REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN COL - CABIMASINGENIERÍA DE SISTEMAS
MÉTODOS DE KUHN-TUCKER
Y LAGRANGE
ÁNGEL DAVID PIRELA
C.I.18.482.438
Albert William Tucker (28 de
noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995)
Fue un matemático estadounidense nacido en
Canadá que realizó importantes contribuciones a
la Topología, Teoría de juegos y a
la Programación no lineal.
BIOGRAFIA DEL METODO DE KUHN-TUCKER
En programación matemática, las condiciones de Karush-
Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o
Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para
que la solución de un problema de programación matemática
séa óptima. Es una generalización del método de
los Multiplicadores de Lagrange.
DEFINICION DEL METODO DE KUHN-TUCKER
Las condiciones de Kuhn-Tucker para el problema
máximo x f (x) en g j (x) ≤ c j para j = 1, ..., m
se
L i '(x)
= 0 para i = 1 ,..., n
0 λ ≥ j, j g (x) y c ≤ λ j j [j g (x) - c j]
= 0 para j = 1, ..., m,
donde
L (x) = f (x) - Σ j = 1 λ m j (j g (x) - c j).
DEFINICION DEL METODO DE KUHN-TUCKER
APLICACIÓN DEL METODO DE KUHN-TUCKER
Básicamente el procedimiento consiste en resolver
el problema no lineal como uno sin restricciones, luego
si la solución óptima de dicho problema no cumple la
totalidad o parte de las restricciones del problema se
activan dichas restricciones (en conjunto y/o
secuencialmente) y se resuelve nuevamente.
EJEMPLO Encuentre los valores mínimo y máximo de la
Función f(x1, x2) = 3−x1−x2 sujeta a las
Restricciones 0≤x1, 0≤ x2 y 2x1 + x2≤ 2.
Solución:
Primero cambiemos las restricciones a la forma
gi ≤0:
0 ≤ x 1→ g1 = − x1 ≤ 0
0≤x2→g2=−x2≤0
x1+x2≤2→g3=2x1+x2−2≤0
Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe
Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi
Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10
de abril de 1813 en París) fue
un matemático, físico y astrónomo italiano que después
vivió en Rusia y Francia.
BIOGRAFIA DEL MÉTODO DE LAGRANGE
Lagrange trabajó para Federico II de Prusia,
en Berlín, durante veinte años. Lagrange
demostró el teorema del valor medio, desarrolló
la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante
contribución en astronomía.
BIOGRAFIA DEL MÉTODO DE LAGRANGE
MÉTODO DE LAGRANGE
En los problemas de optimización, los multiplicadores
de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis
Lagrange, son un método para trabajar con funciones de
varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está
sujeta a ciertas restricciones. como coeficientes.
Este método reduce el problema restringido en n variables
en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones
pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva
variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange,
para cada restricción y forma una combinación lineal
involucrando los multiplicadores.
MÉTODO DE LAGRANGE
Las dos areas mas importantes donde se aplica este metodo:
Economía: La optimización reprimida desempeña un papel
central en la economía.
APLICACIÓN DEL METODO DELARGRANGE
Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor se
representa como uno de maximizar una función de
utilidad sujeta a una coacción de presupuesto .
El multiplicador Lagrange tiene una interpretación
económica como el precio de la oposición asociado con la
coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos.
APLICACIÓN DEL METODO DELAGRANGE
Teoría de control:
En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se
interpretan como constates variables, y los multiplicadores de
Lagrange se formulan de nuevo como la minimización
del hamiltoniano , en el principio mínimo de Pontryagin.
APLICACIÓN DEL METODO DELAGRANGE
Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima entropía. Entonces.
Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n, necesitamos.
EJEMPLO
lo que nos da:
EJEMPLO
Derivando estas n ecuaciones, obtenemos
Esto muestra que todo pi es igual (debido a que depende solamente de λ). Usando la restricción ∑k pk = 1, encontramos.
Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la mayor entropía.
DIFERENCIA ENTRE METODO DE KUHN TUCKER Y LAGRANGE
KUHN-TUCKER LAGRANGE
Idéntica puntos óptimos locales que cumplan condicionesde regularidad
Trabaja con funciones de varias variables
Trabaja con condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática séa óptima.
Reduce el problema restringido en numero variables
consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones.
forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes.