Pórticos espaciales
J. T. Celigüeta
1
Pórtico espacial. DefiniciónEstructura reticular. Barras rectas de sección despreciable.Cualquier orientación en el espacio.Barras unidas rígidamente en ambos extremos.
Se transmiten 3 fuerzas y 3 momentos entre el nudo y la barraPuede haber articulaciones
Cargas exteriores en cualquier direcciónDeformaciones: 3 desplazamientos y 3 giros
4 m
4 m
2 m
10 kN
2 kN/m
4 m
5 kN-m
2
Condiciones de estabilidad
A 12 b+r < 6n+6b+c InestableB
CIsostático 12 b+r = 6n+6b+cHiperestático 12 b+r > 6n+6b+c
Incógnitas= 12 b + r Ecuaciones estática: 6n + 6b + c
Además de cumplirse B o C, la disposición de las barras debe evitar toda inestabilidad local.
Es posible cumplir B, y ser a la vez inestable e hiperestático
Habitualmente son hiperestáticos con h muy alto
3
Ejemplos (I)
b=8 n=8 r=24 c=0 h=24
a)
b=7 n=8 r=17 c=1 h=10
b)
4
Ejemplos (II)
b=8 n=8 r=24 c=24 h=g=4
c)
b=8 n=8 r=24 c=12 h=12
d)
5
Barra en el espacioDeformaciones de la fibra neutra:
axial u, laterales v, w, giros según X, Y, Z
Deformaciones de un punto P fuera de la fibra neutra:
P Z Y
dv dwu u y z u y z
dx dxθ θ= − + = − −
X
Y
Z
u
v
wX
Y
Z
uP
6
Barra en el espacio
Deformación unitaria axial debida a la flexión y axial:
2 2
2 2P
X
u du d v d wy z
x dx dx dxε
∂= = − −
∂
Y
Z
u
v
w
Y
Z
X
V’’
W’’
X
Y
Z
x
du/dx
7
Barra en el espacio
( )X E u v y w z Tσ α′ ′′ ′′= − − −
Distribución de temperatura lineal:
Ecuación constitutiva lineal:
m gy gzT T yT zT= + +
( )X XE Tσ ε α= −
X
Y
Z
x
xy
xz X
Y
Z
x
xz
xy
x
8
Barra en el espacio: esfuerzos (I)
Y Y Y gzM zdA EI w EI Tσ α′′≡ − = +∫
mN dA EAu EA Tσ α′≡ = −∫
Z Z Z gyM ydA EI v EI Tσ α′′≡ − = +∫MZ
MZ
MYMY
NN
QZQZ
QY
QYY
Z
X
qY
qZ
qa
Y
Z
9
Barra en el espacio: esfuerzos (II)
Z xzQ dAτ= ∫
Y xyQ dAτ= ∫
Momento torsor
Cortantes
MT MTY
Z
( )T xz xyM y z dAτ τ= −∫
10
Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (I)
2
2a
d uq EA
dx=Fuerza axial:
Propiedades uniformes
a
11
Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (II)
Momentos s/ Z
4
4Y Z
d vq EI
dx=−Fuerzas s/ Y
ZY
dMQ
dx=−
Propiedades uniformes
12
Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (III)
4
4Z Y
d wq EI
dx=−Fuerzas s/ Z
Propiedades uniformes
YY Y
Z zZ
Z
Momentos s/ Y YZ
dMQ
dx=−
13
Barra en el espacio: tensiones
Y Z Z YXY XZ
Z Z Y Y
Q A Q AI b I b
τ τ= =
Flexión y esfuerzo axial:
Esfuerzos cortantes:
Torsión: según la teoría de torsión. Contribuye a las 2 tensiones cortantes τ
Z YX
Z Y
N M y M zA I I
σ = − −
14
Barra en el espacio: energía
Energía acumulada en toda la barra (sin energía de cortante ni torsión):
2*
2
2
2
2
2
b m
ZZ gy
Z
YY gz
Y
NU dx N T dx
EAMdx M T dx
EI
Mdx M T dx
EI
α
α
α
= +
+ −
+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
15
Barra en el espacio. Torsión
( )IX IX JX
JX IX
GJM
LM M
ϕ ϕ= −
=−
2
2T
Tb
MU dx
GJ= ∫
Rigidez a la torsión: G J / L
G: módulo de elasticidad en cortadura
Sección circular: J = momento de inercia polar
Otras secciones: J según la teoría de la torsión
16
Barra en el espacio: grados de libertad
Y
Z
u
v
w JX
IY
IZ
JY
JZ
IY
IZ IX
IX JX
Z
Y
X
JY
JZ
IX
IY
IZI
IX
IY
IZ
δ
δ
δϕϕϕ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
δ
JX
JY
JZJ
JX
JY
JZ
δ
δ
δϕϕϕ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
δ
3 desplazamientos y 3 giros en cada nudo
17
Barra en el espacio: fuerzas en los nudos
MIYL
PIX
PIZ
PIY
MIZL
MIXL
PJX
PJZ
PJY
MJZL
MJXL
MJYL
IX
IY
IZ
IIXL
IYL
IZL
P
P
P
M
M
M
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
P
JX
JY
JZ
JJXL
JYL
JZL
P
P
P
M
M
M
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
P
3 fuerzas y 3 momentos en cada nudo
18
Barra en el espacio: rigidez en el sistema local
Matriz de 12 x 12.
4 submatrices de 6 x 6
4 efectos desacoplados:
2 flexiones (XY, XZ)
axial (X)
torsión
IX
IY
IZ
IXL
IYL
IZL
JX
JY
JZ
JXL
JYL
JZL
LII LIJ
LJI LJJ
P
P
P
M
M
M
P
P
P
M
M
M
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
K K
K K
IX
IY
IZ
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
JX
JY
JZ
δ
δ
δϕϕϕ
δ
δ
δϕϕϕ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Se obtiene ensamblando las matrices de:
- viga plana en XY (4 gdl),
- viga plana en XZ (4 gdl),
- barra axial (2 gdl) y
- barra a torsión (2 gdl)
19
Barra en el espacio: rigidez en el sistema local
3 2
3 2
2
2
0 0 0 0 0
12 60 0 0 0
12 60 0 0 0
0 0 0 0 0
6 40 0 0 0
6 40 0 0 0
z z
y y
LII
y y
z z
EAL
EI EIL L
EI EI
L LGJL
EI EI
L LEI EIL L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
K
Viga a flexión en plano XZ
Barra bi articulada
Viga a flexión en plano XY
Barra a torsión pura
4 efectos desacoplados:
2 flexiones (XY, XZ)
axial (X)
torsión (Giro X)
20
Barra en el espacio. Ubicación en 3D (I)Sistema local de la barra conocido:
Eje X local: nudo I al nudo J.
Ejes Y, Z locales : ejes principales de inercia de la sección
Ubicar los ejes locales respecto de los generales.
21
Barra en el espacio. Ubicación en 3D (II)Ubicar los ejes locales : tres rotaciones sucesivas α, β y ψ
YYL
ZL
Z
YG
22
Barra en el espacio. Ubicación en 3D (III)Método del punto auxiliar: En lugar del ángulo ψ se definen las coordenadas de un punto P cualquiera situado en el plano XL, YL. A partir de ellas es fácil determinar ψ
23
Barra en el espacio. Ubicación en 3D (IV)Ángulos α, β: pueden ser calculados en función de los tres cosenos directores del eje X local (λ, μ, ν)
Ángulo auxiliar ψ : su valor debe ser definido como dato por el usuario para completar la definición del sistema local
2 2cos sin cos sincos
sin cos sin cossin
D DD D
DD D
λ μ ν
λμ ψ ν ψ μν ψ λ ψψ λ ν
λμ ψ ν ψ μν ψ λ ψψ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − +⎢ ⎥= = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
T
Nota: se produce una indeterminación si la barra es paralela al eje Y general, con lo que D=0. Se adopta un valor de ψ de 90º o 270º.
24
Rigidez en coordenadas generales
XG
ZG
YG
IY
IZ
IY
IZIX
IX
JY
JZ
JY
JZJX
JX
{ }T
I IX IY IZ IX IY IZθ θ θ= Δ Δ ΔΔ
{ }T
J JX JY JZ JX JY JZθ θ θ= Δ Δ ΔΔ
Grados de libertad Fuerzas y momentos
{ }T
I IX IY IZ IX IY IZF F F M M M=F
{ }T
J JX JY JZ JX JY JZF F F M M M=F
4 4T
G L=K T K T
12 x 12 llena XG
ZG
YG
MIY
FIY
FJY
FIX
FIZ
MIZ
MIX
FJZ
FJX
MJZ
MJY
MJX
25
Barras en el espacio con articulacionesVarias situaciones: 1, 2 ó 3 momentos nulos, en 1 ó 2 nudos
YL
ZL
JX
IY JY
JZ
IY
IZ
IX
IX JX
JY
JZ
XLMZL=0
Van apareciendo en la matriz de rigidez filas y columnas nulas, correspondientes a los esfuerzos anulados, hasta llegar a la barra biarticulada (sólo N).
26
Barras en el espacio con articulacionesSituaciones muy complejas:El eje de la articulación no coincide con un eje principal de inercia (eje local)
Emplear un sistema local distinto en cada nudo, de tal forma que en el nudo I sea fácil definir la condición M=0.Sistema de grados de libertad “mixto”
27
Ejemplos
28
Ejemplos
29
Ejemplos
30
Ejemplos
Velódromo (Korea)
31
Ejemplos
Torre spinnaker(Portsmouth, UK)
Estadio Chunju (Corea)