PAVIMENTOSUniversidad Continental
Dr. Ing. Andrés Sotil ChávezClase 16
Esfuerzos en Pavimentos Flexibles
tc
TEORÍA ELÁSTICA LINEAL MULTICAPADe la grafica anterior que podemos identificar?
La carga (llanta)Al menos 3 capas (pueden ser mas)Dimensión lateral no determinada (infinito)Deflexión, δDeformación por tensión, εt Agrietamiento por
fatigaDeformación por compresión, εc Ahuellamiento
Para entender el comportamiento de esta estructura se ha asumido un comportamiento elástico:La estructura descansa en una capa elástica de
profundidad infinita SubrasanteTodas las capas del pavimento puede describirse
con el modulo de Young, E, y el coeficiente de Poisson, μ
TEORÍA ELÁSTICA LINEAL MULTICAPAAdemás, las capas son asumidas como:
Homogéneas (mismo material)Isotrópicas (comportamiento igual sin
considerar dirección)Las cargas ejercidas por las llantas asumidas
como:Carga puntualesCargas circulares con presión uniforme Con este tipo de cargas, entonces el estado de
esfuerzos es axisimétrico, o sea tiene simetría rotacional alrededor del centro de la carga
Entonces, es mas fácil describir el sistema con coordenadas radiales
TEORÍA ELÁSTICA LINEAL MULTICAPALa respuesta de los pavimentos son
calculadas de la teoría de elasticidadEsfuerzosDeformacionesDeflexiones
Las respuestas a múltiples cargas se calculan usando la superposición de esfuerzos de las llantas individuales, siguiendo el Principio de D’Alembert.
Este análisis es fundamental para el desarrollo de una teoría mecanicista, aun en crecimiento
yx
z
ANÁLISISUnidades
Esfuerzos en psi = lbs / in2 o en kg / cm2 o en kN /
m2
Deformaciones en με = microstrain = in/in x 10-6 = mm/mm
x 10-6
Deflexionesmils = in / 1000 o en milímetros, mm
Tanto para tareas como para evaluaciones, tienen que tener en claro que unidades se están usando y hacer las conversiones correspondientes
DESARROLLO DE CLASETemas
Esfuerzos en Pavimentos Flexibles. Concepto de Sistemas de Capas. Soluciones de 1 y 2 Capas. Soluciones Multicapas - Software.
Objetivo de ClaseEntenderá como se modela el análisis de
pavimentos flexibles mediante la teoría de capas
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAσz = esfuerzo normal vertical
σr = esfuerzo normal radial
σθ = esfuerzo normal tangencial
τzr = esfuerzo cortante horizontal
en dirección radial (6 en total)
εz = deformación normal vertical
εr = deformación normal radial
εθ = deformación normal tangencial
γzr = deformación cortante horizontal
en dirección radial (6 en total)
P
zsz
sr
sq
q
r
w
u
tzr
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPA
Boussinesq simplificó en 1885 el problema y calculó el esfuerzo vertical σz como se indica en la ecuación …
sq
P
zsz
sr
q
r
w
u
tzr
BOUSSINESQEl análisis se simplifica usando
tablas como la mostradaIB = Factor de Influencia Boussinesq
Bz Iz
P
zr
z
Pp
22
52
2 1 2
3
Donde están E y μ?Solucion es independiente
EC. BOUSSINESQ
EJEMPLOConsiderar una carga puntual P = 5kN.
Calcular el aumento del esfuerzo vertical a profundidades z = 0, 2m, 4m, 6m, 10m, and 20m. Asumir r = 5m
BIz
P
zrz
Pp
25.2 22 /1 2
3
r (m) z (m) r/z IB p = (P/z2)IB
5 0 ∞ 0 0 kN/m2
5 2 2.50 0.0034
0.0043
5 4 1.25 0.0424
0.0133
5 6 0.83 0.1295
0.0180
5 10 0.50 0.2733
0.0137
5 20 0.25 0.4103
0.0051
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPALa solución presentada solo provee el
esfuerzo vertical, mas no el tangencial ni el radial.
Estos esfuerzos son importantes para el análisis continuo de los pavimentos, en especial para analizar la influencia de una o mas llantas
Taylor en 1963 adaptó la ecuación de Boussinesq para que tenga la siguiente forma:
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPA
2/522
33
2 zr
zPz
(7-2a)
22222/522
2 213
2 zrzzrzr
zrPr
(7-2b)
22222/322
121
2 zrzzrzr
zP
(7-2c)
2/522
23
2 zr
zrPzr
(7-2d) (-) compresión
(+) tensión
EC. TAYLOR
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPADe la Ley de Hooke
Erz
z
Ezr
r
E
zr
GEzrzr
zr
)1(2
Donde G = Modulo de Corte
Estas cuatro ecuaciones se pueden reescribir de manera matricial
EC. HOOKE
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAEsfuerzos (Taylor) vs. Deformaciones (Hooke)
Al reemplazar la matriz con los valores en base a P, r, z, μ se pueden calcular las deflexiones horizontales (u) y verticales (w)
zr
r
z
zr
r
z
E
2
21000
01
01
01
211
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPADeflexiones Verticales (w) y Horizontales (u)
sq
P
zsz
sr
q
r
w
u
tzr
For z=0
2/12222/3222 1212
zrzrz
E
Pw
2/32222/122
21
11
2
211zrzrzrz
ErPu
rE
Pw
21
EC. TAYLOR
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAEjemplo Aplicativo – Carga Puntual
Calcular los esfuerzos y deformaciones resultantes de una carga puntual de 40 kN aplicada a un espacio elástico semi-infinito. El punto de interés es a una profundidad de 10 cm y a un distancia radial de 20 cm. Usar como datos E = 140 MPa y μ = 0.4
-119.06 kPa
-6.21 kPa
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAEjemplo Aplicativo – Carga Puntual
De la Ec. de Hooke se calculan
68.36 kPa
De la Ec. de Taylor se calculan -34.16 kPa
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPACarga Circular aplicando esfuerzo vertical uniforme
Las formulas mostradas anteriormente (derecha) son
integradas con respecto a “r” y “z”
Por ejemplo, cuando r = 0 (debajo del centro de la llanta con carga circular), se pueden dar las siguientes expresiones de esfuerzos y de deflexión vertical
2/522
33
2 zr
zPz
(7-2a)
22222/522
2 213
2 zrzzrzr
zrPr
(7-2b)
22222/322
121
2 zrzzrzr
zP
(7-2c)
2/522
23
2 zr
zrPzr
(7-2d)
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPACarga Circular aplicando esfuerzo vertical
uniforme para r = 0
donde p = presión de la carga
a = radio de la llanta
E, μ = prop. elásticas
pa
Ew
za
z
za
zp
za
zp
zr
r
z
2
2/322
3
22
2/322
3
12
0
1221
2
1
EC. TIMOSHENKO Y GOODIER (1987)
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAEjemplo Aplicativo – Carga Circular
Calcular los esfuerzos de una llanta inflada a 600 kPa, que sobrelleva una carga de 30 kN descansando en un espacio elástico semi-infinito.La ubicación deseada es a una profundidad de 0.1 m y debajo del centro de la carga (r=0), También calcule la deflexión superficial (cuando z = 0) debajo de la llantaDatos
E = 140 MPa μ = 0.40
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAEjemplo Aplicativo – Carga Circular
Los esfuerzos se calculan sustituyendo los datos en la ecuación de Timoshenko y Goodier
La deflexión vertical superficial se calcula del mismo grupo de ecuaciones de Timoshenko y Goodier y resulta
El radio de la huella de la llanta se asume circular y se calcula
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPASin embargo, esta solución es para un caso
especial.
Foster y Ahlvin (1954) presentaron una solución para cargas circulares cuando se asume que μ = 0.50
Con su solución grafica, se puede calcular: Esfuerzo normal verticalEsfuerzo normal radialEsfuerzo normal tangencialEsfuerzo cortanteDeformación vertical elástica
Esfuerzos verticales debido a cargas circulares (Foster y Ahlvin, 1954)
Números en las curvas indican r/a
z/a
(%)100xqz
Donde:z = profundidadr = distancia radial de interesa = radio de cargaq = presion o carga
Esfuerzos radiales debido a cargas circulares (Foster y Ahlvin, 1954)
Números en las curvas indican r/a
z/a
(%)100xqr
Esfuerzos tangenciales debido a cargas circulares (Foster y Ahlvin, 1954)
Números en las curvas indican r/a
z/a
(%)100xq
Deflexiones verticales debido a cargas circulares (Foster y Ahlvin, 1954)
Números en las curvas indican r/a
z/a
FE
aqw
F
Esfuerzos de Corte debido a cargas circulares (Foster y Ahlvin, 1954)
Números en las curvas indican r/az/
a(%)100x
qrz
SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAPara 1962, Ahlvin y Ulery pudieron proveer
una solución mas extensa y completa, en la que el coeficiente de Poisson, μ, es una variable
Yoder y Witczak (1975) lo incluyeron en su libro Principles of Pavement Design del cual se extraen las tablas y ecuaciones en las siguientes diapositivas
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