SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES PARES O IMPARES (desarrollo
Cosenoidal o senoidal)
*Problemario*
Matemáticas V
EJEMPLO 1: 1Demostrar que el producto de dos funciones pares, o dos funciones impares es una función par, ya que el producto de una función par y una función impar es una función impar.
Solución: Sea f ( t )=f 1 ( t ) f 2 ( t ) . si f 1 ( t ) y f 2(t) son funciones pares, entonces
f (−t )=f 1 (−t ) f 2 (−t )=f 1 ( t ) f 2 ( t )=f (t ).
Y si f 1 ( t ) y f 2(t)son funciones impares, entonces
f (−t )=f 1 (−t ) f 2 (−t )=−f 1 ( t ) [−f 2 (t ) ]=f 1 (t ) f 2 ( t )=f (t ) .
Esto prueba que f (t) es una función par.Analógicamente, si f 1(t) es par y f 2(t) es impar, entonces
f (−t )=f 1 (−t ) f 2 (−t )=f 1 (t ) [−f 2 (t )=−f 1 (t ) f 2 (t ) ]=−f 1 (t ) f 2 (t )=−f (t ) .
Esto prueba que f ( t )es una función impar.
1 Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall pag.24
EJEMPLO 2:
Demostrar que cualquier función f (t) se puede expresar como la suma de dos funciones componentes, de las cuales una es par y la otra impar.
Solución: Cualquier función f (t) se puede expresar como
f ( t )=12f ( t )+ 1
2f (−t )+ 1
2f ( t )−1
2f (−t)
¿ 12
[ f ( t )+f (−t)]+12
[ f ( t )− f (−t)]
Sea−12
[ f ( t )+f (−t)]= f e (t )
12
[ f ( t )−f (−t) ]=f 0( t)
Entonces,
f e (−t )=12
[ f (−t )+ f (t)]=f e (t)
f 0 (−t )=12
[ f (−t )−f ( t)]=−12
[ f (t )−f (−t) ]=−f 0(t)
De donde,f (t )=f e (t )+ f 0(t)
2Donde f e( t)es la componente par y f 0(t) es la componente impar de la función dada f (t).
2 Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall, pág. 25
EJEMPLO 3: 3si f (t) es par, demostrar que
∫−a
a
f (t )dt=2∫0
a
f (t )dt
Solución: Si se escribe nuevamente el primer miembro de la ecuación anterior se tiene:
∫−a
a
f (t )dt=∫−a
0
f (t )dt+∫0
a
f (t )dt
Haciendo t=−x en la primera integral del segundo miembro
∫−a
0
f (t )dt=∫a
0
f (−x )(−dx)=∫0
a
f (−x )dx
Puesto que f (t) es par, es decir, f (−x )=f ( x ) ,se tiene
∫0
a
f (−x )dx=∫0
a
f ( x )dx=∫0
a
f (t )dt .
Lo cual es cierto pues cualquier símbolo se puede usar para representar la variable “comodín”; por consiguiente,
∫−a
a
f (t )dt=∫0
a
f ( t )dt+∫0
a
f ( t )dt=2∫0
a
f ( t )dt
3 Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall, pag. 26
EJEMPLO 4: Si f (t) es impar, demostrar que
∫−a
a
f (t )dt=0
f (0 )=0
Solución: Si se escribe nuevamente el primer miembro de la primera ecuación, se tiene:
∫−a
a
f (t )dt=∫−a
0
f (t )dt+∫0
a
f (t )dt
¿∫0
a
f (−t )dt+∫0
a
f (t )dt .
Puesto que f (t) es impar, es decir, f (−t )=−f ( t ) ,se tiene
∫−a
a
f (t)dt=−∫0
a
f (t)dt+∫0
a
f (t )dt=0
En particular,f (−0 )=−f (0 ) ;
4De donde,f (0 )=0
4 Análisis de Fourier, Hwei P.Hsu, versión español de Ramón G. Flórez Torres, Prentice Hall, Pág. 26,27.
Ejemplo 5: 5Desarrolle f ( x )=x2 en una serie de Fourier en término de senos en el intervalo 0<x<1 de inmediato podemos escribir, para 0<x<1.
x2∑n=1
∞
bn sennπx ,
En la que:
bn=2∫0
1
x2 sen nπ x dx
¿2[−x2 cosnπxnπ+2 xsennπx
(nπ )2+2cos nπx
(nπ )3 ]10¿2[−cosnπnπ
+ 2cos nπn3π 3
− 2
n3π3 ]Por lo tanto, la serie sinusoidal de Fourier, en 0<x<1 para x2 es:
5 Ecuaciones Diferenciales, Octava edición, Earl D. Rainville V, Traducción: Víctor Hugo Ibarra Mercado
EJEMPLO 6: 6encontrara la serie de Fourier de f ( x )=x 4 en [−1,1 ] como f es una función par, x4 sen (nπx )es impar y sabe de inmediato que los coeficientes del seno bn son cero. Para los otros coeficientes, calcule:
a0=∫−1
1
x4dx=2∫0
1
x4dx=25
a0=∫−1
1
x4 cos (nπx )dx
¿2∫0
1
x4 cos (nπx )dx=8 n2π2−6π 4n4
(−1)n
La serie de Fourier de x4 en [−1,1 ] es
15+∑n=1
∞
8n2 π2−6π 4n4
(−1)n cos (nπx)
Para considerar nuevamente el problema de la convergencia, observe que en este ejemplo, f (0 )=0 , pero la serie de Fourier en x=0 es
15+∑n=1
∞
8n2 π2−6π 4n4
(−1)n
No está claro que la suma de esta serie sea 0.
6 Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Peter V. O’Neil, sexta edición, pag. 57.
EJEMPLO 7: 7sea f ( x )=x3 para −4≤x ≤4. Como f es impar en [−4,4 ] ,los coeficientes de Fourier de los cosenos son todos cero. Los coeficientes de Fourier de los senos son todos cero. Los coeficientes de Fourier de los senos son
bn=14∫−4
4
x3 sen ( nπx4 )dx¿ 12∫0
4
x3 sen( nπx4 )dx=(−1)n+1128 n2π 2
n3π 3
La serie de Fourier de x3 en [−4,4 ]es
∑n=1
∞
(−1)n+1128 n2π 2−6n3π 3
sen ( nπx4
¿)¿
Más adelante usara estos argumentos. Por ahora éste es un resumen de las conclusiones. Si f es par en [−1,1], entonces su serie de Fourier en este intervalo es:
12a0∑
n=1
∞
an cos(nπxl
)
En donde
an=2L∫0
L
f ( x )cos ( nπxL
)dx para n=0,1,2…
Si f es impar en [−L, L], entonces su serie de Fourier en este intervalo es
∑n=1
∞
bn sen ( nπxL )Donde
7 Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Peter V. O’Neil, sexta edición, pag. 58.
EJEMPLO 8:8 Hallar la serie de Fourier de la siguiente función en el intervalo de [0 , π ] y dibujar su gráfica. f ( x )=x
Solución: Haremos que esta función presente un comportamiento impar en el intervalo de [−π ,π ¿, por lo que los coeficientes an=0.
bn=2L∫0
L
f ( x ) sen nπxLdx= 2
π [∫0
π
x sennπxπdx ]
¿ 2π [∫
0
π
x sennxdx ]=2π [( 1n2 sennx− xn cosnx )π0]¿ 2π [( 1n2 sennπ− xn cosnπ−0+0)]¿ 2π [−πn (−1)n]=−2
n(−1)n
Y la serie de Fourier toma la forma:
f ( x )=∑n=1
∞
(bn sen nπxL )=∑n=1
∞
(−2n (−1)n sen nx)
8 Método de solución de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones, Ma. Del Carmen Cornejo Serrano, editorial Reverté. Pág. 221
EJEMPLO 9: 9una función periódica f ( t )con periodo 2π está definida dentro del periodo −π<t<πpor
f ( t )=¿Encuentre su expansión en serie de Fourier.Solución: en la fig. se muestra la grafica de la función f ( t ),sobre el intervalo −4π< t<4 π . Es claro que f ( t ) es una función impar de t , así que su expansión en la serie de Fourier consiste en de los términos con seno solamente. Haciendo T=2π , esto es w=1, la expansión en serie de Fourier
está dada por: f (t )=∑n=1
∞
bn sennt
Con
b0=2π∫0
π
f (t )sennt dt (n=1,2,3 ,…)
¿ 2π∫0
π
f ( t)sennt dt=2π [−1n cosnt ]0
π
¿ 2nπ
(1−cosnπ )= 2nπ
[1−(−1)n ]
¿ { 4nx (impan)
0( par n)
Así la expiación en serie de Fourier de f (t) es:
9 Matemáticas Avanzada para Ingeniería, James Glyn y colaboradores, segunda edición, Pág. 295.
Ejemplo 10: 10supóngase que f ( t )=t para 0< t<L. Determinar la serie de cosenos de Fourier y la serie de senos de Fourier para f .
Solución: la ecuación implica:
a02L∫0
L
tdt= 2L [ ¿12t ]0
L
=L
Y
an=2L∫0
L
t cosnπtLdt= 2L
n2π2∫0
nx
ucos udu
¿ 2Ln2π2
[usenu+cosu ]0nπ={−4 L/n2π 2para nimpar0 paran par
Así, la serie de cosenos de Fourier de f es:
t=L2−4 L
n2 (cos πtL +1
32cos
3 πtL
+1
52cos
5πtL
+…)
10 Ecuaciones Diferenciales, Edwards. C Henry, sexta edición. Pág. 560
EJEMPLO 11: 11calcular la serie de Fourier de f ( x )=|x|,−1<x<1
Solución: En este caso T=1. Como f es una función par, f ( x ) sen nπx es una función impar. Por consiguiente,
bn=∫−1
1
f (x ) sen nπxdx=0 , n=1,2,3…
Como f ( x ) cosnπx es una función par, tenemos
a0=∫−1
1
f (x )dx=2∫0
1
xdx= x2|01=1
an=∫−1
1
fcos nπxdx=2∫0
1
xcosnπxdx
¿ 2π 2n2
∫0
πn
ucosudu= 2π 2n2
[cos u+usenu ]0πn= 2π 2n2
¿¿
¿ 2
π 2n2[ (−1 )n−1 ] , n=1,2,3….
Por tanto,
f ( x ) 12+∑n=1
∞2π 2n2
[(−1)n−1 ] cosnπx
11 Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones con Valores de Frontera, Nagle. R Kent, cuarta edición Pág. 597
¿ 12− 4
π2 {cos πx+ 19 cos3 πx+ 125 cos5πx+…}
EJEMPLO 12: 12Desarrollar f ( x )=x ,−2< x<2en una serie de Fourier.
Solución: desarrollamos f en series de senos, puesto que un examen de la figura 5.5 muestra que la función es impar en el intervalo −2<x<2
Con la identificación 2 p=4 , p=2,2p
=1 ,entonces.
bn=∫0
2
xsennπ2xdx
Entonces integrando por partes resulta
bn=4 (−1)n−1
nπPor lo tanto,
f ( x )= 4π∑n=1
∞ (−1)n+1
nsen
nπ2x
12 Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, sexta edición,
EJEMPLO 13: 13La función f ( x )={−1 ,−π<x<01,0≤ x<π mostrada en la figura 5.7 es impar en el intervalo
– π<x<π . Con p=π , resulta.
bn=2π∫0
π
(1 ) sennx dx
¿ 2π1−(−1)n
n
Y entonces
f ( x )= 2π∑n=1
∞ 1−(−1)n
nsen nx
13 Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, sexta edición,
EJEMPLO 14: 14desarrolle la serie de Fourier para f ( x )=x en −2<x<2. Como f ( x )=x es impar nos damos cuenta que solamente tenemos que usar la serie de Fourier de senos.
a0=¿0¿
an=¿0¿
bn=¿∫
0
2
xsen( nπ2 )xdx ¿Para poder realizar la integral necesitamos hacerla por pares.
μ=x ;v=−2nπcos( nπ2 )x dx
dv=dx ; dv=sen( nπ2 ) x dxbn=[−2xnπ cos( nπ2 )x ] 2
0+ 2nπ
∫0
2
cos( nπ2 )x dx
bn=[−2xnπ cos( nπ2 )x ]2
0+[ 4n2π2
sen ( nπx x )]20=−4nπ
(−1)n
f ( x )=∑1
∞
( 4nπ (−1 )n+1 sen ( nπ2 ) x)
14http://www.wikimatematica.org/index.php? title=Series_de_Fourier_en_senos_y_cosenos#Ejemplo_.2301_2
EJEMPLO 15: 15sea la función f ( x )=x2+xencuentre si es par o imparf (−x )=(−x )2+(−x)
f (−x )=x2− xIndefinido
15http://www.wikimatematica.org/index.php? title=Series_de_Fourier_en_senos_y_cosenos#Ejemplo_.2301_2