4 = 4 + 4+ 4 (3 · 4 es tres veces cuatro)
Podemos considerar que un producto que incluye númerosnegativos expresa, de una manera simplificada, variacionesrepetidas del mismo valor y sentido.
3 · 4 = 12; 3 · (–4) = –12; –3 · 4 = –12; –3 · (–4) = 12.
Si seguimos haciendo la asociación como antes quedaría:
Variación Resultado
Me dan 3 veces 4 Me dan 12 Me dan tres veces una deuda de 4 Me quitan 12 Me quitan tres veces 4 Me quitan 12 Me quitan tres veces una deuda de 4 Me dan 12
Para multiplicar números enteros se multiplican sus valoresabsolutos y el resultado se acompaña del signo + o – segúnel signo de los factores. Para calcular ese signo aplicaremoslas reglas de los signos que aparece en el margen.
3 · (– 5) = – 15; (– 3) · (– 5) = 15.
Al aplicar las reglas de los signos para multiplicar más dedos números enteros podemos observar lo siguiente:
• Si el número de signos negativos que aparece es par
se compensan dos a dos y el resultado es positivo.
3 · (– 5) · ( – 4) = – 15 · (– 4) = 60.
• Si el número de signos negativos que aparece esimpar el resultado es negativo.
(– 3) · (– 5) · (– 4) = 15 · (– 4) = – 60.
Al igual que ocurre con los números naturales, el productode números enteros también cumple las propiedadesasociativa, conmutativa y elemento neutro.
Asociativa Æ ( )[ ]( ) ( )( )[ ] 305·2·35·2·3 =−−=−−
Conmutativa Æ 5 · (– 7) = (– 7) · 5 = – 35 Elemento neutro Æ (– 3) · 1 = (– 3).
7~PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 21 y 22
propuestos en el libro de actividades.
Reglas de los signos
(+) · (+) = (+)(+) · (–) = (–)
(–)· + = (–)(–) · (–) = (+)
Nº signos
negativos Resultado
Par +Impar -
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Tema 1: Números
38
• Calcular la raíz cuadrada de 16 es valorar el dato quefalta en esta expresión
[ ]162
=
Hay que calcular la base que será el número cuyocuadrado es 16. Podemos optar por poner el número 4 oel número –4.
Gráficamente corresponde al cálculo del lado de uncuadrado de área 16.
Se expresa: 416 = porque 42 = 16.
También es válida 416 −= porque (- 4)2 = 16.
Las raíces cuadradas de números negativos no existen.
Observa que la raíz cuadrada de -16 no existe porqueno encontramos ningún número que elevado al cuadradoresulte –16.
42 = 16 y (– 4)2 = 16.
• Calcular la raíz cúbica de 8 es calcular el dato que faltaen esta expresión
[ ] 83=
Hay que calcular la base cuyo cubo es 8. Está claro quese trata del número 2.
Gráficamente corresponde al cálculo del lado de un cubode volumen 8.
Se expresaría: 283= porque 23 = 8.
Observa que la raíz cúbica de – 8 es – 2 porque
(– 2)3 = – 8
Así pues las raíces cúbicas de números negativos
también son de signo negativo.
• En general, calcular la raíz de índice n de un númerocualquiera b es calcular el dato que falta en la expresión
[ ] bn=
Se trata de calcular la base que elevada a n nos de b.
Se expresaría: abn= porque an = b.
16
4
8
Esquema raíz.
abn=
índice
radicando
raíz
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Tema 1: Números
42
8WLOL
]DPRVOD.DO.XODGRUD
Las calculadoras que vas a utilizar más frecuentemente a partirde ahora son las llamadas calculadoras científicas.
• Estas calculadoras priorizan las operaciones, es decir,cuando tecleas en orden expresiones que contienenoperaciones combinadas, respetan el orden en el que se hande realizar, aunque no coincida con el de introducción de losdatos.
• Teclas de paréntesis. [(… …)]
• Tecla +/-
• Teclas y x y
Al calcular 3 + ( 2 – 8 : 2 ) , al darle a la tecla de cerrar
paréntesis después del 2 aparece en pantalla – 2 , que es
el resultado del paréntesis, y al darle al igual aparece el
resultado total 1.
Introduce o quita el signo negativo al número. Debemosincorporar el signo después de haber escrito el número.
No debemos confundir con la operación de restar. Para
calcular – 8 – 7 se teclea:
8 +/- – 7 = .
Calcula directamente la raíz cuadrada de un número.
Para calcular 4 , tecleamos: 4
XYPara calcular 53
, tecleamos 5 XY 3 = .
Otras teclas.
Borra el último datointroducido CBorra todo lo que noestá guardado enmemoria AC
Al calcular 2 + 4 · 3 el resultado sería:
En una calculadora científica 14 En otro tipo de calculadora 18
En la calculadorano científica setendría que haceresta operación:
4 · 3 + 2
En la calculadora nocientífica se tendríanque hacer estasoperaciónes:
8 : 2 = 42 – 4 + 3
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Tema 1: Números
43
1RRROYLGHV
• A lo largo de la historia han ido cambiando los sistemas de numeración, tanto símboloscomo reglas de combinación. Actualmente utilizamos los sistemas de numeración romanoy decimal.
• Los números se utilizan para identificar, ordenar, expresar cantidades y realizaroperaciones.
• Una suma se relaciona con dos restas y una multiplicación con dos divisiones.
• Redondear un número muy grande o un número decimal consiste en “eliminar” las cifrasno significativas. Normalmente suelen interesar las cuatro primeras.
• El orden de las operaciones cuando aparecen combinadas es el siguiente:Paréntesis.Multiplicaciones y divisiones.Sumas y restas.
• El signo negativo puede tener los significados:Valor menor que el 0 que se toma como referencia.Variación negativa.
• Una potencia es la expresión simplificada de un producto de varios factores todos iguales.Base. Indica el factor.Exponente. Indica las veces que se multiplica por sí mismo.
• La raíces son las operaciones contrarias a las potencias.
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Tema 2: Fracciones y porcentajes
48
MÚLTIPLOS Y DIVISORES.
Recuerda las siguientes relaciones:
6 : 2 = 3
2 · 3 = 6
6 : 3 = 2
Las relaciones que existen entre estos tres números son las
siguientes:
• 6 es múltiplo de 3
• 6 es múltiplo de 2
• 2 es divisor de 6• 3 es divisor de 6
• 6 es divisible por 3
• 6 es divisible por 2
• Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando éste
por cualquier otro número natural no nulo.
Múltiplos de 5
5 (5 · 1 = 5)
10 (5 · 2 = 10)
15 (5 · 3 = 15)… …
65 (5 · 13 = 65)
… …
1500 (5 · 300 = 1500)
…. …
• Los divisores de un número son los números que lo dividen
exactamente (el resto de la división es cero).
Divisores de 12:
1 (12 : 1 = 12)2 (12 : 2 = 6)
3 (12 : 3 = 4)
4 (12 : 4 = 3)
6 (12 : 6 = 2)
12 (12 : 12 = 1)
Divisores de 11:
1 (11 : 1 = 11)
11 (11 : 11 = 1)
Múltiplo / Divisores una relación similar a
Padre / HijoMúltiplo DivisorPadre Hijo
Los múltiplos de un
número son infinitos y
son mayores o igualesque el número.
Los divisores de
un número son
menores o igualal número.
• Un nº es divisible por2 si termina en 0 o
cifra par (ej. 80 ó 94).
• Un nº es divisible por3 si la suma de losvalores de sus cifrases 3 o múltiplo de 3(ej. 258, 2+5+8 = 15).
• Un nº es divisible por5 si termina en 0 ó 5.(ej. 285 ó 280).
Si a es múltiplo de b,entonces b es divisor dea y a es divisible por b.
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Tema 2: Fracciones y porcentajes
50
Para calcular estos valores se pueden utilizar diferentes
procedimientos:
1. Para encontrar el máximo común divisor de dos números
escribimos todos los divisores de cada uno y subrayamoslos comunes a ambos, siendo el máximo común divisor
el mayor de estos.
En el caso de la parcela queremos un número que divida
a 56 y a 32 para que la separación sea siempre la misma
habiendo un poste en cada esquina. Además la distancia
deseada será la mayor de estas separaciones. Es decir,
el máximo común divisor de 56 y 32.
Divisores del 56 : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
Divisores del 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
m.c.d.(56,32) = 8.
Colocaremos un poste cada 8 m, y como en total hay
2 · 56 + 2 · 32 = 176 m.
Deberemos colocar 176 : 8 = 22 postes.
En algunas ocasiones puede que no exista ningún divisor
común a los dos números que sea distinto al 1. Se dice
entonces que los números son primos entre sí .
Por ejemplo si hallamos el m.c.d.(8,15) observamos que:
Los divisores de 8 son: 1, 2, 4, 8.
Comprobamos que 8 no es divisor de 15 y que 4 y 2
tampoco lo son. El 1 evidentemente divide a 15, por tanto m.c.d.(8,15)=1.
Los números 8 y 15 son primos entre sí aunque ellos no
son números primos.
2. Para el mínimo común múltiplo debemos escribir una
serie de múltiplos de cada uno de los números, subrayar
los que sean comunes a ambas listas y elegir el más
pequeño de éstos.
En el problema del camionero necesitamos múltiplos de
30 para que haya gasolinera y de 40 para que haya
restaurante. Como queremos ambas cosas buscamos un
múltiplo común, y de entre ellos el primero (menor). Es
decir, buscamos el m.c.m.(30,40).
Múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180,…
Múltiplos de 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240,…
m.c.m.( 30 ,40 ) = 120.
Por tanto cada 120 km habrá una gasolinera con
restaurante.7~PLVPR
Para el m.c.m.(30,40),
probamos con los múlti-
plos sucesivos de 40:
40 no es múltiplo de 30.80 tampoco, pero 120 sí.
m.c.d.(15,9,6) = 3,porque 3 es el mayordivisor de 6 que lo es
también de 9 y de 15.
Para reforzar lo aprendido realiza los ejercicios 4y 5 propuestos en el libro de actividades.
Otra posibilidad parahallar el máximo comúndivisor es tomar elnúmero menor, si esdivisor de los otros, él esel número buscado. Encaso contrario se pruebacon sus sucesivos diviso-res en orden decrecientehasta encontrar uno que lo
sea de todos.
Otra forma de obtener elmínimo común múltiploes:
Considerar el número
mayor, si es múltiplo de
los otros él es el número
buscado. En otro caso
seguimos probando con
sus sucesivos múltiplos
hasta encontrar uno que
lo sea de todos.
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Tema 2: Fracciones y porcentajes
56
• Para comparar números fraccionarios o para realizar
algunas operaciones con ellos, un sistema sencillo es
expresarlos previamente en forma decimal.
.4'175'0porque5
7
4
3<<
.15'24'175'05
7
4
3=+=+
.28'022'05'09
2
2
1=−=− (Aproximando
9
2 hasta las centésimas)
.35'02'075'15
1
4
7=⋅=⋅
.4'85'02'42
1:
5
21=⋅=⋅
Los resultados pueden expresarse en forma de fracción.
.2043
10021515'2 == .
257
1002828'0 ==
.20
7
100
3535'0 == .
10
211'2 =
También se puede operar directamente con las fracciones
sin recurrir a su expresión decimal. Vamos a ver algunas
operaciones.
Sumas y restas. Si las fracciones tienen el mismo
denominador basta sumar o restar los numeradores.
.3
5
3
4
3
1=+ .
7
3
7
4
7
6=−
Pero en el caso de que tengan distinto denominador
buscaremos fracciones equivalentes que tengan el mismo
denominador. Como denominador elegimos un múltiplo
común, normalmente el mínimo común múltiplo, de todos
los denominadores que tenemos que sumar o restar.
• .12
9
12
6
12
3
4
2
3
1=+=+
Expresamos las dos fracciones con el mismo denominador,
en este caso el m.c.m.(3,4) que es 12.
Buscamos una fracción12
a que sea equivalente a3
1 , por
tanto a es 4 porque 12 es obtenido multiplicando 3 por 4 y
debemos multiplicar nuestro numerador 1 por 4 obteniendo
4 · 1 = 4.
Fíjate en el esquema del margen: al ser cada una de las
“partes” cuatro veces más pequeñas hemos de “coger”
cuatro veces más para que la cantidad sea la misma y las
fracciones sean equivalentes.
Lo mismo ocurre con4
2 . Si4
2
12=
b , b tiene que ser 6 porque
12 resulta de multiplicar 4 por 3 y el numerador 2 debe
multiplicarse también por 3, obteniendo 3 · 2 = 6.
En Matemáticas
“de”pasa a “ · ”.
.9012075'01204
3120de
4
3=⋅=⋅=
6125'012de100
5012de%50 =⋅==
12
4
3
1=
12
6
4
2=
+1/3
4/3
5/3
SUMA
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Tema 2: Fracciones y porcentajes
57
Ordenación. Para comparar u ordenar varias fracciones,
además de mediante la expresión decimal, podemos hacerlo
escribiendo una fracción equivalente a cada una pero con el
mismo denominador todas.
Por ejemplo para ordenar de menor a mayor las fracciones
20
13,
28
17,
35
27,
14
10
es conveniente hallar en primer lugar un múltiplo común de
todos los denominadores. El número más alto es el 35 por
lo que iremos probando con sus múltiplos:
35 · 1 = 35 pero 35 no es múltiplo de 14,
35 · 2 = 70 que sí es múltiplo de 14 pero no de 28,
35 · 3 = 105 que no es múltiplo de 14,
35 · 4 = 140 que es múltiplo de todos.
Dividiendo 140 de cada denominadores obtenemos 10, 4, 5 y 7, que son las cantidades por las que se multiplican los
respectivos numeradores para obtener las fracciones
equivalentes
.140
91
20
13,
140
85
28
17,
140
108
35
27,
140
100
14
10 7·
7·
5·
5·
4·
4·
10·
10·====
por tanto las fracciones ordenadas son:
.35
27
14
10
20
13
28
17<<<
Multiplicaciones. No necesitamos el mismo denominador.
• .6
2
3
2
2
1=⋅
Al multiplicar fracciones se obtiene otra fracción cuyo
numerador es el producto de los numeradores de los
factores y cuyo denominador se consigue también
multiplicando los denominadores de las fracciones que
multiplicamos.
Divisiones. Tampoco es necesario el mismo denominador.
• .4
1
1
2:
2
12:
2
1==
Al dividir fracciones se obtiene otra fracción cuyo
numerador es el producto del numerador del dividendo por
el denominador del divisor y cuyo denominador es el
producto del denominador del dividendo por el numerador
del divisor.
• .6
5
12
10
43
52
5
4:
3
2==
⋅
⋅=
7~P
LVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 21 y 22propuestos en el libro de actividades.
PRODUCTO
3
2
3
2de
2
1
.3
2de
2
1
3
2
2
1=⋅
COCIENTE
una.cada4
1deresultando
2
1departesdoshaceres
2
1
.4
1
2
1
2
1=de
2
1
En ocasiones es posibleordenar a simple vista lasfracciones sin necesidad depasarlas a la forma decimal oa común denominador.
• De dos fracciones con elmismo denominador esmayor la de mayornumerador, ya que indicamayor número deunidades fraccionariasiguales:
3
2
3
6>
• De dos fracciones con elmismo numerador esmayor la de menordenominador, ya queindica igual cantidadpero de unidadesfraccionarias mayores:
3
7
8
7<
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Tema 2: Fracciones y porcentajes
60
Cantidad inicial × Decimal que indica el % = Cantidad final
La clave está en el cálculo o interpretación del decimal que
indica el porcentaje. Si es una cantidad entre 0 y 1 la
cantidad final es menor al 100% y se puede interpretar
como el cálculo directo de un porcentaje o como una bajada
de la diferencia hasta el 100%.
Si multiplicamos por 0’6 se puede interpretar como cálculo
de un 60% o también como una bajada de un 40%, pues
100% – 60% = 40%.
Si es una cantidad mayor que 1 la cantidad final es mayor al
100% y se puede interpretar como el cálculo directo de un
porcentaje o como una subida de la diferencia desde el
100%.
Si multiplicamos por 1’3 se puede interpretar como cálculo
de un 130% o también como una subida de un 30%, pues
130% – 100% = 30%.
7~PLVPR
• Frecuentemente lo que tenemos que calcular no es la
cantidad final sino, la cantidad inicial o el porcentajeaplicado. En estos casos usaremos las siguientes divisiones:
o
Para saber cuál era el precio de un artículo que tras
aplicarle una rebaja del 30% cuesta 45’60 ¼
procederemos:
1. El decimal correspondiente al cálculo directo de
una bajada del 30% es 0’7 pues calcula
directamente el 70% resultante de la rebaja.
2. Aplicamos la fórmula en la forma
3. CI = 45’60 : 0’7 = 65’14 ¼
CI · Decimal % = CF
Decimal % = CF : CI
CI = CF : Decimal %Una multiplicaciónse relaciona con dos
divisiones
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 26 y 27propuestos en el libro de actividades.
CI = CF : Decimal %
Decimal
correspondiente
al porcentaje
Entre 0 y 1
Menos de 100%
0’7 ≅ 70 %
Mayor que 1
Más de 100%
1’2 ≅ 120 %
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Tema 2: Fracciones y porcentajes
68
8W
LOL]DPRVOD.DO.XODGRUD• Tecla SHIFT
Aparece en algunas calculadoras para activar las funciones uoperaciones que no aparecen sobre la tecla, sino en elexterior y normalmente con otro color.
Si encima de la tecla aparece la función x 2 , para activar
esta segunda es necesario oprimir esta tecla con antelación.
• Tecla ab/c
Permite utilizar fracciones en la calculadora. Es una teclaque no aparece en todas las calculadoras.
Para introducir en la calculadora 4/5 tecleamos:4 a b/c 5
• Tecla %
Ayuda a calcular porcentajes en algunas calculadoras.
Junto con las teclas + y - aumenta o disminuye el
porcentaje a la cantidad inicial.
• Tecla º ´ ”
Convierte las horas minutos y segundos sexagesimales enhoras con decimales.
Para pasar a decimal 12h 30’45”usaremos la secuencia:
12 º ´ ” 30 º ´ ” 45 º ´ ”
La calculadora devolverá en su pantalla:
12.5125 , que es la expresión en horas con decimales.
Podemos utilizarla después de la tecla SHIFT para hacer el
cambio recíproco, de horas con decimales a horas, minutosy segundos sexagesimales.
Si ahora sobre el número anterior seleccionamos
SHIFT º ´ ”
La calculadora muestra:
12 º 30 º 45, expresión en forma sexagesimal.
Calculamos 12% de 50 5 0 × 1 2 %
Aumento del 12% a 50 5 0 × 1 2 % +
Bajada del 12% a 50 5 0 × 1 2 % -
Otra opción:multiplicar por el
decimal
correspondiente.
En el ejemplo
0’12, 1’12 y 0’88respectivamente.
Si nuestra calculadoratiene la función x
ysobre la
tecla × , para calcular elvalor de 5
7, teclearemos:
5 SHIFT × 7
La pantalla
muestra:4 ↵ 5
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Tema 2: Fracciones y porcentajes
69
1RRROYLGHV
•
El euro es la moneda del sistema monetario europeo.
• Las relaciones “ser múltiplo”/”ser divisor” son recíprocas.
cUn múltiplo de un número se obtiene multiplicando este número por cualquier otroque no sea cero.
cUn número es divisor de otro si lo divide exactamente.
• Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes formas de expresar cantidades,incluyendo las que no sean exactas.
• Las operaciones con fracciones se pueden reducir al cálculo con decimales o se puedenrealizar de forma fraccionaria.
• Fracciones equivalentes son las que expresan la misma cantidad.
• Se puede simplificar una fracción dividiendo numerador y denominador por el mismonúmero hasta obtener una fracción irreducible equivalente.
• Los cálculos que implican porcentajes se simplifican utilizando el decimal o “tanto poruno” correspondiente.
• Los divisores de la unidad de tiempo “hora”se pueden expresar en el sistema sexagesimal( h ’”) o en el sistema decim al ( ´ ) .
c1’= 60’’
c1 h = 60’
• Existen otras unidades de tiempo.
CI · Decimal % = CF
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Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
77
4. Para resolver problemas de proporcionalidad inversa tambiénpodemos utilizar cualquiera de los dos métodos anteriores.
Una vez reconocida la proporcionalidad inversa viendo que aldisminuir a la mitad una magnitud la otra pasa a ser el dobleresolvemos:
Reducción a la unidad. Calculamos lo que corresponde a unaunidad de la magnitud que tenemos como dato, y luegomultiplicar por el número de unidades que nos está pidiendo.
Regla de tres inversa. Construimos la proporciónx
c
b
a=
sabiendo que una de las razones debe estar invertida.
7~PLVPR
En el ejemplox
5'2
12
5= o bien
x
12
5'2
5=
. En ambos casos
5 12 2 5 5 30⋅
=
⋅ ⇒ ⋅=x x' .
Dividimos ambos lados de la igualdad por 5 con lo que
ambos términos seguirán siendo iguales
65
30
5
5=⇒=
⋅ x
x ¼
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios del 1 al 9propuestos en el libro de actividades.
Si un coche viaja a 30 km/h y tarda 45 minutos en recorrer
una distancia, ¿cuánto tardará en recorrer la misma
distancia a 20 km/h?
En el ejemplo, si el coche viajase a 1 km/h tardaría
45 · 30 = 1.350 minutos. Ahora yendo a 20 km/h deberá tardar 20 veces menos,
5'6720:350.1 = minutos.
En el ejemplo, la primera razón corresponde a la
velocidad,20
30 , y la segunda será el tiempo,
x
45. Como son
magnitudes inversamente proporcionales debemos invertir una de las fracciones para formar la proporción:
.45
30
20
x=
Aislando la x como hicimos anteriormente,
5'6720
350.1350.120 ==⇒= x x minutos.
Cuando las magnitudes son
inversamente
proporcionales se debemantener constante el
producto de las
magnitudes.
.5'6720
350.1
350.120350.13045
==
↓
=⋅→=⋅
x
x
Si para llenar un depósitode combustible hemosutilizado 32 veces unrecipiente de 12 litros¿Cuántas veces usaremosuno de 48 litros?El nº de veces y el tamañode los recipientes sonmagnitudes inversamenteproporcionales.
En el ejemplo del depósito
deberá conservarse el pro-ducto, por tanto:
.848
384
384483841232
==
↓
=⋅→=⋅
x
x
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Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
79
3. El tanto por mil es el número de unidades de la primeramagnitud que corresponden a 1.000 unidades de la otra.
En el mundo real nos encontramos frecuentemente concualquiera de estas tres expresiones, y debemos saber comoutilizar cualquiera de ellas y como cambiar de unas a otras.
7~PLVPR
333... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS RRREEEPPPAAARRRTTTOOOSSS
En ocasiones en la vida real debemos repartir cantidades en función de las inversionesrealizadas por cada una de las personas que invierten en un negocio, sorteo o cualquier otro
tipo de actividad que necesite una asociación. Estos problemas se resuelven utilizando laproporcionalidad.
$SUH
QGDPRVSUD.
WL.DQGR
1. Otro problema de proporcionalidad que aparece confrecuencia en nuestras vidas es el hacer repartosproporcionales o prorrateos. Estas situaciones aparecencuando hay que repartir adecuadamente una cantidadteniendo en cuenta las cantidades inicialmente impuestaspor cada uno de los que reciben el reparto.
La razón 2 de cada 5 anterior expresada en tanto por mil
es:
400000.15
2=× ‰.
Porcentaje Proporción Fracción Tanto porUno Tanto pormil
25% 25 de 1004
1
100
25=
0’2500
0250
80% 80 de 1005
4
100
80=
0’800
0800
33% 33 de 1003
1
100
33≈
0’3300
0330
20% 20 de 1005
1
100
20=
0’2000
0200
El crecimiento vegetativode un país es la diferenciaentre la tasa de natalidad yla de mortalidad durante unaño. Normalmente es unacantidad muy pequeña paraexpresarse en tantos porcien y se utilizan los tantospor mil.En 1997 España tuvo uncrecimiento vegetativo de
0’05% = 0’5‰
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 10, 11, 12 y13 propuestos en el libro de actividades.
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Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
80
Para aprender a hacer estos repartos veamos un ejemplo.
Para hacer estos prorrateos tenemos dos posibles métodosde trabajo:
• Hallando inicialmente la razón de cada uno respecto altotal en las cantidades inicialmente impuestas.
A continuación aplicamos que el reparto debe ser paracada uno directamente proporcional a la razón inicial.
Cuatro amigos rellenan un boleto de lotería pero cada
uno pone una cantidad diferente:
Alejandro 9 ¼
Ainhoa 6 ¼
Marta 18 ¼
Paula 12 ¼
El día del sorteo tienen la fortuna de recibir un premio
de 90.000 ¼ que deben repartir de manera justa. Es
decir, teniendo en cuenta la inversión inicial que cada
uno de ellos realizó.
Total inicial = 45121869 =+++
Razones iniciales de cada uno:
Alejandro Æ 45
9
Ainhoa Æ 45
6
Marta Æ 4518
Paula Æ 45
12 .
AlejandroÆ
∈=
⋅=
⋅=⋅⇒=
000.18
45
000.909x
000.909x45000.90
x
45
9
AinhoaÆ 000.1245
000.906
000.9045
6=
⋅=⇒= x
x ¼
MartaÆ 000.3645
000.9018
000.9045
18=
⋅=⇒= x
x ¼
PaulaÆ 000.2445
000.9012
000.9045
12=
⋅=⇒= x
x ¼
Las peñas de quinielasreúnen el dinero devarios clientes para poderhacer una quiniela conmuchas combinaciones.De salir premiada debe
ser repartido el premioproporcionalmente a lainversión de cada uno delos apostantes.
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Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
82
444... TTTRRRAAABBBAAAJJJAAAMMMOOOSSS CCCOOONNN EEESSSCCCAAALLLAAASSS
Una aplicación muy importante de la proporcionalidad es el uso de escalas en planos ymapas. Se utilizan para expresar cuantas veces ha sido reducida o ampliada la realidad paraser representada sobre un plano o un mapa.
1R.LRQHVEiV
L.DVGHHHV.
DODV...
• La escala realmente es la razón entre el dibujo y la realidadexpresando ambas magnitudes en las mismas unidades.
alidadRe
PlanoE =
$SUHQGDPRVSUD.W
L.D
QGR
1. Con este plano que está a escala vamos a calcular algunasdistancias y las vamos a transformar en sus correspondientesen la realidad
Plano a escala 1:100
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Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
83
Por tanto para convertir cualquier medida del plano en sucorrespondiente real aplicamos que la escala y el cocienteentre la medida del plano y su correspondiente real sonforman una proporción directa.
Para hallar el resto de medidas podemos seguir aplicandoesa relación de proporcionalidad pero el proceso será ahoramás sencillo: Tomamos cada una de las medidas sobre el
plano y dividimos por la escala. En realidad si el numeradorde la escala es 1, esto es equivalente a multiplicar por el
denominador, ya que si la escala es D
E 1
= y las longitudes
de un objeto sobre el plano y en la realidad son P L y R
L
respectivamente, tendremos que:
.1
1: D L
D L
D L L P
P R R ⋅=
⋅==
a) Justifica que 1 cm. del plano equivale a 100 cm. de la
realidad.
b) Averigua las dimensiones reales del salón y de la
habitación de matrimonio.
c) Calcula las dimensiones del sofá y de la cama.
Compáralas con las dimensiones de los que tienes en
tu casa o piensas poner.
d) Encuentra el tamaño que tendrán en el plano una
alfombra y una cama que te han gustado y de las que
conoces sus medidas.
Alfombra Cama
Largo 2’3 m. 2’1 m.
Ancho 2 m. 1’5 m.
a) En nuestro ejemplo esto significa que cada cm. del
plano son 100 cm reales lo que equivale a 1 m.
b) En nuestro ejemplo las dimensiones del salón y de la
habitación medidas sobre el plano son:
Salón Habitación
Largo 6 cm. 2’6 cm.
Ancho 3’5 cm. 3’4 cm.
Por tanto las medidas reales se obtendrán dividiéndolas
por la escala (100
1 ) o multiplicando por 100.
Salón Habitación
Largo 600 cm. 260 cm.
Ancho 350 cm. 340 cm.
PlanoÆ RealidadLReal =LPlano × DEscala
En ocasiones se utilizaotro método paraindicar cual es la escala
E = 1 : 100.
Consiste en dardirectamente sobre elplano la longitud quetendría un metro:
1 m.
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Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
84
2. Ocasionalmente podemos encontrarnos con planosdonde los objetos están ‘desproporcionados’ con el finde aparentar que el salón o el dormitorio son másamplios de lo que son realmente. Estas situacionesdebemos reconocerlas y lo haremos aplicando la escalaa las dimensiones de estos objetos para comparar conlas de los que queremos colocar.
3. Otras veces antes de comprar algunas cosas nos interesasaber si encajarán bien en nuestra casa. En estos casosdisponemos de medidas reales de las cosas y debemostrasladarlas al plano. Este proceso podemos hacerlonuevamente aplicando proporciones o bien:
A las medidas reales debemos aplicar la escala(multiplicar por E) o dividir por el denominador de laescala si su numerador es 1.
Normalmente estas medidas las usamos en metros para
no tener números tan grandes:
Salón Habitación
Largo 6 m. 2’6 m.
Ancho 3’5 m. 3’4 m.
c) Si medimos las dimensiones del sofá y de la cama
que hay en el plano obtenemos:
Plano Sofá Cama
Largo 17 mm. 18 mm.
Ancho 7 mm. 13’5 mm.
Multiplicando por 100 (denominador de E) para tener
las medidas reales resultan:Realidad Sofá Cama
Largo 1.700 mm. 1.800 mm.
Ancho 700 mm. 1.350 mm.
Medidas que usualmente pasaremos a metros (:1.000)Realidad Sofá Cama
Largo 1’7 m. 1’8 m.
Ancho 0’7 m. 1’35 m.
Ahora podemos comparar con los objetos que tenemos.
d) Considerando las medidas reales de nuestros objetos
Realidad Alfombra Cama
Largo 2’3 m. 2’1 m.
Ancho 2 m. 1’5 m.
m.
dm.cm.mm.
Subir 2 lugaresÆ Dividir por 100.
RealidadÆ PlanoLPlano = LReal : DEscala
Tanto el sofá como la
cama son pequeños
por lo que resultará
más cómodo tomar
sus medidas en
milímetros que en
centímetros.
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Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
86
25.000
1=
E
0 100 km
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Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
87
En ocasiones la escala no viene expresada en formanumérica, sino gráficamente, lo que puede resultar muycómodo. Para hallar la distancia real entre dos puntos delmapa basta ver cuántas unidades de la escala hay entre ellos.
También podemos convertir la escala gráfica en numéricamidiendo la longitud de cada unidad gráfica en centímetrosy estableciendo nosotros el cociente,
RealidadenMedida
cm.enMedidaE = .
Una señal que viaja a la velocidad de la luz, 300.000 km/s yque debe hacer un recorrido determinado forma unaproporción directa considerando las razones entre ladistancia recorrida y el tiempo empleado en cada ocasión.
Cuando tenemos el plano de una ciudad también puede serútil la escala para hallar las distancias reales entre lugaresque nos parezcan interesantes.
7~PLVPR
a) Midiendo con una regla pero teniendo en cuenta las
unidades de la escala gráfica vemos que:
Distancia Roma-Florencia ≈ 210 km.
Distancia Florencia-Venecia ≈ 310 km.
b) En nuestro caso como al duplicar los kms. se
duplicarían los segundos que tarda podemos afirmar que
estas magnitudes están en proporción directa. Por tanto,
como la distancia total es 210 + 310 = 560 km tendremos
.002'0...001866'0000.300
1560560
1
000.300 s x
s x
km
s
km ≈×=
c) Para saber si determinados desplazamientos podemos
hacerlos andando o vamos a necesitar un medio de
transporte es conveniente hallar las distancias entre los
lugares que nos interesa visitar. Midiendo en el plano la
distancia entre esos lugares obtenemos
Plano E =1:25.000 RealidadColiseo-Fontana 6 cm. Æ × 25.000 150.000 cm = 1’5 km
Fontana-Vaticano 10 cm. Æ × 25.000 250.000 cm = 2’5 km
Ahora cada uno decide según sus posibilidades o ganas el
medio de transporte que va a utilizar.
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 17 a 21propuestos en el libro de actividades.
Habitualmente sellaman Mapas a lasrepresentaciones de larealidad con muchareducción, es decir conescalas inferiores a1:10.000.
En cambio si lareducción no es tan
grande, escalas supe-riores a 1:10.000 sesuelen llamar Planos.
100 m
0 500 1.000
40.000
1
cm10.000
cm5'2
m100
cm5'2E ===
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Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
88
8W
LO
L]DPRVOD.DO.XODGRUD
A veces en trabajos científicos o cuando trabajamos con escalasaparecen números muy grandes o muy pequeños. Tanto queincluso pueden llegar a no caber en la calculadora.Algunas calculadoras sólo admiten 8 dígitos y otras 10.
Para permitirnos escribir estos números tan grandes lascalculadoras disponen de una tecla específica:
EXP.Esta tecla utiliza lo que en Matemáticas se llama notacióncientífica de números.
Se trata de escribir los números con todas las cifras menos laprimera como decimales y multiplicarlos por una potencia de 10que indica las posiciones que debería moverse la coma.
Por ejemplo 1.000.000.000.000 = 1×1012.
7~PLVPR
¿Qué ocurre si una medida sobre un dibujo es de 149 mm y
su escala es 1:1.000.000.000.000? ¿cómo podemos escribir
ese número en la calculadora?
En la calculadora para escribir 1×1012 pulsamos 1 EXP 12.
( La tecla EXP abrevia la escritura del×
y del 10).Para resolver el ejemplo inicial introducimos en la
calculadora:
149 × 1 EXP 12 =.
La calculadora mostrará en pantalla el siguiente resultado:
1.49 14
lo que equivale al número 1’49 ×1014o, lo que es lo mismo,
149 seguido de 12 ceros (catorce menos los dos lugares que
ocupan el 4 y el 9), es decir
149.000.000.000.000
Las medidas muy pequeñastambién se expresan connotación científica peroutilizando potencias de 10con exponente negativo.Estas potencias de 10indican que la coma debemoverse hacia la izquierdatantas posiciones comoindica el exponente, por loque, el número será cadavez más pequeño.
− Pulgas ≈ 10-3 m.− Células ≈ 10-5 m.− Virus ≈ 10-7 m.− Moléculas ≈ 10-9 m.− Átomos ≈ 10-11 m.
Una célula normal mide1×10-5 m de diámetro. El“-5” indica que hay quemover la coma hacia laizquierda 5 posicionesresultando 0’00001 m.
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 22 y 23propuestos en el libro de actividades.
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Tema 3: Proporcionalidad y Escalas
89
1RRROYLGHV
• Dos figuras decimos que son semejantes si los lados correspondientes de ambas estánsiempre en la misma proporción.
• Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por unacantidad determinada la otra magnitud debe multiplicarse por la misma cantidad.
• Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por unacantidad determinada la otra magnitud debe dividirse por la misma cantidad.
• En una proporción siempre el producto de medios es igual al producto de los extremos.
• Para resolver problemas de proporcionalidad directa o inversa podemos hacerlo de
dos maneras:Reduciendo a la unidad, es decir, hallando la cantidad que corresponde a una unidad
de la otra magnitud y luego multiplicando o dividiendo por el número de unidades.
Construyendo una regla de tres, dando lugar a una proporción que se resuelvemultiplicando en cruz.
• Los porcentajes, los tantos por mil y los tantos por uno son razones cuyosdenominadores son 100, 1.000 y 1 respectivamente. Pueden hallarse utilizando laproporcionalidad de estas razones con la que necesitemos.
• Para repartir una cantidad entre varias personas también podemos hacerlo de dos formas:
Hallando las razones iniciales de cada inversor con el total y luego establecerproporciones directas con las cantidades finales de cada uno.
Calculando el tanto por uno de cada inversión inicial y multiplicando esos valorespor el total a repartir.
• La escala de un plano es la razón entre cualquiera de sus medidas y la correspondiente real.
Para pasar medidas del plano a la realidad dividimos por la escala, aunque si éstatiene numerador 1, esto equivale a multiplicar por el denominador.
Para pasar medidas reales a un plano multiplicamos cada medida por la escala o
dividimos por su denominador si el numerador es 1.
• La notación científica permite expresar cómodamente números grandes y pequeños:
Para expresar un número en notación científica dejamos una única cifra delante dela coma y ponemos como exponente de 10 el número de lugares que debe desplazarsela coma para expresar dicho número en forma decimal. Si el desplazamiento de lacoma debe ser hacia la derecha el exponente será positivo y si debe ser hacia laizquierda será negativo.
Para expresar en forma decimal un número de notación científica desplazamos lacoma tantos lugares como señala el exponente, siendo este desplazamiento hacia laizquierda si el exponente es negativo y hacia la derecha si es positivo.
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Tema 4: Gráficas
92
111... CCCOOONNNSSSTTTRRRUUUIIIMMMOOOSSS GGGRRRÁÁFFFIIICCCAAASSS.........
Antes de comenzar has de conocer el vocabulario básico del tema.
1R.
LRQHVEiVL.
DVGHJUiIL.DV
Para representar datos o resultados relativos al estudio de dosmedidas o magnitudes se utilizan frecuentemente lo quellamamos ejes coordenados o cartesianos. Estos son dos rectas
numéricas perpendiculares entre sí que se cortan en el valor 0 ysobre las que se especifica una graduación o escala cuyosvalores aumentan de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba.El plano sobre el que se sitúan los ejes queda así dividido en 4zonas llamadas cuadrantes.
Al representar los ejes destacan:
• Origen de coordenadas que es el punto donde se cortanambos ejes y se representa por O.
• El eje horizontal se llama eje de abscisas y frecuentementese representa por OX.
• El eje vertical se llama eje de ordenadas y suelerepresentarse como eje OY.
• A cada punto P del plano le corresponden dos números ( x,y)a los que se llama coordenadas cartesianas de P. Estaasignación es lo que llamamos sistema de coordenadas. Laprimera coordenada de P, x, se llama abscisa e indica eldesplazamiento horizontal respecto al origen. La segundacoordenada, y, se le llama ordenada e indica eldesplazamiento vertical respecto al origen .
• Cada cuadrante tiene los puntos caracterizados por los signos
de sus coordenadas:• Primer cuadrante: ambas coordenadas son positivas.
• Segundo cuadrante: la primera coordenada esnegativa y la segunda positiva.
• Tercer cuadrante: ambas coordenadas son negativas.
• Cuarto cuadrante: la abscisa es positiva y laordenada negativa.
Dos rectas sonperpendiculares cuandolos ángulos que formanentre sí son rectos.
1
ordenada
Origen decoordenadas
abscisa
1-1
3
-2-3
-1-2
-3
2 3
2
0
Cuadrante I(+,+)
Cuadrante II(-,+)
Cuadrante III(-,-)
Cuadrante IV(+,-)
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Tema 4: Gráficas
94
A continuación deberemos trasladar los puntos (doscoordenadas) a los ejes, asignando a la abscisa, primeracoordenada, la posición correspondiente sobre el eje OX y a laordenada o segunda coordenada la posición correspondientesobre el eje OY.
Muchas veces la situación que se nos presenta es la inversa, losdatos aparecen representados en una gráfica y necesitamos
saber sus coordenadas.
María (M) tiene por coordenadas Æ (5,1)
Aitana (A) Æ (5,0’5) Isabel (I) Æ (8,1’5)Sergio (S) Æ (10,1)
Raúl (R) Æ (10,2)
Al representar sobre los ejes obtenemos
T(min)
Coste( ¼
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0’5
1
1’5
2
O
A(5,0’5)
S(10,1)
I(8,1’5)
R(10,2)
M(5,1)
En el ejemplo anteriortenemos:
1ºaño 541Æ(1,541)
2ºaño 721Æ (2,721)
3ºaño 1.080Æ (3,1.080)
4ºaño 1.320Æ (4,1.320)
5ºaño 1.563Æ (5,1.763)
400800
1.2001.600
2.000
21 3 4 5
Vodafone,Movistar,
Amena, …
Dibujando los ejes quedan
T(min)
Coste( ¼
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0’5
1
1’5
2
O
Vodafone,Movistar,
Amena, …
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Tema 4: Gráficas
95
Éstas se pueden obtener proyectando perpendicularmente sobrelos ejes y observando la posición que ocupa.
En algunas ocasiones aparecen valores negativos para alguna delas dos variables, elemento que debemos tener en cuenta a la
hora de representar los ejes y elegir su escala.
Laura (L) marca en eleje de abscisas 7 y en elde ordenadas 2. Por tanto sus coordenadasson (7,2).
Las coordenadas dePaula (P) son (3,0’5).
Si en el ejemplo anterior aparecen dos nuevos puntos Paula(P) y Laura (L), podemos conocer sus coordenadas
proyectándolos sobre los ejes:
T(min)
Coste( ¼
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0’5
1
1’5
2
O
A(5,0’5)
S(10,1)
I(8,1’5)
R(10,2)
M(5,1)
P
L
En la comarca de Els Ports han tomado las temperaturas alo largo de un día del mes de Febrero obteniendo
Hora 0 4 8 12 16 20
T(ºC) - 6º C - 4º C - 1º C 6º C 4º C - 3ºC
Para representar la gráfica de esta tabla consideraremos eltiempo como variable independiente puesto que vacambiando por sí mismo independientemente de que la
temperatura suba o baje. Además elegimos que la escala deese eje aumente de 4 en 4 horas.
En cambio la temperatura va variando a medida quecambiamos la hora del día y por esta razón laconsideramos como la variable dependiente.
Por otra parte el valor más alto es 6ºC y el más bajo es –6ºC por lo que el eje vertical debe alcanzar valoresnegativos. Si decidimos tener 3 tramos en este eje laescala debe ser 6 : 3 = 2ºC.
La gráfica tiene cuatro puntos en el cuarto cuadrante y sólo
dos en el primero.
-6
- 4
- 2
2
4
6
0 4 8 1 2 1 6 2 0t (h)
T (ºC)
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Tema 4: Gráficas
96
$SUHQGDPRVSUD.WL.DQGR
1. Vamos a hacer representaciones gráficas a partir de tablas devalores que emparejan números.
En ocasiones las cantidades de una variable están agrupadasen torno a una cantidad muy alejada del origen decoordenadas. En estos casos suele indicarseen el gráfico esta situación haciendo unamarca de rotura en el eje correspondiente yhallando la escala con los valores más alto ymás bajo de la variable correspondiente.
En una ciudad de la comarca del Baix Vinalopó se miden lastemperaturas máximas durante 14 días de Mayo y se anotancada día.
Los resultados obtenidos son los siguientes
Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
T(ºC) 25 26 25 22 21 20 20 20 20 18 17 19 20 20
Para representar la gráfica de esta tabla consideraremos eltiempo como variable independiente puesto que vacambiando por sí mismo. Además elegimos la escala de eseeje con las catorce marcas, es decir de uno en uno.
En cambio la temperatura va variando a medida quecambiamos de día.
?
Con el ejemplo de los
sueldos podíamos poneren el eje de abscisas losaños 98 hasta 02.
400
800
1.200
1.600
2.000
9998 00 01 02
En nuestro ejemplo todas las temperaturas oscilan entre17ºC y 26ºC por lo que va a ser adecuado hacer unaractura del eje de ordenadas para que los valores de éste
comiencen cerca del 17ºC.
Si aceptamos que el eje de ordenadas tenga 5 divisionescomo la diferencia entre la medida más alta y más baja es de26 – 17 = 9ºC, la escala a utilizar debe ser 9 : 5 = 1’8.
Por aproximación consideraremos cada tramo de 2º ycolocaremos como primera marca en el eje la de 16º.
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Tema 4: Gráficas
99
Este tipo de representaciones arrancan desde el primer puntoy vamos subiendo o bajando la línea de la gráfica en funciónde lo indicado en el texto.
7~PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 1 a 6propuestos en el libro de actividades.
Inicialmente y durante lo dos primeros días semantienen los 40ºC, por tanto en todos los instanteshasta el día 2 la segunda coordenada será 40º C (primer tramo rojo).
t(días)
T(º)
1 2 3 4 5 6 7
36
37
38
39
O
40
El tercer día disminuye 2ºC
la temperatura (tramo azul),el cuarto día subió 1ºC
(tramo rojo), el quinto bajó1ºC (verde) y el sexto bajó
otro grado (rosa) permane-ciendo así la temperatura elséptimo día (gris).
Podemos ver en la gráficaque el paciente fue dado dealta con 37ºC.
La escala para el eje de abscisas se toma
de día en día entre 1 y 7, mientras que ladel eje de ordenadas varía de grado engrado, pero como la temperatura delcuerpo humano sólo puede oscilar entre36ºC y 40ºC haremos un corte en ese eje.
t(días)
T(º)
1 2 3 4 5 6 7
36
37
38
39
O
40
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Tema 4: Gráficas
103
• Por último decimos que una gráfica es constante mientrasmantenga el mismo valor de ordenada (ni sube ni baja).
$SUH
QGDPRVSUD.
WL.DQGR1. Observando una gráfica podemos deducir muchas cosas de
una forma rápida e intuitiva.
Con las nociones básicas estudiadas hasta ahora podemosanalizar este tipo de gráfica.
Son máximos de la gráfica aquellos puntos en los que suordenada es superior a las de los puntos que le rodean, y son
mínimos los que a su alrededor las ordenadas son mayores.
a) La gráfica es horizontal o constante a 40 m. de altura,entre los minutos 13 y 18. Por tanto ésta la altitud delnido en el que permanece durante 5 minutos.
Si el IPC fuese 0% laevolución del precio delas cosas podría venirrepresentado por unagráfica como la siguiente
tiempo
¼
Al mayor de todos losmáximos se le llama máximo absoluto y
al menor de losmínimos, mínimo
absoluto.
La gráfica que representa el coste de utilizar ‘Internet’
con tarifa plana respecto del tiempo es constante porquecuesta lo mismo utilicemos el tiempo que utilicemos.
tiempo(h)
Coste( ¼
30
O
Las gráficasconstantes sonhorizontales, es
decir, paralelas ale e de abscisas.
Un ave vuela paraalimentar a sus crías queestán en el nido.
La gráfica muestra laaltura a la que seencuentra en cada
instante durante 20minutos.
a) ¿A qué altura está el nido? (mientras está él la altura novaría? ¿Cuántos minutos está en él?
b) ¿En qué instante tiene la altura máxima y cuál es ésta? ¿Y la mínima?
c) ¿Cuántos metros baja para recoger la comida y cuántotiempo emplea para ello? ¿Podrías saber su velocidad dedescenso?
d) ¿Cuánto tiempo está subiendo? ¿Y bajando?e) ¿Tiene algún salto brusco la gráfica?
5 10 15 20
Tiempo(min)
Alt (m.)
20
30
40
O
10
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Tema 4: Gráficas
104
Si recordamos que una gráfica es decreciente cuando al avanzarlas abscisas sus correspondientes ordenadas van decreciendopodremos contestar al apartado c).
Todos los periodos de tiempo en los que la gráfica sube alavanzar hacia la derecha decimos que son tramos crecientes.
La gráfica tiene saltos si hay cambios bruscos de la variabledependiente para instantes muy próximos.
b) A los 8 minutos está a 50 m de altura que es laordenada más alta. Por tanto es un máximo.
Mínimos hay dos, uno al principio cuando t = 0 min. deordenada 30 m y otro a los 12 minutos de 0 m de altura.Éste último además se dice que es el mínimo absoluto
porque es el más bajo de todos ellos.
d) Sube desde el instante inicial hasta los 8 minutos yvuelve a subir entre los 12 y los 13 minutos. En esostramos la gráfica es creciente, en total durante 9minutos. Análogamente deducimos que es decrecientedesde los 8 hasta los 12 y de los 18 hasta los 20, es decir,un total de 6 minutos.
e) En este ejemplo no hay ningún salto puesto que esteindicaría un cambio instantáneo de la altura, cosa queno es posible.
La altura de un niño vaaumentando con el pasodel tiempo. Su gráfica escreciente.
c) Baja desde los 50 m hasta el suelo (0 m) entre los 8 ylos 12 minutos, es decir, tarda 4 minutos. Por tanto entre
los 8 y los 12 minutos la gráfica es decreciente. Tambiénlo es en el último tramo desde los 18 hasta los 20minutos.
El precio de un coche vadisminuyendo con elpaso del tiempo. Su
gráfica será decreciente.
Podemos calcular la velocidad de descenso hastael suelo tarda 4 minutos en hacer 50 m. Por tanto
50 m ÷ 4 min = 12’5 m / min.
Suponiendo que un móvil llevavelocidad constante (v) en su
desplazamiento (e) y que tarda undeterminado tiempo (t), se cumple:
t
ev =
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Tema 4: Gráficas
105
2. En la vida real un gráfico muestra casi a simple vistaposibles situaciones anómalas
Utilizando nuevamente las nociones básicas de esta secciónpodemos analizar cualquier gráfica.
7~PLVPR
a) Inicialmente podemos ver que el volumen de aire
contenido en los pulmones es casi de 1’5 l.b) El máximo es de 4 litros y se alcanza a los 5 segundosde la espirometría.c) El periodo de inspiración es el periodo de tiempo en elque el volumen de aire en los pulmones se incrementa, esdecir cuando la gráfica es creciente; entre los 0 y los 5segundos. Recíprocamente la espiración es cuando elvolumen disminuye y por tanto entre los 5 y los 12segundos en los que la gráfica es decreciente.d) Una espirometría más achatada indicaría poca
capacidad de inspiración y debería ser revisada por unmédico.En cambio más pequeña significaría pulmones más
pequeños que no tiene porqué ir directamente relacionadocon un mal funcionamiento.
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 7 a 15propuestos en el libro de actividades.
En la siguientegráfica el primer y elúltimo tramo son
crecientes, el segundoes decreciente y eltercero es constante.
Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones seinspira todo lo posible y después se espira tan rápidocomo se pueda en un “espirómetro”. Al realizar unaespirometría se obtiene la gráfica:
a) ¿Cuál es el volumen inicial?
b) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones?
c) ¿Cuánto tiempo dura la inspiración?¿Y la espiración? ¿Cómo es (creciente o
decreciente) la gráfica en cada una deesas situaciones?
d) ¿Considerarías normal que una persona tenga el gráfico de su espirometría másachatada? ¿Y más pequeña pero con la misma forma?
t (s.)4 8 122 6 10
Vol (l.)
2
3
4
O
1
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Tema 4: Gráficas
109
7~PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 22del libro de actividades.
En nuestro caso cuando seleccionemos el tipo de gráfico ‘Líneas’ podemosmarcar la opción de ‘líneas y puntos’ que aparece en cuarta posición.
A continuación marcamos ‘Terminar’ y aparecerá el gráfico:
Podemos observar:
¾Presenta un mínimo en el cuarto mes.¾Es decreciente hasta el cuarto mes y creciente a partir de él.
0
50 0
1000
1500
2000
2500
3000
1 2 3 4 5 6
Serie1
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Tema 4: Gráficas
110
1RRROY
LGHV
•
Los ejes coordenados son perpendiculares entre sí y el horizontal se llama eje de abscisasy el de ordenadas es el vertical.
• Cada punto tiene dos coordenadas, la primera indica la abscisa y la segunda la ordenada.
• La variable independiente se representa en el eje OX y son los valores que no sonmodificados por los valores de la otra magnitud.
• Los valores que varían al cambiar la otra magnitud se dice que son de la variabledependiente y se representan en el eje de ordenadas.
• La escala de cada eje debe elegirse de forma que quepan todos los valores en el eje y que
la separación entre cada marca sea la misma.
• Los máximos y los mínimos de una gráfica son los valores donde a su alrededor la gráficaestá por debajo o por encima respectivamente.
• Si al avanzar en el eje de abscisas la gráfica también sube en ordenadas se dice que escreciente, y si baja es decreciente. Si no sube ni baja se dice que es constante.
• Podemos analizar gráficas simultáneas. Para ello normalmente lo más importante es ver laevolución de una frente a la otra.
•
Las hojas de cálculo en los ordenadores personales permiten hacer con gran rapidezrepresentaciones gráficas.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
112
El segundo tema que vas a estudiar en esta unidad, es la Probabilidad, que va ligado al azar y
a la incertidumbre y pretende cuantificar o medir la posibilidad de que sucedan cada uno de
los posibles resultados de una
experiencia concreta y, enconsecuencia, tomar unas
decisiones u otras.
Así, si sabemos que la probabilidad de que lluevael martes en Mallorca es mayor que la de que lo
haga el lunes, planificaré mi excursión para este
último.
(
QHV
WHWHPDYDVDD,SUHQGHU
• A identificar e interpretar informaciones estadísticas queencuentres en medios de comunicación, en facturas
(compañía hidroeléctrica, de telefonía,…), o en otros
aspectos de tu vida cotidiana.
• A diferenciar lo seguro y cierto (un objeto cae al suelo si
nada lo sujeta) de lo imprevisible (cuando un día está
nublado puede que llueva, pero no es seguro) y a cuantificar
la inseguridad o incertidumbre de la ocurrencia de los
hechos imprevisibles.
$
QWHVGH
.RPHQ
]DU
...revisa las siguientes cuestiones que tendrás que utilizar:
• Porcentajes y proporcionalidad.
• Representación de datos en el plano y ejes
coordenados.
• Redondeo de números decimales.
• Operaciones con números enteros, decimales y
fraccionarios. Valor absoluto.
Con sólo un vistazo al
gráfico del recibo de
la luz podemos saber
si en una casa se usacalefacción de gas o
eléctrica, y cual es el
consumo medio de
una familia.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
114
La fiabilidad de las conclusiones dependerá en gran parte de la
muestra considerada. La manera ideal de tomar una muestra es
al azar, a partir de una lista numerada de toda la población,
respetando su composición.
Es frecuente la utilización de encuestas para la recogida de
información. Se trata de un proceso estadístico muy vulnerable
a los factores de sesgo sobre todos si los datos a recoger no son
objetivos sino de opinión.
Es importante considerar dónde, cómo y cuándo se realiza
una encuesta:
• La entrevista personal, aunque permite realizar
aclaraciones, puede coartar la sinceridad de las respuestas.
• Los entrevistadores de calle se dejan influir por el aspecto a
la hora de elegir a los entrevistados.
• El entorno que rodea al encuestado (en solitario, rodeado de
gente, en el trabajo, en familia,…) puede influir en las
respuestas.
• El momento también influye (la respuesta a una cuestión
sobre terrorismo puede variar si se realiza inmediata-mente
después de un atentado).
Otro elemento importante es la forma que se dé a las
preguntas, debiendo ser claras, precisas, no tendenciosas,…
• Variable. Es la característica de la población que queremos
estudiar que puede ser de los siguientes tipos:
a) Cualitativa: no puede tomar valores numéricos, no
medible.
b) Cuantitativa o numérica: medible. Si sólo puede tomar
valores aislados es discreta y si puede tomar todos los
valores de un intervalo se llama continua.
En nuestro caso los 50 alumnos han sido seleccionados
al azar teniendo en cuenta que no fueran todos del
mismo centro, ni del mismo nivel, sexo, edad,…
En nuestro estudio el curso que les interesa no puede
ser expresado con un valor numérico.
En nuestro caso el tiempo semanal dedicado a la
ormación y contabilizado en horas completas es una
variable cuantitativa discreta y las edades de los
alumnos es cuantitativa continua pues pueden tomar
cualquier valor comprendido entre la edad más
pequeña y la mayor.
El color de los coches es
una variable cualitativa.
El número de hijos de un
número de familias es
cuantitativa discreta.
La inversión mensual
realizada en euros por
una biblioteca a lo largo
de 5 años es una variable
cuantitativa continua,
pues, al menos en teoría,
puede tomar cualquier
valor y no solo valores
aislados como en el
ejemplo anterior.
Si en una determinada
zona queremos realizar
una encuesta de opinión
pública, la elección de la
muestra no se podría
realizar:
- Entre los padres de un
centro escolar: se
restringe al estrato social
de los mismos.
- Visitando domicilios al
azar por la mañana: se
marginaría a la
población trabajadora.
- Llamando a teléfonoselegidos al azar: se
marginaría a los
abonados que no figurenen la lista,…
Variable estadística
Cuantitativa
Discreta
Cualitativa
Continua
Se llama intervalo al
conjunto de valores
comprendidos entre dos
extremos.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
115
• Frecuencia absoluta de un valor o simplemente
frecuencia. ( Fi ) de un valor es el número de veces que se
presenta en el total de observaciones.
• Frecuencia relativa. ( f i ) Es el cociente entre la frecuenciaabsoluta y el número total de individuos (N). Se
corresponde con el tanto por uno.
• Frecuencia porcentual o porcentaje. Se obtiene
multiplicando la frecuencia relativa por cien. Se
corresponde con la expresión de la frecuencia relativa en
tantos por cien.
$SUHQGDPRVSUD.
WL.DQGR1. Ante una determinada situación, de la que hay que obtener
información, se decide realizar un estudio estadístico.
2. Se elabora una encuesta con la que se recogerán los datos.
3.Recogida de resultados.
4.Confección de tablas estadísticas.
Realizamos el recuento del número que aparece cada uno delos valores de la variable o frecuencia absoluta.
Las cuestiones que se han formulado en nuestro estudio
han sido las siguientes:
1. Edad.
2. Si tuvieses la posibilidad de realizar un curso formativo
de Informática, te interesaría que tratase sobre:
a) Procesador de textos-WORD.
b) Base de datos-ACCESS.
c) Hoja de cálculo-EXCEL.
d) Introducción a Internet.
3. Horas semanales que podrías dedicar a esta
formación
Los nuestros han sido los siguientes:
1. 24, 18, 35, 20, 25, 18, 30, 21, 19, 18, 20, 35, 28, 33, 20,
18, 21, 24, 18, 19, 18, 20,20, 25, 27, 18, 29, 18, 40, 41,
33, 30, 31, 35, 20, 21, 18, 19, 47, 21,35, 22, 18, 30, 41,
20, 18, 25, 18, 18.
2. d), c), d), d), a), d), b), a), d), d), d), c), b), b), d), c), d),
d), d), d), b), a), a), d), c), b), b), d), a), c), c), a), d), d),
c), b), a), a), d), b), a), c), a), b), a), d), a), a), b), c).
3. 3, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2,
2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 1,
3, 1, 1, 3, 2, 2.
2. Edad: variable
cuantitativa continua.
3. Tipos de cursos:
variable cualitativa.
4. Tiempo semanal:
variable cuantitativadiscreta.
Word, Access,
Excel, Internet ?
1 hora, 2
horas...!!!
W
A
EI
13
10
9
18
Xi Fi f i %
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
116
Identificaremos a los posibles valores de la variable como
Xi y a los posibles valores de la frecuencia con Fi.
Elaboraremos una tabla donde la variable aparezca en orden
creciente.
A continuación completamos las tablas con el cálculo, para
cada valor de la variable, de la frecuencia relativa (f i) y la
porcentual (%)i.
Además, añadiremos una última fila con la suma total de
cada una de las columnas.
En nuestro caso, afectan a los datos sobre el tiempo y
el curso.
La tabla del tiempo quedaría
Tiempo (Xi) Frecuencia (Fi)
1 22
2 18
3 9
4 1
Del mismo modo la tabla del curso sería
Curso (Xi) Frecuencia (Fi)
WORD 13
ACCESS 10
EXCEL 9
INTERNET 18
En nuestro estudio la tabla de las edades es de datos
agrupados por tramos porque los valores pueden
variar desde 18 años hasta 47 años y 364 días
Edades (Xi) Frecuencia (Fi)
[18 - 24[ 28
[24 - 30[ 8
[30 - 36[ 10
[36 - 42[ 3
[42 - 48[ 1
Dependiendo del tipo
y cantidad de los
datos, los valores en
las tablas podrán
aparecer como:
Datos aislados. Se
utilizan cuando el
número de valores
que puede tomar la
variable es pequeño o
si se trata de una
variable cualitativa.
Datos agrupados entramos o intervalos.Cuando el número
de valores que puede
tomar la variable es
muy elevado o se
trata de una variable
continua se agrupanen tramos o interva-
los.
La frecuencia relativa de
cada valor se calcula:
f i = Fi / N
La frecuencia porcentual
se halla
(%) i = f i x 100
El valor 24 está incluido
en el segundo tramo
pero no en el primero, el
30 en el tercero y no en
el segundo y así
sucesivamente.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
117
En nuestro estudio las tablas completas quedarán así:
7~PLVPR
Tiempo(Xi)
Frecuencia(Fi)
F. Relativa(f i)
%
1 22 0’44 44
2 18 0’36 2
3 9 0’18 18
4 1 0’02 2
TOTALES N=50 1 100
Curso(Xi)
Frecuencia(Fi)
F. Relativa(f i)
%
WORD 13 0’26 26
ACCESS 10 0’20 20
EXCEL 9 0’18 18
INTERNET 18 0’36 36
TOTALES N= 50 1 100
Edades(Xi)
Frecuencia(Fi)
F. Relativa(f i)
%
[18-24[ 28 0’56 56
[24-30[ 8 0’16 16
[30-36[ 10 0‘2 20
[36-42[ 3 0’06 6
[42-48[ 1 0’02 2
TOTALES 50 1 100
Como N es el número
total de datos debe
coincidir con la suma
de las frecuencias.
Esto se puede expresar
así:
∑=
=
n
i
i N F 1
El signo sumatorio)
expresa que se ha de
realizar la suma de
todos los valores que
se indican con el
subíndice, desde 1
hasta n.
Observa que la suma
de las frecuencias
relativas da uno.
∑=
=
n
i
i f
1
1
Por la misma razón la
suma de todas las
frecuencias porcentua-
les da 100.
∑=
=
n
i
i
1
100%
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 1 propuesto en
el libro de actividades.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
120
• Pictogramas. Se representan los datos mediante dibujos
alusivos el tema estudiado. Se pueden realizar:
* Utilizando un dibujo de un tamaño y valor concreto,repitiéndolo las veces necesarias, hasta representar el valor
de cada frecuencia.
* Utilizando un solo dibujo para cada valor de la variable,
modificando el tamaño proporcionalmente según la
frecuencia.
Otros tipos de gráficos estadísticos que no son utilizables en
nuestro estudio pero son frecuentemente empleados en
Ciencias Sociales son:
• Cartogramas. Se utilizan cuando los datos vienen referidos
al estudio de áreas geográficas. En estos casos, sobre el
mapa de la zona estudiada, se representan los datos
utilizando diferentes colores o rellenos, de modo que a cada
uno le corresponde un intervalo de valores.
En nuestro estudio podemos representar las preferencias
por los cursos así:
WORD ACCESS EXCEL INTERNET
13 10 9 18
Comarcas
productoras de
uva de mesa
Comarcasproductoras de
uva de vino
Comarcas con poca
producción de uva
Æ13
Æ10
Æ
9
Æ18
Cuando el valor de la
variable se duplica, si
duplicamos todas las
dimensiones del dibujo
que la representa, el
volumen de éste queda
multiplicado por 8 y el
efecto óptico de creci-
miento que transmite es
mayor que el real.
Obsérvalo con los dibujos
correspondientes a los
valores de la variable 9 y
18.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
122
6.Una vez completa la tabla debemos calcular medidas o
parámetros estadísticos que nos den una información
resumida y global del conjunto de todos los datos. Esta
información puede estar referida a dos aspectos distintos y
da lugar a dos tipos de parámetros estadísticos:
• Parámetros o medidas centrales .
• Parámetros o medidas de dispersión.
Pasamos al estudio de cada una de estas medidas.
MEDIDAS CENTRALES
Números que intentan agrupar en uno solo a todos los que se
han obtenido del estudio estadístico, son: media, mediana y
moda.
• Media o media aritmética. Seguro que la has calculado
alguna vez para sacar la media de tus gastos (tratas de
utilizar un solo número que sea representativo de tus gastos)
o calcular lo que le corresponde pagar en una cena con tus
amigos a cada uno, si decidís pagar entre todos y a partes
iguales.
Para calcular la media se suman todos los datos y se divide
por el número total de éstos. Se representa por x .
Al utilizar operaciones aritméticas únicamente se puede
aplicar a estudios de variable cuantitativa.
En el caso de valores agrupados en intervalos, se tomará
para el cálculo el valor central del intervalo llamado marcade clase.
En nuestro ejercicio deberemos utilizar este recurso en el
apartado de las edades para no encontrarnos con
excesivas filas de datos:
Si tienes muchos datos agrupados por sus frecuencias la
primera parte del cálculo de la media se simplifica
multiplicando cada dato por su frecuencia y luego sumando
el resultado. Para facilitar este trabajo se suele añadir una
nueva columna a la tabla estadística.
Si los gastos de agua
de este trimestre
ascienden a 57 euros,
sabemos que todos
los meses no hemos
gastado la misma
cantidad de agua,
pero diremos que la
media de cada mes es
de 19 euros
193
57= ¼
Si consideramos el
intervalo [1’85 - 1’95[,
la marca de clase es la
media de los extremos:
.90'12
95'185'1=
+
[18-24[Æ (24+18) / 2 = 21
[24-30[Æ (24+30) / 2 = 27
[30-36[Æ (30+36) / 2 = 33
[36-42[Æ (36+42) / 2 = 39
[42-48[Æ (42+48) / 2 = 45
Calculemos la mediade la siguiente serie:
1,1,1,2,2,3,3
Podremos proceder así:
7
3322111 ++++++= x
o bien así:
7
232231 ×+×+×= x
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
123
• Mediana. Es el valor que ocupa la posición central después
de haber ordenado todos los valores, por esto sólo se puede
aplicar, igual que la media, en variables cuantitativas. Si el
número de valores es par se tomará como mediana a la
media de los dos valores centrales. Suele representarse por
Me.
Calculamos la media para las variables cuantitativas
de nuestro estudio. Añadimos la columna con los
productos X i · F i .
Tiempo(Xi)
Frecuencia(Fi)
Xi · Fi
1 22 22
2 18 36
3 9 27
4 1 4
TOTALES N=50 Σxi=89
x = =
89
50178'
Pasemos al estudio de las edades. En este caso
añadiremos dos columnas, una con las marcas de clase
y otra con los productos Xi · Fi.
Edades (Xi) Marca declase
Frecuencia(Fi)
Xi · Fi
[18-24[ 21 28 588
[24-30[ 27 8 216
[30-36[ 33 10 330
[36-42[ 39 3 117
[42-48[ 45 1 45
TOTALES N=50 Σxi=1296
92'2550
1296== x
1’7 8 no se corresponde
con ningún valor de lavariable ¡así es lamedia!
Fíjate que son mucho más
numerosos los alumnos
óvenes (28 alumnos de
21 años), pero como en el
cálculo de la media
intervienen todos losdatos, la media se
dispara a 25’92
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
124
• Moda. Es el dato que más se repite. Se puede aplicar en
todos los tipos de variables y es la única medida central que
se puede calcular si la variable es cualitativa. Se representa
como Mo.
Puede existir más de una moda en un mismo estudio.
Si los datos están agrupados por sus frecuencias se
corresponde con el dato que presenta mayor frecuencia.
Calculemos la mediana en nuestro estudio, en los datos
referidos a tiempos y a edades.
Al ser en ambos casos 50 valores, número par, habrá que
calcular la media de los valores que ocupen el 25º y 26º
lugar (24 datos a la derecha, 25 y 26 centrales, 24 datos a
la izquierda).
En el caso de los tiempos los primeros 22 valores son 1 y
del puesto 22 al 40 tienen valor 2, luego las posiciones
25ª y 26ª que nos interesan tienen ambas un valor de 2. La
mediana será la media de ambos valores
Tiempo
(Xi)
Frecuencia
(Fi)1 22
2 18
3 9
4 1
22
22=
+= Me
En el caso de los tiempos, tras un razonamiento similar,
concluiremos que la mediana toma un valor de 21, pueslos valores que ocupan los puestos 25º y 26º están en el
primer grupo de frecuencias. Me= [18-24[.
EdadesX
Marca declase
FrecuenciaF
[18-24[ 21 28
[24-30[ 27 8
[30-36[ 33 10
[36-42[ 39 3
[42-48[ 45 1
TOTALES N=50
En una oficina los
sueldos de 5 empleados
son:
700 ¼
700 ¼
800 ¼
1.000 ¼
7.500 €
La media es:
140.25
10700x ==
La mediana es:
Me = 800 ¼
Es evidente que en este
caso la mediana es más
representativa.
Si los sueldos son:
700 ¼
800 ¼
1.000 ¼
7.500 ¼La media es:
000.25
000.10x == ¼
La mediana será la media
de los dos valores
centrales:
9002
000.1800=
+= Me ¼
Media:*V. Cuantitativas.
*Tiene en cuenta todos
los datos.*Si hay datos extremos la
media no será muy
representativa.*Si no se puede calcular
la marca de clase,
tampoco se podrá
calcular la media.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
127
• Varianza y Desviación típica. Son valores que también
aportan información sobre el grado de separación de los
datos respecto a la media.
La desviación de cada dato a la media también se puede
medir utilizando el cuadrado de la distancia (xi -- )2. La
media de todas estas desviaciones es la varianza.
Una vez calculadas las desviaciones hay que calcular la media aritmética de todas
ellas. Para esto añadimos la columna del producto de las desviaciones (Di) por las frecuencias (Fi) , o sea, Di · Fi y la suma de todos estos productos en la casilla
inferior:
Tiempo (Xi) Frecuencia (Fi) Di = | Xi - x | Di · Fi
1 22 0’78 17’16
2 18 0’22 3’96
3 9 1’22 10’98
4 1 2’22 2’22
TOTALES N=50 Σ |xi - x | = 34’32
69'050
32'34== DM
Esto significa que los valores de los tiempos se separan una media de 0’69 horas de la
media obtenida para todos los datos.
De igual modo procedemos en el caso del estudio de las edades:
Edades (Xi) Marcas declase
Frec. (Fi) Di Di · Fi
[18-24[ 21 28 4’92 137’76
[24-30[ 27 8 1’08 8’64
[30-36[ 33 10 7’08 70’80
[36-42[ 39 3 13’08 39’24
[42-48[ 45 1 19’08 19’08
TOTALES N=50 Σ |xi - x | = 275’52
5104'550
52´275== DM
Esto significa que los valores de las edades se separan una media de 5’5104 años de
la media obtenida para todos los datos.
σ(sigma) x
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
128
Esta fórmula, mediante adecuadas transformaciones se
convierte en esta otra que simplifica mucho los cálculos:
En el cálculo de la varianza las unidades quedan elevadas al
cuadrado (m2
si se trata de longitudes, s2
si se trata de
tiempo, …).Para evitar esto se calcula la raíz cuadrada de la
varianza con lo que obtenemos otro parámetro llamado
desviación típica.
La ventaja es que se puede obtener directamente con la
calculadora científica. Este procedimiento te lo vamos a
explicar a continuación en el siguiente apartado.
N
f x x
N
x x x x x xVarianza
n
i
ii
i
∑=
−
=−++−+−
=1
2
22
2
2
1
)(()(...)()(
21
2
x N
f x
Varianza
n
i
ii
−
⋅
=
∑=
Varianzatípica Des =.
En nuestro estudio, la tabla para el cálculo de la desviación típica de los tiempos
aplicando la segunda fórmula necesitaría incorporar dos nuevas columnas y,
teniendo en cuenta que 78'1= x y que 1684'32 = x , quedaría:
Tiempo(Xi)
Frecuencia (Fi)
Xi· Fi Xi2· Fi
1 22 22 22
2 18 36 72
3 9 27 81
4 1 4 16
TOTAL N=50 191
6516'01684'350
191=−=Varianza
9'08972'06516'0. ≈==típica Des
De igual modo procederíamos en el caso del estudio de las edades.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
129
8WLOL
]DPRVOD.
DO.XODGRUD
No todas las calculadoras científicas funcionan de la misma
forma. Aquí te vamos a indicar los pasos que hay que seguircon la mayoría de ellas para trabajar la estadística. Si tu
calculadora no responde a estas órdenes debes consultar su
manual de funcionamiento o al profesor.
7~PLVPR
7. Conclusiones y toma de decisiones
Para empezar debemos saber poner la calculadora en
Modo Estadístico. Para ello debemos pulsar la tecla SD o
STAT, según modelos.
Modo Estadística: SD
Introducción de datos: 1 x 22 DATA Æ 1
2 x 18 DATAÆ 2
3 x 9 DATA Æ 34 x 1 DATAÆ 4
Resultados: Número de datos: nÆ 50
Media: x Æ 1’78
Desviación típica: σ nÆ 0’8
Para introducir los datos
debemos teclear cada uno de
ellos y pulsar la tecla X o
DATA, que también suele
coincidir con la tecla = o M+.
No
de datos introducidos. n_ Media aritmética:… x
Desviación típica..…. σn Suma de los valores Σxi
En algunas calculadoras para
usar determinadas teclas
como x es necesario pulsar
antes la tecla SHIFT o INV.
Las conclusiones que se obtienen del estudio son:
1. El 96% de los alumnos tienen una edad inferior a los 38 años, con una edad media de
25’92 años y con una desviación media de 5’5104 no muy elevada, por lo cual la
rentabilidad educativa estaría prácticamente garantizada.
2. Las gráficas de las preferencias por un tipo u otro de curso no están muy claras y,
aunque la moda sea a favor de INTERNET las frecuencias están muy repartidas en
todos los valores de la variable.
3. En cuanto al número de horas la media se sitúa en 1’78 horas con una desviación
media de solo 0’67.
Concluimos pues, que la inversión podría hacerse impartiendo en los centros de FPA
cursos semanales de dos horas de duración sobre los siguientes temas: WORD,
ACCESS, EXCEL e INTERNET.
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 7 y 8propuestos en el libro de actividades.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
130
222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS PPPRRROOOBBBAAABBBIIILLLIIIDDDAAADDD
Los orígenes de la Probabilidad datan del siglo XVII y están ligados a los juegos de azar. Tras
el desarrollo matemático de la teoría, desde finales del siglo XVIII, se viene aplicando a otrasciencias y a campos como la sanidad, los seguros, los negocios,…
La probabilidad se encarga de analizar la facilidad que hay de obtener un resultado concreto
en determinadas situaciones, siendo su uso frecuente en la vida real. Las compañías
aseguradoras hacen probabilidad cuando estiman el riesgo de accidente teniendo en cuenta
aspectos como la edad, el sexo.
Inicialmente debemos decidir sobre qué cosas pueden hacerse estudios probabilísticos y sobre
cuáles no. Con posterioridad tendremos que saber calcular las posibilidades de cada resultado.
Antes de comenzar, como ya hemos mencionado, debes conocer algunas palabras que nos
permitan comunicarnos en este tema.
Cuando realizamos un experimento, éste puede ser, aleatoriosi el resultado no puede ser previsto, como por ejemplo lanzar
una moneda y observar si sale cara o cruz, o lanzar un dado y
anotar el número que se obtiene.
También podemos tener un experimento determinista si el
resultado podía haber sido previsto, como por ejemplo medir una habitación, o soltar una pelota desde 10 m. de altura y
anotar el tiempo que tarda en caer .
Cuando realizamos un experimento aleatorio cada uno de los
resultados que podemos obtener se llama suceso elemental.Por ejemplo ‘salir cara’ en el lanzamiento de una moneda.
Otro ejemplo puede ser el lanzamiento de un dado en el que
tenemos 6 sucesos elementales diferentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
Llamamos suceso compuesto o simplemente suceso al grupo
de varios sucesos elementales, como por ejemplo ‘salir
par’(2,4,6) es un suceso del lanzamiento de un dado, o ‘salir un número primo’(1,2,3,5) .
Otros tipos de sucesos que deberíamos conocer son:
• El suceso contrario como por ejemplo ‘no salir par’ es el
contrario de ‘salir par’.
• El suceso imposible que es el que nunca puede ocurrir
como por ejemplo ‘obtener un 7’en el dado.
•
Por último el suceso seguro que engloba todos los sucesoselementales y por tanto sucederá con toda certeza.
¡Apunta!
2 m ancho 2´ 5 largo
Gana el primero
que obtenga un
número par
1R.LRQHVEiV
L.DVGHSURED
ELOLGDG
Ganas si te
sale un 7
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
131
$SUHQGDPRVSUD.
WL.DQGR
Este fenómeno de acercamiento al efectuar un elevado
número de experimentos y observar como la frecuencia
relativa de cada uno de los sucesos se va acercando a un valor
se llama Ley de los Grandes Números o Estabilidad de la
Frecuencia.
El número al que se aproxima la frecuencia relativa de un
suceso se le llama Probabilidad de ese suceso
Inicialmente podemos pensar en hacer todos los cálculos
como en la actividad anterior efectuando gran cantidad de
lanzamientos y hallando la frecuencia relativa de cada
posibilidad. Pero en determinados casos donde todos los
sucesos elementales tienen las mismas posibilidades (sucesos
equiprobables) se puede aplicar la Regla de Laplace queafirma que en estas situaciones la probabilidad de un suceso
1. Lanzamos una moneda 100 veces y anotamos cuántas
ocasiones se obtiene ‘cara’ y cuántas ‘cruz’. Estas
anotaciones debemos hacerlas en una tabla de
frecuencias como la siguiente:
Frec. Abs. (Fi)
Frec. Rel.f
F
N i
i =
Cara (C)
Cruz (X)
Suma N=100
Si seguimos lanzando la moneda hasta 500 veces
observamos que las frecuencias absolutas de ‘C’ se
acercan a 250 mientras que las relativas a 0’5.
¿Quién
anota?
Frecuencia absoluta de
` cara´ es el número
veces que te saldrá ` cara´
Frecuencia absoluta de
` cruz´ , el número de vec
que te saldrá ` cruz´ .
Frecuencia relativa es el
tanto por uno.
En nuestro ejercicio la probabilidad del suceso ‘cara’
debe estabilizarse entorno al valor:
( ) .5'02
1
500
250===C P
2. Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos
elementales posibles al efectuar el lanzamiento de un
dado de 6 caras y halla la probabilidad de obtener
‘número primo’.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
132
es el cociente entre el número de casos favorables y el
número de posibles, es decir
( )P S Casos Favorables
Casos Posibles = .
Cuando deseamos calcular la probabilidad de un sucesocompuesto, ésta es igual a la suma de los sucesos
elementales que lo componen.
En ocasiones podemos utilizar la probabilidad del suceso
contrario.
Observa que la suma de la probabilidad de un suceso y la desu contrario es 1. Por tanto para calcular la probabilidad de
un suceso podemos utilizar la de su contrario si su cálculo es
más sencillo.
La Regla de Laplace no es aplicable, tal y como hemos visto
antes, a situaciones donde los sucesos elementales no son
equiprobables y para mostrar un caso en el que aparece esta
situación proponemos la siguiente actividad:
Cuando inicialmente la probabilidad de los sucesos no es
conocida y por tanto no equiprobable para aplicar la Regla de
Laplace podemos calcular la probabilidad de cada
posibilidad elaborando un trabajo empírico (probar muchasveces):
Utilizando este criterio podemos concluir que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P P P P P 1 2 3 4 5 61
6= = = = = = .
También podemos
hacerlo así:
Casos posibles:
1, 2, 3, 5
Casos favorables:
1, 2, 3, 4, 5, 6
P(nº primo) .32
64 == De este modo podemos calcular la probabilidad de obte-
ner un número primo en un dado, siendo ésta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P n primo P P P P º •= + + + = = =1 2 3 5 41
6
4
6
2
3.
3. Si lanzamos una chincheta sobre una mesa tenemos dos posibles posiciones de caída:
• Con la punta hacia arriba (⊥)
• Con la punta hacia abajo (∇ ).
¿Cuál es la probabilidad de que caiga en cada una de las
posiciones?
3
1
6
2)6()4()()( ==+== PP primosnlosexceptoTodosP primo NOP
os .
La suma de las
probabilidades de un
suceso y de su contrario
es 1.
( ) 1=+ SPSP .
Por tanto
( ) SPSP −= 1 .
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
133
7~PLVPR
Efectuamos 100 lanzamientos (o más) y anotamos el
número de veces que cae de cada posición la chinchetaen una tabla de frecuencias (absolutas y relativas)
Frec. Abs.(Fi) Frec. Rel.
f F
N i
i =
(⊥)
(∇)
TOTAL N=100 Σ f i = 1
Si consideramos que el número de lanzamientos ya es
suficiente para hacer una estimación, por la Ley de los
Grandes Números , aproximaremos cada una de las probabilidades por la frecuencia relativa de cada
posición. Por tanto
( ) ( )P P ⊥ = ∇ =
De la relación existenteentre frecuencia relativa y
probabilidad podemos
afirmar:
1. La probabilidad de un
suceso se encuentra
entre 0 y 1.
2. La suma de las
probabilidades de
todos los sucesos es
igual a 1.
3. La probabilidad de un
suceso es 1 menos la
probabilidad del
suceso contrario.
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 9 a 14propuestos en el libro de actividades.
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Tema 5: Estadística y Probabilidad
134
1RRROY
LGHV
• La Estadística es útil cuando queremos obtener datos de un conjunto de elementos, seano no personas.
Se llama variable a la característica que queremos estudiar.
Si la variable se puede expresar con números la llamaremos cuantitativa y si no se
puede expresar con números la llamaremos cualitativa.
Al conjunto de elementos que vamos a estudiar se le llama población. Si éste conjunto
es muy grande utilizaremos un grupo extraído de la población que sea representativo
de ésta al que llamaremos muestra.
Para recoger los datos se elabora una encuesta.
Una vez recogidos los datos se deben seguir los siguientes pasos:
o Recuento.
o Elaboración de tablas de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales.
o Selección y elaboración de la gráfica adecuada.
o Cálculo de parámetros centrales y de dispersión.
o Análisis de los resultados, conclusiones y tomas de decisiones.
Los errores en la construcción de las gráficas, a veces intencionados, pueden llevar a
interpretaciones equivocadas.
• La Probabilidad es factible aplicarla siempre que estemos ante experimentos aleatorios.
Los experimentos deterministas deben ser evaluados o investigados.
La Regla de Laplace se puede aplicar si los sucesos son equiprobables.
La Ley de los Grandes Números afirma que la frecuencia relativa de un suceso en
un gran número de pruebas aproxima a la probabilidad de ese suceso.
Debemos tener presente que los sucesos aleatorios no tienen memoria y la
probabilidad de que algo suceda en un experimento no depende nunca del resultado de
la prueba anterior.
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Tema 6: Álgebra
136
La relación matemática que existe entre los datos del problema es:
Consumo mes 1 + Consumo mes 2 + Consumo mes 3 = Consumo total
Lo podremos expresar utilizando el lenguaje algebraico de la siguiente forma:
2 (x +309) + (x +309) + x = 12927
Este lenguaje, simbólico y universal, ha contribuido al desarrollo posterior de otras ramas delas Matemáticas y de otras ramas del saber científico. Las fórmulas que utilizamos en áreascomo la Geometría o en ciencias como la Física o la Química no son más quegeneralizaciones de comportamientos de algunos fenómenos expresados mediante lenguajealgebraico.
(QHV
WHWHPDYDVDD,SUHQGHU
• A “traducir” situaciones cotidianas problemáticas al lenguajealgebraico, después de haberte familiarizado con él.
• A resolver estas situaciones con la aplicación de ecuacionesde primer grado.
• A reconocer en las fórmulas geométricas, físicas,químicas,…expresiones algebraicas.
$
QWHVGH.RPHQ
]DU
...revisa las siguientes cuestiones que tendrás que utilizar:
• Operaciones básicas con números positivos, negativosfraccionarios y decimales.
• Relaciones que se establecen entre los elementos deuna suma y de una multiplicación.
• Prioridad de las operaciones encadenadas y utilizaciónde los paréntesis para alterar el orden.
• Conceptos de doble, mitad, triple, tercera parte,…
111... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS
ÁÁLLLGGGEEEBBBRRRAAA
La resolución matemática de situaciones problemáticas puedetener diferentes enfoques:
• Por tanteo probando posibles soluciones hasta dar con laverdadera.
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Tema 6: Álgebra
139
Las ecuaciones que tienen la misma solución se llamanecuaciones equivalentes.
Las ecuaciones7a = 4’97
y
14a = 9’94
tienen la misma solución a = 0’71, luego son equivalentes.
Para resolver una ecuación consideraremos que, al tratarse deuna igualdad, funciona como una balanza en equilibrio dondelos platillos de la balanza se corresponden con los miembros dela ecuación. Para que el equilibrio de la balanza se mantenga elpeso a ambos lados ha de ser el mismo.
De esta forma la ecuación x + 2 = 7 la podremos representar
como:
En una balanza al poner o quitar peso de un lado se
desequilibra, pero se vuelve a alcanzar el equilibrio si la mismaoperación (quitar o poner el mismo peso) se realiza en el ladocontrario.
7 x2
Para resolver unaecuación nuestro objetivoha de ser calcular el valorde la incógnita x. Esto se
consigue pasando porvarias situaciones de
equilibrio hasta dejar solala incógnita a un lado de la
balanza.
72
x
x
2 5 5 x
2
Al quitar la pesa de valor 2 del primer platillo la balanza
se desequilibra.
Al quitar la pesa de valor 2 del segundo platillo la balanza
se vuelve a equilibrar.
Observa:7 = 5 + 2
• Cada uno de los ladosde una igualdad sellama miembro y cadauno de los sumandos sedenomina término.
• Los términos en los queaparece la incógnita sellaman términos en x yal resto términosindependientes.
• Los números que
multiplican a laincógnita se llamancoeficientes. Cuandono aparece ningúncoeficiente se entiendeque éste es 1.
3x Coeficiente 3
-4x Coeficiente –4
x Coeficiente 1
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Tema 6: Álgebra
140
Expresamos las operaciones realizadas en la ecuación:
x + 2 = 7 x + 2 – 2 = 7 – 2
x = 5
El proceso por el cual dejamos sola a la incógnita en unmiembro de la ecuación se conoce como despejar la incógnita.
Si a la incógnita le faltara una parte para estar completa elproceso sería similar.
Sea la ecuación:
x – 5 = 37
Finalmente quedaría:
Expresamos las operaciones realizadas en la ecuación:
x – 5 = 37
x – 5 + 5 = 37 + 5
x = 42.
x
5
- 5
37 x
Completamos x añadiendo el trozo de valor 5, y para
mantener en equilibrio la balanza, añadimos un valor igual
en el otro platillo:
42 x
37 x5
5
37 +
=
42
5
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Tema 6: Álgebra
142
Resolver una ecuación consiste en despejar la incógnita pasandopor diferentes ecuaciones equivalentes aplicandoconvenientemente las reglas anteriores.
Para simplificar la resolución de ecuaciones se siguen lossiguientes pasos con los que resolveremos otro ejemplo:
3x – 4 (x – 2 ) = 5x + 4
1. Quitar paréntesis.
3x – 4x + 8 = 5x + 4
2. Agrupar términos que contengan la incógnita y términosindependientes a ambos lados del igual.
3x – 4x + 8 – 8 – 5x = 5x + 4 – 8 – 5x
3x – 4x – 5x = 4 – 8
3. Despejar la incógnita dejándola sola a un lado del igual.
- 6x = - 4
6
4
6
6
−
−=
−
− x
x =3
2
6
4=
• Resolvamos las ecuaciones de nuestros
ejemplos:
1.
71'07
97'4
7
7
97'47
=
=
=
a
a
a
2.
a + 0’12 = 0’83
a + 12 – 12 = 0’83 – 0’12
a = 0’71
3.
7a + 3(a + 0’12) = 7’46
7a + 3a + 0’36 = 7’46
10a + 0’36 = 7’46
10a = 7’46 – 0’36
10a = 7’1
a = 7’1 : 10 = 0’71
En el ejemplo 3 se realizanlas siguientes operaciones:
• Se quitan los paréntesisaplicando la propiedaddistributiva:
3(a + 0’12) = 3a + 0’36• Se agrupan los términos
con a en un lado del igual:7a + 3a + 0’36 = 7’46
10a + 0’36 = 7’46
• Se omiten las operaciones
0’36 – 0’36 y10
10a
cuyo cálculo se realizamentalmente.
Las operaciones en grisse suelen omitir y serealizan mentalmente.
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Tema 6: Álgebra
143
En ocasiones las relaciones que se establecen son máscomplejas e incluyen denominadores. Veamos un ejemplo y elproceso a seguir para su resolución que incluirá la eliminación
de los denominadores.4
3
1
2
2=
+−
− x x
a. Multiplicamos los dos miembros de la
ecuación por un múltiplo común a todos los
denominadores, siendo muy práctico el mínimo
común múltiplo. En nuestro caso m..c.m.(2, 3,
1) = 6.
4·63
1x-
2
x-2·6 =
+
4·63
)1(6
2
)2(6=
+−
− x x
b. Quitamos denominadores realizando los
cocientes del número por el que hemos
multiplicado ambos términos y los
denominadores. Siempre dará valores enteros
pues nos hemos asegurado de que fuera un
múltiplo común. En este caso las divisiones
son: 3
2
6= y 2
3
6= y la ecuación queda
24)1(2)2(3 =+−− x x
c. Queda reducida a una ecuación del mismo tipo
que las anteriores y la resolvemos de la misma
forma.
7~PLVPR
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 4 a 7propuestos en el libro de actividades.
La segunda ecuaciónpodríamos haberla calculado
mentalmente y haber pasadodirectamente a la tercera.
5 / 195
195
195
5
195
162423
16232416231236
241236
−=
−=
−=
−
−
=−
+−=−−
+−++=+−++−−−
=−−−
x
x
x
x x
x x x x x x
x x
Otra forma de resolver lasecuaciones con denominadores
es pasar a la forma decimal.
43
1
2
2=
+−
− x x
4)33'033'0(5'01 =+−− x x
433'033'05'01 =−−− x x
001'483'0
33'3
33'383'0
33'01433'05'0
−=
−=
=−
+−=−−
x
x
x x
Observa que los resultados sonaproximados pero no
exactamente iguales. Esto esdebido al redondeo que hemos
realizado en el paso a decimalescuando no es exacto.
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Tema 6: Álgebra
151
Datos e incógnita.
Edad actual Hace 8 años
Dani x + 5 x + 5 – 8 = x - 3Sergio x x - 8
Hace 8 años la edad de Dani era el doble que la
de Sergio.
Ecuación y resolución.
Podemos relacionar los datos igualando las
edades hace 8 años. Para poder igualarlas
tendremos que multiplicar la de Sergio por dos.
x – 3 = 2(x – 8)
x – 3 = 2x – 16
x – 2x = -16 + 3
-x = -13
x = -13/-1 = 13
Solución.
Sergio tiene 13 años y Dani 18 años.
2. Problemas de recorridos.
En estos problemas se hace referencia a móviles querealizan los mismos recorridos, bien en el mismo sentido oen sentido contrario, con diferentes velocidades y momentosde salida, e interesa el lugar y momento de encuentro.
Veamos un ejemplo:
Un padre y un hijo, aficionados al ciclismo, quieren hacer
el mismo recorrido sobre un carril bici. El padre es más
lento que el hijo y decide salir 30 minutos antes del punto
de partida. Interesa saber a qué distancia de la salida lo
alcanzará el hijo si los velocímetros marcan velocidades
de 20 Km/h y 32 Km/h respectivamente y suponemos que
la velocidad de ambos es constante.
Para resolverlo aplicamos la fórmula e = v · t yexpresamos adecuadamente los tres datos para cada unode los móviles, en este caso padre e hijo.
Relación entre las edadesde los hermanos a lo largodel tiempo:
Edades Relación1 y 6 Seis veces2 y 7 5 años más3 y 8 5 años más4 y 9 5 años más5 y 10 Doble6 y 11 5 años más7 y 12 5 años más8 y 13 5 años más9 y 15 5/310 y 16 5 años más11 y 17 5 años más12 y 18 3/2….. …..
e = v · tFórmula que relaciona
espacio, velocidad y
tiempo en el movimiento
uniforme.
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Tema 6: Álgebra
152
Gráfico. Siendo A el punto de partida y B donde se
produce el alcance:
Datos e incógnita.
Velocidad Tiempo Espacio
Padre 20 x 20x
Hijo 32 x - 0’5 32(x - 0’5)
Ecuación y resolución.
Podemos relacionar los datos igualando los
espacios recorridos, ya que si han salido del
mismo punto, en el momento en que se encuentran
han recorrido el mismo espacio.
20x = 32(x –0’5)
20x = 32x – 16 20x - 32x = -16
-12x = -16
x = - 1 6 / - 1 2 = 4 / 3
Solución.
Se encuentran a los 4/3 de hora de haber salido el
padre y a 60/3 de km (20 km) del punto de salida.
Si el problema plantease que los ciclistas salen al
mismo tiempo de dos puntos separados entre sí por 104
km y con sentido opuesto y siguiese interesando el
momento y el lugar donde se encuentran la resolución
sería:
Gráfico. Siendo A y B los puntos de partida
respectivamente y C el punto donde se produce el
encuentro:
El carril-bici es una
buena solución para que
los aficionados al
ciclismo disfruten de este
deporte sin correr
riesgos.
Bt = x
e = 20x
e = 32(x - 0’5)
t = x - 0’5
A
Hijo
Padre
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Tema 6: Álgebra
153
Datos e incógnita.
Velocidad Tiempo Espacio
Padre 20 x 20x
Hijo 32 x 32x
Ecuación y resolución.
Podemos relacionar teniendo en cuenta que la
suma de los espacios recorridos es de 104 km.
20x + 32x =104
52x = 104
x = 104/52 = 2
Solución.
Se encontrarán a las dos horas, a una distancia de 40
km del padre y 64 del hijo.
3. Problemas de números.
En estos problemas se hace referencia a relacionesestablecidas entre los números. Es necesario conocer elsignificado de números pares (múltiplos de dos), númerosconsecutivos (números enteros sucesivos),…
Veamos un ejemplo: La suma de dos números enteros consecutivos es 37. ¿De
qué números se trata?.
Para resolverlo hemos de tener presente que dos númerosconsecutivos son un número y su siguiente.
Datos e incógnita.
1er
nº x
2º nº x+1
A
C
B
Padre Hijo
t = x
e = 20x
t = x
e = 32x
104 km
e = 20x e = 32x
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Tema 6: Álgebra
154
Ecuación y resolución.
Podemos relacionar los números según elenunciado del problema.
x + x + 1 = 37
2x = 37 – 1
2x = 36
x = 36/2 = 18
Solución.
El primer número es el 18 y el segundo el 19.
7~PLVPR
8W
LOL]DPRVOD.DO.XODGRUD
• Tecla +
Además de ser la tecla que se utiliza para sumar, si se oprimedos veces, cada ver que oprimamos la tecla = sumará al númeroque aparezca en pantalla el que hallamos indicado.
3 + + 2 = = =
En pantalla aparecerá: 5, 7, 9, …
• Tecla X
Además de ser la tecla que se utiliza para multiplicar, si seoprime dos veces, cada vez que oprimamos la tecla =multiplicará al número que aparezca en pantalla el que hayamosindicado.
3 x x 2 = = =
En pantalla aparecerá: 6, 12, 24, …
Se obtienenseries a partirde la suma
Se obtienenseries a partirdel producto
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicios 15 a 27propuestos en el libro de actividades.
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Tema 6: Álgebra
155
1RRROYLGHV
• El Álgebra va a permitirnos una nueva forma de resolución de problemas mediante el usodel lenguaje algebraico y las ecuaciones.
• El lenguaje algebraico permite expresar situaciones cotidianas de manera simplificada yreducida, utilizando números, letras y los signos de las operaciones. Las letras van asimbolizar cantidades desconocidas.
• Cuando las expresiones se relacionan mediante el signo = fijando determinadascondiciones obtenemos una ecuación.
• Resolver una ecuación es hallar el valor de la letra o incógnita para que se cumplan las
condiciones que determina la igualdad.
• Los pasos para resolver un problema mediante una ecuación de primer grado son:
a) Datos del problema.
b) Identificamos la incógnita.
c) Establecemos la ecuación que relaciona los datos y la incógnita con la informacióndel texto.
d) Resolvemos la ecuación.
e) Comprobamos la solución de la ecuación y la interpretamos como solución delproblema.
• Las fórmulas son expresiones algebraicas que expresan las relaciones que se dan entredeterminadas magnitudes y medidas.
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Tema 7: Geometría plana
159
111... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS GGGEEEOOOMMMEEETTTRRRÍÍÍAAA
La Geometría surge por la necesidad de medir la tierra y construir (edificios, puentes,...)utilizando como base figuras lo más sencillas posibles; fíjate en las caras de los ladrillos obloques de construcción, en las paredes, en las ventanas, qué forma tienen las escuadras, loslibros, los folios, el gato de un coche , las ruedas ,...
Antes de comenzar has de conocer el vocabulario de este tema:
Nos hemos comprado el siguiente terreno y queremos construir todo lo que en él vemos
dibujado A lo largo del tema conoceremos el nombre de todos los elementos (piscina, garaje,
paellero, ...) que aparecen en el plano, mediremos longitudes, bien para vallar el terreno, bien
para comprar el zócalo de algún recinto; también calcularemos superficies, pues vamos a
embaldosar el suelo del paellero, vamos a cubrir la piscina,…
2 9 m
2 0 m
33´75 m
40 m
1 0 m
6 m
6 m
Garaje
20 m
1 0 m Casa
3 ´ 2 5 m
3´25 m
Perro
Paellero
4 m
3 m
2 m
14 m
1 0 m
1 1 m
8 m
3´16 m
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Tema 7 : Geometría plana
168
• Unidades de superficie
1 cm2 (un centímetro cuadrado) es la superficie de un
cuadrado de lado 1 cm y es la que vamos a utilizar comopatrón.
Trataremos de rellenar todas las superficies con la medidaque tenemos como patrón, es decir, cuántas veces podemosponer 1 cm2 en nuestra superficie.
2 cm2 es la superficie de 2 cuadrados de lado 1 cm.
¿Cuánto serán 12 cm2?.Para ello construimos una figura en la que poder contar confacilidad usando nuestra unidad patrón .
1 dm2 será la superficie de un cuadrado de lado 1 dm.Sabemos que 1 dm = 10 cm. Si construimos un cuadrado delado 1 dm, obtenemos que su superficie es de 100 cm2.
Repite el razonamiento para obtener 1 m2, o sea, un cuadradode lado 1 m.
Recuerda 1 m = 10 dm.
1 m2 = 1 m × 1 m = 10dm × 10 dm = 100 dm2.
1 m
2
= 1 m×
1 m = 100 cm×
100 cm = 10.000 cm
2
.
1cm2 1cm2 = 2 cm2
1cm2 1 cm
1 cm
1cm2 1cm2 1cm2
1cm2
1cm2
1cm2
1cm2 1cm2 1cm2
1cm2 1cm2
1cm2
Se lee:Un centímetro cuadrado.Dos centímetros cuadra dos.
1 dm = 10 cm
1 d m
= 1 0 c m
Si lo construyesde 20 cm x 5 cmtambién tienes100 cm2
¡la forma no esimportante!
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Tema 7 : Geometría plana
176
1RRROY
LGHV
• De la Geometría plana o euclídea hemos estudiado el nombre de las figuras planas másusuales, el perímetro y el área.
• Las principales figuras planas son:cPolígonos.
o Cóncavos.o Convexos.
STriángulos: polígonos de 3 lados.
Ángulos. Lados.Acutángulo. Escaleno.Rectángulo. Isósceles.Obtusángulo. Equilátero.
SCuadriláteros: polígonos de 4 lados.
Paralelogramo (dos lados paralelos dos a dos).Rectángulo.Cuadrado.Rombo.Romboide.
Trapecio (dos lados paralelos).
Trapezoide (ningún lado paralelo).
S(Penta, hexa, hepta,…) – gono: polígonos de 5, 6, 7,…lados.
cCircunferencia y círculo.
•
El teorema de Pitágoras afirma: en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados delos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:
cateto2 + cateto2 = hipotenusa2
• El perímetro de cualquier polígono es la suma de sus lados.cLa unidad de longitud en el S.M.D. es el metro.
• El área es la medida de la superficie de una figura plana.cLa unidad de superficie en el S.M.D. es el metro cuadrado.cPara medidas agrarias se utiliza el área.
• Cualquier figura plana podemos dividirla en figuras conocidas y calcular así su área.
•
FIGURAS ÁREAS PERÍMETROS
Triángulo (base x altura) / 2 Suma de los ladosCuadrado lado x lado = lado2 4 · lado
Rectángulo base x altura 2 · a + 2 · bRombo (diagonal mayor x diagonal menor) / 2 4 · lado
Romboide base x altura Suma de los ladosPolígono regular
de “n”lados.(Perímetro x apotema) / 2 n · lado
Círculo π · r2
Circunferencia 2 · π · r
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Tema 8: Geometría del espacio
180
• Poliedro. Es el espacio cerrado limitado por polígonos.
Elementos de un poliedro.
¾Caras. Cada uno de los polígonos que delimitan elpoliedro.
¾Aristas. Son los lados de las caras, dos caras contiguascomparten una misma arista.
¾Vértices. Punto en el que concurren tres o más caras.Son los vértices de los ángulos poliedros.
¾Diagonales. Segmentos que une dos vértices de carasdistintas.
Tipos de poliedros.
¾Poliedros regulares. Cuando todas sus caras sonpolígonos regulares y en cada vértice concurren elmismo número de caras.
Veamos cuántos podemos formar:- Si en cada vértice concurren tres triángulos
equiláteros tenemos ángulos poliedros de 3 · 60 =180º (recuerda que un triángulo equilátero tiene tresángulos de 60º). Este poliedro se llama tetraedro,pues tiene cuatro caras.
- Si ponemos cuatro triángulos equiláteros tenemosángulos poliedros de 4 · 60 =240º. Este poliedro es unoctoedro, tiene ocho caras.
- Si colocamos cinco tenemos 5 · 60 = 300º. Se llamaicosaedro y tiene 20 caras.
Ya no podemos poner más triángulos equiláteros en elmismo vértice, pues con 6, tendríamos 6 · 60 =360º,formaríamos un plano, no habría volumen.
- Si tomamos cuadrados, tenemos 3 · 90 = 270º.Resulta un poliedro de 6 caras, es un hexaedro ocubo.
Si intentasemos poner cuatro cuadrados 4 · 90 = 360º,imposible, luego con cuadrados sólo exixte el hexaedro.
- Cada ángulo de un pentágono mide 108º, con trestenemos 3 · 108 = 324º, este poliedro se llamadodecaedro y tiene 12 caras.
El hexágono ya tiene ángulos de 120º, luego no podemos juntar tres hexágonos, pues obtenemos 360º, después delhexágono los ángulos son aún mayores y como mínimonecesitamos tres caras para formar un ángulo poliedro,luego no existen más poliedros regulares.
Sólo exixten cinco poliedros regulares.
cara
arista
vértice
diagonal
TetraedroOctoedro
Icosaedro
Hexaedro
Dodecaedro
Ángulos de un polígono
regular.En un pentágono podemos
dibujar 5 triángulos iguales,los ángulos de un triángulosuman 180ºÆ 180 · 5 = 900ºSi eliminamos los ángulos delcentro Æ 900 – 360 = 540º.Si ahora los repartimos entre los5 vértices del pentágono 540 : 5= 108º. Los ángulos de unpentágono regular miden 108º.
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Tema 8: Geometría del espacio
182
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L.
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1. Repasemos los elementos de nuestra nevera, ésta es unaespecie de caja. Tenemos los cajones del congelador, unasparillas para organizar la nevera e incluso cajones para laverdura. En la puerta solemos encontrarnos compartimentospara las bebidas, los huevos, los botes pequeños, …
Recuerda que si todas las caras son cuadrados, se llamahexaedro o cubo
2. Veamos qué encontramos en el interior de la nevera.
La nevera es un poliedro, cuya base y tapa son
rectángulos y las caras laterales también, así como la
puerta y el fondo. Ya sabes que es un prisma
rectangular, también se llama ortoedro.
Los cajones del congelador, así como los de la verdura
tienen 5 caras y todas ellas son rectángulos, se tratatambién de un prisma rectangular u ortoedro.
los prismas cuyas caras son todas paralelogramos se
llaman paralelepípedos.
Los compartimentos de la puerta de la nevera son
paralelepípedos, pero por razones estéticas, ergonó-
micas, … ¡han redondeado los cantos!.
Un trozo de queso, un trozo de tarta, son prismas
triangulares , la base y la parte de arriba son triángulos
paralelos, las caras laterales son rectángulos.
El bote de tomate, la lata de sardinas son cilindros.
La botella de leche es un cilindro, sino fuera por el
cuello de la botella.
El tetrabrik es un prisma rectangular, también hay
rismas octogonales , la base y la tapa son octógonos, y
las caras laterales siguen siendo rectángulos.
Si tenemos helados, éstos tienen formas curiosas, en
concreto los cucuruchos, tienen forma de conos , y las
bolas de helado esferas.
¡Poliedro regular!
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Tema 8: Geometría del espacio
186
Una caja de cerillas mide 40 mm de largo, 30 mm de ancho
y 10 mm de altura.
Su volumen será 40 · 30 · 10 = 12.000 mm3
= 12 cm3.
• 1m3 es el espacio que ocupa un cubo de 1 m de arista.1 m3 = 10 dm · 10 dm · 10 dm = 1000 dm3
7~PLVPR
Trabajemos ahora las unidades de capacidad.
UNIDADES DE CAPACIDAD
• 1 litro ( l ) es la capacidad de un cubo de 1 dm de arista.
1 litro = 1 dm3
Los múltiplos del litro son:
1 kl (kilolitro) = 10 hl1 hl (hectolitro) = 10 dal1 dal (decalitro) = 10 l
Los submúltiplos del litro son:
1 l = 10 dl (decilitro)1 dl = 10 cl (centilitro)1 cl =10 ml (mililitro)
Pasamos de una unidad a la inmediata inferiormultiplicando por 10.
Pasamos de una unidad a la inmediata superior dividiendopor 10.
7~PLVPR
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Bajar 1 lugar
Multiplicarpor 1000
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Dividir por1000
Subir 1 lugar
1 dm
1 litro
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza losejercicios 3 y 4 propuestos en el libro de actividades.
Un bidón de gasolinatiene 250 l de capacidad.
¿Cuántos ml son?250 · 1000 = 250.000 ml
¿Cuántos hl son?250 : 100 = 2´ 5 hl
La capacidad de un bote de bebida refrescante es de
33cl.
33 cl = 33 · 10 = 330 ml
33 cl = 33 : 10 =3´ 3 dl = 3´ 3 : 10 = 0´ 33 l.
: 10033 cl
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 5 y 6 propuestos
en el libro de actividades.
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Tema 8: Geometría del espacio
187
• Queda claro que dos cuerpos con el mismo volumen tienenla misma capacidad, aunque tengan distintas formas.
Veamos que tenemos varias relaciones para pasar deunidades de volumen a unidades de capacidad.
Hemos visto que : 1 l = 1 dm3.
Podemos deducir:
1 kl = 1000 l = 1000 dm3 = 1 m3Æ 1 kl = 1 m3
Ejemplo:
7~PLVPR
• Otras unidades
Los sistemas de medida han ido variando a lo largo deltiempo, siendo incluso distintas dentro del mismo país.
Aquí tienes algunas medidas que se usaban en la Rioja:
9CÁNTARA = 16 litros (para vino y aceite)..9CUARTILLA = 4 l.9AZUMBRE = 2 l. (para aceite vino y leche).9CUARTILLO = medio litro (para leche).9MEDIA LIBRA = 1/4 de l.9PIE DE OLIVA = 38 l.9TINAJA = 8 Cántaras, normalmente. También había
de 10, 16 y 20 cántaras.
1 ml = 1 cm31 l. = 1000 ml1 dm3 = 1000 cm3
1 l = 1 dm3
1 kl = 1 m3
1 ml = 1 cm3
1.000 l = 1 m3
Si tenemos una piscina de 80 m3 y el grifo es capaz de
llenar 15 litros por minuto. ¿Cuánto tiempo necesitamos
para llenar la piscina?.
80 m3
= 80 · 1000 = 80.000 l.
80.000 : 15 =5.333´ 33 minutos.
5.333´ 33 minutos = 3 días 16 horas 53 minutos 20
segundos.
1 día = 24 horas1 horas = 60 minutos1 minuto = 60 segundos
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza los ejercicio 7 y 8propuestos en el libro de actividades.
EL SÍNDICO: era un
concejal del Ayuntamiento(tercera persona enimportancia en el Ayto, 1ºel Alcalde, 2º el Tte.Alcalde y 3º el Síndico)que guardaba las medidasoficiales
El síndico servía paraREFERIR, es decir, teníalas referencias o lasmedidas oficiales cuandohabía una disputa demedidas entre vecinos.
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Tema 8: Geometría del espacio
197
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]DPRVOD.
DO.XODGRUD
Recuerda que no todas las calculadoras funcionan de la mismamanera. Si tu calculadora no responde a éstas órdenes consultasu manual de funcionamiento.
3 x
Esta tecla calcula la raíz cúbica de cualquier número.
Calculemos 3 34331000 − y
1000 3 x = 10 Æ 103 = 1000
343 +/- 3 x = -7 Æ (-7)3 = - 343
¿Cuánto debe medir la arista de un cubo, para que su capacidadsea de 2 l.?
2 l = 2000 cm3
volumen del cubo = arista3 Æ 2000 = a3
a = 3 2000
con la calculadora Æ a = 2000 3 x =12´ 6 cm
7~PLVPR
x
índice
3 x es la operacióninversa de x3 .
Reforzaremos ahora el aprendizaje. Realiza el ejercicio 29 propuesto enel libro de actividades.
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Tema 8: Geometría del espacio
198
1RRROY
LGHV
•
Un poliedro es un espacio cerrado limitado por polígonos. Los principales poliedros son:Poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro
Prismas: las base son polígonos paralelos y las cara laterales son paralelogramos.
Pirámides: la base es un polígono cualquiera y las caras laterales son triángulos queacaban todos en un vértice común.
• Un cuerpo de revolución se genera al hacer girar una figura plana 360º sobre uno de suslados. Los principales cuerpos de revolución son:
Cilindros: se genera al girar 360º un paralelogramo sobre una de sus lados.
Conos: se genera al girar 360º un triángulo rectángulos sobre uno de los catetos.
Esferas: se genera al girar 360º medio círculo sobre el eje de su diámetro.
• El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.
1dm3 es el espacio que ocupa un cubo de un 1dm de arista.
1 l. es la capacidad de un cubo de volumen 1dm3.
•
FIGURAS VOLÚMENES
AREAS
Prisma área de la base x altura 2 · área de la base + área de las caras laterales.
Pirámide 3alturabaseladeárea ⋅
área de la base +2
apotema xPerímetro
Cilindro π · r2 · h 2 · π · r2 + 2 · π · r · altura
Cono3
2 hr ⋅⋅π
Esfera 334
r ⋅⋅π 4 · π · r2
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Formación Básica
de Personas Adultas
Graduado en Educación Secundaria
P R O C E S O S EI N S T R U M E N T O S
M A T E M Á T I C O S
Cuader no de Act ividades
Unidades 1 a 4
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Actividades Tema 1
202
3. Escribe los números decimales formados por:
a) Dos decenas, una unidad, cinco centésimas.
b) Tres centenas, dos décimas y tres milésimas.c) Tres unidades de millar, cinco centenas y veintitrés centésimas.d) Una unidad de millón, una unidad y una milésima.
Operaciones básicas con números decimales.
1. Para sumar y restar números decimales tenemos que colocar la coma debajo de lacoma . 32’56 + 4’756 = 37’316 32’56
+ 4’75637’316
2. Para multiplicar números decimales se multiplica como si no se tratara de númerosdecimales y en el resultado se separa un número de cifras decimales igual a la sumade los decimales de los factores.
24’6· 2’5 = 6´ 150 24’6x 1’25
12304926´ 150
Si multiplicamos un decimal por la unidad seguida de ceros se desplaza la comahacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el número. Observa que almultiplicar el número crece.
32’5 · 1000 = 32500
3. Para dividir un número decimal entre un entero se procede como si fuera un númerodecimal, colocando la coma en el cociente cuando lleguemos a ella en el dividendo.
653’4 : 2 = 326’2 653’2 2
05 326’61312
0Si el divisor fuera un número decimal, multiplicamos dividendo y divisor por launidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor número de formaque este pierde todos los decimales. Luego dividimos como en el caso anterior.
78’24 : 2’5 = 782’4 : 25
Si dividimos un decimal por la unidad seguida de ceros se desplaza la coma haciala izquierda tantos lugares como ceros tenga el número. Observa que al dividir elnúmero disminuye.
32’5 : 1000 = 0’0325
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Actividades tema 1
203
4. Calcula el resultado de estas expresiones:
a) Suma cuarenta y dos enteros, tres décimas a cuatro enteros, veintidós milésimas.b) Resta setenta y dos centésimas a una unidad.c) El triple de ocho unidades, siete décimas.d) El número 100 veces mayor que 2’5.e) La décima parte de 2’5.
5. Completa:
En 9 unidades hay _____ décimas.
En 16 centenas hay _____ unidades.En 18 decenas hay _____ décimas.En 130 décimas hay _____ unidades.En 1000 centésimas hay _____ unidades.En 170 milésimas hay _____ décimas.
6. Calcula el resultado de estas operaciones:
a. 32’7 · 0’004b. 0’04 · 1000c. 2’1 · 100d. 245’4 : 6e. 245’2 : 0’4f. 3’05 : 100g. 589’06 : 10
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Actividades Tema 1
204
7. Compara estas cantidades utilizando los signos =, >, <:
a. 3’5 y 3’05b. 0’1 y 0’110c. 0’1 y 0’100d. 21’02 y 21’2
8. Aquí tienes un cheque. Has de rellenarlo, al portador, con los siguientes datos:
Cantidad: 1327’3 ¼
Fecha: 17/9/2002
• Un cheque es una orden de pago a una entidad bancaria, por la persona que loextiende, con cargo a la cuenta corriente que tenga abierta en ella.
• Los cheques pueden ser:• Nominativo. Solo lo puede cobrar la persona a favor de la que se
extiende• Al portador. Lo podrá cobrar la persona que lo posea. Puede dar
problemas en caso de extravío.•
Cruzado. Solo se puede pagar abonándolo en una cuenta de la persona opersonas indicadas.• Conformado. El banco emisor ha de indicar de forma explícita que se
trata de un documento auténtico y de la existencia de fondos, los cualesmantendrá bloqueados hasta que se efectúe el pago.
• Tanto la fecha como la cantidad han de ir en letra.
El significado de estos signos.
< … menor que … ; > … mayor que …
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Actividades tema 1
205
222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS MMMÁÁÁSSS NNNÚÚÚMMMEEERRROOOSSS
9. Observa los siguientes posibles titulares de prensa asociados a la misma noticia ypublicados por diferentes diarios e indica la cifra a la que han realizado cada uno de ellosel redondeo.
a.$ODPD
QLIH
V
W
D.
LyQDVLV
WLHURQSHUVRQDV
$ODPD
QLIH
V
W
D.
LyQDVLV
WLHURQS
HUV
RQDV
$ODPD
QLIH
V
W
D.
LyQDVLV
WLHURQSHUV
RQD
V
b.
(OSRU.HQW
DMHGHPXMHUHVYt.
W
LPDVGH ODY
LROH
Q.L
DGRPpV
W
L.D IUUHQWHDOGHKRP
EUHV
HVGHO
(OSRU.HQW
DMHGHPXMHUHVYt.
W
LPDVGH ODY
LROH
Q.LDGRPpV
W
L.D IUUHQWHDOGHKRP
EUHVHVGHO
(OSRU.HQW
DMHGHPXMHUHVYt.
W
LPDVGH ODY
LROH
Q.L
DGRPpV
W
L.D IUUHQWHDOGHKRP
EUHV
HVGHO
BANCO”TAL” CÓDIGO CUENTAC/ Valencia s/n ENTIDAD OFICINA CONTROL CUENTAValencia 1111 1111 11 1111111111
Euros_________________________PÁGUESE PO ESTE CHEQUE A _______________________________________________________EUROS ___________________________________________________________________________________________________________________________ de ____________________ de ____________
Serie Z 1111111-1Firma del titular de la cuenta
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Actividades Tema 1
206
10. Cálculo mental. Estima los resultados de las siguientes operaciones y explica cómo lo has
hecho.
a) 14’67 x 4’02b) 2532 : 53
11. Cálculo mental. Calcula el resultado de la siguiente expresión:
a) 20 x 4’53 x 5 x 10 =b) 25 + 130 + 75 + 70
12. Calcula el valor de la letra en estas expresiones.
a) (3 + a) : 2 = 4b) b · 5 – 4 = 26c) 7 + 10 : c = 12
Orden para realizar operaciones combinadas:1º. paréntesis2º. multiplicaciones y divisiones3º. Sumas y restas.
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Actividades Tema 1
208
16. La ecotasa balear.
a. Calcula el importe que supone a una familia de
4 miembros la ecotasa si durante susvacaciones se alojan 8 días en un hotel de 2estrellas y otros 8 días en un camping.
b. Fíjate en quién la paga y cuál es el destino de larecaudación. ¿Cuál es tu opinión al respecto?.
333... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS NNNÚ
ÚMMMEEERRROOOSSS NNNEEEGGGAAATTTIIIVVVOOOSSS17. Observa los siguientes datos del padrón de Enero del año 2000 publicados el 4 de Agosto
de 2001 y contesta a las siguientes cuestiones
a) Observa la variación de Asturias, Castilla y León, Extremadura, Galicia y La Rioja.¿Qué significa el signo – que aparece junto a los datos de la última columna?.
b) Ordena las variaciones de estas comunidades con respecto al padrón de 1996 de menora mayor.
c) Entre la mayor y la menor variación, ¿cuál es la diferencia?.d) Calcula el número de habitantes que se registraron en el padrón de 1996 en las
siguientes comunidades: Andalucía, Asturias, Cantabria, Castilla y León, Murcia.
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Actividades tema 1
209
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Actividades Tema 1
210
18. Calcula mentalmente:
a) 23 + 17
b) 23 + ( - 17)c) 23 + ( - 17)d) 23 + 27
19. Calcula realizando la asociación sugerida en el libro de texto:
a) 23 – 17
b) 23 - ( - 17)c) 23 - ( - 17)d) 23 – 27
20. Continúa las series hasta que cada una de ellas tenga 7 números.
a) 9, 6, …b) 7, 4, …c) –4, -7, …
21. Calcula y completa el cuadro:
a) 5 · 3b) 5 · ( - 3 )c) 5 · 3d) 5 · ( - 3 )
VARIACIÓN RESULTADO
Me dan 5 veces 3 ________________________________ ________________________________ ________________________________ _________________
Asociación sugerida en el tema para facilitar la comprensión de las operaciones connúmeros enteros:
Sumar = darRestar = quitarNúmero positivo = dinero en efectivoNúmero negativo = deuda
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Actividades tema 1
211
22. Calcula:
a) (-5) · 3b) (-6) · ( - 3 )
c) -5 · 8d) 4 · ( - 2 )
23. Calcula siguiendo las reglas conocidas.
a) 5 · 4 + 8 (5– 12 )b) 3 ( 6 + 2 ) – 25c) 8 – 4 ( 3 – 5 ) + 4 · 2d) (3 5 + 8)· (7-10+1)
24. Observa una parte de una libreta de ahorro.
FECHA CONCEPTO INGRESO/REINTEGRO SALDO6/4/02 Saldo anterior 13’7 ¼
10/4/02 Factura luz - 10’25 ¼
15/4/02 Ingreso efectivo 20 ¼
20/4/02 Cheque caja - 18’3 ¼
Calcula el saldo del día 20.
25. La temperatura de un lugar era de –4ºC a las 6 de la mañana, a las 3 de la tarde habíaaumentado en 11ºC y a las 8 de la noche había descendido otros 9ºC más. ¿Quétemperatura hacía a esta última hora?.
26. A continuación te presentamos las fechas de nacimiento y muerte de tres emperadoresromanos:
Octavio Augusto ( desde 63 a. C. al 14 d. C .);Tiberio ( desde 42 a. C. al 37 d. C .)Claudio ( desde 5 a. C. al 69 d. C .)
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Actividades tema 1
213
31. Calcula:
a) (-6)2 =b) (-3)5 =
c) (-5)0 =d) (-2)8 =e) (-2)5 =
32. Calcula:
a) (2’1) 2 =b) (0’001) 3 =c) (0’75) 0 =d) (0’2) 8 =e) (0’02) 4 =
33. Una empresa de transporte cuenta con una flota de 10 camiones. Cada uno de ellos tienecapacidad para transportar 10 contenedores con una capacidad, a su vez, de 10 toneladas.Si un cliente le pregunta por los kilogramos que puede transportar su flota, ¿cuál será surespuesta?. Exprésala utilizando potencias.
34. Completa esta tabla:
Valor 1 16 25 64 100 121 144 169 1.000.000
Raíz cuadrada ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
35. Calcula:
a) 3 125
b) 4 16
c) 25−
d) 3 125−
e) 44'1
f) 3 008'0
g) 4 00000001'0
La raíz cuadrada es la operación contraria al cálculo del cuadrado de un número.
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Actividades tema 1
215
6. Las divisiones relacionadas con la operación 3 · 4 = 12 son:
a) 12 : 3 = 4 y 3 = 12 : 4 b) 3 = 4 : 12 y 4 = 3 : 12
c) 43
= 12 y 34
= 12 d) Ninguna de las anteriores.
7. El número que falta para que se cumpla esta igualdad 3 = 64 es:
a) 16 b) 8 c) 4 d) 32
8. La raíz cuadrada de - 144 es:
a) 72 b) 12 c) 16 d) No existe
9. Si el lado de un cuadrado mide 4 unidades, su perímetro es:
a) 4+4+4+4 b) 4 · 4 c) 16 d) Todas las respuestas son buenas10. Si el área de un cuadrado es de 36 unidades cuadradas, la medida del lado es:
a) Raíz de 36 b) Raíz cuadrada de 36 c) 362 d) 36 : 4
11.La expresión en números romanos del número 2.472 es:
a) MMCCCCXXXXXXXIIb) MMCCCCLXXIIc) MMCDLXXIId) MMCDXXXCII
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
YAdquirir una idea de la evolución de los sistemas de numeración hasta nuestros días.
YExpresar cantidades en la numeración romana y reflexionar sobre el uso actual de estanumeración.
YAnalizar las relaciones que se dan entre los términos de una suma y una multiplicación.
YAprender a redondear cantidades muy grandes o con muchas cifras decimales.
YRealizar operaciones encadenadas respetando las prioridades establecidas.
YCalcular potencias y raíces cuadradas y aplicarlas a la resolución de problemas sencillos.
“Aún tengo dificultades en …”
“TENGO DUDAS EN”
Y.................................................................................................................................
Y.................................................................................................................................
Y.................................................................................................................................
Y.................................................................................................................................
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Actividades Tema 1
216
“En cuanto a las actividades…”
YMi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
YTengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
YMe ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre estetema puedo realizar las actividades de ampliación.
"$5*7*%"%&4 %& 3
&'6&3;0
1. Escribe en el sistema decimal las siguientes cantidades:
a) Mil cuarenta enteros y cuatro centésimas. …………………….b) Setenta enteros y veinticinco milésimas. …………………….c) Tres millones seiscientas mil. ……………………….d) Dos billones y medio ……………………
2. Escribe un número comprendido entre:
a) 3’5 y 3’6 ……………………..b) 35 y 36 …………………..c) 3’05 y 3’6 ……………………..
3. Siguiendo el estudio realizado en el apartadoHACEMOS MÁS NÚMEROS, Aprendemospracticando del libro de texto, calcula tucapacidad de ahorro mensual redondeando elresultado a las decenas de euro.
4. Simplifica estas expresiones utilizando potencias o productos:
a) 3 + 2 · 2 · 2 · 2b) 4 · 4 · 4 · 4 + 4 + 4 + 4 + 4c) 5 + 5+5 – 3 + 7 · 7 · 7
Un millón de millones es un billón. Un millón de billones es un trillón. Así sucesivamente.
Una potencia es la expresión simplificada de un producto de varios factores iguales y lamultiplicación es la expresión simplificada de una suma de varios sumandos iguales.
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Actividades tema 1
217
"$5*
7*%"%&4 %& ".1-*"$*0/
1. Busca e indica situaciones en las que se utilicen números romanos.
2. Si las actuales matrículas de vehículos constan de 4 números y 3 letras, en las que no seincluyen las vocales, calcula el número de vehículos que se podrán matricular medianteeste procedimiento.
3. Como sabes, el resto de una división ha de ser menor que el divisor. Y, como tambiénsabes, el NIF o Número de Identificación Fiscal está compuesto por el número del DNI alque se le añade una letra.Tras descartar algunas de las letras (I, Ñ, O, U) han quedado 23 válidas, pero, ¿cuál es elcriterio para asignarlas?.
Se acordó asociar, aleatoriamente, un número del 0 al 22 a cada una de las letras. Según elresto que resultase de la división del número del DNI entre 23, que sería un númerocomprendido entre 0 y 22, se otorgaba la letra correspondiente.
Según esto, calcula:
a) El resto que le corresponde a tu letra del NIFb) Calcula otros dos números que compartan la misma letra que tu.
4. Calcula de dos formas diferentes el resultado de estas expresiones:
a) 3(4 + 7)b) 8(5 – 2)c) 15– 2(7 – 4)
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Actividades Tema 1
218
5. Observa la siguiente información que, sobre siniestralidad laboral, se publicó en prensa.
a) Compara los datos referidos al año 2000 y al 2001.
b) ¿Qué comunidades han contribuido negativamente al crecimiento de la siniestralidadlaboral?c) ¿Se puede afirmar, a la vista de los datos que en Murcia ha habido menos accidentes
que en Navarra?. Explica tu respuesta.
6. Las bacterias se reproducen por bipartición. Imagina que el periodo de reproducción deuna especie de bacterias es de dos horas. Si en un momento determinado se recuenta en un
cultivo una colonia de 1.000 bacterias, ¿cuántas habrá al día siguiente a la misma hora?.Expresa las operaciones utilizando potencias de 10.
7. Un atleta entrena alrededor de un parque cuadrado de 10.000 m2 de superficie. Para podercorrer un kilómetro, ¿cuántas vueltas tendrá que dar al parque?.
El signo negativo puede tener varios significados. Puede indicar que un número es menor
que el “cero” que hemos fijado como referencia o una variación negativa.
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Soluciones tema 1
219
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1. Aplicando las reglas seguidas en la escritura de números romanos: XCVII = 97; MMMCCLXXIV = 3274;
MCDVI = 1406; DLXXIV = 574; MLXXVII = 1077; XXVII = 27; DXLIV = 544; 7612= DCXII VII
2. Teniendo en cuenta que no existió el siglo 0 ni el siglo 0 a. C.:
HECHO HISTÓRICO Y AÑO SIGLO
Descubrimiento de América (1492) XV
Revolución francesa (1789) XVIII
Fundación de Roma (753 a. C.) VIII a C
Nacimiento del emperador Tiberio (42 a. C.) I a C.
3. a) 21’05; b) 300’23; c) 3500’23; d) 1000001’001.
4. a) 42’3 b) 1 c) 8’7 d) 2’5 · 100 = 250 e) 2’5 : 10 = 0’25+ 4’022 - 0’72 x 3
46’322 0’28 26’1
5. En 9 unidades hay 90 décimas.
En 16 centenas hay 1600 unidades.
En 18 decenas hay 1800 décimas.En 130 décimas hay 13 unidades.
En 1000 centésimas hay 10 unidades.
En 170 milésimas hay 1’7 décimas.
6. a) 0’1308; b) 40; c) 210; d) 40’9; e) 2452 : 4 = 613; f) 0’0305; g) 58’906.
7. Hemos de considerar que una unidad de un orden cualquiera es diez veces superior a la inmediatamente
anterior. Así: a) >; b) <; c) =; d) <
8. Cantidad: Mil trescientos veintisiete euros y tres décimos.
Fecha: Diecisiete de Septiembre de dos mil dos.9. a) En 34.000 personas se redondea a la unidad de millar, en 33.600 personas se redondea a la centena y en
30.000 personas se redondea a la decena de millar.
b) En 98% se redondea a la unidad, en 97' 76% se redondea a la centésima y en 97' 8% se redondea a la
décima.
10. a) Redondeando: 15 · 4 = 60
b) Redondeando: 2500 : 50 = 50
11. a) Alterando el orden de los productos de manera conveniente para facilitar el cálculo: 20 · 5 · 10 · 4’53 =
100 · 10 · 4’53 = 1000 · 4’53 = 4530
b) Alterando el orden de las sumas: 25 + 75 + 130 + 70 = 100 + 200 = 300
12. Seleccionando la operación adecuada en cada momento, considerando las relaciones existentes entre sumas
y restas por un lado y productos y divisiones por otro.
a) 3 + a = 4 · 2; a = 4 · 2 – 3 = 5
b) b · 5 = 26 + 4; b = (26 + 4) : 5 = 6
c) 10 : c = 12 – 7 ; c = 10 : (12 – 7) = 213. a) Triple del resultado de restar 2 a 6 menos el triple de 2 más la mitad de 8
3 · 4- 3 · 2 + 8 : 2 = 12 – 6 + 4 = 8
b) 7 menos la mitad de 6 más el cuádruplo del resultado de sumar 3 y 5.
7 – 6 :2 + 4 · 8 = 7 – 3 + 32 = 36
c) 2 mas el triple de 4 menos la mitad del resultado de sumar 3 a 5.
2 + 3· 4 – (5 + 3): 2 = 2 + 12 – 8 : 2 = 1 + 12 – 4 = 13 – 4 = 9
d) cinco veces el resultado de sumarle a 6 la mitad de 4, menos 3 más cinco veces 4.
5(6 + 4:2) – 3 + 5· 4 = 5(6 + 2) – 3 + 20 = 5 · 8 –3 + 20 = 40 +20 –3 = 60 – 3 = 57
14. a) 3· 2 + 3· 5 = 3(2 + 5)
b) 4· 5 + 6· 4 – 3· 4 = 4(5 + 6 – 3)
c) 12+9+27= 3· 4 + 3· 3 + 3· 9 = 3(4 + 3 + 9)
d) 45 – 15 = 15· 3 – 15· 1 = 15(3 – 1)
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Soluciones tema 1
221
28. a) 81
b) 125
c)1
d)4106
29. a) 2’5 · 1000000 = 2’5 · 106
b) 34’7 · 1012, pues un billón es un millón de millones.c) 25 · 10000 = 25 · 10
4
d) 0’5 · 1018
= 5 · 1017
, pues un trillón es un millón de billones.
30. a) 32
= 9....................3 · 3
b) 33
= 27 ................. 3 · 3 · 3
c) 54
= 625 ................5 · 5 · 5 · 5
d) 62= 36 .................. 36 = 6 · 6
e) 33
= 27 .................. 27 = 3 · 3 · 3
f) 53
= 125................125 = 5 · 5 · 5
31. a) 36
b) –243
c) 1
d) 256
e) –32
32. a) 2’31b) 0’000000001
c) 1
d) 0’00000256
e) 0’00000016
33. 10camiones · 10 conten. · 10 toneladas · 1000Kg = 1.000.000 = 106Kg. Recuerda 1Tn = 1000Kg= 10
3Kg.
34.
Valor 1 16 25 64 100 121 144 169 1000000
Raíz 1 4 5 8 10 11 12 13 1000Porque 1
2= 1; 4
2= 16; 5
2= 25; 8
2= 64; 10
2= 100; 11
2= 121; 12
2= 144; 13
2= 169; 1000
2= 1000000
35. a) 5
b) 2
c) No existe
d) –5
e) 1’2f) 0’2
g) 0’01
36. Si para calcular la superficie del cuadrado multiplicamos la medida del lado por sí misma, utilizando el
cuadrado, en este caso tendremos que utilizar la operación contraria, la raíz cuadrada.
1024 = 32 baldosas de lado.
Soluciones autoevaluación
1. b ( se calculan antes la multiplicación y la división: 10 + 12 – 8 = 14).
2. a (52’7 = 11’2 + 0’07 · x, siendo x el número de minutos. Calculamos: 0’07 · x = 52’7 – 11’2 = 41 ‘ 5; x =
41’5 : 0’07 = 592’86).
3. a .4. a.
5. b (al redondear a la centésima tenemos que dejar dos cifras decimales teniendo en cuenta la tercera que, en
este caso, el ser mayor que 5 añadimos 1 a la cifra de las centésimas) .
6. a.
7. c ( pues 64 = 4 · 4 · 4).
8. d ( pues no existe la raíz cuadrada de un número negativo).
9. d ( el perímetro es la medida total de todos sus lados. Al ser todos iguales se puede expresar en forma de
suma o de multiplicación y en ambos casos el resultado es 16).
10. b ( si para calcular el área elevamos al cuadrado la medida del lado, tenemos que calcular el número que al
elevarlo al cuadrado nos de 36 y esto equivale a calcular la raíz cuadrada).
11. c (única expresión que sigue las reglas de la numeración romana).
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Soluciones tema 1
222
Soluciones actividades de refuerzo
1. Teniendo en cuenta las reglas de la numeración decimal, el valor de las cifras de cada orden, y el “recuerda”del libro de actividades.
a) 1040’04
b) 70’025
c) 3.600.000
h) 2.500.000.000.000
2. Existen infinitos para cada caso. Ejemplos:
a) 3’51
b) 35’3
c) 3’2
3. Seguir el estudio realizado en el apartado indicado del libro de texto.
4. Una multiplicación es una suma de sumandos repetidos y una potencia es un producto de factores repetidos.
a) 3 + 24
b) 44
+42
c)3 · 5 – 3 + 7
3
Soluciones a las actividades de ampliación:
1. a) Tomos de libros, carreteras nacionales, jornadas, reyes, siglos, capítulos, festivales,…
2. Si tenemos en cuenta que sólo se consideran 22 letras válidas al eliminar las vocales, tendremos 10000
números diferentes incluyendo el 0000 y, por cada uno de ellos un total de 22 · 22 · 22 letras. En
total 22 · 22 · 22 · 10000 = 106. 480.000.
3. a) Lo calcularemos con un ejemplo. Sabemos que al número de DNI 05171299 le corresponde la letra W.
Calculamos el resto de dividir 5171299 entre 23 y vemos que es 21, luego al resto 21 le corresponde la letra
W.
b) Para calcular otros números a los que les corresponda la misma letra multiplicaremos un número
cualquiera (cociente) por 23 y le sumaremos 21.
4. Priorizando operaciones Quitando paréntesisa) 3· 11 = 33 12 + 21 = 33
b) 8· 3 = 24 40 – 16 = 24
c) 15 – 2· 3 = 15 – 6 = 9 15 – 14 + 8 = 9
5. a) Han aumentado tanto los accidentes en general como los accidentes mortales en itinerario. En 13
autonomías han aumentado y en 4 han disminuido los accidentes, aunque en general, en España, han
aumentado un 5’8%.
b) Navarra, Aragón, La Rioja, Murcia.
c) Ha bajado un 5’5%, pero podía partir de una cantidad mayor.
6. Se habrán reproducido 12 veces en 24 horas. Cada bacteria habrá dado lugar a 212
bacterias, luego el número
de bacterias será de 1000 · 212
, o sea, 4096000 de individuos.
7. El lado del parque será 10000 = 100 metros de lado.
El perímetro será de 100 · 4 = 400 metros.
Para recorrer 1000 metros (1 km), tendrá que dar 1000 : 400 = 2’5 vueltas.
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Actividades tema 2
224
4. Imagina que mañana es tu cumpleaños y quieres celebrarlo cenando con tus dos mejores
amigos. Ambos trabajan a turnos y libran de noche el primero cada 12 días y el segundo
cada 20 días. Si hoy han coincidido con la noche libre, ¿cuándo podréis celebrar tu
cumpleaños según tus planes?. ¿Y si librasen cada 3 y 5 días respectivamente?.
5. Calcula el máximo común divisor de los siguientes grupos de números utilizando en cada
caso un método diferente:
a) 15 y 50
b) 12 y 20
c) 4 y 7
Otro método para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor
utiliza la descomposición en factores primos.
a. Para el cálculo del máximo común divisor, una vez descompuesto los números que
nos interesan en factores primos, el máximo divisor común será el número formado
por los factores primos comunes con el menor exponente.
Ejemplo: m.c.d. (180, 24)
1º . Descomponemos en factores primos: 180 = 22·
·3
2· 5 y 24 = 2
3· 3
2º . Elegimos los factores primos comunes: 22
y 3
3º . Los multiplicamos consiguiendo así el m.c.d. de los números propuestos:
m.c.d. (180, 24) = 2
2
· 3 = 12
b. Para el cálculo del mínimo común múltiplo, una vez descompuesto los números que
nos interesan en factores primos, el mínimo múltiplo común será el número
formado por los factores primos comunes y los no comunes de mayor exponente.
Ejemplo: m.c.m. (180, 24).
1º . Descomponemos en factores primos: 180 = 22·
·3
2· 5 y 24 = 2
3· 3
2º . Elegimos los factores primos comunes y los no comunes: 23, 3
2y 5
3º . Los multiplicamos consiguiendo así el m.c.m. de los números propuestos:
m.c.m. (180, 24) = 22· 3
2· 5 = 180
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Actividades tema 2
225
6. Juan puede acceder a su trabajo utilizando tres líneas de metro distintas: la límea 5, la 7 y
la 11. La primera pasa por la estación cada 5 minutos, la segunda cada 6 y la tercera cada
8. El servicio empieza a funcionar a las 5 de la mañana y parten las tres líneas al mismo
tiempo. ¿Con qué frecuencia vuelven a coincidir las tres líneas?. ¿Y la segunda y tercera
líneas?.
7. Un fabricante de sillas tiene una tirada de 60 sillas a la hora. Ha comprado una máquina
empaquetadora. ¿De cuántas piezas puede ser cada lote si los empaqueta cada hora y
quiere que todos los lotes sean iguales?.
8. Quiero instalar en mi casa una depuradora individual de las aguas residuales con el
objetivo de reutilizarlas para regar el jardín. He comprado los materiales necesarios y el
repartidor del centro pasa por la zona donde se encuentra mi domicilio todos los viernes.
Si el fontanero que me lo tiene que instalar quiere aprovechar el día libre que le da la
empresa, uno cada cuatro días de trabajo, y no quiero tener los materiales almacenados en
casa ,¿cuándo podré realizar la instalación si he comprado los materiales un viernes y
coincide que ese día lo ha tenido libre el fontanero?.
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Actividades tema 2
227
b) En una ciudad turística de la costa levantina, de cada 10 turistas que recibe, 5 son
europeos, 2 son procedentes del resto del mundo y 3 son turistas nacionales. Expresa
estas cantidades en forma de fracción.
13. Expresa en forma decimal y en forma porcentual las siguientes cantidades:
a) 4/5
b) 6/10
c) 13/25
14. Escribe tres fracciones que sean propias y otras tres que sean impropias.
15. Expresa en forma de fracción una cantidad que sea superior al 100% y exprésala luego enforma decimal y porcentual.
16.
Este es el famoso cubo de Rubik. Cada una
de sus caras está formada por cuadradosque, al finalizar el juego serán todos del
mismo color y diferentes de los cuadrados
de otras caras.
a) Expresa, mediante una fracción que
utilice como denominador el número
total de cuadrados, la cantidad de
superficie del cubo de color blanco.
b) Expresa, mediante una fracción que
utilice como denominador el número
total de caras, la cantidad de superficie
del cubo de color blanco.
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Actividades tema 2
228
c) ¿Cómo son estas fracciones entre sí?.
17. Obtén la fracción irreducible de las siguientes fracciones:
150
50,
120
30,
8
2,
10
5,
9
3,
106
53
Después identifica las que sean equivalentes entre sí.
18. Escribe en forma de decimal los siguientes porcentajes:
a) 16%
b) 34%
c) 80%
d) 120%
19. Cálculo mental. Expresa en forma de fracción:
a) 25%
b) 50%
c) 75%
d) 20%
e) 150%
Una misma cantidad puede ser expresada en forma de fracción, decimal o
porcentual. Existen diferentes procedimientos para pasar de una forma a la
otra. Los puedes repasar en este apartado del libro de texto.
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Actividades tema 2
229
20. Observa la siguiente tabla en la que figura el marcador final de un partido de baloncesto
entre el Real Madrid y el Tau Vitoria y las puntuaciones individuales conseguidas por
cada uno de los jugadores para su equipo.
a) Expresa en forma de fracción y porcentual lapuntuación conseguida por Herreros.
b) Expresa en forma de fracción y porcentual la
puntuación total obtenida por Djordjevic.
c) Expresa en forma de fracción y porcentual la
puntuación conseguida por cada uno de los jugadores
del Tau Vitoria.
21. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor:
50
8
,10
4
,5
1
,10
3
,5
3
22. Calcula:
a) =+
5
4
5
2
b) =+
5
1
3
2
c) =−+
2
1
2
5
2
3
d) =−7
1
5
2
e) =
4
2·
3
1
f) =
5
3:
3
2
g) =
+
5
1
4
2
2
11
h) =+
7
6·
5
2
3
1
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Actividades tema 2
230
23. Resuelve:
a) Calcula el número de botellas de vino de ¾ de litro se podrán llenar con los 50 litros
de un tonel.
b) En la recogida de fruta de un terreno cada remolque que se llena supone los 3/14 del
total. Si los 2/3 de cada remolque son frutas que han de madurar en cámaras, expresaen forma de fracción la cantidad de fruta que se puede consumir directamente de cada
remolque.
c) La venta de cerveza sin alcohol se realiza en envases de 1/5 o de 1/3 de litro. Calcula
cuándo se adquiere más bebida, al comprar 6 botellas de 1/5 de litro o al comprar 4
botellas de 1/3 de litro.
24. Resuelve:
a) Una máquina fabrica 30 piezas en 3/4 de hora. ¿cuántas piezas fabricará al cabo de 60
horas?
b) Calcula la fracción de balsa de riego que queda si un regante utiliza 3/7 del total y otro
1/3 de lo que queda.
25. Las necesidades calóricas aproximadas por persona y día son:
Adultos Adolescentes
Hombres 2500 a 4000 3000 a 3500Mujeres 2100 a 3000 2900 a 3200
El 15% deben ser aportadas por proteínas, el 55% por hidratos de carbono y el 30% por
grasas.
Calcula las calorías que deben aportar cada uno de los principios básicos en el caso de los
adultos.
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Actividades tema 2
232
30. Calcula la ganancia, en términos de porcentaje, que obtiene un comerciante en los
artículos vendidos en el periodo de rebajas si carga un 70% sobre el precio de coste en
temporada y aplica después una rebaja general del 30% a sus artículos.
31. Observa la siguiente información que sobre las reservas de agua de una zona se publicó en
prensa:
a) Calcula la capacidad total de las reservas acuíferas.
b) Calcula el porcentaje “perdido” en el último día
con respecto al que había el 15/8/01
c) Calcula el porcentaje en que han aumentado las
reservas con respecto a la misma fecha del año
anterior.
32. En la fabricación de un kilo de papel reciclado se utiliza papel usado, 2000 l de agua y 2’5
kw de energía. Si el papel no es reciclado se necesita 2’1 k de madera, 150000 l de agua y
6200 kw de energía. Calcula el ahorro de las tres materias primas si se fabrica papelreciclado y exprésalo en porcentajes.
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Actividades tema 2
234
36. La dueña de una tienda de confección carga el precio de los artículos que ha adquirido en
el mayorista con el 50%.
En rebajas, con el objeto de vender todos los artículos de la temporada, rebaja el 50% a
las piezas que no ha vendido, con la idea de no perder ni ganar nada con respecto alprecio de compra. ¿Crees que es acertada esta medida?
2. MEDIMOS EL TIEMPO
37. Si A = 3 h 25’ 32’’, B= 2h 30’45’’, calcula:
a) A + B
b) A – Bc) 3 · A
d) B : 3
38. Una ONG quiere realizar un envío de medicamentos a un campamento que ha instalado en
un país del tercer mundo. Quiere calcular la duración del vuelo que lo transportará para
tomar las medidas oportunas para la conservación de las medicinas. En la agencia le
indican que el avión sale a las 13h 15’y llega a las 14h 10’.
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Actividades tema 2
235
39. Una persona quiere grabar en una cinta de VHS de cuatro horas, de la que ya ha utilizado
2horas y 45 minutos, un programa de 43 minutos. Calcula el espacio que le quedará libre
en la cinta.
40. A un paciente le han recomendado que practique diariamente la natación para ayudar a su
rehabilitación. Su trabajo le permite dedicarle 2 horas y 40 minutos al día. Calcula el
tiempo que dedica a la natación semanalmente si los domingos la piscina permanece
cerrada.
41. Durante el viaje de fin de curso a Sevilla, los alumnos de un centro de FPA realizan el
siguiente recorrido: toman el tren en Valencia a las 3:45 y llegan a Córdoba a las 11:15.
Después de visitar la ciudad vuelven a coger el tren a las 17:05 llegando a Sevilla a las
19:50. Calcula el tiempo que han permanecido en el tren en los dos viajes.
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Actividades tema 2
236
42. Una persona que realiza solamente llamadas provinciales quiere realizar un estudio para
ver con qué compañía contrata sus servicios de telefonía fija.
Para ello decide calcular cuál habría sido el coste de un mes aplicando las tarifas de dos
de las compañías que le parecen más competitivas.
TarifasCompañía A Compañía
Llamadas provinciales Euros/min. Euros/min.
8h a 20h (L–V) 0’06 0’03
20h a 8h (L–D) 0’03 0’03Notas La compañía A no cobra establecimiento de llamada.
La compañía B cobra 0’09 euros por est ablecimiento de llamada.
Consumos
En el libro de texto se realiza un estudio comparativo del precio de las
llamadas telefónicas entre varias compañías. Lo puedes repasar en esteapartado del libro de texto.
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Actividades tema 2
237
Realiza el estudio y extrae conclusiones.
43. Observa la programación de los cinco canales públicos y privados nacionales y contesta:
a) Duración del programa “Cartelera”que se emit e por TVE-1
b) Sistema en el que se expresan las horas.
c) Expresa en ambos sistemas el horario de comienzo de “Informe semanal”.
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Actividades tema 2
238
"6
50&7"-6"$*0/
Cuestiones de autoevaluación.
1. Contesta verdadero o falso:
a) 3 es múltiplo de 27
b) 3 es divisor de 27
c) 3 es divisible entre 27
d) 27 es divisible entre 3.
2. La descomposición en factores primos de 60 es:
a) 6 · 10b) 22
· 5 · 3
c) 22
· 52
· 3
d) 6 · 5 · 2
3. La afirmación verdadera es:
a) 30% = 30
b) 3% = 3:100
c) 3% = 0’3
d) 3% = 3 · 100
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:
a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la que
aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea de tu
aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de refuerzo o
ampliación, o no es necesario.
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Actividades tema 2
239
4. Los ¾ de 120 son:
a) 90
b) 160
c) 75%d) No se puede calcular
5. El resultado de4
1
3
2+ es:
a) 3/7
b) 2/12
c) 1
d) 11/12
6. La afirmación verdadera es:
a) 2/4 = 3/5
b) 2/4 = 50 · 100
c) 2/4 = 50%
d) 2/4 = 0’2
7. La fracción equivalente a 3/5 es:
a) 8/10
b) 6/10
c) 1/15
d) 5/3
8. El cálculo del 3% de 600 se realiza con la expresión:a) 600 · 0’3
b) 600 : 3
c) 600 · 0’03
d) 600 : 0’3
9. Una subida del 20% a 500 se calcula mediante la expresión:
a) 500 + 0’20
b) 500 : 1’2
c) 500 + 1’2
d) 500 · 1’2
10. Una subida del 10% y una bajada posterior del 50% a una cantidad es equivalente a:
a) Una subida del 40%.
b) Una bajada del 45%.
c) Una subida del 55%.
d) Una bajada del 55%.
11. La expresión decimal en minutos de 3 minutos y 40 segundos es:
a) 3’4
b) 3’67
c) 4’3
d) Ninguna es verdadera.
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Actividades tema 2
240
12. La expresión sexagesimal en minutos de 6’2 minutos es:
a) 6’12’’
b) 6’2’’
c) 2’6’’d) Ninguna es verdadera.
13. Si un número lo multiplicamos por 0’3, en términos de porcentajes, podemos interpretar
que:
a) Le calculamos el 30%.
b) Le calculamos una bajada del 70%.
c) a y b son correctas.
d) Le calculamos una subida del 30%.
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
YIdentificar y calcular múltiplos y divisores de un número.
YDescomponer un número en factores o en factores primos.
YBuscar múltiplos y divisores comunes a varios números.
YComprender el significado de una fracción y su relación con los decimales y los
porcentajes.
YAprender el significado y calcular fracciones equivalentes.
YRealizar operaciones con fracciones en cálculos sencillos.
YRealizar cálculos que impliquen porcentajes utilizando el número decimal
correspondiente.
“Aún tengo dificultades en …”
“TENGO DUDAS EN”
Y.................................................................................................................................
Y.................................................................................................................................
Y.................................................................................................................................
Y.................................................................................................................................
“En cuanto a las actividades…”
YMi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
YTengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
YMe ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
tema puedo realizar las actividades de ampliación.
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Soluciones tema 2
243
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1.
a) Múltiplos de 15.Calcularemos los 6 primeros ya que son infinitos. Se obtienen multiplicando el 15 por,
1, 2, 3, …Æ 15 (15 · 1 ), 30 (15 · 2), 45 (15 · 3), 60 (15 · 4) , 75 (15 · 5 ), …
Divisores. Son los números que dividen a 15 exactamente Æ1, 2, 3, 5, 15.
b) Si procedemos igual para el resto de apartados obtenemos estos resultados:
Múltiplos: 20, 40, 60, 80, 100, …
Divisores: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
c) Múltiplos: 36, 72, 108, 144, …
Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
d) Múltiplos: 17, 34, 51, 68, 85, …
Divisores: 1, 17 (Se trata de un número primo).
2. a) 2100 2
50 5 100 = 2· 2· 5· 5 = 22· 5
2
25
5
3
b) 12 2 12 = 3· 2· 2 = 3· 22
4
2
3
c) 6
36 2 36 = 3· 2· 3· 2 = 32· 2
2
6 32
3
d) 12120 4 2 120 = 3· 2· 2· 2· 5 = 3· 2
3· 5
2
10 2
5
3. Tenemos en cuenta que cada 0 al final de la cantidad se descompone en dos factores primos, un dos y un
cinco
a) 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2· 5 · 2· 5 = 23· 5
3
b) 12· 100 = 3 · 22
· 22
· 52
= 3 · 24
· 52
c) 36· 10 = 22· 3
2· 2 · 5 = 2
3· 3
2· 5
d) 35· 10000 = 5 · 7 · 24· 5
4= 2
4· 5
5· 7
4. Hemos de buscar el primer día que sea múltiplo de 12 y de 20 al mismo tiempo, luego hemos de calcular el
m.c.m.(12, 20)
Múltiplos de 12 12, 24, 36, 48, 60, 72, …
Múltiplos de 20 20, 40, 60, 80, …
El mínimo de los múltiplos comunes es el 60. Dentro de 60 días lo podré celebrar.
Procedemos de la misma forma en el caso de 3 y 5, pero utilizando otro método para calcular el mínimo
común múltiplo: tomamos el mayor, el 5, y comprobamos si es múltiplo de 3. Como no lo es probamos con
el 10, como tampoco lo es, con el 15,…Resulta que el 15 si es múltiplo de 3, luego ése es el mínimo común
múltiplo de ambos números. Dentro de 15 días lo podré celebrar.
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Soluciones tema 2
245
17. Obtenemos las fracciones equivalentes:
3
1)50(:
150
50;
4
1)30(:
120
30;
4
1)2(:
8
2;
2
1)5(:
10
5;
3
1)3(:
9
3;
2
1)53(:
106
53======
Fracciones equivalentes entre sí son pues:
Las fracciones equivalentes indican la misma cantidad y por eso se pueden relacionar mediante el signo
igual.
18. Tenemos en cuenta que el 16% indica 16 de cada 100 y que 16'0100
16= . Igualmente en el resto de los
apartados.
a) 0’16
b) 0’34
c) 0’8
d) 1’2
19. Tenemos en cuenta que el 25% indica 25 de cada 100 y que4
1
100
25= .
a) ¼ b) ½ c) 3/4
d) 1/5 e) 3/2
20.a) 13 de 63 son 13/63 =0’2063 = 20’63%.
b) 9/63 = 1/7 = 0’14285= 14’29%.
c) Bennett y Nocioni: 9/71 = 12’68%Foirest: 23/71 = 32’39%
Tornasevi: 10/71 = 14’08%
Oberto: 4/71 = 5’63%
Corchiani: 3/71= 4’23%
Vidal: 7/71 = 9’86%
Socia: 6/71 = 8’45%.
21. Expresamos las fracciones con el mismo denominador, el mcm(50,10,5) = 5050
8,
50
20,
50
10,
50
15,
50
30.
Ahora está claro que50
8
5
1
10
3
10
4
5
3>>>> . A simple vista se observa que
5
1
5
3> y que
5
3
10
3< .
22.
a) Como tienen igual denominador sumamos los numeradores: =+
54
52
56
b) Al no tener igual denominador tenemos que buscar fracciones equivalentes con el denominador
coincidente:15
13
15
3
15
10
5
1
3
2=+=+
c) Como tienen igual denominador operamos los numeradores:2
7
2
153
2
1
2
5
2
3=
−+
=−+
d) Al no tener igual denominador tenemos que buscar fracciones equivalentes con el denominador
coincidente:35
9
35
5
35
14
7
1
5
2=−=−
e) Al ser un producto no necesitan tener el mismo denominador. Multiplicaremos los numeradores, para
obtener el numerador de la fracción producto, y los denominadores, para obtener el denominador de la
fracción producto. Simplificamos el resultado dividiendo numerador y denominador entre 2:
61
122
42·
31 ==
2525 25 25 50 50 2525 25 25
2020 20 20 20 50 50 50 50
8
2
120
30;
150
50
9
3;
10
5
106
53===
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Soluciones tema 2
249
Soluciones actividades de refuerzo
1.
a) 1/7
b) 7/30
c) 2 días y 6 h = 54 h y 1 semana = 168 h. La fracción es 54/168 = 27/84 = 9/28.
2. Calculamos los incrementos del 4% multiplicando cada cantidad por 1’04.
Calefacción......................... 4300’5 ¼........................... 4472’52 ¼
Limpieza.............................902’32 ¼........................... 938’41 ¼
Ascensor .............................1005 ¼ .............................. 1045’2 ¼
Otros ................................... 832’6 ¼............................. 865’9 ¼
TOTAL ........................... 7322’03 ¼
Corresponde a cada vecino (:10) .................................. 732’20 ¼
Corresponde a cada recibo (:12)................................... 61’02 ¼
3.
a) Mayor: España, Italia, Portugal
Menor: Grecia, Bélgica, Luxemburgo
b) En España, Italia y Portugal. En Alemania no ha variado.
4. 10’5 minutos son 630 segundos.
630 : 50 = 12.
Se podrán emitir 12 anuncios y sobrarán 30 segundos.
Soluciones a las actividades de ampliación
1. Calculamos el IVA(16%): 25’7 • 0’16 = 4’11. Por lo tanto, no está bien calculado.
Veamos qué porcentaje es 5’25 de 4’11: 5’25 : 4’11 = 1’2773. Se ha cobrado un 27’73% de más.
2. Interés simple: 1250•
(1+0’
0425•
3) = 1250•
1’
1275 = 1409’
375¼
Interés compuesto: 1250 • (1’0425)3
= 1416’24 ¼
3. Cada semestre producirá: 3000 • 0’05 = 150 ¼
Calculemos los semestres en que producirá 600 ¼
Tardará 4 semestres o, lo que es lo mismo, 2 años.
4. Aplicamos el cálculo correspondiente: 200 · (1’04)3
= 224’97 ¼
630 50
130 1230
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Actividades tema 3
252
3. En la tabla siguiente aparecen los datos de superficies y población de cada continente
Sup. (millones de km2) Población (millones de hab.)
Europa 10’5 686África 30’3 452Oceanía 8’5 24Asia 44’4 2.580América 42 586
La densidad de población de una zona es la razón entre la población total de esa zona ysu área.a) Halla la densidad de cada uno de los continentes.b) Señala que continente tiene la densidad más alta.
4. Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 10 cm.a) ¿Cuánto miden los lados de otro
semejante cuyo perímetro es de 240cm.? Ayuda.- El perímetro es la suma detodos los lados.
b) El área del primer triángulo es:6 8
224
×
= cm2.
Halla el área del segundo multiplicandola base por la altura y dividiendo por 2.
c) Halla la razón que existe entre cada ladoy su correspondiente, entre los períme-tros de los dos triángulos y la que hay en-tre las dos áreas.
d) ¿Podemos afirmar que los lados yel perímetro están en proporción directa?
e) ¿Y las áreas?
6 cm
8 cm
10 cm
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Actividades tema 3
253
5. Estos dos triángulos son semejantes ¿Cuánto miden ‘a’y ‘b’?
6. Los fabricantes de T.V. indican que la mejor distancia para ver estos aparatos es aquellaque guarda con la diagonal de la pantalla la razón ‘2 /11’.
a) ¿A qué distancia debemos situarnos para ver de forma idealun televisor de 25”? ¿Y de 28”?
b) Expresa los resultados en cm.
7. En una urbanización el precio de los pisos depende de los m2 que tenga. Nos enseñan un
piso de 90 m2 que vale 180.000 euros.
a) ¿Cuánto vale el apartamento de 35 m2 que vende la urbanización?
b) ¿Y la residencia de 200 m2?Ayuda.- Reduce a la unidad calculando el precio de cada m2.
Observa que esto significa que si ‘p’ es la medida de la diagonalde la pantalla y ‘d’ es la distancia idónea entonces podemosformar una proporción igualando las dos razones:
.11
2
d
p=
7 cm
18 cm
a cm3 cm
b cm
9 cm
La pulgada (”) es unamedida inglesa que tienesu equivalencia en elSistema Métrico Decimal:
54'2"1 = cm.
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Actividades tema 3
254
8. En España para hacer el reparto de escaños al Congreso se utiliza el método D’Hont,método NO proporcional, para premiar a los partidos grandes intentando conseguir conello una mayor estabilidad política. En las elecciones de marzo de 2000 los resultados
fueron aproximadamente:
Escaños (D’Hont) Votos (miles) Escaños (proporc.)PP 183 10.000 10 000 0 0 166 166. '× =
PSOE 125 7.500 7 500 0 0166. '× =
CIU 15 900IU 8 1.200
PNV 7 350CC 4 200
BNG 3 300EA 1 100
ERC 1 200C.A 1 50PA 1 200
IC-V 1 100350 21.100
Si el total de votos ha sido de 21’1 millones, es decir 21.100.000. ¿cuál sería el repartocon un sistema proporcional?. Hazlo completando la tabla y sabiendo cuántos escañoscorresponden a cada millar de votos, esto es 350
211000 0 16 6
.'= .
9. En una nave espacial caben víveres para que 8 cosmonautas puedan alimentarse durante15 días.
a) Si finalmente viajan 6 cosmonautas, ¿para cuántos días disponen de alimentos?
b) Si se va a realizar una expedición que durará 40 días, ¿cuántos cosmonautaspueden incorporarse a esa expedición?
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Actividades tema 3
255
222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS PPPOOORRRCCCEEENNNTTTAAAJJJEEESSS
10. En un centro de Educación de personas adultas con 86 estudiantes encontramos que 50
piensan seguir estudiando en la escuela algún seminario.a) Forma la razón de personas que piensan seguir frente al total.
b) Expresa esa razón en forma de porcentaje.
11. El 80% de los españoles dice no ser racista. Si consideramos que la población total es de40 millones de habitantes ¿Cuántos millones de personas han mostrado esa opinión?
12. En el dibujo siguiente está representado un conocido juego geométrico, “El Tangram”.Calcula:a) ¿Qué razón o fracción representa el área de cada porción con respecto al área
total?
b) Expresa los resultados del apartado anterior en forma de porcentajes.
c) Exprésalos también en tantos por mil.
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Actividades tema 3
256
13. En una fotocopiadora reproducimos una foto de tamaño 10 × 15 cm.
a) Si hacemos una reduccióndel 80% ¿qué tamaño tendrá
esta copia?b) Si de esta copia hacemos
otra ampliando al 120%¿Cuál será el nuevo tamañoobtenido? ¿Qué proporciónguarda con la original?
c) Saca una conclusión queconfirme o niegue si alaumentar o disminuir al 80%y 120% respectivamente seobtiene el tamaño original o
no.d) Calcula cuánto aumenta (en
%) o disminuye la fotooriginal si inicialmenteaumentamos al 120% yposteriormente reducimos al80%.
333... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS RRREEEPPPAAARRRTTTOOOSSS
14. Dos urbanizaciones deciden instalar una piscina compartida cuyo coste es de 15.600euros. Si la primera comunidad tiene 75 vecinos y la segunda 55 y deciden pagarproporcionalmente al número de vecinos
a) ¿Cuántos euros debe pagar la primera comunidad?
b) ¿Cuánto debe pagar cada vecino?
15. El testamento de un matemático dice “Deseo que mi capital, 700.000 euros, searepartido entre los tres herederos proporcionalmente a la edad de cada uno”. Si lasedades de los tres son 40, 60 y 75 años ¿Cuánto corresponde a cada uno?
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Actividades tema 3
257
16. Al escribir un libro de Matemáticas tres autores cobraron 13.440 euros. Desean repartirel dinero según el número de temas que ha escrito cada uno. El primer autor escribió 14temas, el segundo 18 y el tercero 24. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
444... TTTRRRAAABBBAAAJJJAAAMMMOOOSSS CCCOOONNN EEESSSCCCAAALLLAAASSS
17. ¿Cuál será la distancia en el terreno entre dos lugares separados 33 mm. en un mapa sila escala de éste es 1:300.000?
18. a) Construye la escala gráfica correspondiente a E = 1:300. Para ello sólo necesitas
pensar que cada cm. de dibujo deben ser 300 cm en la realidad.b) Haz lo mismo con la escala 1:400.000.
19. Al dibujar un edificio de 50 m. de altura lo representamos con una altura de 25 cm. en el
papel.a) ¿Qué razón forman la medida del dibujo y la altura real del edificio?
b) Si una ventana mide 80 x 120 cm. ¿qué medidas debo utilizar en dibujo?
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Actividades tema 3
258
20. Observa las figuras siguientes:
a) ¿Son semejantes?
b) Halla las áreas de las caras lateralessombreadas y la razón existenteentre ellas. ¿Están en proporcióndirecta con la razón de las aristas?
c) El volumen de un prisma recto esigual al área de la base por la altura.Es decir, el volumen de la primeracaja es
V = 20 · 40 · 15 = 12.000 cm3.Halla el volumen de la segunda cajay la razón existente entre losvolúmenes.
21. Una motocicleta recorre 16 km. en 12 minutos con una velocidad constante. ¿Cuántotardará en recorrer la distancia de 50 km?
555... UUUTTTIIILLLIIIZZZAAAMMMOOOSSS LLLAAA CCCAAALLLCCCUUULLLAAADDDOOORRRAAA
22. Un año-luz es la distancia que recorre la luz en un año. Sabiendo que la luz se desplazaen el vacío a 300.000 km/s, ¿cuántos km. tiene un año-luz?
23. Conociendo la velocidad de la luz por el ejercicio anterior y sabiendo que la distanciamedia de la Tierra al Sol son 150 millones de km. ¿Cuánto tarda en llegar la luz del Soldesde su superficie hasta la nuestra?
15 cm
40 cm 20 cm
21 cm
56 cm 28 cm
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Actividades tema 3
259
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la queaparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una ideade tu aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades derefuerzo o ampliación, o no es necesario.
"6
50&7"-6"$*0/
Cuestiones de autoevaluación.
1. Completa las siguientes frases:
a) Dos figuras que tienen la misma forma pero el tamaño diferente son ....................
b) Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar unamagnitud, la otra ……………
c) 0’05 = ..........% y 17 ‰ = ......... % = ...... ...... unidades.
d) Un plano hecho a escala E=1:5.000 muestra (más / menos) ............... detalles queotro a escala E=1:500.
e) El número 5’42 · 1017 tiene ........... cifras.
2. Contesta verdadero (V) o falso (F):
a) La proporción entre el diámetro de una rueda y el númerode vueltas que da es directa.
b) Las figuras semejantes sólo se diferencian en el tamaño.
c) El porcentaje es el tanto por uno multiplicado por 100.
d) En los repartos proporcionales podemos comprobar elresultado.
e) Al aumentar la escala se reduce el dibujo.
f) La tecla EXP permite que escribamos números de 100cifras.
3. Si 300 g. de jamón cuestan 6 euros ¿cuánto costará un kg.?
a) 18 euros b) 5 euros c) 20 euros d) 20 gramos
4. Completa la tabla siguiente con valores directamente proporcionales
20 40 60
75 100 125
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Actividades tema 3
260
5. El precio de 3 metros de tela es de 12 euros ¿Cuántos cuestan 50 m.?
a) 600 euros b) 200 euros c) 150 euros d) 300 euros
6. Un coche gasta 7 litros de gasóleo cada 100 km. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido si hagastado 25 l.?
a) 227’14 km. b) 28 km. c) 250 km. d) 357’14 km.
7. Un grifo vierte 12 l/min. En una bañera tardando en llenarla 2 horas. ¿Cuánto tardaría sisu caudal fuese 15 l/min.?
a) 150 min. b) 2’5 h. c) 96 min. d) a y b son ciertas
8. El 40% de 175 es:
a) 100 b) 80 c) 70 d) 35
9. Observa el plano del salón que ves en la figura.
Halla las dimensiones de éste, si la escala es E=1:300.
a) 102 m x 66 m b) 10’2 m x 6’6 m c) 12 cm x 6’6 cm d) 102 cm x 660 cm.
10. Dos compañeros de piso compran una colección de CDs. por 126 euros. El primero de losamigos eligió 12 CDs y el 2º sólo 9. ¿Cuánto pagará cada uno?
a) 72 y 54 euros b) 54 y 36 euros c) 63 euros cada uno d) 108 y 72 euros
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
YComprender el vocabulario propio de la Proporcionalidad: razón, proporción, porcentaje,tantos por mil y por uno, prorrateo o reparto proporcional, semejanza, escala.
YReconocer cuando dos magnitudes son directa e inversamente proporcionales.
YReconocer dos figuras semejantes y hallar su constante de proporcionalidad.YResolver problemas de proporcionalidad directa e inversa.
YCalcular porcentajes y tantos por mil.
YResolver problemas de reparto proporcional.
YHallar medidas reales sobre un mapa.
YCalcular las medidas en un dibujo a escala de los elementos con medidas reales.
YOperar con números muy grandes usando la calculadora.
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Soluciones tema 3
265
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1. En las recetas las raciones y los ingredientes están siempre en proporción directa. Así tenemos
Nº de productos a) b) c) d)
Filetes (gr.)6
2
126 12 2 4= ⇒ = ⋅ ⇒ =
xx x 16 8 20
Mantequilla (gr.) 40 160 80 200
Vino(cucharadas)
1 4 2 5
Papel (hojas) 2 8 4 10
Jamón (gr.) 60 240 120 300
2. 3 huevos son para 135 gr.a) 1 huevo será 135 : 3 =45 gr.b) 6 huevos serán 45 × 6 = 270 gr.c) 4 huevos serán 45 × 4 = 180 gr.
3. a) El cálculo de la densidad se hace efectuando la división
Densidad (hab./km2)
Europa DPob
km
hab
km= = =
. . .
. .' .
2
686 000 000
10 500 00065 3 2
África 14’9
Australia 2’8
Asia 58’1
América 14
b) Europa con diferencia sobre Asia y mucha diferencia sobre los demás.
4. El perímetro de nuestro triángulo es 6 + 8 + 10 = 24 cm. Por tanto la razón es 240
2410= .
a) El correspondiente a 6 cm será 6 × 10 = 60 cm.El correspondiente a 8 cm será 8 × 10 = 80 cm.El correspondiente a 10 cm será 10 × 10 = 100 cm.
b) .24002
6080 2cm=
×
c) Para los lados 80
810= . Para el perímetro 240
2410= . Para las áreas .100
24
400.2=
d) Sí.e) No.
5. Al ser semejantes los lados serán directamente proporcionales y por tanto:7
3
187 54
54
77 7
7
3 963 3
63
321
= ⇒ = ⇒ = =
= ⇒ = ⇒ = =
bb b
aa a
' .
• .
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Soluciones tema 3
266
6. a)
||
||
1542
308d11·28d·2
d
28
11
2
5'1372
275d11·25d·2
d
25
11
2
==⇒=⇒=
==⇒=⇒=
b).9'316'39154'2·154
.5'325'34954'2·5'137||
||
mcm
mcm
≈=
≈=
7. El tanto por uno es lo que vale cada m2. Es decir .000.290
000.18022 m
m
∈=
∈
a) 35 × 2.000 = 70.000 ¼ b) 200 × 2.000 = 400.000 ¼
8. Si completamos la tabla tal y como nos muestran los dos primeros ejemplos tendremos:
Escaños (D’Hont) Votos (miles) Escaños (proporc.)PP 183 10.000 166
PSOE 125 7.500 124CIU 15 900 15IU 8 1.200 20
PNV 7 350 6CC 4 200 3
BNG 3 300 5EA 1 100 2
ERC 1 200 3C.A 1 50 1PA 1 200 3
IC-V 1 100 2350 21.100 350
9. a) La razón de los cosmonautas es6
8 y la de los días x
15 , como vemos si hubiese la mitad de viajeros
durarían el doble de tiempo los víveres por lo que las magnitudes son inversas y a la hora de establecer laproporción debemos invertir una de las dos razones quedando
206
12015·8·6
15
8
6==⇒=⇒= x x
x
días.
b) Podemos resolverlo igual que antes estableciendo 340
15
8=⇒= x
x astronautas. También podemos
hacerlo reduciendo a la unidad. Si 8 pasajeros tienen para 15 días uno solo tendrá para 15 · 8 = 120 días. Portanto como 40 son la tercera parte de 120 días podrán viajar el triple de cosmonautas. Es decir, 1 · 3 = 3personas.
10. a) 50
860 581= ' b) 0’581 × 100 =58’1 %
11. 80%80
1000 8 0 8 40000000 32000000= = ⇒ × =' ' . . . . hab.
12. a) b)
c) 25 % = 250 o / oo.
6’25 % = 62’5 o / oo.
12’5 % = 125 o / oo.4
16
1
4=
4
16
1
4=
2
16
1
8=
2
16
1
8=
2
16
1
8=
1
16
1
16
25 %
25 %
'
12 5' %
6 25' %
6 25' %
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Soluciones tema 3
267
13. a) Ancho: de
Largo: de
80% 10 8
80% 15 128 12
=
=
⇒ ×
b) Ancho: deLargo: de
120% 8 9 680% 12 14 4
9 6 14 4=
=
⇒ ×''
' '
c) Reduciendo una cantidad un 20% y aumentando el resultado posteriormente el 20%, la cantidad inicialse reduce a un 96%, es decir un 4% de reducción.
d) }Aumento: de disminución: de120% 10 12 80% 12 9 6= → = ⇒; ' Reducción del 4% también.
14. a) El total de vecinos es 75 + 55 = 130. Por tanto las razones de cada urbanización son:
La 1ª comunidad:75
130
La 2ª comunidad:55
130
= ⇒ × =
= ⇒ × =
0 58 0 58 15600 9000
0 42 0 42 15600 6600
' ' . .
' ' . .
b) 15.600÷
130 = 120¼
15. El total de años para hacer las razones iniciales es 40 + 60 + 75 = 175.
El 1 heredero:40
175
El 2 heredero:60
175
El 3 heredero:75
175
er
0
er
= ⇒ × = ∈
= ⇒ × = ∈
= ⇒ × = ∈
0 23 0 23 700 000 160000
0 34 0 34 700000 240000
0 43 0 43 700000 300000
' ' . . .
' ' . . .
' ' . . .
16. El total de temas para hallar las razones iniciales es 14 + 18 + 24 = 56.
El 1 autor:14
56
El 2 autor:18
56El 3 autor:
24
56
er
0
er
= ⇒ × = ∈
= ⇒ × = ∈
= ⇒ × = ∈
0 25 0 25 13440 3360
0 32 0 32 13440 4320
0 43 0 43 13440 5760
' ' . . .
' ' . . .
' ' . . .
17. 33 mm. × 300.000 = 9.900.000 mm. ⇒ 9’9 km.
18. a) Cada 100 cm es un m, por tanto: b) Como 1 km tiene 100.000 cm:
19. a) E =25 cm
50 m
25 cm
5.000 m
1
200= =
c.
b) 80 cm : 200 = 0’4 cm = 4 mm120 cm:200 = 0’6 cm = 6 mm.
20. a) Sí, porque 40
56
20
28
15
210 714= = = ' .
b) Las áreas del primer y segundo rectángulos respectivamente son: 20 · 15 = 300 cm2; 28 · 21 = 588 cm2.
No están en proporción directa con sus lados puesto que: 0 7120
28
15
21
300
5880 51' ' .= = ≠ ==
c) El área de la base de la 2ª caja es 56· 28 = 1568 cm2. Por tanto el volumen esV =1568 · 21= 32.928 cm3.
Tampoco están en proporción directa porque la razón entre volúmenes es:12000
32 9280 36 0 71
.
.' . ' .= ≠
21. La velocidad de un móvil y la distancia que recorre son directamente proporcionales (la velocidad con eltiempo son inversamente proporcionales) por tanto
1612
5016 50 12
60016
37 5km
min
km
x minx x min= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = = ' .
3 m 4 km
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Actividades tema 4
272
3. La depreciación anual del valor de un coche es del 20%.a) Completa la tabla de depreciación de un coche en de 5 años si se compró por 12.300 ¼
AÑOS 1 2 3 4 5VALOR 0’8 x 12.300 = 9.840
b) Representa los resultados gráficamente.
c) Comenta los resultados.
4. En el prospecto de cualquier medicamento encontramos cuál es la dosis adecuada enfunción de unos parámetros. Vamos a tomar un jarabe del que sabemos que por cada kilode peso del enfermo debemos administrar 1 ml del jarabe, pero la dosis nunca puedeexceder de 62 ml y tampoco debe ser suministrada si el paciente pesa menos de 10 kilos.a) Completa la tabla que indica la dosis de jarabe según el peso del paciente.
PESO 10 15 30 45 60 61 62 75 80DOSIS 10
b) Elige una escala adecuada y traza la gráfica que indica la dosis según el peso.
c) Tiene alguna curiosidad esta gráfica.
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Actividades tema 4
273
5. Un atleta realiza todas las tardes el siguiente recorrido:a) Sale andando hacia el garaje, que está a 500 metros de distancia, para recoger la moto.
Tarda en este trayecto 10 minutos.
b) Permanece en el garaje 5 minutos, tiempo que emplea en arrancar y abrir y cerrar lapuerta.
c) Con la moto se dirige a las pistas, a las que llega en 10 minutos y que se encuentran a5.000 metros del garaje (es muy prudente y no le gusta correr).
d) Entrena durante hora y media.e) Vuelve tranquilamente hasta su casa en moto empleando un tiempo de 20 minutos.f) Merienda durante media hora.g) Se acerca hasta el garaje con la moto en 5 minutos.h) Dejar la moto bien colocada y abrir y cerrar la puerta le lleva otros 5 minutos.i) Regresa a casa a pie para lo que necesita 10 minutos más.Realiza una gráfica que recoja los desplazamientos descritos del atleta.
6. Vamos de senderismo y nuestra ruta tiene el siguiente perfil.
Necesitamos construir un gráfico que representeesta situación:Representa el tiempo que transcurre desde queempiezas en el punto A, hasta que finaliza la
excursión en el punto F , dependiendo de los Kmque vayas recorriendo y teniendo en cuenta:- Tramo A-B son 3 km y se sube a 3 km/h.- Tramo B-C son 10 km caminando a 5 km/h.- Tramo C-D son 5 km bajando a 10 km/h.- En el punto D descansamos media hora ydecidimos volver por otro sitio.- Tramo D-E tiene 12 km y vamos a 4 km/h- El tramo E-F tiene 6 km y lo hacemos a 4 km/h.
FE
A CB
D
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Actividades tema 4
274
0
50
100
150
200
0 2 4 6 8 10 12 1416 18 20 22 24 26 28
Edad(años) E s t a t u r a ( c m . )
222... AAANNNAAALLLIIIZZZAAAMMMOOOSSS GGGRRRÁ
ÁFFFIIICCCAAASSS
7. Aquí tienes una tabla de datos que relaciona a cuatro personas con su edad y su altura, y lagráfica correspondiente. Asocia a cada uno de los puntos de la gráfica el nombre de lapersona a la que representa.
8. El crecimiento de una persona viene expresado en la siguiente gráfica:
a) Indica cuáles son las variablesque se relacionan.
b) ¿Qué significa que la gráfica
pase por los puntos (8,125) y(16,170)?.
c) ¿A qué edad alcanza 150 cm.?
d) ¿Qué altura tendrá a los 25años?.
e) Realiza un breve informe quedescriba el crecimiento de estapersona.
150
155
160
165
170
175
0 10 20 30 40 50
Edad
A l t u r a
a
bc
d
NOMBRE EDAD ALTURAJuan 14 160Jaime 35 155Ana 26 170Sonia 43 165
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Actividades tema 4
275
9. Elige la gráfica que mejor se ajusta a cada una de las situaciones siguientes.
a) La inflación sigue creciendo y cada vez más rápidamente en estos últimos meses.
b) El estudio sobre el precio que ha de tener un artículo indica que si es muy barato odemasiado caro se perderá dinero.
c) Cuanto más barato sea un artículo más unidades podré adquirir.
d) Se venden mucho las naranjas de pequeño calibre (para zumos) y de gran calibre (parapostre) pero apenas se venden las de calibre intermedio.
e) El precio del petróleo sigue bajando pero cada vez menos.
f) El banco europeo sigue aumentando el precio del dinero, pero cada vez máslentamente.
10. Describe una situación que se pueda hacer corresponder con la siguiente gráfica:
11. La gráfica que expresa la altura que alcanza una piedra desde que ha sido lanzada hastaque vuelve al suelo según va transcurriendo el tiempo es:
a) ¿Durante cuánto tiempo estáaumentando la altura? ¿Cómointerpretas que sea creciente?
b) ¿Qué ocurre a partir del segundo 9?
c) ¿Dónde se encuentra el máximo?¿Qué significado tiene? ¿Qué pasacon la velocidad en ese instante?
7
1 2 4
5
3
6
0
50
100
150
200
0 50 100 150Tiempo(min.)
D i s t . ( m . )
Tiempo (s)
Altura (m)
100
2 4 6 8 10 1412 16 2018
300
200
400
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Actividades tema 4
276
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5
tiempo (horas)
distancia (km)
0
5
10
15
20
1 2 3
tiempo (h)
distancia (km)
12. Las siguientes gráficas representan las excursiones al campo que realizamos losdomingos. Podrías contar en qué consistió la excursión de cada domingo. Ayúdate de laspreguntas que están a la derecha de cada gráfica.
a)• ¿Qué ocurre entre la 2ª y 3ª
hora?
• ¿Qué velocidad llevamos en la1ª hora?.
• ¿Y en la última?
• ¿Cómo podríamos justificar esecambio en la velocidad?.
b)• ¿Cuántos km hemos recorrido en
la primera hora?. ¿Y en lasegunda?
• Calcula la velocidad en los dostramos anteriores. ¿Por quémotivo hemos cambiado lavelocidad?
• ¿Qué pasa entre la segunda y latercera hora?.
• ¿Cuántos km hemos andado entodo el trayecto?
• ¿Desde dónde salimos?. ¿Qué explicación le podríamos dar?.• Si por el camino nos encontramos marcas que nos indican a qué distancia estamos
¿Qué distancia es la máxima que veremos?.
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Actividades tema 4
280
19. La siguiente tabla refleja el peso y la altura entre las niñas de 2 a 18 años
Edad 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Peso (kg) 11 15 19 23 30 39 48 52 52Altura (cm) 85 100 105 125 138 149 158 162 162
a) Elabora una gráfica que te permita saber el peso y la altura conociendo la edad.b) ¿A qué edad se detiene el crecimiento de las chicas?c) ¿Qué dirías a una chica de 13 años que pesa 30 kg?d) De los 10 a las 12 años, ¿cuánto aumenta el peso?, ¿cuánto la altura?. ¿Aumentan en
la misma proporción?
20. La variación que experimenta el peso y el tamaño del feto durante los meses de gestaciónvienen expresados en la siguiente tabla:
Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9Tamaño (mm) 8 40 90 200 300 350 400 450 500Peso (g) 0´ 5 5 40 200 500 1000 1500 2500 3200
a) Representa en una gráfica la evolución del peso y el tamañob) ¿En qué período es más rápido el crecimiento?c) ¿A partir de qué mes el crecimiento es más lento?d) ¿Cuánto mediría y pesaría un feto si naciera a las 30 semanas?
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Actividades tema 4
281
21. Cada mes nos hacemos un análisis de sangre para controlarnos el nivel de glucosa, ésta semide en mg por cada 100 ml. Simultáneamente se mide la cantidad de plaquetas por mm 3.La tabla muestra los resultados en los últimos 8 meses.
Meses E F M A M J J AGlucosa 90 98 120 100 90 75 95 130Plaquetas(miles) 200 210 220 200 205 300 215 200
Teniendo en cuenta que:Los valores normales de glucosa oscilan entre 75 y 105 y que las plaquetas aumentan enlos procesos infecciosos.
a) Haz una representación gráfica de la situación.
b) ¿Dónde se alcanzan los máximos de glucosa. ¿A qué crees que es debido?
c) ¿Y el mínimo de glucosa?. ¿Qué mes presenta más cantidad de plaquetas? ¿Encuentrasalguna relación entre la disminución de glucosa y el aumento de plaquetas?
444... UUUTTTIIILLLIIIZZZAAAMMMOOOSSS EEELLL OOORRRDDDEEENNNAAADDDOOORRR22. Haz la gráfica de la glucosa y las plaquetas del ejercicio 21 con la hoja de cálculo.
Introduce en las dos primeras filas los valores de estos dos componentes y utiliza el iconoadecuado.
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Actividades tema 4
282
"6
50&7"-6"$
*0/
Cuestiones de autoevaluación.
1. Completa las siguientes frases:
a) La coordenada de la variable independiente se llama ……………y se señala sobreel eje ………………
b) Cuando en una gráfica todas las marcas de alrededor de un punto están por encimade éste decimos que en ese punto tiene un…………..
c) Si en una gráfica al desplazarnos hacia la derecha la gráfica sube decimos que es……………..
d) Si una gráfica es ………… no puede haber cambios bruscos de ordenada.
e) Cuando hay representadas dos gráficas simultáneamente sobre unos ejes, lospuntos en que se cortan las gráficas indican que los valores de ambas expresionesson……………en esos puntos.
2. Contesta verdadero (V) o falso (F):
a) La magnitud que es independiente se representa en el ejede ordenadas.
b) Una gráfica que no tiene máximos tampoco tienemínimos.
c) Si una gráfica antes de un punto es creciente y luegodecreciente tiene un máximo.
d) Las gráficas sin saltos son constantes.
e) La escala de los dos ejes no tiene que ser necesariamentela misma.
f) El icono que debes utilizar para hacer un gráfico con la
hoja de cálculo es .
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con laque aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una ideade tu aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades derefuerzo o ampliación, o no es necesario.
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Actividades tema 4
283
3. La representación gráfica de la tabla siguiente
X 20 30 40 50 60
Y 50 75 100 80 80es:
4. En la noria cada coche sube y baja periódicamente ¿Cuál de las siguientes gráficas es laque representa la altura respecto al suelo según varía el tiempo?
5. Elige la gráfica que se representa la siguiente situación: “ Juan va de su casa al trabajo. Al
salir del trabajo va a un restaurante que está a medio camino entre su casa y el trabajo.
Al acabar de comer se va a casa”.a) b) c) d)
6. En la gráfica siguiente se muestra la temperatura de la atmósfera dependiendo de la alturaa la que se tome la medida. ¿Qué texto es el más adaptado a ella?
a) La temperatura inicialmente es cre-ciente y luego va cambiando.
b) La temperatura tiene un tramo donde escreciente entre los 15 y los 50 km y otroentre los 85 y los 100.
c) La temperatura es decreciente con laaltura.
d) La temperatura mínima en la atmósferase alcanza a los 15 km.
Temperatura atmósférica
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
altura(km)
T(ºC)
a) b) c) d)
X X X X
Y Y Y Y
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Actividades tema 4
285
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
YComprender el vocabulario propio de gráficas: Magnitudes independientes o dependientescontinuidad, discontinuidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, abscisas,ordenadas.
YConstruir una gráfica a partir de una tabla de valores.
YConstruir gráficas a partir de un texto donde se indican las variaciones que se producen.
YAnalizar gráficas estudiando los tramos de crecimiento, decrecimiento, los puntos dondela gráfica alcanza máximos y mínimos y reconocer cuando una gráfica tiene o no saltos.
YComparar dos gráficas trazadas sobre los mismos ejes y reconocer el significado de lospuntos donde se cortan.
YIntroducir los valores de la variable dependiente en las celdas de la hoja de cálculo Excely trazar con ayuda de este programa el gráfico.
“Aún tengo dificultades en …”
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
“En cuanto a las actividades…”
YMi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
YTengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
YMe ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
tema puedo realizar las actividades de ampliación
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Actividades tema 4
288
5. Se ha hecho un estudio de la evolución del turismo en España y se quiere comparar comose desarrolla a lo largo del año en tres destinos turísticos por excelencia, la gráficaresultante es la siguiente
a) ¿Cuál de las tres zonas tiene más visitantes en verano?
b) ¿Cuándo tienen las tres zonas los mismos visitantes?
c) ¿En que periodo es creciente el turismo en Baleares?
d) ¿Qué zona tiene un turismo más regular (el número de turistas es constante?
e) ¿En qué periodo tiene más turismo Levante que Canarias?
Evolución porcen tual del núm ero de v is i tantes
extranjeros en España
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
e f m a m j j a s o n d
%
B a le a re s L e v a n te C a n a ria s
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Actividades tema 4
289
"$5*7*%"%&4 %& " .1-*"$*0/
1. Los cestillos de una noria suben y bajan mientras gira la distracción. La gráfica quemuestra la distancia de uno de ellos al suelo según varía el tiempo es la siguiente:
a) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?
b) ¿Cuántos máximos tiene y cuál es la altura máxima?
c) ¿Y la mínima?
d) Podrías calcular la altura a los 120, 130 y 140 segundos (no es necesario queamplíes la gráfica).
2. El perímetro del cráneo de un niño presenta el siguiente crecimiento:• Durante los 3 primeros meses de vida alcanza los 40 cm.• En los 6 meses siguientes el perímetro ha aumentado 4 cm.• En los siguientes 6 sólo aumenta 2 cm.• En los 18 meses siguientes aumenta 3 cm.
a) Completa la siguiente tabla
MESES 3 9 15 33PERÍMETRO 40 44
b) Elige la escala adecuada y representa la gráfica.
c) Fijándote en la gráfica, contesta:
¿Cuál será el perímetro a los 6 meses?, ¿y a los 12 meses?¿Cuánto mide el cráneo a los 21meses, y a los 27?
Algunas gráficas comoésta tienen un tramo quese repite sucesivamente.Estas gráficas se dice queson periódicas y a ladistancia entre dos
puntos que ocupan lamisma situación se lellama periodo.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 20 40 60 80
tiempo (s)
altura (m)
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Actividades tema 4
290
3. a) Completa la tabla que relaciona la base de un rectángulo cuya área es de 240 cm2.
Base (cm) 5 10 15 20 25 30
Altura (cm) 485
240= =
10
240
b) Representa gráficamente la tabla.
c) ¿Es creciente o decreciente esta gráfica?
El área de un rectángulo
es igual al producto de labase por la altura.
h B A ×=
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Actividades tema 4
291
0
15000
30000
45000
60000
1800 1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 2000
Año
H a b i t a n t e s
4. La gráfica adjunta muestra la evolución de la población en una ciudad según los censosque se han ido haciendo
a) ¿En qué años hay aumento de lapoblación? ¿Y cuándo disminuyó?
b) ¿Cuál fue el año que tuvo elmáximo de habitantes? ¿Y elmínimo?
c) ¿Se te ocurren algunas razonespara los descensos de la población?
5. Esta gráfica nos muestra las concentraciones de dióxido de carbono (CO2) en laatmósfera. ¿Qué comentarios te sugiere la gráfica?
260
280
300
320
340
360
1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000
C o n c e n t r a c i ó n
( p p m
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Actividades tema 4
292
6. Estas gráficas describen aproximadamente el comportamiento de tres atletas durante unacarrera de 400 m lisos.
a) ¿Cuál de los tres salió a másvelocidad?
b) ¿Quién ganó la carrera?
c) Describe que posiciónocupaba cada uno de loscorredores a lo largo de lacarrera.
7. Observa las siguientes gráficas que relacionan el aumento salarial y el IPC interanualdesde 1994 hasta 2000.
a) Analiza la primera gráfica.
b) Analiza la segunda gráfica.
c) Compara ambos análisis y comentalos resultados.
d) Elabora una tabla de datos dondefigura la variación del poderadquisitivo de los trabajadores a lolargo de los años estudiados.
0
100
200
300
400
0 10 20 30 40 50 60
tiempo (s)
distancia (m)A C
B
Aumento salarial/IPC interanual
3,43,7 3,8
2,9 2,62,3
1,8
0
1
2
3
4
1992 1994 1996 1998 2000 2002
0
1
2
3
4
5
1992 1994 1996 1998 2000 2002
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Actividades tema 4
293
8. Representa gráficamente las fórmulasa) y = xb) y = 2xc) ¿Qué forma tienen las dos?d) ¿Qué punto tienen en común?e) ¿Qué ocurre cuando el número que multiplica a la x se hace más grande?f) Investiga que ocurrirá cuando ese número sea negativo
A veces la relación entre dos magnitudes se puede expresar mediante una fórmula que nos
indica las operaciones que debemos realizar sobre la variable independiente para ir obteniendolos correspondientes valores de la dependiente.Por ejemplo la fórmula f(x) = 5· x expresa que la ordenada de cada abscisa se obtienemultiplicando ésta por 5.Para representar estos gráficos podemos ayudarnos con la elaboración de una tabla eligiendoarbitrariamente los valores de las abscisas y calculando mediante la fórmula los valores de lasordenadas.En nuestro caso por ejemplo Su representación será:
X 2 4 6 8 ...f(X) 5 · 2 = 10 20 30 40 ...
La fórmula anterior se puede utilizar para el estudio de diferentes situaciones reales como porejemplo: la representación del espacio recorrido por una persona en función del tiempotranscurrido si camina a una velocidad de 5 km/h (e = v · t ), la representación del coste devarios artículos cuyo precio por unidad es de 5 ¼ coste = precio unidad × nº unidades), etc.
2 4 6 8
10
20
30
40
O
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Soluciones tema 4
294
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1.a) V. Independiente: semanas. V.
Dependiente: cotización.
b) Escala de los ejes. Por ejemplo de0’0050 en 0’0200.
c) Empieza en 0’8400.
d) Æ
e) Como el tiempo varía de formagradual la gráfica será continua si no
hay ningún instante en el que seproduzca algún cambio brusco decotización como ocurrió por ejemploel pasado 11-Sept-02.
2. a) b)
CONSUMO (m3) COSTE ( ¼0 8’335 9’93
10 11’5315 13’1320 14’7325 15’33
c) Sí, pues el consumo de agua puede tomar cualquier valor entre 0 y 25 aunque en la tabla no esteexpresado.
3. a) y b)
AÑOS VALOR1 9.840
2 7.8723 6.297’64 5.038’085 4.030’46
c) Observa cómo en 5 años pierde más de la mitad de su valor original.
4. a)PESO 10 15 30 45 60 61 62 75 80DOSIS 10 15 30 45 60 61 62 62 62
Cotización euro/dólar
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0 2 4 6 8semana
c o t i z a c i ó n
Cotización euro/dólar
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0 2 4 6 8semana
c o t i z a c i ó n
0
2000
4000
60008000
10000
12000
14000
0 2 4 6A OS
V A L O R
cosumos/precios
0
5
10
15
20
0 10 20 30consumos (m3)
p r e c i o s ( ¼
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302
7. Una persona hace todas las mañanas el siguiente recorrido:
•En primer lugar baja a por el pan a una panadería que se encuentra a 50 metros
de su casa, utilizando 8 minutos para realizar el trayecto.
•Normalmente lo atienden en cuatro minutos.
•Después se acerca a por el diario a un quiosco que se encuentra situado a 20
metros más allá de la panadería.
•Son muy rápidos y en dos minutos ha terminado.
•Vuelve a casa a desayunar, trayecto en el que tarda 12 minutos más.
Representa una gráfica que recoja este desplazamiento diario.
8. Estas gráficas representan la evolución de los precios del petróleo producido por la OPEP
(Organización de Países Exportadores de Petróleo) y de la producción de petróleo de esta
organización en tanto por ciento respecto de la producción mundial.
a. Describe ambas gráficas indicando si tienen saltos o no, tramos de crecimiento y de
decrecimiento, existencia de máximos y mínimos, …
b. Relaciona ambas gráficas y comenta los resultados.
Evolución precio barril/producción de
petróleo en la OPEP
9,31
2834
2011,6
0
10
20
30
40
1970 1975 1980 1985 1990 1995
$ / B a r r i l
20
30
40
50
60
70
1970 1975 1980 1985 1990 1995
% d
e l t o t a l m u n d i a l
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Formación Básica
de Personas Adultas
Graduado en Educación Secundaria
P R O C E S O S EI N S T R U M E N T O S
M A T E M Á T I C O S
Cuader no de Act ividades
Unidades 5 a 8
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Actividades tema 5
304
c) Contribución al cambio climático por regiones del planeta
a) ¿De qué tipo de gráficas se trata?
b) ¿Qué estudia cada gráfica?
c) ¿Qué conclusiones sacas de cada una de ellas acerca del objeto de estudio?
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Actividades tema 5
307
6. La media de las notas obtenidas en las tres pruebas realizadas en unas oposiciones ha sido
6. Sé que dos de las notas eran 7 y 4, pero he olvidado la tercera. ¿Podrías ayudarme a
calcularla?.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Tablas de frecuencias: Han de tener esta forma
Calific. (Xi) Frecuencia (Fi)
Cálculo de la media: Se suman todos los datos y se divide por el número total de
éstos. Se representa como x .
Cálculo de la mediana: Es el valor que ocupa la posición central después de haber
ordenado todos los valores.
Cálculo de la moda: Valor que más se repite.
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Actividades tema 5
308
7. Se ha hecho un estudio sobre el número de hijos de las parejas de una ciudad. Para ello
hemos encuestado a una muestra de 60 parejas elegidas al azar y los resultados han sido:
Nº de hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Frecuencia 11 12 25 5 3 2 0 1 0 0 0 1
a) Elabora un gráfico que se adapte a las características de la variable.
b) Calcula las medidas centrales que consideres oportunas.
c) Calcula el recorrido, la desviación media y la desviación típica.
Cálculo de la desviación media: Una vez calculadas las desviaciones (Di) hay
que calcular la media aritmética de todas ellas. Para esto añadimos la columna del
producto de las desviaciones (Di) por las frecuencias (Fi), o sea, Di · Fi.
Calificaciones (Xi) Frecuencia (Fi) Di = | Xi -x | Di · Fi
TOTALES N=50 Σ |xi - x |· Fi =
DM = N
F x x ii∑ − ·
Cálculo de la desviación típica: El cálculo se realiza aplicando las siguientes
fórmulas:
Para simplificar el cálculo recuerda que es conveniente rellenar la siguiente tabla:
Tiempo(Xi)
Frecuencia (Fi)
Xi· Fi Xi2
· Fi
TOTAL N=50 191
También se puede calcular utilizando la calculadora según se explica en el
apartado correspondiente del libro de texto.
VarianzaTípica Desviación x N
f xVarianza
n
ii
i
=−⋅=∑= ;
21
2
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Actividades tema 5
310
222... HHHAAACCCEEEMMMOOOSSS PPPRRROOOBBBAAABBBIIILLLIIIDDDAAADDD
9. Clasifica los siguientes experimentos en aleatorios o deterministas.
a) Extraer una carta de una baraja. ………………………………..
b) La duración real de la clase de matemáticas. ………………………………..
c) Los horarios de los trenes un día laborable. ………………………………..
d) Lanzar una piedra al aire y observar si cae o no………………………………..
e) La cantidad de electricidad que se consume a diario en tu casa. …………………..
f) ¿Quién va a ganar en el partido de baloncesto de mañana?. ………………………..
10. En la lotería, la gente habla de números bonitos y dicen que tocan más. Los más popularesson los capicúas, como 35.753 (un número es capicúa si se lee igual comenzando por el
final). En cambio hay números que nunca compraría, como el 00.002 o el 66.665. ¿Qué
opinas tú, tiene más probabilidad de tocar un número que otro?
11. En una prueba de control de calidad probamos 1.000 bombillas, de las cuales 36
resultaron defectuosas,
a) si elegimos una bombilla al azar, ¿cúal es la probabilidad de que funcione?
b) si el encargado ha enviado 45.000 bombillas a un cliente, ¿cuántas espera que le
devuelvan?
En determinados casos donde todos los sucesos elementales tienen las mismas
posibilidades (sucesos equiprobables) se aplica la Regla de Laplace que afirma que en
estas situaciones la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casos
favorables y el número de posibles, es decir
( )P S Casos Favorables
Casos Posibles =
.
Experimento aleatorio: El resultado no se puede prever.
Experimento determinista: El resultado es previsible.
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Actividades tema 5
311
12. Un estudio sobre la duración de pilas de distintas marcas arroja los siguientes resultados:
Nº de horas de duración [0,2[ [2,4[ [4,6[ [6,8[
Nº de marcas 2 4 5 3
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla escogida al azar dure entre 6 y 8horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla dure más de 2 horas?
13. Observando durante varios días una máquina tragaperras se han observado los siguientes
resultados:
Premio en euros 0 1 1´5 3 6
Nº de veces 700 120 15 10 3
a) ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener algún premio?
c) ¿Y de no obtener ninguno?
Cuando deseamos calcular la probabilidad de un suceso, ésta es igual a la suma de los
sucesos elementales que lo componen.
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Actividades tema 5
312
14. Antes de lanzar al mercado un fármaco, se ha experimentado con él en ratones,
obteniéndose los siguientes resultados:
Trastornos Parálisis muscular Aumento de peso TaquicardiaNº de ratones 15 100 5
Si el fármaco se suministró a 500 ratones
a) Calcula la probabilidad de que un ratón sufra aumento de peso.
b) Sufra taquicardia o parálisis muscular.
c) No tenga ningún trastorno.
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Actividades tema 5
313
"6
50&7"-6"$*0/
Cuestiones de autoevaluación.
1. Completa las siguientes frases:
a) Cuando la variable no puede tomar valores numéricos se denomina ……
b) La frecuencia relativa se obtiene …..
c) La media no se puede calcular si la variable es ……
d) Se llama marca de clase …….
e) Las medidas que resumen el conjunto de los datos de un estudio estadístico se
denominan medidas ………
f) Las medidas de dispersión informan sobre ….g) Al conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio se llama ….............
h) En el experimento lanzar un dado, obtener el número 3 es un suceso............. y
obtener un número par es un suceso..........................
i) Un suceso que siempre sucede se llama suceso............... , y si no puede ocurrir
suceso .....................
2. Contesta verdadero (V) o falso (F):
a) La frecuencia relativa puede tomar el valor 2.
b) Las variables estadísticas siempre toman valores numéricos.
c) La moda se puede calcular cuando la variable es cualitativa.
d) La probabilidad de un suceso es un número mayor que uno.e) En cualquier experimento aleatorio todos los sucesos elementales son
equiprobables.
f) El suceso contrario de “obtener al menos una cara” al lanzar dos monedas es:
“obtener dos cruces”.
g) La suma de las probabilidades de todos los sucesos de un espacio muestral es
siempre uno.
3. En un estudio sobre los sueldos de 130 empleados de una empresa, 55 cobran menos de
60 euros mensuales. La frecuencia absoluta de ‘menos de 60’es:
a) 75 b) 0’42 c) 55 d) 42%
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:
a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la que
aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea de tu
aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de refuerzo o
ampliación, o no es necesario.
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Actividades tema 5
314
4. En un estudio en el que los resultados son: 3, 5, 4, 4, 6, 4, 7, 3 la moda es:
a) 4 b) 4’5 c) 8 d) 3
5. En un centro de FPA hay matriculados 450 hombres y 630 mujeres. Para seleccionar lamuestra de un estudio donde influye el sexo de los entrevistados, elegiremos:
a) 45 hombres y 63 mujeres.
b) 63 hombres y 45 mujeres.
c) El doble de mujeres que de hombres.
d) Es indiferente el número de hombres y de mujeres que seleccionemos.
6. Observa estas gráficas sobre la subida del precio del gasoil. Podemos deducir:
a) El crecimiento es mayor en el primero.
b) El crecimiento es mayor en el segundo.
c) El crecimiento es igual en ambos.
d) No se puede saber cuál ha sido el crecimiento.
7. En un estudio cuyos datos se ajusten a los de esta tabla,
Metros cuadrados 80 100 120
Frecuencia 20 36 16
podemos decir que la media es:
a) 100 b) 36 c) 24 d) 98’9
8. Si tenemos un experimento aleatorio con 50 sucesos elementales equiprobables todos
ellos. La probabilidad de un suceso será:
a) 1 / 50 b) No lo puedo saber c) 50%
9. ¿Qué probabilidad tiene un suceso que se satisface 2 veces de cada 7?
a) 7 / 2 b) 2 / 7 c) 29%
10. ¿Qué es más probable?
a) Que 5 de cada 10 adultos adultos/as obtengan el GES.
b) Que 50 de cada 100 adultos/as obtengan el GES.
c) Ambos casos son igual de probables
11. En una urna tienes 3 bolas rojas y 2 azules. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola y
que ésta sea azul?
a) 0’5 b) 0’4 c) 0’2
12. Si lanzamos un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor de 6?
a) 0’5 b) 1 / 3 c) 5 / 6
0,50
0,56
0,63
0,69
0,75
1999 2000 2001
AÑOS
P R E C I O
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1999 2000 2001
AÑOS
P R E C I O
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Actividades tema 5
315
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
YComprender el vocabulario estadístico y probabilístico: Población, muestra, variable,frecuencia relativa, espacio muestral, sucesos, probabilidad de un suceso.
YA partir de los datos, hacer el recuento y presentar la información en una tabla, es decir,
organizar la información.
YElegir la representación gráfica más adecuada, (diagrama de barras, polígono de
frecuencias, diagrama de sectores,....) en función de los datos.
YRazonar sobre la información ofrecida en prensa, televisión, ...relacionada con mensajes
estadísticos y probabilísticos.
YDetectar errores o “falsas ideas” en las representaciones estadísticas.
YConocer las medidas de centralización, eligiendo la más adecuada dependiendo del tipo
de variable.
YInterpretar las medidas de dispersión, junto con las de centralización para sacar
conclusiones.
YUtilizar la calculadora para obtener la media y la desviación.
YReconocer fenómenos aleatorios en la vida diaria.
YDistinguir situaciones en las que los sucesos nos son equiprobables.
YUtilizar la Ley de los grandes números y la regla de Laplace para calcular probabilidades.
“Aún tengo dificultades en …”
“TENGO DU DAS EN”
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
“En cuanto a las actividades…”
YMi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
YTengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
YMe ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
tema puedo realizar las actividades de ampliación.
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Actividades tema 5
316
"$5*7*%"%&4 %& 3&'6&3;0
1. Escribe un ejemplo de cada tipo de variables:a) Cuantitativa
b) Cualitativa
2. Las notas sacadas por los 20 alumnos del 2º nivel del ciclo II de uncentro de FPA en el
módulo “Ciencia y tecnología” han sido las siguientes:
3, 5, 7, 4, 5, 8, 8, 4, 5, 6, 6, 9, 4, 5, 6, 6, 5, 7, 3, 8.
a) Completa la tabla de frecuencias y porcentajes:
Nota (Xi) 3 4 5 6 7 8 9
Frecuencia(Fi) 2
% 10
b) Dibuja el diagrama de barras
c) Calcula la mediana y la moda.
d) Añade la columna nota(Xi) · frecuencia(Fi)
Nota (Xi) 3 4 5 6 7 8 9
Frecuencia(Fi) 2
% 10
Xi · Fi 6
e) Calcula la media. Para ello antes has de calcular el total de las frecuencias y de losproductos de la última fila.
3. Si extraemos una carta de una baraja española (48 cartas) calcula la probabilidad de los
siguientes sucesos:
a) Sacar el rey de oros.
b) Extraer un rey.
c) Obtener una carta de copas.
d) Sacar una figura.
e) Sacar un número inferior a 5.
4. La siguiente tabla refleja diferencias entre los países desarrollados y los países del tercermundo:
Tercer Mundo DesarrolladosPoblación (en millones) 4.400 1.600
Población sin agua potable 50% 1,5%
Población adulta analfabeta 26% 5%
Población de niños escolarizados 46% 93%
Población sin control médico 27% 0,5%
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un niño/a del Tercer Mundo esté escolarizado?
b) ¿Cuántas personas adultas son analfabetas en los países desarrollados?
c) ¿Cuántas son analfabetas en el Tercer Mundo?
d) ¿Cuál es la probabilidad de nacer en un país del Tercer Mundo?
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Actividades tema 5
317
"$5*
7*%"%&4 %& ".1-*"$*0/
1. Una empresa fabrica tornillos de una longitud teórica de 35 mm. Para realizar un controlde precisión sobre el funcionamiento de una máquina nueva se mide la longitud de 100
tornillos realizados por esta máquina. Los resultados son:
Diámetro(mm) [33’5, 34[ [34, 34’5[ [34’5, 35[ [35, 35’5[ [35’5, 36[ [36, 36’5[
Frecuencia 12 18 26 20 14 10
a) Representa estos datos en un histograma.
b) Calcula la media y la desviación típica.
2. Otra empresa fabrica barras de acero de 3’5 metros de longitud. Para realizar un estudio
de calidad se seleccionan al azar 50 de estas barras y se miden. Los resultados, en
centímetros, son:356, 359, 352, 350, 355, 350, 347, 338, 363, 347, 351, 351, 354, 343, 345,
349, 348, 350, 351, 350, 351, 357, 350, 343, 349, 350, 346, 353, 362, 336, 359,
350, 345, 341, 338, 345, 352, 349, 353, 353, 362, 355, 342, 350, 349, 346, 337,
347, 343, 352.
a) Agrupa los datos en clases de 5 en 5 centímetros y elabora una tabla de frecuencias
donde figuren también las marcas de clase.
b) Elabora un histograma para estos datos.
c) Calcula media, desviación media y desviación típica.
3. Los cupones de la ONCE están numerados del 00.000 al 99.999
a) ¿Cuál es la probabilidad de qué mi cupón salga premiado?
b) ¿Y si juego todas las semanas tres cupones diferentes?
4. La siguiente tabla muestra la incidencia del tabaco en los accidentes laborales, la muestra
ha sido de 300 personas.
Hombres Mujeres TotalFuman 164
No fuman 50
Total 178 300
Completa la tabla y calcula la probabilidad de:a) Si elegimos al azar una de las personas sea mujer no fumadora.
b) Si elegimos un hombre, éste sea fumador.
c) Una persona al azar sea fumador/fumadora.
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Soluciones tema 5
318
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1.Nº de productos F. absoluta F. relativa %
Menos de 5 30 0’375 37’5
De 5 a 10 40 0’5 50
Más de 10 10 0’13 13
N=80
2. Gráfica a): a) Polígono de frecuencias.
b) La evolución e las sentencias de divorcios y separaciones desde 1981 hasta 1999.
c) El número de divorcios y separaciones han ido en aumento.
Gráfica b) a) Diagrama de barras.
b) Estudia la proporción de la población europea que habla como segunda lengua cada
uno de los idiomas estudiados.
c) El Inglés es el idioma más elegido como segunda lengua.
3.
Se modifica la escala del eje vertical obteniendo un aplanamiento del polígono de frecuencias.
4. a)
Valoración Frecuencia Fr. Relativa %
Mala
Aceptable
Buena
NS/NC
45
73
26
6
0’3
0’49
0’17
0’04
30
49
17
4
b)
c) La moda por tratarse de una variable cualitativa: la
moda es “Aceptable”.
5.
a) 0’5, 0’5, 1,1,1,1’5, 1’5, 1’5, 1’5, 2, 2, 2, 2, 2, 2’5, 2’5, 2’5, 2’5, 2’5, 3, 3, 3, 3, 3, 3’5, 4, 4, 4, 4, 5.
b)
Tiempo (horas) De 0 a 1 De 1 a 2 De 2 a 3 De 3 a 4 De 4 a 5 De 5 a 6
Frecuencia(Fi) 2 7 10 6 4 1
Gestión del gobierno
Buena
17%
Mala
30%
NS/NC
4%
Aceptable
49%
Beneficios
2
3
4
5
6
1996 1997 1998 1999 2000 2001
Años
Miles de eurosBeneficios
01234567
1996 1997 1998 1999 2000 2001
Años
Miles de euros
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Soluciones tema 5
319
c)
Tiempo en horas Marca de clase(Xi) Frecuencia(Fi) Xi · Fi
De 0 o 1 0’5 2 1
De1 a 2 1’5 7 10’5
De 2 a 3 2’5 10 25
De 3 a 4 3’5 6 21
De 4 a 5 4’5 4 18
De 5 a 6 5’5 1 5’5
.7'230
81x ==
d) El alumno puede opinar sobre la idoneidad de dedicar una media de 2’7 horas semanales de su
tiempo libre al trabajo de ONG.
6. Si X es la nota que falta la media será:
(7+4+X)/3=6 Æ 11+X=18 Æ X=18-11 => X=7
7. a)
b)
Nº hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 suma
Fr. (Fi) 11 12 25 5 3 2 0 1 0 0 0 1 60
Xi · Fi 0 12 50 15 12 10 0 7 0 0 0 11 117Di 1’95 0’95 0’05 1’05 2’05 3’05 4’05 5’05 6’05 7’05 8’05 9’05
Di · Fi 21’45 11’4 1’25 5’25 6’15 6’1 0 5’05 0 0 0 9’05 65’7
Xi2· Fi 0 12 100 45 48 50 0 49 0 0 0 121 425
x = =
117
60195' ; Me = 2; Mo = 2.
c) Recorrido es 11; DM = =
65 7
601095
'' ; σ = 81'195'1
60
423 2=−
8.
a) Profesor A:
Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Frecuencia 10 8 6 2 1 0 1 3 5 7 9
Profesor B:
Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Frecuencia 0 2 3 5 8 12 6 4 3 2 1
b) Profesor A:
.0Mo,5'32
43Me,8'4
52
250x ==
+
===
Profesor B:
.5Mo,52
55Me,02'5
46
231x ==
+
===
05
1015202530
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Nº de hijos
N º d e p a r e j a s
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Soluciones tema 5
321
12. a)Hemos probado 2 + 4 + 5 + 3 = 14 pilas, P(dure entre 6 y 8 horas) = 3 / 14 = 0’21
b)Casos favorables: entre 2 y 4 horas: --4-- entre 4 y 6 horas:--5-- entre 6 y 8 horas:--3--, total 4 + 5 + 3= 12
P(dure más de 2 horas) = 12 / 14 = 0’86
13. Número total de veces jugada = 700 + 120 + 15 + 10 + 3 = 848
a) P(0 euros) = 700 / 848 = 0’83 P(1 euro) = 120 / 848 = 0’14P(1,5 euros) = 15 / 848 = 0’02 P(3 euros) = 10 / 848 = 0’01 P(6 euros) = 3 / 848 = 0’004
b) como no específica que tipo de premio, nos valdrán todos,
P(obtener algún premio) = (120 + 15 + 10 + 3) / 848 = 0’17
c) No obtener ningún premio es el suceso contrario de obtener algún premio
P(no obtener premio) = 1 - P(obtener algún premio) = 1 - 0’17 = 0’83
14. a) P(aumento de peso) = 100 / 500 = 0’20
b) P(taquicardia o parálisis muscular) = (15 + 5) / 500 = 0’04
c) Ratones que no sufren ningún trastorno hay 500 - (15 + 100 + 5) = 380
P(no sufrir trastornos) = 380 / 500 = 0’76
Soluciones autoevaluación
1. a) cualitativa; b) dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de la muestra; c) cualitativa; d) al valor
medio de un intervalo; e) centrales; f) la separación de los valores de la media; g) espacio muestral;
h) elemental, compuesto; i) seguro, imposible.
2. a) F (la frecuencia relativa es un valor entre 0 y 1)
b) F (también pueden ser cualitativas)
c) V
d) F (es un valor entre 0 y 1)
e) F (un dado trucado)
f) V
g) V.
3. (c) por definición.
4. (a) por ser la que más se repite.
5. (a) por mantener las proporciones.
6. (c) están alteradas las escalas del eje vertical.7. (d) aplicando la fórmula del cálculo de la media.
8. (a)
9. (b) aplicando la regla de Laplace.
10. (c) porque se mantienen las proporciones.
11. (b) 4'05
2= .
12. (b) Los números pares menores de 6 son 2 y 4.
Soluciones actividades de refuerzo
1. Cuantitativa: por ejemplo la edad, el sueldo, …
Cualitativa: por ejemplo preferencias de estudios, color ojos, …
2. a)
Nota (Xi) 3 4 5 6 7 8 9
Frecuencia (Fi) 2 3 5 4 2 3 1
% 10 15 25 20 10 15 5
b)
c) Mo = 5; Me =5 6
25 5
+
= '
0 0
2
3
5
4
2
3
1
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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Soluciones tema 5
323
c)
Longitud Marca de clase Frecuencia Xi · Fi Xi -X o X -Xi Fi · (X-Xi)
335 a 340 337’5 4 1350 12’7 50’8
340 a 345 342’5 5 1712’5 7’7 38’5
345 a 350 347’5 13 4517’5 2’7 35’1
350 a 355 352’5 19 6697´ 5 2’3 43’7
355 a 360 357’5 6 2145 7’3 43’8
360 a 365 362’5 3 1087’5 12’3 36’9
Totales 50 17510 248’8
x DM = = = = =
17510
50350 2
248 8
504 976 6 18' ;
''' ; 'σ .
3. a)hay 100.000 números estos serán los casos posibles y favorable sólo uno que es el mío.
P(obtener premio) = 1 / 100000 = 0’00001
b) P(obtener premio con 3 cupones) = 3 / 100.000 = 0’00003
4. Tabla completada Hombres Mujeres Total
Fuman 92 72 164
No fuman 86 50 136
Total 178 122 300
a) Mujeres no fumadoras tenemos 50, pero como hay que escogerla al azar, la escogeremos de entre las
300 personas P(mujer no fumadora) =50 / 300 = 0’17.
b) Hombres fumadores hay 92, pero como sabemos que es hombre hay que escogerlo entre los 178
hombres P(fumador , sabiendo que es hombre) = 92 / 178.
c) Personas que fuman tenemos 164, como es al azar tendremos 300 casos posibles
P(fumar) = 164 / 300.
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Actividades tema 6
326
3. Inventa situaciones que se correspondan con estas expresiones algebraicas:
a) 2 x – 3, si x es la edad de Juanb) 3( x – 1000), si x son mis ahorros
c) ( x + 6) : 3, si x son piezas fabricadas
4. Cálculo mental.
a) 2 x + 5 x
b) 5 x + xc) 8 x – 6 xd) 6 x – 8 xe) –2 x – x
5. Cálculo mental.
a) 2 · 3 x
b) – 2 · 3 x
c) 2(- 3 x)
d) –2 ( - 3 x)e) 6 (-2 x)f) –3 · 4 xg) –5 (-3 x)
• Para realizar la operación 5 x + x se puede interpretar como 5 de x más 1 de x.• Para realizar la operación –2 x – x, se puede interpretar como que debo 2 de x y debo
1 de x .• Para realizar la operación 2 · 3 x, se puede interpretar como el doble de 3 x.
La operación existente entre un número y un paréntesis, si no se indica, es lamultiplicación. Si lo que hay es un signo negativo se puede interpretar como multiplicar
por –1.
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Actividades tema 6
327
6. Quita el paréntesis en las siguientes expresiones:
a) 2 (3 x – 7)b) – (5 x – 4)
c) – 2 ( x + 6)d) – (8 x +4)e) 3 (-4 x – 7)
7. Resuelve estas ecuaciones de primer grado.
a) 2 x + 23 = 366b) 3 = 4 x + 2c) 2 ( x –5) = 3d) 2 x – 2 = 3 x – 6e) 2 x – 4 ( x – 7) = x
f) 53
1
2−=
+−
x x
g) 14
3
5=−−
x x x
h) 72
3
2
)2(4
5
3+=
−
+ x x x
8. Resuelve el problema con el que introducíamos la unidad utilizando este método:
En una familia se controla el consumo de agua durante tresmeses consecutivos. Se sabe que el consumo del primer mes hasido el doble que el del segundo y en éste el consumo ha sido de309 litros más que en el tercer mes. Si en total se hanconsumido 12.927 litros de agua, calcula el consumo en cadauno de los meses analizados.
Los pasos a seguir en la resolución de problemas mediante métodos algebraicos son:a. Analizar los datos que ofrece el enunciado.b. Identificar la incógnita.c. Establecer la ecuación que relaciona los datos y la incógnita a partir de la
información del texto.d. Resolución de la ecuacióne. Solución al problema y comprobación de los resultados.
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Actividades tema 6
329
FÓRMULAS
12. Escribe la fórmula que se explica en cada una de las siguientes frases:
a) El área de un círculo es igual a π por el cuadrado de su radio.b) El precio de un artículo está rebajado un 30% respecto de su precio inicialc) El precio que debe figurar en la factura de un restaurante ha de incluir el 16% de IVA.
13. La fórmula que permite calcular el área de un triángulo es A = (b · a) / 2. Calcula laaltura de un triángulo cuya base es de 4 cm y el área de 10 cm 2.
14. La velocidad del sonido es de 344 m/s. ¿A qué distancia habrá explotado un cohete sidesde que se ha visto la luz hasta que se ha oído el ruido han pasado 7 segundos?.Considera que debido a la elevada velocidad de la luz (300.000 km/s), vemos elresplandor en el mismo instante en que explota el cohete.
OTROS PROBLEMAS
15. Completa:
Expresión coloquial Expresión algebraica
'Edad de Marisa. x
'
La edad de Ángel es triple que la de Marisa __________'Luis tiene 2 años más que Marisa __________
Las fórmulas son expresiones algebraicas que expresan las relaciones que se dan entredeterminadas magnitudes y medidas.
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Actividades tema 6
330
' Edad de Ángel hace 5 años __________' Edad de Luis dentro de 6 años __________' Edad de Marisa hace 10 años __________
' Dos números consecutivos __________' Un número par. __________' Dos números pares consecutivos __________' La mitad de un número __________' El cuádruple de un número más su cuarta parte __________' Espacio recorrido por un coche a 26Km/h en t horas. __________
16. La suma de las edades de tres hermanos es de 219 años. La diferencia entre el menor y elmediano es de dos años y entre el mediano y el mayor la diferencia es de 5 años. Calculala edad de los tres hermanos.
17. Un padre tuvo a su hijo a los 25 años. Si hace tres años la edad del padre era el doble quela del hijo, calcula las edades actuales de ambos.
18. El empleado de una empresa de reparto sale a las 9 h. de la mañana con los paquetes quetiene que distribuir a una velocidad de 100 km/h, pero se olvida uno de ellos. Media horamás tarde sale un compañero tras él para entregarle el paquete olvidado a 140 km/h.¿Cuándo y a qué distancia lo alcanzará?.
19. Dos coches salen a la misma hora de dos ciudades distantes entre sí 520 km, en la mismadirección y sentidos opuestos. Uno de ellos circula a 120 km/h y el otro a 140 km/h.¿Dónde y cuándo se producirá el cruce?.
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Actividades tema 6
334
"6
50&7"-6"$*0/
Cuestiones de autoevaluación.
1. La expresión algebraica correspondiente a “la edad de un padre es el doble que la de suhijo” es:
a) Padre x +2 Hijo 2 x.b) Padre 2 a Hijo a.c) Padre a Hijo 2 a.d) Padre a : 2 Hijo a.
2. La expresión algebraica 3 ( x – 1), se corresponde con la frase:a) Al triple de un número le restamos 1.b) A la tercera parte de un número le restamos 1.c) A un número le restamos su triple.d) Al resultado de restarle 1 a un número le calculamos el triple.
3. La solución de la ecuación 3 x + 2 = 5 es:a) 1b) – 1c) 0d) 2
4. Si la fórmula para calcular la densidad de una materia es d = M/V (densidad = masa/ volumen), halla la masa correspondiente a una densidad de 0’4 kg/l y un volumen de 10 l.
a) 4 kgb) 40 kgc) 1’4 kgd) 0’6 kg
5. La solución de la ecuación 2 x – 5 = x + 10, es:a) 5b) – 5c) – 15d) 15
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con laque aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una ideade tu aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades derefuerzo o ampliación, o no es necesario.
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Actividades tema 6
336
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
YTraducir situaciones cotidianas problemáticas al lenguaje algebraico después de habermefamiliarizado con él.
YPlantear ecuaciones de primer grado adecuadas a la situación planteada en los problemas.
YResolver las ecuaciones de primer grado y adaptar su solución a la del problema.
YA interpretar las fórmulas de las diferentes ciencias como expresiones algebraicas y autilizarlas en la resolución de problemas.
“Aún tengo dificul tades en …”
Y.................................................................................................................................
Y.................................................................................................................................
Y.................................................................................................................................
Y.................................................................................................................................
Y.................................................................................................................................
“En cuanto a las actividades…”
YMi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
YTengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
YMe ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre estetema puedo realizar las actividades de ampliación.
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Actividades tema 6
337
"$5*
7*%"%&4 %& 3&'6&3;0
1. Traduce al lenguaje algebraico:a) El doble de un número más tres unidades.b) Tres números consecutivos suman once.c) Edad de una persona hace cuatro años.d) Edades de un padre y su hijo si la edad
del primero es el triple que la delsegundo.
e) Espacio recorrido por un coche que semueve a velocidad constante de 90Km/h en t horas.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 x + 5 = x – 6
b) 3 ( x - 5) = x – 15c) 5 - (2x + 6) = -x + 10
3. Si al doble de un número le sumamos 10 el resultado es el mismo que si restamos elnúmero a 43. ¿De qué número se trata?.
4. Si al doble de los años que tengo le restas el doble de los que tenía hace cinco añosresultará mi edad actual.
5. Teniendo la misma cantidad de monedas de 50 céntimos, de20 céntimos y de 2 céntimos, tengo una cantidad total de2’88 ¼ ¿Cuántas monedas tengo de cada tipo?.
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Actividades tema 6
338
"$5*7*%"%&4 %& ".1-*"$*0/
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 14
3
6
1−=
+−
+ x x
b) 78
22 +=
++ x
x x
c) 09
2
15
12=
+−
+ x x
2. En una joyería se trabaja con lingotes de oro de ley 0’750 y de ley 0’950. Si quierenrealizar un diseño para el que necesitan 3’6 gramos de oro de ley de 0’9, ¿qué cantidad de
oro de cada lingote tendrán que alear?.
3. La noticia acerca del aborto en España hasta 1999 se completaba con la información quepresenta este diagrama de barras.
Aleación es la mezcla de dos o más metales.Oro de ley 0’750 significa que por cada 1000 gramos de aleación, 750 son de oro puro.
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Actividades tema 6
339
Calcula el número de nacimientos que se dieron en mujeres de edades comprendidasentre los 15 y los 19 años.
4. Sabiendo que la tasa de alcoholemia permitida para conducir no puede sobrepasar los0’3g/dl:
a) Calcula los gramos de alcohol puro que puede consumir una mujer que pesa 52 kg, sitiene la intención de conducir después.
b) Si la bebida que va a tomar es cerveza de Gº = 4, calcula el volumen máximo quepodrá ingerir.
Algunos conceptos relacionados con la ingesta de alcohol son:• Tasa de alcoholemia o de alcohol en sangre:
c Hombres.
7'0·.
.
pesok
alcoholg
c Mujeres
6'0·.
.
pesok
alcoholg
• Gramos de alcohol puro:
bebidamlG
.·100
8'0·º
• Grado alcohólico (Gº): Es el porcentaje del volumen de alcohol puro.
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Soluciones tema 6
340
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1. a. Tanteamos o probamos con diferentes valores aproximándonos a la solución:5000+10000 =150005200+10400 =156005250+10500 =15750
b. Gráficamente y utilizando las operaciones adecuadas:
1750:3=5250. 1ª parte 5250; 2ª parte 5250· 2=10500
2. a. 2 x (siendo x el sueldo de mi marido).b. 3 x (siendo x la edad del hijo pequeño).c. x/4(siendo x mis ahorros).c. 2x+x/3 (siendo x el precio de un bocadillo).
3. a. Doble de la edad de Juan menos tres.b. El triple de lo que queda al quitarle 100 a mis ahorros.c. La tercera parte de las piezas fabricadas más seis.
4. a. 7xb. 6xc. 2xd. –2xe. –3x
5. a. 6xb. –6xc. –6xd. 6xe. –12xf. –12xg. 40x
6. a. 6x-14b. –5x+4c. –2x-12d. –8x – 4e. –12x + 21
7. a. 2x=366-232x=343x=343/2
b. –4x=2-3-4x=-1x=-1/-4=1/4
c. 2x-10=32x=3+102x=13x=13/2
d. 2x-3x=-6+2-x=-4x=4
15750
¿ ¿
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Soluciones tema 6
341
e. 3x – 4x + 28 = x3x - 4x - x =-28-2x = -28x= -28/-2 =14
f.
6· )5·(63
12
−=
+
−x x
303
1·6
2·6 −=
+
−x x
3x-2(x+1)=-303x-2x-2=-303x-2x=-30+2x=-28
g.
202015420
204
20
5
2020
1·204
3
520
=
=−−
=−−
=
−−
x
x x x
x x x
x x x
h.
1147
4711
40715206
701540206
7015)2(206
703·5)2(4·53·2
7·102
3·10
2
)2(4·10
5
3·10
72
310
2
)2(4
5
310
=
=
+=−+
+=−+
+=−+
+=−+
+=
−+
+=
−+
x
x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
8. Incógnita: unidades a producir, xEcuación: 100000+0’56x=135000
0’56x=135000-1000000’56x=35000x=35000/0’56=625000.
Solución: Se pueden fabricas 625000 unidades.
9. Datos e incógnita:Almendras: xCacaos: 15-xPrecio almendras: 7’8xPrecio cacaos: 3’2(15-x)
Ecuación : 7’8x+3’2(15-x)=5· 157’8x+48-3’2x=754’6x=27x=27/4’6=5’87
Solución: 5’87 kg. de almendras y 9’13 kg. de cacaos.
10. Ecuación: 7’5x+7’5· 3’2=15· 67’5x=-24+907’5x=66x=66/7’5=8’80 ¼
Solución: de 8’80 ¼NJ
11. Ecuación: 3’20x+4(100 -x)=3’5· 1003’20x+400 -4x=350-0’8x= -50x=-50/-0’8=62’5. Solución: 62’5 kg y 37’5 kg.
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Soluciones tema 6
342
12. a. A=r2.b. PF=PI· 0’7. Siendo PF y PI los precios rebajado y sin rebajar respectivamente.c. PT=PI· 1’16. Siendo PF y PI los precios con IVA y sin IVA respectivamente.
13. Sustituimos en la fórmula los valores conocidos.10=
2
4a
54
20
4
2·10===a
Solución: 5 cm14. Aplicamos la fórmula que calcula la velocidad: e=v· t
E= 344· 7=2408 m=2’408 km.
15. Expresión coloquial Expresión algebraica
'Edad de Marisa x
'La edad de Ángel es triple que la de Marisa 3x'Luis tiene 2 años más que Marisa x+2'Edad de Ángel hace 5 años 3x-5'Edad de Luis dentro de 6 años x+2+6=x+8'Edad de Marisa hace 10 años x-10'Dos números consecutivos x; x+1'Un número par 2x
'Dos números pares consecutivos 2x; 2x+2'La mitad de un número x/2'El cuádruple de un número más su cuarta parte 4x+x/4'Espacio recorrido por un coche a 26 km/h en t horas. 26t
16. Edad mediano: x. Edad menos: x-2. Edad mayor: x+5.Ecuación: x+x-2+x+5=219
3x=219-5+23x=216x=216/3=72
Solución: 70, 72 y 77
17. Padre HijoE. actual x+25 xE. hace 3 x+22 x-3Ecuación: x+22=2(x-3)
x+22=2x-6-x=-28x=28
Solución: 28 y 53 años.
18.
Velocidad Tiempo EspacioEmpleado 1 100 x 100xEmpleado 2 140 x-0’5 140(x-0’5)Ecuación: 100x=140(x-0’5)
100x=140x-70100x-140x=-70-40x=-70x=-70/-40=1’75 h.=1 h y 45’ Solución: a 1’75 h. y a una distancia de 175 km (1’75· 100).
Bt = x
e = 100x
e = 140(x -0’5)
t = x - 0’5
A
Hijo
Emp.1
Emp.2
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Soluciones tema 6
344
25. Datos: abortos en 1999=>58339% de abortos en 1999 totales =>13’72%
Incógnita: número de embarazos: xEcuación: x· 0’1327=58339
x=58339/0.1327=439555Solución: 439555 embarazos.
26. Altura: xBase: x+3Perímetro: 2x+2(x+3)Ecuación: 2x+2(x+3)=46
2x+2x+6=464x=40x=40/4=10 Solución: 10 y 13 cm.
27. Incógnitas: precio jersey =>xPrecio pantalón =>x+6
Ecuación: 3x+x+6=54
4x+6=544x=48x=48/4=12 Solución: 12 y 48 euros.
Soluciones autoevaluación
1b2d3a(3x = x; x = 3/3 = 1)4a (0’4 = M/10; M = 0’4· 10 = 4 kg.)5d (2x -x = 10 + 5; x = 15)6c.7c (2x + x = 573; 3x = 573; x = 573 / 3 = 191. 2x = 382) .8a9d ( 0’05x = 42’51 - 11’32; 0’05x = 31’19; x = 31’19 / 0’05 = 625’8).10a ( 500 = v· 20; v = 500 / 20 = 25 m/s).
Soluciones actividades de refuerzo
1. a. 2x+3b. x + x + 1+ x + 2 = 11; 3x + 3 = 11c. x-4d. Padre 3x; hijo xe. 90t
2. a. 2x – x = -6 - 5x = -11
b. 3x – 15 = x - 153x – x = -15 + 152x = 0x = 0
c. 5 - 2x – 6 = -x + 10-2x + x = 10 + 6 - 5-x = 11x = -11
3. Incógnita: xEcuación: 2x + 10 = 43 - x
2x + x = 43 - 103x = 33x = 33 / 3 = 11
Solución: el número es 11.
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Soluciones tema 6
346
3. Obtenemos el porcentaje de abortos del problema 26: 43’23Embarazos = abortos + nacimientos.Abortos =>8669Embarazos => x
Ecuación:
113864323.0 / 4.4922
4323.04.4922
4323.06.37468669
)8669(4323.08669
4323.08669
8669
==
=
+=
+=
=
+
x
x
x
x
x
4. a) gramos alcohol: x
Ecuación:
6.26.0
2.5·3.0
3.06.0·52
==
=
x
x
Solución: 2.6 g
b) Ecuación:
5'812.3
260
8.0·4
100·6.2
6.2·100
8.0·4
===
=
x
x
Solución: 81’5 ml.
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Actividades tema 7
348
¿?
3. ¿A qué horas forman las manecillas del reloj, un ángulo recto?, ¿y un ángulo llano?.
POLÍGONOS CONVEXOS
MÁS FRECUENTES
4. Busca en el periódico objetos cuyas caras sean triángulos y clasifícalos atendiendo a sus
lados y a sus ángulos.
5. Ayudándote de los dibujos y usando el teorema de Pitágoras calcula:
a)La diagonal de un rectángulo de lados 3 cm y 5 cm.
b)Perímetro de un rombo de diagonal mayor 8 cm y
diagonal menor 6 cm.
¿?
Teorema de Pitágoras:
En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado
de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
a2 + b2 = c2
a
b
c
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Actividades tema 7
349
c) La altura de un triángulo equilátero de lado 6 cm
6. La antena de nuestra casa oscila mucho en los días de aire, vamos a
sujetar la antena de televisión con tres cables, cada cable lo vamos a fijar
a un tensor que está a 3 m del pie de la antena, la antena mide 5 m.
¿Cuánto cable necesito? (la antena, el cable y el tensor forman un
triángulo rectángulo).
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
7. Expresa las siguientes unidades en la unidad inmediatamente superior: (intentaconstruir una figura que te permita compararla con la unidad patrón
Ejemplo: 144 cm2
es un cuadrado de lado 12 cm (12 · 12 = 144), o un rectángulo de 18
cm de largo y 8 cm de ancho (18 · 8 = 144).
100 cm2
=.............................. dm2
10.000 cm2
=.......................dm2.
625 mm2
=............................. cm2
1.024 dm2
=.........................m2.
8. Transforma las siguientes unidades de superficie:
5.500 áreas =......................... km2
3500 cm2
=..........................ca
125 dam2
= ............................ hm2
25 mm2
= ............................cm2
3 km2
=.................................. áreas 3.456.000 cm2
=..................áreas
1 km2
= 100 hm2
1 m2
= 100 dm2
1 ha = 100 áreas
1 hm2
= 100 dam2
1 dm2
= 100 cm2
1 área = 1 dam2
1 dam2
= 100 m2
1 cm2
= 100 mm2
1 área =100 ca
¿?
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Actividades tema 7
352
15. Calcula el área de esta parcela si has anotado las siguientes medidas:
90 m 25 m
80 m
60 m
20 m
60 m
50 m
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Actividades tema 7
353
"6
50&7"-6"$*0/
Cuestiones de autoevaluación.
1. Completa las siguientes frases:
a) Un ángulo que mide 90º se denomina ángulo………………..
b) Dos rectas que no tienen ningún punto en común, son rectas…………………….
c) Si dos rectas se cortan en un punto y además forman 90º, se llaman……………..
d) Cada una de las 360 partes en que se divide la circunferencia se llama.....................
e) Con el teorema de Pitágoras podemos calcular si un triángulo es……………….
2. Contesta verdadero (V) o falso (F):
a) Un minuto son 60º…………
b) 1´ 5º son 1º 30´ …………..
c) Si un polígono tiene todos sus lados iguales es un polígono regular………
d) Un triángulo puede tener dos ángulos obtusos……….
e) Los ángulos de un cuadrilátero suman 360º…………
3. Un triángulo cuyos catetos miden 4 y 6 cm, y la hipotenusa 8 cm, ¿es un triángulo
rectángulo?.
a) si b) no c) no existe ese triángulo.
4. El área del siguiente triángulo rectángulo es:
a) Me falta la base
b) 4´ 2 cm2
c) 8´ 4 cm2
Para ver si el trabajo sobre esta unidad ha sido el adecuado:
a) Revisa si has realizado los ejercicios propuestos en el cuaderno de
actividades y comprueba la solución. En caso de no coincidir con la que
aparece en el solucionario consulta con tu profesor.
b) Intenta responder a estas cuestiones globales que te darán una idea de tu
aprendizaje.
c) Decide con la ayuda del tutor si has de realizar actividades de refuerzo o
ampliación, o no es necesario.
2 cm
4´ 2 cm
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Actividades tema 7
354
5. Calcula el área del paralelogramo
a) 525 mm2
b) 350 mm2
c) 150 mm2
6. Una moneda de 5 pts tiene un diámetro de 1´ 3 cm, calcula las monedas que se pueden
obtener de una lámina de 30 cm por 15 cm.
a)250 b)338 c)85
7. Una centiárea equivale a:
a)10 m2
b)1 cm2
c)1 m2
8. 354m2
equivalen a:
a)3 áreas b)3´ 54 dm2
c)3´ 54 dam2
9. 25,75º son:
a)25º 75´ b)25º 45´ c)25º 7´ 5´´
10. 67º 20´ son:
a)67,0º b)67º 2´ 0´´ c)67,33´
11. Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura.
a) P = 21´ 5 cm A = 90 cm2
b) P = 43 cm A = 96´ 5 cm2
c) P = 51 cm A = 100 cm2
12’5 cm
9 cm
2 cm
2 cm
35 mm
15 mm10 mm
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Actividades tema 7
355
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
YComprender el vocabulario propio de la Geometría: punto, recta, segmento, plano, ángulo
polígono, perímetro, áreas.
YClasificar los triángulos según sus lados y sus ángulos.
YConocer las variedades de cuadriláteros.
YDiferenciar la circunferencia del círculo.
YReconocer la variedad de figuras geométricas existentes en la Naturaleza.
YCalcular el perímetro.
YUtilizar las unidades de medidas de superficies.
YUtilizar las unidades de ángulos.
YCalcular superficies de triángulos, cuadriláteros y circunferencia.
YCalcular áreas descomponiendo la figura en otras figuras conocidas.
YRecuperar datos almacenados en la memoria de la calculadora.
YOperar con ángulos usando la calculadora.
“Aún tengo dificultades en …”
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
Y..................................................................................................................................
“En cuanto a las actividades…”
YMi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
YTengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
YMe ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
tema puedo realizar las actividades de ampliación.
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Actividades tema 7
356
"$5*7*%"%&4 %& 3&'6&3;0
1. Fíjate en las siguientes rectas y contesta:
a) A y B son rectas……………….
b) A y C son rectas……………….
c) B y C son rectas………………
2. ¿Cuántas rectas pasan por el punto A?, ¿y por el punto A y B al mismo tiempo?.
3. Clasifica los siguientes triángulos dependiendo de sus ángulos y sus lados:
(1) (2) (3) (4)
4. Nombra a los siguientes cuadriláteros:
a) b) c) d) e) f)
A
B
C
A
B
a b
c
a
a
aa
a
ba
a
c
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Actividades tema 7
358
"$
5*
7*%"%&4 %& " .1-
*"$*0/
1. Observa las recta y los ángulos de esta figura:
a) ¿Que relación hay entre los
ángulos A y C? ¿y B con D?
b) ¿Y entre A con 1, B con 2, C
con 3, D con 4?
2. Intenta dibujar un triángulo de lados 3 cm, 1 cm, 1 cm.
Dibuja éste: a = 4 cm, b = 2 cm, c = 3 cm.
Con tres medidas cualesquiera no siempre se puede construir un triángulo, esnecesario que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos lados. Si a, b, c,
son los lados del triángulo y a es el lado mayor, se cumple a < b + c
Dos ángulos son suplementarios si suman 180º , A + B = 180º .
Dos ángulos como A y C se llaman opuestos por el vértice.
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Actividades tema 7
359
3. La superficie de un balón de fútbolestá recubierta por 12 pentágonos y
20 hexágonos, el hexágono y el
pentágono tienen 8 cm de lado, la
circunferencia circunscrita al
hexágono es de 8 cm de radio y la
del pentágono es de 5 cm. Calcula la
superficie del balón.
Una circunferencia se dice que está circunscrita en un polígono,
cuando los lados de éste son cuerdas de la circunferencia.
Una circunferencia será inscritaa un polígono, si cada lado (no el vértice)
sólo toca a la circunferencia en un punto.
El área de un polígono regular es
Área = (perímetro x apotema) / 2.
Siendo la apotema la perpendicular al lado desde
el centro de la circunferencia circunscrita al polígono.
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Actividades tema 7
360
4. Calcula el perímetro de la siguiente figura:
R= 2’25 cm 30º
Arco de
circunferencia
Sector circular
Elementos notables de un triángulo:
• Altura: es el segmento perpendicular
a un lado que pasa por el vértice opuesto.
El punto de intersección de las tres alturas
se llama ortocentro.
• Mediana: es el segmento que une el
punto medio de un lado con el vérticeopuesto.
El punto de intersección de las tres
medianas se llama baricentroy es el centro de gravedad del triángulo.
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Soluciones tema 7
362
3 m
5 m ¿?
Solucionario
Soluciones del libro de actividades
1. Respuesta abierta.
2. 40º 135º
3. Ángulo recto: algunas horas serían, 15: 00, 21: 00, sin embargo a las 12 : 15, 1 : 20, 2 : 25, 3 : 30,…forman menos de 90º pues la aguja horaria se desplaza hacia la siguiente hora.
Ángulo llano: 18 : 00, otras ángulos casi de 180º serían las 12 : 30, 21 : 15, 3 : 45, …
4. Las posibles soluciones serán:
equilátero acutángulo , Isósceles , Escaleno
5. a)La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3 y 5 cm32 + 52 = 9 + 25 = 34 = ¿?2 ¿? = √ 34 = 5´83
b)Necesitamos el lado, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 4 y 3 cm.42 + 32 = 16 + 9 = 25 = ¿?2 ¿? = √ 25 = 5 Perímetro =5 · 4 = 20 cm
c)La altura es elcateto del triángulo rectángulo de lados 3 y 6 cm.32 + ¿?2 = 9 + ¿?2 = 36 ¿?2 = 36 - 9 = 27 ¿?= √ 27 = 5´2 cm.
6. El cable es la diagonal de un triángulo rectángulo de lados 3 y 5 m
32 + 52 = 9 + 25 = 3434 = ¿?2
¿?= √ 34 = 5´83Como hay tres tensores, Cable =3 · 5´83 = 17´49 = 17´5 m
7. 100 cm2 = 1 dm2 (un cuadrado de lado 10 cm) 10.000 cm2 = 100 dm2(un cuadrado de lado 100 cm )625 mm2 = 6´25 cm2(un cuadrado de lado 25 mm) 1.024 dm2 = 10´24 m2(un cuadrado de lado 32 dm).
8. 5.500 áreas = 55 km2 3500 cm2 = 0´35 ca125 dam2 = 1´25 hm2 25 mm2 = 0´25 cm2
3 km2 = 300 áreas 3.456.000 cm2 = 3´456 áreas
9. Superficie del terreno = 300 · 600 = 180.000 m
2
180.000 : 2´25 = 80.000 naranjos10.
Si l = 2 cm Si l = 3 cmárea = 22 = 4 cm2 área = 32 = 9 cm2
Si l = 4 cm Si l = 6 cmárea = 42 =16 m2 área = 62 = 36 cm2
16 / 4 = 4 36 / 9 = 4
Al duplicar el lado, el área ha aumentado 22 = 4 veces.
ObtusánguloAcutángulo
Rectángulo
ObtusánguloRectángulo
Acutángulo.
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Actividades tema 8
368
2. HACEMOS MEDIDAS DE ENVASES
3. Practica las unidades de volumen y de capacidad, completando las siguientes
igualdades:3 m3
=............................dm3
50.000 dm3
= .................m3
1250 cm3
= ....................dm3
24´3 dam3
=...................dm3.
4. a)Si un bidón con forma de cubo tiene 1000 dm3
de volumen, ¿qué dimensiones puede
tener ese depósito?.
b)Y si tiene 125 cm3
de volumen, ¿cuáles pueden ser sus medidas?
5. Expresa las siguientes unidades en la unidad que está a continuación:
100 l = ...................................dal 10.000 cl = ..........................ml.
625 ml = ................................cl 1.024 dl = ............................l..
6. Si decimos que un recipiente contiene 23´54 l, queremos decir que su capacidad es de 2
dal, 3 l, 5 dl, y 4 cl. Expresa de esta forma las siguientes capacidades:
a) 25´5 dal = ..............................................................
b) 456´34 dl =............................................................
c) 44´23 kl =..............................................................
1 km3
= 1000 hm3
1 m3
= 1000 dm3
1 hm3
= 1000 dam3
1 dm3
= 1000 cm3
1 dam3
= 1000 m3
1 cm3
= 1000 mm3
1 kl = 10 hl 1 l = 10 dl
1 hl = 10 dal 1 dl = 10 cl
1 dal = 10 l 1 cl = 10 ml
1 l = 1 dm3
1kl = 1m3
1.000 l = 1 m3
1ml = 1cm3
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Actividades tema 8
369
7. Transforma las siguientes unidades de volumen en unidades de capacidad y viceversa:
5.500 l =................................ m3
3500 cm3
=..........................l.
125 dm3
=.............................. l. 25 mm3
= ............................ml
3 km3
=.................................. l. 3.456.000 cm3
=..................kl
8. Tenemos un grifo que gotea, comprobamos que cada segundo cae una gota, si
recogemos las gotas comprobamos que cada 10 gotas tenemos 1 ml. ¿cuántos litros de
agua perderemos al cabo del día?.
9. Estamos buscando radiadores, éstos calientan adecuadamente una habitación de unos 60
m3. Si nuestro comedor tiene 6 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de altura. ¿cuántos
necesitamos comprar para que el comedor esté caldeado?.
10. ¿Cuánta agua consume semanalmente una familia de 3 personas en las siguientes tareas:
a) La cisterna es usada 7 veces al día por cada miembro de la familia.
Volumen prisma = área de la base x altura
Volumen cilindro = área del círculo x altura = π· r2
· h
Volumen pirámide =3
alturabaseladeárea ⋅
Volumen cono =3
alturacírculodelárea ⋅=
3
2 hr ⋅⋅π
Volumen esfera = 3
3
4r ⋅⋅π
3 4 c m
15 cm
36 cm
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Actividades tema 8
370
b) En la ducha, el grifo arroja uno 15 l por minuto, si están aproximadamente 3 minutos
cada uno, ¿hasta qué altura llegaría el agua en la bañera después de ducharse los tres?
(aproximamos la bañera por un prisma rectangular).
11. Me han regalado una caja de 5 dm de larga, 3 dm de ancha y 2 dm de alta. ¿Puedo
guardar en ella una flauta que tengo de 60 cm de larga?.
12. ¿Cuál es la capacidad de los siguientes elementos:
a)un vaso de agua b)Una taza de leche
Ayuda: fíjate en el dibujo y utiliza el teorema de Pitágoras,
para calcular la diagonal del prisma.
La diagonal de un poliedro es el segmento que une dos vértices que no están en el
mismo plano.
7´ 5 cm
7 cm
9 cm
7´ 5 cm
140 cm
54 cm
38 cm
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Actividades tema 8
374
22. ¿Cuánto cm2
de cartón necesitas para forrar, por dentro y por fuera, una caja de 6 cm x
15 cm x 5 cm, sin tapa?.
23. Tenemos un cubo de 3 cm de arista y construimos uno semejante de razón 2
a) Calcula el volumen de cada uno de los cubos. ¿Mantienen la misma razón de
semejanza.? ¿Sabrías decir cuál es la nueva razón de semejanza para los volúmenes?.
b) Calcula el área total de cada uno. ¿Qué relación guardan entre ellos?.
24. Tengo un mueble que es una pirámide cuadrada de lado 60 cm y de altura 2 m . Voy a
pintarla (excepto la base) utilizando una técnica que requiere tapar el mueble con un
papel secante después de darle la primera mano de tinte. ¿Cuántos m2
de papel necesitocomprar?.
25. El tejado de un campanario tiene forma de pirámide. Halla los m2 de teja para ponerlasen las caras laterales de un campanario si la base es un hexágono de lado 10 m y la
altura del tejado es de 24 m.
6 cm15 cm
5 cm
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Actividades tema 8
375
26. El radio de la Luna es de unos 1750 km y el radio de la Tierra es de 6400 km. ¿Cuántas
veces es mayor el volumen de la Tierra respecto al de la Luna?.
27. Cada 20 minutos unas bacterias cubren una superficie de 1 mm2. ¿Cuánto tiempo
tardarán en cubrir un gajo de naranja si la naranja tiene 12 gajos y el diámetro de ésta es
de 8 cm?.
28. Calcula la superficie esférica de un huso horario (recuerda que los husos abarcan 15º y
que el radio e la Tierra es de unos 6.400 km).
29. Utiliza la calculadora para calcular las siguientes raíces:
==
==
==−
3
0000080
3
0010
3 6783125
327
83 8
´ ) f ´ )e
)d )c
)b)a
15 ºr
8 c m4 cm
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Actividades tema 8
378
Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje con este cuestionario
“He conseguido …“
Reconocer la variedad de figuras geométricas existentes en la Naturaleza.
Reconocer las principales figuras espaciales: poliedros y cuerpos de revolución.
Diferenciar un prisma de una pirámide.
Generar cilindros, conos y esferas a partir de figuras planas.
Calcular áreas de figuras espaciales.
Calcular el volumen de prismas, pirámides y cuerpos de revolución.
Conocer las unidades de capacidad y de volumen.
“Aún tengo dif icultades en …”
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
“En cuanto a las actividades…”
Mi aprendizaje es aceptable y no he de realizar más actividades.
Tengo todavía algunas dificultades. Es conveniente realizar las actividades de refuerzo.
Me ha resultado un aprendizaje muy sencillo. Para ampliar mis conocimientos sobre este
tema puedo realizar las actividades de ampliación.
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Actividades tema 8
381
3. Una comparsa nos ha encargado la fabricación de 500 gorros con forma de cono , si éstos
deben medir 40 cm de alto y 20 cm de diámetro en la base, ¿cuántos m2
de cartón
necesitamos comprar a nuestro proveedor para satisfacer el pedido?.
4. Halla el volumen de los siguientes cuerpos.
r
g
g
r
altura
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Actividades tema 8
382
y x xó y
Calcula la raíz de números con cualquier índice.
Esta tecla suele estar encima de la tecla yx
o xy
, si es así ya sabes que debes utilizar la tecla
shift o inv o and F .
6 15625 15625 x y 6 = 5 Æ 56
= 3125
5 7776− 7776 +/- x y 5 = - 6 Æ (-6)5
= -7776
Otras calculadoras utilizan otra tecla para calculara raíces:
x y yó x 11=
y x xó y
x y = y1/x
414
212
8181
2525
=
=
Son dos formas de expresar lo mismo, ya que las raíces se pueden expresar
como una potencia de exponente fraccionario, el índice pasa a ser el denominador de la
fracción del exponente.
6 15625 15625 y1/x 6 = 5 Æ 56 = 3125
5 7776− 7776 +/- y1/x
5 = - 6 Æ (-6)5
= -7776
5. Calcula usando la calculadora:
=−==
==−=
364
575
3375000064000010
24883221873125
) f ´ )e´ )d
)c)b)a
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8. Calcula el volumen en litros de una bombona de oxígeno que tiene la siguiente forma y las
siguientes dimensiones
9. Calcula el peso de contenedor que está fabricado con una chapa de hierro de 8 mm de
espesor. El contenedor es un prisma rectangular cuya base mide 1×1´ 5 m y cuya altura
es de 2 m.
El hierro pesa 7´ 85 kg/m3
50cm
20cm
1´ 5
1m
2m