OPERADORES MATEMÁTICOS II
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OPERADORES MATEMÁTICOS II (TABLAS)
En lugar de una fórmula para hallar resultados, la operación binaria puede presentar estos resultados en una
tabla, que se consulta siguiendo pautas establecidas.
a b c d
a c d a b
El ser humano aprendió primero a contar, para más tarde dar una representación gráfica a los números que así obtuvo. Contemos juntos hasta 10 y veamos su representación en los diferentes idiomas…
¡Contemos hasta 10!
Si hablas español, empezarás a contar: “Uno, dos, tres, …”. Si hablas inglés, dirás: “One, Two, Three…”. Si hablas ashanti, un idioma africano, contarás: “Eko, eno, esa …” Hay nombres especiales para los primeros diez números, en casi todos los idiomas. Junto al nombre escrito de cada número, puedes ver cómo se pronuncia.
El que no se equivoca nunca, es
que nunca hace nada.
A. VALDÉS
OBJETIVOS
Comprender las propiedades de las operaciones matemáticas. Potenciar la aptitud de reconocimiento y manejo adecuado de nuevas estructuras simbólicas relacionadas con las operaciones matemáticas.
OPERADORFila de entrada
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b d a b c
c a b c d
d b c d a
Para operar de forma básica se realiza:
Nºcolumna (Nºfila) = Intersección en la tabla
Ejemplos:
1. Dada:
1 2 3 41 2 4 1 32 4 1 3 23 1 3 2 44 3 2 4 1
Calcular : 3 2
Solución.-
1 2 3 41 2 4 1 32 4 1 3 23 1 3 2 44 3 2 4 1
Luego: 3 2 = 3
2. De acuerdo a:
1 2 3 # 1 2 31 1 2 3 1 1 1 12 2 3 1 2 2 2 23 3 1 2 3 3 3 3
Calcular: A =
Rpta : ___________
PROPIEDADES
I. Clausura o Cerradura :
En tablas: Veamos los ejemplos:
En : A = {1, 2, 3, 4}Se define:
∆ 1 2 3 41 1 1 1 12 2 2 2 23 3 3 3 34 4 4 4 4
La operación “∆” es cerrada en A.
En M = {a, b, c, d}Se define:
a b c da b c d eb a b c dc b c d ad c d e a
La operación () no es cerrada en M.
II.CONMUTATIVIDAD
En caso de tablas: Dada:
m n p qm p q m nn q n n pp m n p qq n p q m
La operación () es conmutativa.
# a b ca c a bb b c ac c a b
La operación (#) no es conmutativa.
Columna de
entrada
Cuerpo de la tabla (son los
resultados)
Elementos que han participado en
la operación.
1º elemento
2º elemento
a b A a b A
Aquí están todos los resultados y todos ellos
pertenecen al conjunto A.
Están todos los elementos de “A”
Este resultado no pertenece al
conjunto “M”
Están todos los
elementos de “M”
a b A a b =b a
Se observa una distribución simétrica
Mantén el mismo orden
No seda simetría por que los elementos
son diferentes.
Si: Mantienen el mismo orden
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III. ELEMENTO NEUTRO ( e )
En tablas (Criterio de intersección)
Veamos:
a b c da d a b cb a b c dc b c d ad c d a b
e = b
Ejemplo: Tiene elemento neutro () la siguiente tabla?
2 4 62 4 6 24 2 6 46 2 4 6
Rpta: e = _____________
IV. ELEMENTO INVERSO (a-
1)
e = Elemento neutro
a-1 = Elemento inverso de a
En tablas: De acuerdo a la operación mostrada en la siguiente tabla definida en A = {a, b, c}
a b ca b c ab c a bc a b c
Calcular: a-1 , b-1 , c-1 a-1 = Elemento inverso de “a” Solución.- 1. Hallemos “e”
a b ca b c ab c a bc a b c
2.Por definición a a-1 = c b b-1 = c c c-1 = c de inversosDe la tabla a b = c b a = c c
c = c
a-1 = b b-1 = a c-1
= c
Ejemplo: Se define: A = {1, 3, 5, 7}
1 3 5 71 5 7 1 33 7 1 3 55 1 3 5 77 3 5 7 1
Calcular: 1-1 , 3-1 , 5-1 , 7-1
Rpta : _________
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Sea: A = {0, 1, 2, 3} y definimos la operación #.
# 0 1 2 30 0 3 2 11 1 2 3 02 2 3 1 03 3 1 0 2
Calcular: (0 # 1) # (3 # 2)
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) F.D.
e A / a A a e = e a = a
Filas iguales
Mantén el mismo orden
Columnas iguales
e A, a A, a-1 A a a-1 = a-1 a = e
e = c
Elemento Neutro
Ya conoces todo lo referente a operadores
definidos por tablas y sus propiedades, ahora
práctica desarrollando los siguientes ejercicios.
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2. En base a la operación anterior:
I. ¿Es abierta o cerrada?________________________________
II. ¿Es conmutativa?________________________________
III. ¿Tiene elemento neutro?________________________________
IV. ¿Es Asociativa?________________________________
3. Dada la siguiente tabla:
m n p qm q p m nn p m n qp m n q pq n q p m
Calcular: E =
a) q/n b) q/m c) p/md) p/q e) p/n
4. Si: 4 5 6
4 14 18 225 18 23 286 22 28 34
Hallar: 7 8
a) 48 b) 50 c) 54d) 51 e) 38
5. Si: 1 2 31 3 5 72 5 8 113 7 11 15
a) 261 b) 253 c) 249d) 287 e) 276
6. Hallar: (3) 23 Dada la operación ()
a b c da a b c db d a b cc c d a bd b c d a
¿Cuál es el elemento neutro ?
a) a b) b c) cd) d e) No tiene
7. ¿Cuál es elemento inverso de “c”?
a) a b) b c) c d) d e) F.D.
8. Calcular:
a) b/a b) b/c c) c/ad) c/b e) No se puede
9. ¿Cuáles es el elemento neutro?
∆ 1 2 3 41 3 1 4 22 1 2 3 43 4 3 2 14 2 4 1 3
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) No hay
10.Según el prob. Anterior, calcular:
E =
a) 1,5 b) 1 b) 2d 0,5 e) 0,6
11.Según el prob. 9, calcular:
P =
a) 0,5 b) 1 c) 2d) 1,3 e) 4
12.Dada la tabla: a b c
a c b ab b c ac a c b
Y además se sabe que: (x a) b = (a b) c
Hallar “X”
a) a b) b c) c d) a ó b e) No hay solución posible
13.Si:
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1 2 3 41 2 4 3 12 1 2 3 43 1 3 2 44 3 2 4 1
Hallar “x”, en: (x 1) 2 = (3 4) 1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e No hay solución posible
14.En: A = {a, b, c, d} se define la operación () en la siguiente tabla:
a b v da b c d ab c d a bc d a b cd a b c d
Responder: I. ¿La operación es correcta? II. ¿La operación es conmutativa?
Calcular “x” en:
[(x-1 a-1 ) (b-1 a)] a = c-1 d-1
Rpta: _______________
15.En los naturales se define:
∆ 1 3 5 71 3 5 7 13 5 7 1 35 7 1 3 57 1 3 5 7
Calcular : E = [(3-1 7-1) (1-1 5-1)]-1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA Nº71. Si:
4 5 64 5 6 45 4 5 66 6 4 5
Hallar: [(64) (56)] [(94) (66)]
a) 4 b) 6 c) 5d) 0 e) 1
2. Se tiene: 1 3 51 10 3 53 3 30 05 5 0 50
Hallar: 315
a) 330 b) 300c) 333
d) 303 e) 301
3. En: A = {1, 2, 3, 4}, se define:
1 2 3 41 1 2 3 42 2 1 1 13 3 1 1 44 4 2 3 4
DESAFIOLo que tienes en el gráfico adjunto es la representación de 16 fósforos que forman 5 cuadrados. El desafió consiste en formar 4 cuadrados de igual tamaño, cambiando de posición dos fósforos, sin dejar de utilizar uno sólo.No es válido sacar los fósforos, ni partirlos.
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Hallar el valor de verdad de:
1) x 2 = 1; tiene solución única. 2) x,y A x y = y x3) (2 3) [3 (4 1) ] = 4
a) VFF b) FFF c) VVVd) FVF e) FFV
4. Si la tabla es conmutativa
2 5 8 02 5 805 8 208 50 2 80 2 5 0
Hallar la suma de cifras de: 255882 225585
a) 10 b) 18c) 22d) 20 e) 24
5. Si : 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 102 2 3 10 113 3 10 11 12
Hallar: 123321 132213
a) 322200 d) 33200b) 232200 e) 233300c) 222200
6. Si: 1 31 1 33 3 31
Hallar : 1331 3133a) 13311 b) 31113 c)
13331d) 31131 e) 11331
7. Si: A = {0, 1, 2, 3, 4}
0 1 2 3 40 4 3 2 1 01 3 4 3 2 12 2 3 4 3 23 1 2 3 4 34 0 1 2 3 4
Hallar el número de relaciones verdaderas:
1) es conmutativa2) es cerrada3) Tiene “e” 4) Tiene elemento inverso
a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) 1
8. Se define : A = {a, b, c, d, e}
a b c d ea e d c b ab d c b a ed b a e d ae a e d a b
¿Cuáles son ciertas?
I. Es conmutativaII. [(ab) c] [a (bc)] = b
III.
a) Sólo I b) I y II c) I y IIId) I, II y III e) N.A.
9. En R se define:
0 1 2 30 0 2 4 61 3 1 1 32 6 4 2 03 9 7 5 3
Hallar el valor de: 27 16
a) 49 b) 48 c) 46d) 52 e) 53
10. Si: # 0 1 2 30 0 1 2 31 1 3 0 22 2 0 3 13 3 2 1 0
resolver, y hallar “x” (3 # x) # (2 # 0) = (3 # 3) # 0
a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4
11. La tabla: 0 1 20 0 1 2
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1 1 1 12 2 1 0
corresponde a la ley de formación para (a b)
a) b) c) a +
b – 1 d) a + b – ab e) 2a – 3b + ab
12. Dada:
1 2 3 4 51 5 3 4 1 22 1 4 5 2 33 2 5 1 3 44 3 1 2 4 55 4 2 3 5 1
Hallar: [(3-1 5-1) -1 2-1] 4-1
13. Si:
1 2 31 1 2 32 2 3 13 3 1 2
Hallar:[(2-1 3-1) -1 2-1]-1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e9 5
14. En el conjunto: A = {0, 1, 2,3}
0 1 2 30 2 3 0 11 2 3 0 12 0 1 1 13 3 1 1 0
1 2 3 41 1 1 1 12 2 4 1 23 1 1 4 24 1 2 2 4
Hallar “x” en:
(x 1) (3 1) = (4 3) (4 )
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
15. Se define en : A = {a, b, c, d} La operación:
a b c da a b c db b a d cc c d a bd d c b a
Hallar el valor de:
[(d a-1)]-1 b-1] -1
a) a b) b c) cd) 0 e) 1