7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 1/37
“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU”
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE CHOTA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
TEMAS
1. ESFUERZOS COMBINADOS
2. COLUMNAS
Alumno
Campos Quispe, Ale Neise!
Profeor
I"#. Luis Sil$a %a!!illo
C!o"# $ Per%
&'()
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 2/37
INTRODUCCIÓN
El &esa!!ollo &e es'e '!a(a)o es'* (asa&o e" 'emas &e i"'e!+s pa!a el es'u&io
&e la !esis'e"ia &e ma'e!iales, 'oma"&o omo (ase los es-ue!os / las
&e-o!maio"es pa!a su a"*lisis, es'os so" (*sios pa!a el e"'e"&imie"'o &e los
'emas a '!a'a!.
La om(i"ai0" &e es-ue!os es al#o ue los i"#e"ie!os &e(e" &e
e"-!e"'a! al mome"'o &e &isea! u" eleme"'o es'!u'u!al &e(i&o a su
#eome'!3a / a su apliai0", o" &i-e!e"'es o"e"'!aio"es &e es-ue!os, /
&e(i&o a es'a i"4"i&a& &e posi(les o"e"'!aio"es &e es-ue!os u o'!as
a!a'e!3s'ias es &e $i'al impo!'a"ia o"oe! / e"'e"&e! los o"ep'os
(*sios &e los ue so" los es-ue!os om(i"a&os.
5e!o e" es'a oasi0" 'am(i+" se es'u&ia!a el 'ema &e olum"as /a ue es'as
so" -!eue"'eme"'e usa&as pa!a sopo!'a! $i#as o a!os so(!e los uales las
pa!'es supe!io!es &e las pa!e&es o 'e6os &esa"sa" po! lo 'a"'o e" el
p!ese"'e '!a(a)o a(o!&a!emos la lasi4ai0" / m+'o&os pa!a &ime"sio"a! u"a
olum"a, omo sa(emos es'e eleme"'o es'!u'u!al umple u" !ol -u"&ame"'al
e" e&i4aio"es, es po! eso ue es'e mo&es'o '!a(a)o $a e$oa&o pa!a
&i-u"&i! al#u"os o"ep'os / me'o&olo#3a &e &esa!!ollo &e los mismos.
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 3/37
O*+ETIVOS
• I"$es'i#a! la 'eo!3a &e Es-ue!os Com(i"a&os / a"alia! la i"'e!ai0" &e
es-ue!os al om(i"a!se e"'!e s3 al se! aplia&o a eleme"'os
es'!u'u!ales
• A"alia! la ma"e!a e" ue se !elaio"a" los es-ue!os po! a!#a aial,
po! a!#a &e 'o!si0" / po! a!#a &e 7ei0" ua"&o a'8a"
o")u"'ame"'e, pa!a &e'e!mi"a! el es-ue!o "e'o
• I"$es'i#a! la 'eo!3a &e olum"as pa!a "oso'!os po&e! &isea! eleme"'os
es'!u'u!ales ue sopo!'e" las &i-e!e"'es a!#as si" lle#a! al pu"'o &e
pa"&eo.
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 4/37
CAPITULO I
ESFUER,OS COM*INADOS
Los es-ue!os om(i"a&os !ep!ese"'a" la suma o om(i"ai0" &e $a!ios
es-ue!os ue so" aplia&os a u" eleme"'o sie"&o es'os es-ue!os &e a!#a
aial, es-ue!o po! a!#a &e 7ei0" o es-ue!o po! a!#a &e 'o!si0". Su
&e'e!mi"ai0" es &e mu6a u'ili&a& e" 'o&as las !amas &e la i"#e"ie!3a, /a
ue po! lo #e"e!al los eleme"'os a"alia&os "o es'*" some'i&os a u" solo 'ipo
&e es-ue!o, si "o, m*s (ie" a la i"'e!ai0" &e $a!ios es-ue!os &e ma"e!a
simul'*"ea. %am(i+" es u" m+'o&o pa!a seleio"a! / &ime"sio"a! el ma'e!ial
a&eua&o e" u" p!oeso &e o"s'!ui0"
Los eleme"'os &e u"a es'!u'u!a &e(e" &e sopo!'a!, a&em*s &e su p!opio
peso, o'!as -ue!as / a!#as e'e!io!es ue a'8a" so(!e ellos. Es'o oasio"a la
apa!ii0" &e &i-e!e"'es 'ipos &e es-ue!os e" los eleme"'os es'!u'u!ales,
es-ue!os &e '!ai0", omp!esi0", 7ei0", o!'a"'e / 'o!si0".
5e!o e" es'a oasi0" se es'u&ia!a los '!es 'ipos (*sios &e a!#as ue so"9
aiales, &e 'o!si0" / &e 7ei0", / su a'uai0" o")u"'ame"'e &e &os o m*s
om(i"aio"es posi(les &e esos es-ue!os.
(-(- COM*INACIÓN DE ESFUER,OS A.IALES / POR FLE.IÓN
La $i#a simpleme"'e apo/a&a &e la 4#u!a :;1a sopo!'a u"a a!#a
o"e"'!a&a Q. Supo"#amos ue la $i#a es'* u"i&a a los apo/os e" el
e"'!o &e #!a$e&a& &e la seio"es e'!emas. E" el pu"'o A, el es-ue!o
"o!mal &e 7ei0" es f < My/I. Es U"a 'e"si0" &i!i#i&a pe!pe"&iula!me"'e
al pla"o &e la sei0" !e'a, omo se i"&ia e" la 4#u!a, / la -ue!a ue
a'8a so(!e u" eleme"'o &i-e!e"ial &e *!ea A es f dA.
Si la misma $i#a apo/a&a e" la misma -o!ma se some'e solame"'e a la
ai0" &e u"a -ue!a aial 5 =Fi#. :;1(> los es-ue!os aiales se &is'!i(u/e"
u"i-o!meme"'e so(!e ualuie! sei0" '!a"s$e!sal =Se. 1;?>. Su $alo! es
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 5/37
a < 5@A / 'am(i+" es u"a 'e"si0" pe!pe"&iula! a la sei0" !e'a. La
-ue!a ue a'8a e" el mismo eleme"'o A es a dA.
Si am(as a!#as a'8a" simul'*"eame"'e e" la $i#a =Fi#. :;1> el es-ue!o
!esul'a"'e e" A se o('ie"e omo supe!posii0" &e los &os e-e'os aisla&os.
E" e-e'o, la -ue!a !esul'a"'e ue a'8a so(!e el eleme"'o &i-e!e"ial A es
el $e'o! suma &e las &os -ue!as oaiales a dA. f dA. Di$i&ie"&o es'a
-ue!a e"'!e el *!ea &A se &e&ue el es-ue!o !esul'a"'e < a f &i!i#i&o
pe!pe"&iula!me"'e a la sei0" !e'a.
A"*lo#ame"'e, e" u" pu"'o B &e la misma sei0", 'am(i+" a &is'a"ia /
&e la l3"ea "eu'!a, pe!o po! e"ima &e ella, el es-ue!o !esul'a"'e es
la &i-e!e"ia e"'!e los es-ue!os aial / po! 7ei0". Si a los es-ue!os &e
'e"si0" se les &a si#"o posi'i$o / a los &e omp!esi0", "e#a'i$os, el
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 6/37
es-ue!o !esul'a"'e e" u" pu'o ualuie!a &e la $i#a &a&o po! la suma
al#e(!aia &e los es-ue!os aial / &e 7ei0" e" auel pu"'o9
O (ie",
O(s+!$ese ue el es-ue!o aial pue&e se! &e 'e"si0" o &e omp!esi0".
Es'e es el mo'i$o &e po"e! los si#"os posi'i$o / "e#a'i$o &ela"'e &e 5@A, /
el !o&ea!los o" u" 3!ulo es pa!a !eo!&a! ue el es-ue!o aial es
u"i-o!me e" 'o&a la sei0" !e'a.
E" la euai0" =:;1> se 6a aplia&o el m+'o&o &e supe!posii0". A6o!a(ie", 6a/ ue 'e"e! e" ue"'a la mo&i4ai0" ue la a!#a aial pue&e
i"'!o&ui! e" el mome"'o 7eio"a"'e, omo se ala!a a o"'i"uai0". La
4#u!a :;2 mues'!a, mu/ ea#e!a&ame"'e, la 7ei0" p!o&ui&a po! u"a
a!#a '!a"s$e!sal Q e" u"a $i#a. Si 5 es &e 'e"si0", omo e" la 4#u!a :;2a,
el mome"'o 7eio"a"'e p!o&ui&o po! 5 e" ualuie! sei0", / ue $ale
, 'ie"&e a &ismi"ui! el mome"'o 7eio"a"'e p!o&ui&o po! Q /, po! 'a"'o,
!e&ue los es-ue!os po! 7ei0", / al o"'!a!io ou!!e si se '!a'a &e u"a
omp!esi0" aial. E" o'!as pala(!as, los $alo!es &a&os po! la euai0" =:;1>
so" al#o ma/o!es ue los !eales si 5 es &e 'e"si0", / me"o!es ue los
!eales si 5 es u"a omp!esi0". Es'e e-e'o es &esp!eia(le e" mu6as
oasio"es si las (a!!as o eleme"'os &e la es'!u'u!a so" 'a" !3#i&os ue
los es-ue!os p!o&ui&os po! 5 so" mu/ peueos -!e"'e a los p!o&ui&os
po! el mome"'o 7eio"a"'e &e las -ue!as '!a"s$e!sales Q, es &ei!, si las
&e7eio"es so" mu/ peueas. 5e!o si las (a!!as so" la!#as / 7ei(les,
el e-e'o pue&e 'e"e! su impo!'a"ia / &e(e" emplea!se o'!os
p!oe&imie"'os m*s ea'os &e *lulo.
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 7/37
(-&- N0CLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN- CARGAS APLICADAS FUERA DE
LOS E+ES DE SIMETRÍA
U" aso pa!'iula! &e es-ue!os aiales / &e 7ei0" om(i"a&os es el ue
!ep!ese"'a la 4#u!a :;a e" la ue u" pu"'al &e peuea lo"#i'u& sopo!'a
u"a a!#a 5 aplia&a o" u"a ie!'a ee"'!ii&a& o" !espe'o a u"o &e
los e)es p!i"ipales &e la sei0". La supe!posii0" &e u" sis'ema "ulo, &os
-ue!as i#uales / opues'as / &el mismo m0&ulo ue 5, aplia&as e" el
e"'!o &e #!a$e&a& &e la sei0", &a lu#a! al sis'ema eui$ale"'e i"&ia&o
e" la 4#u!a :;(. Los es-ue!os e" u"a sei0" ualuie!a m;" so" el
!esul'a&o &e la supe!posii0" &el es-ue!o aial a < P/A &e omp!esi0",
ue apa!ee e" la 4#u!a :;, / &el es-ue!o po! 7ei0" f < Mc/I < (Pe)/I
ue se $e e" la 4#u!a :;&. Si el es-ue!o po! 7ei0" m*imo es ma/o!
ue el es-ue!o aial, el es-ue!o !esul'a"'e 'ie"e la -o!ma &e la 4#u!a :;
e. El pu"'o &e es-ue!o "ulo es la
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 8/37
"ue$a posii0" &e la l3"ea "eu'!a / se e"ue"'!a -*ilme"'e 6alla"&o la&is'a"ia a la ue el es-ue!o po! 7ei0" =posi'i$o> es i#ual al es-ue!o
aial ="e#a'i$o>. 5o! 'a"'o,
E" &o"&e,
Es e$i&e"'e ue si el es-ue!o aial &e omp!esi0" es i#ual o ma/o! ue el
m*imo es-ue!o &e 7ei0", "o eis'i!* o"a al#u"a ue '!a(a)e a 'e"si0".
5a!a o"se#ui! es'o e" u"a sei0" !e'a"#ula! &e a"6o b / al'u!a h o" P
aplia&a o" u"a ee"'!ii&a& e =so(!e la al'u!a h, 4#u!a :;> se 6a &e
'e"e!9
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 9/37
E" es'as o"&iio"es, la ee"'!ii&a& m*ima pa!o "o 'e"e! 'e"si0"es9
Es'a -0!mula es el -u"&ame"'o &e la !e#la usual e" &iseo &e o(!as &e
la&!illo o &e o'!os ma'e!iales mu/ poo !esis'e"'es a 'e"si0", &e ue la
!esul'a"'e &e las a!#as &e(e pasa! po! el 'e!io e"'!al &e la sei0".
Co"si&e!emos a6o!a el aso #e"e!al e" el ue la a!#a P se aplia e" u"
pu"'o a!(i'!a!io &e u"a sei0" ualuie!a, sie"&o sus oo!&e"a&as e x / e y
o" !espe'o a los e)es p!i"ipales &e la sei0", omo i"&ia la 4#u!a :;.
Los mome"'os &e P o" !espe'o a los e)es / so", !espe'i$ame"'e, 5e /
/ Pe x . 5o! supe!posii0", el es-ue!o e" u" pu"'o ualuie!a =, /> &e la
sei0" $ie"e &a&o po!9
5a!a &e'e!mi"a! la l3"ea "eu'!a, o l3"ea &e es-ue!o "ulo, se !esuel$e la
euai0" < G. %e"ie"&o e" ue"'a ue , sie"&o !/ / !
los !a&ios &e #i!o !espe'o &e los e)es / , se 'ie"e9
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 10/37
Que es la euai0" &e u"a !e'a u/as i"'e!seio"es o" los e)es
=o!&e"a&a / a(sisa e" el o!i#e"> se o('ie"e" a"ula"&o / pa!a o('e"e! u, /
lue#o pa!a o('e"e! $, e" la euai0" (a). Se 'ie"e9
Quie!e es'o &ei! ue E.N. pasa po! el ua&!a"'e opues'o auel a&o"&e
a'8a 5 /, e" #e"e!al, "o es pe!pe"&iula! a la &i!ei0" O5. 5o! e)emplo,
e" la 4#u!a :;H( se !ep!ese"'a la &is'!i(ui0" &e es-ue!os e" u"a
sei0" !e'a"#ula! ua"&o la -ue!a 5 se aplia e" u" pu"'o -ue!a &e
los e)es p!i"ipales =Fi#. :;Ha>. Si se alula" los es-ue!os e" A, B / C, la
i"'e!sei0" &e la l3"ea "eu'!a o" AB / o" BC se alula po! seme)a"a
&e '!i*"#ulos. O(s+!$ese ue la i"'e!sei0" pue&e es'a! e" las
p!olo"#aio"es =Fi#. :;H>.
amos a &e'e!mi"a! a6o!a las oo!&e"a&as e / e/ &e la a!#a P pa!a las
ue la l3"ea "eu'!a pase po! u"a esui"a B, omo e" la 4#u!a :;H.
Sus'i'u/e"&o < G, x < -h/2, / y < -b/2 e" la euai0" =:;J> !esul'a9
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 11/37
Simpli4a"&o,
Que es la euai0" &e la !e'a m-n &e la 4#u!a :;H&, ue o!'a a los e)es X
/ Y e" h K 6 / b K 6, !espe'i$ame"'e. Es'a l3"ea es el lu#a! #eom+'!io &e los
pu"'os &e apliai0" &e 5 ue p!o&ue" e" es-ue!o "ulo e" B.
A"*lo#ame"'e, la !e'a m1"1 es el lu#a! #eom+'!io &e los pu"'os e" los
ue P, se p!o&ue u" es-ue!o "ulo e" C. Co"'i"ua"&o el p!oe&imie"'o, es
e$i&e"'e ue "i"#8" pu"'o &e la sei0" po&!* es'a! some'i&o a 'e"si0" sila a!#a se aplia &e"'!o o e" el (o!&e &el !om(o !a/a&o &e la 4#u!a, /a
ue la l3"ea "eu'!a pasa!* o -ue!a &e la sei0", o po! u"a esui"a,
o po! u" (o!&e !e'il3"eo. Es'a o"a &e la sei0" se llama "8leo &e la
misma
Se &emues'!a &e -o!ma a"*lo#a ue el "8leo &e u"a sei0" i!ula! es
o'!o 3!ulo &e &i*me'!o i#ual a un cuart de! d"#metr de !a $ecc"%n.
(-1- VARIACIÓN DEL ESFUER,O CON LA ORIENTACIÓN DEL ELEMENTO
La ma#"i'u& / el 'ipo &e es-ue!o &epe"&e" &e la o!ie"'ai0" o i"li"ai0"
&el eleme"'o a o"si&e!a!. Como se pue&e $e! e" la 4#u!a :;:a, se 'ie"e
u" s0li&o some'i&o a la ai0" &e -ue!as &e euili(!io, e" el ual se 6ae"
pasa! po! el mismo pu"'o &os seio"es &e eplo!ai0" a;a / (;(, &o"&e a;
a es pe!pe"&iula! a la &i!ei0" &e la !esul'a"'e R &e 51 / 52, omo se
i"&ia e" la 4#u!a :;:(, / (;( es'a i"li"a&a o" !espe'o a la !esul'a"'e R,
omo se pue&e $e! e" la 4#u!a :;:. El eleme"'o !a/a&o &e la 4#u!a :;:(
es'* some'i&o 8"iame"'e a es-ue!o "o!mal, pe!o el eleme"'o e" el
mismo pu"'o ue es'* e" la 4#u!a :;:, es'* some'i&o a es-ue!os
"o!mal / o!'a"'e, p!o&ui&os po! N / %, !espe'i$ame"'e. E"'o"es
se pue&e o(se!$a! ue pa!a u" mismo pu"'o &e u" s0li&o ue es'*
some'i&o a u" es'a&o &e es-ue!os =u(ia&os e" la i"'e!sei0" &e a;a / (;
(>, los es-ue!os $a!3a" se#8" la &i!ei0" u o!ie"'ai0" &el eleme"'o
&i-e!e"ial ue se o"si&e!e e" &i6o pu"'o.
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 12/37
E" las seio"es si#uie"'es se es'u&ia 0mo $a!3a" los es-ue!os o" la
o!ie"'ai0" &el eleme"'o. Es'o es mu/ impo!'a"'e / lo ue se pe!si#ue es
&e'e!mi"a! e" u+ pla"os se !ep!ese"'a" los es-ue!os m*imos / alula!
sus $alo!es.
E" -o!ma #e"e!al, se 6ae imposi(le 6alla! &i!e'ame"'e los $alo!es &e los
es-ue!os e" u" pla"o ue 'e"#a u"a &i!ei0" ualuie!a. 5o! e)emplo e"
el aso &e $i#as, o" la -0!mula &e 7ei0" se pue&e" &e'e!mi"a! los
$alo!es &el es-ue!o "o!mal ue apa!ee" e" el pla"o pe!pe"&iula! al e)e
&e la $i#a. %am(i+" se pue&e alula! el es-ue!o o!'a"'e e" es'os &os
pla"os. E" el aso &e 'o!si0", o" su o!!espo"&ie"'e -o!mula se o('ie"e el
$alo! &el es-ue!o o!'a"'e e" pla"os pe!pe"&iula!es al e)e &e la (a!!a.
E"'o"es ua"&o u"a (a!!a es'* some'i&a simul'*"eame"'e a 7ei0" / a
'o!si0", omo se mues'!a e" la 4#u!a :;1G, se alula" los es-ue!os
o!!espo"&ie"'es a am(os 'ipos &e es-ue!o, pe!o solame"'e si los
eleme"'os es'*" o!ie"'a&os omo se pue&e $e! e" es'a 4#u!a. 5e!o eis'i!*
u"a &e'e!mi"a&a posii0" u o!ie"'ai0" e" &o"&e el es-ue!o "o!mal se!*
m*imo, omo lo i"&ia la 4#u!a :;:. Eis'e" &os m+'o&os pa!a &e'e!mi"a!
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 13/37
es'a posii0" u o!ie"'ai0" &el eleme"'o, / &el $alo! &el es-ue!o "o!mal
ua"&o es m*imo. Los uales so"9 el a"al3'io usa"&o ep!esio"es
ma'em*'ias, / el o'!o m+'o&o es el #!a4o u'ilia"&o el 3!ulo &e Mo6!.
(-2- ESFUER,O EN UN PUNTO
El es-ue!o e" u" pu"'o &e4"e el es-ue!o me&io u"i-o!meme"'e
&is'!i(ui&o so(!e u" eleme"'o &i-e!e"ial &e *!ea. E" la 4#u!a :;11 se
mues'!a el es-ue!o "o!mal e" la &i!ei0" ue eis'e e" u" pu"'o &e
oo!&e"a&as ,/, el ual es el es-ue!o u"i-o!me ue a'8a so(!e el *!ea
&i-e!e"ial &/&.
Cua"&o el es-ue!o e" u" pu"'o se &e4"e po! las ompo"e"'es ue a'8a"
e" $a!ias &i!eio"es e" el espaio, se pue&e !ep!ese"'a! po! los es-ue!os
ue a'8a" so(!e u" eleme"'o &i-e!e"ial &e $olume" ue !o&ee el pu"'o
o"si&e!a&o. 5o! e)emplo , / / / los es-ue!os e" u" pu"'o. E" la 4#u!a
:;12 se mues'!a las ompo"e"'es &el es-ue!o p!ese"'es e" u" eleme"'o
&i-e!e"ial.
E" es'a sei0", solo se o"si&e!a el es'a&o pla"o o (i&ime"sio"al &e
es-ue!os, e" el ue los es-ue!os a'8a" pa!alelame"'e a u" pla"o, 'al
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 14/37
omo el . E" u" es'a&o '!i&ime"sio"al &e es-ue!os la a!a Z &e u"
eleme"'o ue&a some'i&a a la ai0" &e u" es-ue!o "o!mal , as3 omo
los es-ue!os o!'a"'es / / ue se p!o&ue" e" las a!as / ,
!espe'i$ame"'e, los es-ue!os / / so" "um+!iame"'e i#uales.
E+ERCICIOS RESUELTOS
Pro3lem# N4 '(
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 15/37
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 16/37
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 17/37
Pro3lem# N4 '&
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 18/37
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 19/37
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 20/37
Pro3lem# N4 '1
Calula! los es-ue!os m*imos / loalia! el e)e "eu'!o e" la $i#a e" $ola&io
&e JGmm 1GGmm omo se i"&ia e" la 4#u!a ;2Solui0"
El es-ue!o m*imo ou!!i!* e" el e'!emo empo'!a&o, pues e" ese lu#a! el
mome"'o 7eio"a"'e es m*imo. La a!#a &e 7ei0" &e la 4#u!a ;2 =>
p!o&ue es-ue!os &e 'e"si0" e" las 4(!as supe!io!es / es-ue!os &e
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 21/37
omp!esi0" e" las 4(!as i"-e!io!es. La a!#a aial &e la 4#u!a ;2 =(> p!o&ue
es-ue!os &e 'e"si0" e" 'o&as las 4(!as. E"'o"es9
Lue#o9
CAPITULO II
COLUMNAS
U"a olum"a es u" eleme"'o aial some'i&o a omp!esi0", lo (as'a"'e
&el#a&o !espe'o su lo"#i'u&, pa!a ue a(a)o la ai0" &e u"a a!#a
#!a&ualme"'e !eie"'e se !ompa po! 7ei0" la'e!al o pa"&eo a"'e u"a a!#a
mu6o me"os ue la "eesa!ia pa!a !ompe!lo po! aplas'amie"'o. Es'o se
&i-e!e"ia &e u" pos'e o!'o se"'i&o a omp!esi0", el ual, au"ue es'+
a!#a&o e+"'!iame"'e, epe!ime"'a u"a 7ei0" la'e!al &esp!eia(le.
Au"ue "o eis'e u"a limi'a pe!-e'ame"'e es'a(lei&o e"'!e eleme"'o o!'o /
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 22/37
olum"a, se suele o"si&e!a! ue u" eleme"'o a omp!esi0" es u"a olum"a
si su lo"#i'u& es m*s &e &ie $ees su &ime"si0" '!a"s$e!sal me"o!.
U"a olum"a es u" eleme"'o aial some'i&o a omp!esi0", lo (as'a"'e
&el#a&o !espe'o su lo"#i'u&, pa!a ue a(a)o la ai0" &e u"a a!#a
#!a&ualme"'e !eie"'e se !ompa po! 7ei0" la'e!al o pa"&eo a"'e u"a a!#a
mu6o me"os ue la "eesa!ia pa!a !ompe!lo po! aplas'amie"'o. Las
olum"as suele" &i$i&i!se e" &os #!upos9 &ar'a$ e Intermed"a$. A $ees, los
eleme"'os o!'os a omp!esi0" se o"si&e!a" omo u" 'e!e! #!upo &e
olum"as. Las &i-e!e"ias e"'!e los '!es #!upos $ie"e" &e'e!mi"a&as po! su
ompo!'amie"'o. Las olum"as la!#as !e !ompe" po! pa"&eo o 7ei0" la'e!al
las i"'e!me&ias, po! om(i"ai0" &e es-ue!as, aplas'amie"'o / pa"&eo, / los
pos'es o!'os, po! aplas'amie"'o.
U"a olum"a i&eal es u" eleme"'o 6omo#+"eo, &e sei0" !e'a o"s'a"'e,
i"iialme"'e pe!pe"&iula! al e)e, / some'i&o a omp!esi0". Si" em(a!#o, las
olum"as suele" 'e"e! siemp!e peueas impe!-eio"es &e ma'e!ial / &e
-a(!iai0", as3 omo u"a i"e$i'a(le ee"'!ii&a& ai&e"'al e" la apliai0"
&e la a!#a. %o&o es'o se !ep!ese"'a mu/ ea#e!a&ame"'e e" la 4#u!a 11;1.
La u!$a'u!a i"iial &e la olum"a, )u"'o o" la posii0" &e la a!#a, &a" lu#a!a u"a ee"'!ii&a& i"&e'e!mi"a&a e, o" !espe'o al e"'!o &e #!a$e&a&, e"
u"a sei0" ualuie!a m - n. El es'a&o &e a!#a e" es'a sei0" es simila! al
&e u" pos'e o!'o a!#a&o e+"'!iame"'e, / el es-ue!o !esul'a"'e es'*
p!o&ui&o po! la supe!posii0" &el es-ue!o &i!e'o &e omp!esi0" / el
es-ue!o &e 7ei0" =o me)o! &i6o, po! 7ei0">.
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 23/37
Si la ee"'!ii&a& es peuea / el eleme"'o es o!'o, la 7ei0" la'e!al es
&esp!eia(le, / el es-ue!o &e 7ei0" es i"si#"i4a"'e ompa!a&o o" el
es-ue!o &e omp!esi0" &i!e'o. Si" em(a!#o, e" u" eleme"'o la!#o, ue es
mu6o m*s 7ei(le /a ue las 7eio"es so" p!opo!io"ales al u(o &e la
lo"#i'u&, o" u" $alo! !ela'i$ame"'e peueo &e la a!#a 5 pue&e p!o&ui!se
u" es-ue!o &e 7ei0" #!a"&e, aompaa&o &e u" es-ue!o &i!e'o &e
omp!esi0" &esp!eia(le. As3, pues, e" las &os si'uaio"es e'!emas, u"a
olum"a o!'a sopo!'a -u"&ame"'alme"'e el es-ue!o &i!e'o &e omp!esi0", /
u"a olum"a la!#a es'* some'i&a p!i"ipalme"'e al es-ue!o &e 7ei0".
Cua"&o aume"'a la lo"#i'u& &e u"a olum"a &ismi"u/e la impo!'a"ia /
e-e'os &el es-ue!o &i!e'o &e omp!esi0" / aume"'a o!!ela'i$ame"'e las &el
es-ue!o &e 7ei0". 5o! &es#!aia, e" la o"a i"'e!me&ia "o es posi(le
&e'e!mi"a! ea'ame"'e la -o!ma e" ue $a!3a" es'os &os 'ipos &e es-ue!os, o
la p!opo!i0" o" la ue a&a u"a o"'!i(u/e al es-ue!o 'o'al. Es es'a
i"&e'e!mi"ai0" la ue &a lu#a! a la #!a" $a!ie&a& &e -0!mulas pa!a las
olum"as i"'e!me&ias.
No se 6a &a&o, 6as'a au3, !i'e!io al#u"o &e &i-e!e"iai0" e"'!e olum"as
la!#as e i"'e!me&ias, eep'o e" su -o!ma &e '!a(a)a!, es &ei!, la olum"a
la!#a es'* some'i&a ese"ialme"'e a es-ue!os &e 7ei0" / la i"'e!me&ia lo
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 24/37
es'* a es-ue!os &e 7ei0" / omp!esi0" &i!e'a. La &is'!i(ui0" e"'!e am(os
'ipos &e aue!&o o" su lo"#i'u& s0lo pue&e omp!e"&e!se &espu+s &e 6a(e!
es'u&ia&o las olum"as la!#a
&-(- CARGA CRITICA
Colouemos $e!'ialme"'e u"a $i#a mu/ es(el'a, a!'iul+mosla e" sus
e'!emos me&ia"'e !o'ulas ue pe!mi'a" la 7ei0" e" 'o&as sus
&i!eio"es. Apliuemos u"a -ue!a 6o!io"'al e" su pu"'o me&io, &e
ma"e!a ue p!o&ua 7ei0" se#8" la &i!ei0" &e m*ima 7ei(ili&a&,
omo se i"&ia e" la 4#u!a 11;2a.
Como los es-ue!os &e 7ei0" so" p!opo!io"ales a la 7ei0", "o
epe!ime"'a!a" al#u"a si se aa&e u"a -ue!a aial P e" a&a e'!emo,
omo e" la 4#u!a 11;2(, / 6aie"&o ue &ismi"u/a simul'*"eame"'e
o" el aume"'o &e P &e ma"e!a ue la -lei0" , e" el e"'!o "o $a!3e. Es
es'as o"&iio"es, el mome"'o 7eio"a!'e e" el e"'!o es9
, e" el l3mi'e, ua"&o 6a &ismi"ui&o 6as'a a"ula!se,
E"'o"es, omo se i"&ia e" la 4#. 11;2, P! es la a!#a !3'ia "eesa!ia
pa!a ma"'e"e! la olum"a &e-o!ma&a si" empu)e la'e!al al#u"o. U"
peueo i"!eme"'o &e P so(!e es'e $alo! !3'io 6a!* ue aume"'e la
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 25/37
&e-lei0" , lo ue i"!eme"'a!* M, o" lo ual $ol$e!* aume"'a! / as3
suesi$ame"'e 6as'a ue la olum"a se !ompa po! pa"&eo. 5o! el
o"'!a!io, si P &ismi"u/e li#e!ame"'e po! &e(a)o &e su $alo! !3'io,
&ismi"u/e la &e7ei0", lo ue a su $e 6ae &ismi"ui! M, $uel$e a
&ismi"ui! , e'., / la olum"a 'e!mi"a po! e"&e!ea!se po! omple'o. As3,
pues, la a!#a !3'ia pue&e i"'e!p!e'a!se omo la a!#a aial m*ima a la
ue pue&e some'e!se u"a olum"a pe!ma"eie"&o !e'a, au"ue e"
euili(!io i"es'a(le, &e ma"e!a ue u" peueo empu)e la'e!al 6a#a ue
se &e-o!me / ue&e pa"&ea&a, omo e" la 4#. 11;2.
&-&- FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS / MU/ ES*ELTAS
E" el ao 1, el #!a" ma'em*'io suio Leo"a!&o Eule! !eali0 u"
a"*lisis 'e0!io &e la a!#a !3'ia pa!a olum"as es(el'as (asa&o e" la
euai0" &i-e!e"ial &e la el*s'ia I(d2 y/dx 2 ) < M. A6o!a se sa(e ue es'e
a"*lisis es $*li&o 6as'a ue los es-ue!os ala"a" el l3mi'e &e
p!opo!io"ali&a&. E" 'iempo &e Eule! "o se 6a(3a" es'a(lei&o los
o"ep'os &e es-ue!o, "i &e l3mi'e &e p!opo!io"ali&a&. 5o! lo ue +l "o
'u$o e" ue"'a la eis'e"ia &e u" l3mi'e supe!io! &e la a!#a !3'ia.
La 4#u!a 11;? mues'!a la l3"ea e)e &e u"a olum"a e" euili(!io (a)o laai0" &e la a!#a !3'ia P. Se supo"e ue la olum"a 'ie"e los e'!emos
a!'iula&os =me&ia"'e !0'ulas o pasa&o!es> &e ma"e!a ue "o pue&e"
'e"e! &esplaamie"'os la'e!ales. La &e-lei0" m*ima es lo
su4ie"'eme"'e peuea pa!a ue "o eis'a &i-e!e"ia ap!eia(le e"'!e la
lo"#i'u& i"iial &e la olum"a / su p!o/ei0" so(!e el e)e $e!'ial. E" es'as
o"&iio"es, la pe"&ie"'e &/@& es peuea / se pue&e aplia! la euai0"
&i-e!e"ial ap!oima&a &e la el*s'ia &e u"a $i#a9
El mome"'o M es posi'i$o e" la Fi#. 11;? al pa"&ea! la olum"a e" el
se"'i&o o"'!a!io al &el !elo), po! lo ue al se! la y "e#a'i$a, 6a &e i!
p!ee&i&a &el si#"o me"os. Si la olum"a se pa"&ea!a e" se"'i&o
o"'!a!io, es &ei!, e" la &i!ei0" &e y posi'i$a, el mome"'o se!3a
"e#a'i$o, &e aue!&o o" el !i'e!io &e si#"os a&op'a&o.
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 26/37
La euai0" a"'e!io! =a> "o se pue&e i"'e#!a! &i!e'ame"'e, omo se 6a3a
a"'e!io!me"'e /a ue all3 M solame"'e e!a -u"i0" &e x . Si" em(a!#o,
p!ese"'amos &os m+'o&os pa!a !esol$e!la. Co"oie"&o al#o &e &i"*mia
"os &amos ue"'a ue la euai0" a"'e!io! es seme)a"'e a la euai0" &e
u" ue!po ue $i(!a simpleme"'e9
5a!a lo ual u"a solui0" #e"e!al es9
De au3, po! a"alo#3a, la solui0" =a> $ie"e &a&a po!
Al aplia! las o"&iio"es &e -!o"'e!a pa!a < G, / / < G, lo ue &a C 2 < G
pa!a < L, / < G, &e la ue se o('ie"e
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 27/37
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 28/37
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 29/37
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 30/37
&-1- LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER
U"a olum"a 'ie"e a pa"&ea!se siemp!e e" la &i!ei0" e" la ual es m*s
7ei(le. Como la !esis'e"ia a la 7ei0" $a!ia o" el mome"'o &e i"e!ia, el
$alo! &e I e" la -0!mula &e Eule! es siemp!e el me"o! mome"'o &e i"e!ia
&e la sei0" !e'a. La 'e"&e"ia al pa"&eo 'ie"e lu#a!, pues, o" !espe'o
al e)e p!i"ipal &e mome"'o &e i"e!ia m3"imo &e la sei0" !e'a.
La -0!mula &e Eule! 'am(i+" &emues'!a ue la a!#a !3'ia ue pue&e
p!o&ui! el pa"&eo "o &epe"&e &e la !esis'e"ia &el ma'e!ial, si"o &e sus
&ime"sio"es / &el m0&ulo &e el*s'io. 5o! es'e mo'i$o, &os (a!!as &e
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 31/37
i&+"'ias &ime"sio"es, u"a &e ae!o &e al'a !esis'e"ia / o'!a &e ae!o
sua$e, se pa"&ea!*" (a)o la misma a!#a !3'ia /a ue, au"ue sus
!esis'e"ias so" mu/ &i-e!e"'es 'ie"e" p!*'iame"'e el mismo mo&ulo
el*s'io. As3 pues, pa!a aume"'a la !esis'e"ia al pa"&eo, i"'e!esa
aume"'a! lo m*s posi(le el mome"'o &e i"e!ia &e la sei0". 5a!a u" *!ea
&a&a, el ma'e!ial &e(e &is'!i(ui!se 'a" le)os omo sea posi(le &el e"'!o &e
#!a$e&a& / &e 'al ma"e!a ue los mome"'os &e i"e!ia o" !espe'o a los
e)es p!i"ipales sea" i#uales, o lo m*s pa!ei&os posi(le =omo e" u"a
olum"a 6uea>
5a!a ue la -0!mula &e Eule! sea aplia(le, el es-ue!o ue se p!o&ua e"
el pa"&eo "o &e(e ee&e! al l3mi'e &e p!opo!io"ali&a&. 5a!a &e'e!mi"a!
es'e es-ue!o, se sus'i'u/e e" la -0!mula el mome"'o &e i"e!ia I po! A!2 ,
&o"&e A es el *!ea &e la sei0" !e'a / r es el !a&io &e #i!o m3"imo.
La a"'i&a& &/r es la !elai0" &e es(el'e &e la olum"a. Es la!o, &a&o la
a"o'ai0" &el p*!!a-o p!ee&e"'e, ue el m3"imo $alo! &el !a&io &e #i!o r
&e(e usa!se al alula! la !elai0" &e es-ue!o / el es-ue!o !3'io &e la
olum"a.
La euai0" a"'e!io! mues'!a ue el es-ue!o !3'io es p!opo!io"al al
m0&ulo &e elas'ii&a& &el ma'e!ial e i"$e!same"'e p!opo!io"al al
ua&!a&o &e la !elai0" &e es(el'e &e la olum"a.
E+ERCICIOS RESUELTOS
E5er6767o N4 '(
De'e!mi"e la i"'e"si&a& pe!misi(le m*ima &e la a!#a &is'!i(ui&a ue
pue&e aplia!se al eleme"'o BC si" ausa! ue el eleme"'o AB se pa"&ee.Supo"#a ue AB es &e ae!o / es'a a!'uula&o e" sus e'!emos pa!a el pa"&eo
&el e)e P / 4)o e" sus e'!emos pa!a el pa"&eo &el e)e / P /. use u" -a'o!
&e se#u!i&a& o" !espe'o al pa"&eo &e ?. Ea < 2GG5a, / < ?GM5a
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 32/37
Soluio"
E)e / P /
E)e P
Lue#o9
E5er6767o N4 '&
La olum"a 12H &e ae!o A;? 'ie"e u"a lo"#i'u& &e 12 pies. Si su
e'!emo i"-e!io! se e"ue"'!a 4)o / su e'!emo supe!io! es'a li(!e, &e'e!mi"e
la ma/o! a!#a aial ue pue&e sopo!'a!. Use u" -a'o! &e se#u!i&a& o"
!espe'o al pa"&eo &e 1.
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 33/37
Soluio"
lue#o
E5er6767o N4 '1
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 34/37
5o! lo 'a"'o seleio"amos u" pe!4l 2GG?
E5er6767o N4 '2
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 35/37
La olum"a &e 1G pies 'ie"e las &ime"io"es mos'!a&as e" la 4#u!a,
&e'e!mi"a! la a!#a !i'ia si la pa!'e i"-e!io! es'a 4)a / la pa!'e supe!io! es'a
a!'iula&a. E < 1.1G? si, / < si.
Solui0"
Se 'ie"e ue * < G.
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 36/37
E5er6767o N4 '8
De'e!mi"e la ma/o! lo"#i'u& L "o apo/a&a pa!a la ual u" eleme"'o AB
a omp!esi0" S1GG11. se pue&e sopo!'a! e" -o!ma se#u!a la a!#a
+"'!ia mos'!a&a. Co"si&e!e σy < 2G Mpa / E< 2GGpa.
Si la a!#a &e G TN 6a se se! sopo!'a&a e" -o!ma se#u!a, &e(e 'e"e!se
σperm= P
A=
60 x103 N
1460 x 10−6m
2=41.1 x 10
6
5o! o'!a pa!'e, pa!a el l3mi'e &e 7ue"ia &a&o, la 9('-2&:
Cc2=
2π 2 E
σy
=2π
2(200 x109)
250 x10
6 =15.79 x10
3=125.7
Supo"ie"&o ue L@! C se usa la euai0" =1G.J?> / se es!i(e
σperm= π
2 E
1.92( Lr )2= π
2(200 x109 Pa)
1.92 x( Lr )2 =
1.028 x1012 Pa
( Lr )2
I#uala"&o es'a ep!esi0" po! al $alo! !eue!i&o &e σperm , se 'ie"e
1.028 x1012 Pa
(
L
r
)
2 =41.1 x10
6 Pa
L@!< 1H.2La 6ip0'esis so(!e L@! C es o!!e'a. Eso#ie"&o el me"o! &e los &os
!a&ios &e #i!o, !esul'a L
ry=
L
14.8 x10−3m❑=158.2
L=2.34m
CONCLUSIONES• Me&ia"'e la apliai0" &e la 'eo!3a / o"oimie"'os p!*'ios e" el
a"*lisis &e es'!u'u!as, es m*s omp!e"si(le el ompo!'amie"'o &e las
mismas (a)o a!#as sopo!'a&as.
7/26/2019 PANDEO EN COLUMNAS - RESISTENCIA DE MATERIALES
http://slidepdf.com/reader/full/pandeo-en-columnas-resistencia-de-materiales 37/37
• Co" los *lulos e)eu'a&os se o('ie"e" los es-ue!os p!i"ipales /
es-ue!os o!'a"'es e" u" pu"'o &e u"a es'!u'u!a, es'o p!opo!io"a los
eleme"'os "eesa!ios pa!a el &iseo &e las mismas, / pe!mi'e oloa!
los apo/os e" pu"'os la$e, &o"&e el es-ue!o es m*imo pa!a ue la
es'!u'u!a se ma"'e"#a es'a(le
• Se i"$es'i#0 / es'u&i0 la 'eo!3a &e olum"as / los &i-e!e"'es *lulos
ue &e(emos !ealia! pa!a "oso'!os po&e! &isea! eleme"'os
es'!u'u!ales ue sopo!'e" las &i-e!e"'es a!#as si" lle#a! al pu"'o &e
pa"&eo
REFERENCIAS *I*LIOGR;FICAS
Bee! / Vo6"s'o", Me*"ia &e ma'e!iales, 'a e&ii0" 2G1G. E&i'o!ialM!a;ill.
• i((ele!, R. C., Me*"ia &e Ma'e!iales, 'a e&ii0", M+io, 2GG.
E&i'o!ial 5EARSON EDUCACION• Vames M. e!e, Me*"ia &e Ma'e!iales, ma. E&ii0", 2GG:. Ce"#a#e
Lea!"i"# E&i'o!es, S.A &e C..• Ni6olas illems, Resis'e"ia &e ma'e!iales, 1:HH. E&i'o!ial M!a;ill.
• 5/'el ; Si"#e!, !esis'e"ia &e ma'e!iales, 1::J. E&i'o!ial meia"a.