Cul es el rea de un cuadrado cuyo lado mide 4 cm? Expresa el resultado en forma de potencia.Potencias y Races. 100 Ejercicios para practicar con soluciones
1
Solucin:El rea de un cuadrado es: A = l2Por tanto, el rea es 42 = (2 2 )2 = 24 cm2
2Expresa los nmeros como multiplicacin de factores iguales y luego en forma de potencia:
333
a)
555
1
b) ( 5) ( 5) ( 5)
c) - 128
d) 1 625
Solucin:a)3333 3
=
5555
11-3
b)== (- 5 )
( 5) ( 5) ( 5)(- 5 )3
c) - 128 = (- 2 )7
d) 6251 = 14 = 545
3 Expresa como potencia nica:
a) 35 33 3
b) (- 5 )7 : ( 5)2
c) [(- 4)2 ]3
Solucin:
a) 35 33 3 = 39
b) ( 5)7 : ( 5)2 = ( 5)5
c) [(- 4 )2 ]3 = (- 4 )6
1
4Expresa en forma de una potencia que tenga como base un nmero primo:a) 5 5 5 5b) ( 3)( 3 )( 3)
c)1
22222
d) 81
e) 27
f) 1 25
Solucin:a) 5 5 5 5 = 54 b) ( 3)( 3)( 3) = ( 3)3
c)1=15
222222
d) 81 = 34
e) 27 = ( 3)3 f)1=1 2
255
5 Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros.
a) 0,000 2
b) 0, 000 000 1 c) 0,03
Solucin:
a) 0,0002 = 2 104
b) 0,0000001 =1107
c) 0,03 = 3 102
6 Expresa las siguientes potencias como producto de factores:
a) (- 7 )3
b) (- 2 )5 32
c) 4-3
2
Solucin:
a) (- 7 )3 = ( 7) ( 7) (- 7 )
b) (- 2 )5 32 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 3 3
c) 4-3 = 4 41 4
7 Expresa el resultado como potencia nica:
a) [(- 7 )2 ]3
b) (- 2 ) 5 (- 2 ) 0 (- 2 ) - 3 (- 2 )
c) 62 ( 2)2 32
Solucin:]3 = (- 7 )6
a) [(- 7 )2
b) (- 2 )5 (- 2 )0 (- 2 )- 3 (- 2 ) = (- 2 )3
c) 62 ( 2)2 32 = [6 ( 2) 3]2 = ( 36)2
8 Escribe en forma de potencia las siguientes races:
a) 3
b) 3 5
c) 4 73
d) 7 29
Solucin:
1
a) 3 2 1b) 5 3
3
c) 7 4
9
d) 27
3
9Escribe en forma radical:
1e) 4 9
1
f) 6 4
3
g) 5 2
4
h) 3 5
Solucin:e)9 4
f)4 6
g) 53
h) 5 34
10 Expresa como potencia nica:
a) 35 33 3
b) (- 5 )7 : ( 5)2
c) [(- 4)2 ]3
Solucin:
a) 35 33 3 = 39
b) ( 5)7 : ( 5)2 = ( 5)5
c) [(- 4 )2 ]3 = (- 4 )6
11 Expresa el resultado como potencia nica:
3234
a)
4
222-5
b) 7 7
c) (- 6 )3 : ( 6)4
4
Solucin:23 4324
3
a)4=4
b)222-52 3
=
777
c) (- 6 )3 : ( 6) 4 = ( 6)3( 4) = ( 6)7
12 Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros.
a) 3 000
b) 20 000 c) 5 000 000
Solucin:
d) 3000 = 3 103
e) 20000 = 2 104
f) 5000000 = 5 106
13 Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros.
a) 25 millones de pesetas
b) Trescientos mil dlares c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros d) Treinta milmetros (en metros)
Solucin:
a) 25 millones de pesetas 2,5 107 ptas.
b) Trescientos mil dlares 3 105 dlares c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros 4,32 105 metros d) Treinta milmetros (en metros) 3 102 metros
14 Una fbrica produce 3 toneladas de hierro al da. Cuntos kilos de hierro fabricar en 5 das? Expresa el resultado en notacin cientfica.
Solucin:
1 tonelada son 1000 kg.3 toneladas son 3000 kg. En cinco das fabricar:
3000 5 = 15 000 = 1,5 104 kilogramos.
5
15 Escribe en notacin ordinaria los siguientes nmeros.
a) 3104
b) 1,2107 c) 2105 d) 0,25103
Solucin:
a) 3 104 = 30000
b) 1,2 107 = 12000000 c) 2 105 = 0,00002 d) 0,25 103 = 0,00025
16 Cul es el cubo del cociente que resulta de dividir 128 entre 32? Expresa las operaciones y el resultado en forma de potencia.
Solucin:
128 = 27
32 = 25
27 : 25 = 22
El cubo del cociente es:
(2 2 )3 = 26
17 Una persona haciendo un recorrido andando emplea 30 das y 5 horas. Cuntos segundos habr tardado en hacer el recorrido? Expresa el resultado en notacin cientfica.
Solucin:
1 hora son 3600 segundos30 das y 5 horas son 725 horas Por tanto, habr tardado:
725 3600 = 2 610 000 = 2,61106 segundos.
18 Expresa las siguientes races como potencias:
a) 3 5 4
b) 123
c) 4 72
d) 7 321
6
Solucin:
4
a)3 54 = 5
3
3
b) 123 = 12 2
2 1
c) 4 72 = 7 4 = 7 2 21
d)7 321 = 3= 33
7
19 En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado como potencia nica:
a) [(- 5 )2 ]3 (- 5 )5 : (- 5 )4
b) (6 3 62 ) 2 : (6 4 )2
Solucin:
a) [(- 5 )2 ]3 (- 5 )5 : (- 5 ) 4 = ( 5) 6 ( 5)5 : ( 5) 4 = ( 5)6 + 54 = ( 5)7b) (6 3 62 ) 2 : (6 4 ) 2 = (6 5 )2 : 68 = 610 : 68 = 610( 8) = 618
20 La masa de la tierra es 5,981024 kg, y la masa de la Luna, 7,341022. Cuntas Lunas se podran formar con la masa de la Tierra?
Solucin:5,981024 = 0,815102 = 81,5 Lunas7,341022
21 Escribe en forma de raz las siguientes potencias de exponente fraccionario:
3a) 4 5
5b) 3 2
1c) 9 4
5
d) 2 6
7
Solucin:
3= 5 43
a)4 5
5
b) 3 2 = 35
1= 4 9
c)9 4
5d) 2 6 = 6 25
22Espaa tiene una poblacin de 36,6106 habitantes y una superficie de 50,410 4 km2. Cul ser la densidad de la poblacin espaola? (Densidad=hab/ km2)
Solucin:
La densidad de la poblacin espaola es :
(36,6 106 ): (50,4 104 )= (36,6 : 50,4)(106 : 104 )= 0,726 102 = 7,26 10 h / km2
23 El rea de un terreno cuadrado es 625 m 2 . Cul ser el rea de otro terreno cuyo lado es el triple del primero? Expresa el resultado en forma de potencia.
Solucin:
Si l es el lado del primer terreno, entonces l2 = 625 .El lado del segundo terreno es: 3 l metros.
Y por tanto, el rea es: (3 l)2 = 32 l2 = 32 625 = 32 54 m2.
24 Expresa el resultado como potencia nica:
a) 24 2 8
b) (- 4)3 (- 4)5 16
1 21 31
c)
2216
Solucin:
a) 24 2 8 = 24 2 23 = 28
b) (- 4 )3 (- 4 )5 16 = ( 4)3 ( 4)5 ( 4)2 = ( 4)10
1213112131413
c)==
22162222
8
25 Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:
a) 7
b)5 24
c)12 37d)3 4 2
Solucin:
1
a)7 = 72
4
b)5 24 = 2
5
12 377
c)= 312
3 422
d)= 4 3
26 Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros e indica su orden de magnitud.
a) 210 000 000 000
b) Dos billones y medio
c) 58 400 millones
Solucin:
a)210 000 000 000 = 2,11011 Orden de magnitud: 11
b)2 billones y medio = 2,5 1012Orden de magnitud: 12
c)58 400 millones = 5,84 1010Orden de magnitud: 10
9
27 Expresa el resultado como potencia nica:
a) 25 3 5 6 125 b) 812 37
c) 1682 22
Solucin:
a) 25 3 56 125 = (5 2 )3 5 6 53 = 59
b) 812 37 = (3 4 )2 37
c) 1682 22 = 24 (2 3 )3 22 = 23
28
29
La masa de la Tierra es 5,981024 kg. Cul sera la masa equivalente a 3 planetas iguales a la Tierra?
Solucin:
3 planetas equivalentes a la Tierra tendran una masa de:3 (5,98 1024 )= 17,94 1024 = 1,794 1025 kg
Expresa el resultado como potencia nica:
a)253 5
3
4
b)24 27 53
c)6232
:
510
Solucin:553 51 5
a)232
==
34342
b) 24 27 53 = 23 53 = 103 c)6 23263 26022
:=:== 4
51051015
30 Un lavavajillas dispone de 8 bandejas y en cada una de ellas caben 32 vasos. Cuntos vasos se podrn lavar de una sola vez? Expresa el resultado en forma de potencia.
Solucin:
La capacidad del lavavajillas es: 8 32 = 23 25 = 28 vasos
10
31 Escribe como potencia nica:
a) (- 7 ) -2 (- 7 ) 3 (- 7 )0
b) 83 (- 2 )3
c) (- 3 ) - 2 : (- 3 )3
Solucin:
a) (- 7 )-2 (- 7 )3 (- 7 )0 = ( 7)2 +3+0 = ( 7)
b) 83 (- 2 )3 = [8 ( 2)]3 = ( 16)3
c) (- 3 )- 2 : (- 3 )3 = ( 3) 2 3 = ( 3)5
32 La edad de Marcos es 14 aos. Cul es el cuadrado del doble de su edad dentro de 2 aos? Expresa el resultado en forma de potencia.
Solucin:
La edad de Marcos dentro de 2 aos ser: 14 + 2 = 16 = 24 aos.El doble de la edad dentro de 2 aos ser: 2 24 = 25 aos.Y el cuadrado de dicha edad es: (25 )2 = 210 aos.
33 Reduce a ndice comn los siguientes radicales:
a) 4 6 , 6 4
b) 3 5 , 5 7 3 , 15 32
Solucin:
a)46,641263,1242
m.c.m.(4,6) =12
b)35 ,5315321555,1579,1532
7 ,
m.c.m.(3,5,15) =15
34 Simplifica los siguientes radicales:
a) 24
b) 3 315
c) 4 56
d) 12 78
11
Solucin:
a) 24 = 22
b) 3 315 = 35
c) 4 56 = 53
d) 12 78 = 3 72
35 Introduce en el radical los nmeros que estn fuera:
a) 2 3 3
b) 2 6 22
c) 3 3 3
d) 15 3 25
Solucin:
a) 23 3 = 3 23 3 = 3 24
b)26 22 = 6 26 22 = 6 28 = 6 256
c) 33 3= 3 33 3 = 3 34 = 3 81
d)1325 = 352= 31
5
535
36 Simplifica los siguientes radicales:
a) 4 26
b) 6 49
c) 30 212
Solucin:
63
a)4 26 = 2 4= 2 2= 23
9 3 b) 6 49 = 4 6 = 4 2 = 43 12 2 c) 30 212 = 230 = 25 = 5 22
37 En un tringulo rectngulo los catetos miden 3 cm y 4 cm respectivamente. Cunto medir la hipotenusa?
12
Solucin:
4 cm
h
3 cm
Aplicando el Teorema de Pitgoras: h2 = a2 + b2
h = 32 + 42 = 25 = 5 (La raz negativa no es solucin valida) La hipotenusa mide 5 cm
38 Calcula las siguientes races:
a) 25
b) 3 - 27
c) 4 81
d) 6 64
Solucin:
a) 25 = 52 = 5 y 25 = (5)2 = 5
b) 3 27 = 3 (3)3 = 3
c) 4 81 = 4 34 = 3 y 4 81 = 4 (3)4 = 3
d) 6 64 = 6 26 = 2 y 6 64 = 6 (2)6 = 2
39 Introduce en la raz todos los factores:
a) 5 3
b) 24 3
c) 3 6
d) 43 2
13
Solucin:
a) 5 3 = 523 = 75
b) 24 3 = 4 24 3 = 4 48
c) 3 6 = 326 = 54
d) 43 2 = 3 43 2 = 3 128
40 Expresa en forma de raz las siguientes potencias de exponente fraccionario:
3a) 251
b) 2 2 7
4
c) 9 5
Solucin:
3= 5 23
a) 2 5
212
2=
b)
7
7
4= 5 9 4
c) 9 5
41 Reduce a ndice comn los siguientes radicales:
a) 3 , 5 2
b) 4 5 , 6 4
Solucin:
a) 3 = 10 35 , 5 2 = 10 22
b) 4 5 = 12 53 , 6 4 ? 12 42
42 Expresa como producto de un nmero entero y un radical los siguientes radicales:
a) 12
b) 45
c) 3 54
14
Solucin:
a) 12 = 22 3 = 2 3
b) 45 = 32 5 = 3 5
c) 3 54 = 3 233 = 33 2
43 Extrae todos los factores posibles de las siguientes races:
a) 27
b) 3 32
c) 4 162
d) 192
Solucin:
a) 27 = 32 3 = 3 3
b) 3 32 = 3 22 22 2 = 223 2 = 43 2
c) 4 162 = 4 23 4 = 34 2
d) 192 = (2 3 )2 3 = 23 3
44 El rea de un terreno de forma cuadrada es 169 m 2 . Cunto medir el permetro del terreno?
Solucin:
El lado del terreno mide 169 = 13 m (La raz negativa no es solucin vlida) El permetro es: 4 13 = 52 m.
45 Simplifica los siguientes radicales expresndolos previamente en forma de potencia:
a) 6 16
b) 12 33
c) 10 243
d) 4 78
15
Solucin:
a) 6 16 = 6 24 = 24 6 = 223 = 3 22
b) 12 33 = 3312 = 314 = 4 3
c) 10 243 = 10 35510 = 31
= 32 = 3
d) 4 78 = 78 4 = 72
46 El nmero 46 656 es igual al cubo de 36. Calcula la raz sexta de dicho nmero y explica cmo lo haces.
Solucin:
46656 = 363 = (6 2 )3 = 66 6 46656 = 6 66 (6 )
47 Escribe 3 radicales equivalentes a:
a) 7
b) 5 23
c) 12 64
d) 15 310
Solucin:
a) 7 = 4 72 = 12 76 = 6 73 b)5 23 = 10 26 = 15 29 = 30 218
c)12 64 = 6 62 = 3 6 = 18 66
d) 15 310 = 3 32 = 9 36 = 12 38
48 El volumen de un cubo es 1 000 m3. Cul es el rea de una de sus caras?
Solucin:
Como V = l3 , entonces l = 3 1000 = 3 103 = 10 m.
El rea de una de las caras es: A = l2 = 102 = 100 m2.
16
49 Escribe 3 radicales equivalentes a:
a) 6 34
b) 24 26
c) 9 5 6
d) 5 43
Solucin:a)6 34= 3 32 = 12 38 = 18 312
b)24 26 = 48 212 = 8 22 = 4 2
c)9 56= 3 52 = 18 56 = 27 518
d)5 43= 10 46 = 15 49 = 20 412
50 Reduce a ndice comn los siguientes radicales:
a) 5, 5 23 ,15 72
b) 4 9, 6 11,15 13
Solucin:
a)5,53157230153018,3074
2 ,5 ,2
m.c.m.(2,5,15) = 30
b)49 ,611,151360330,6010,60134
11
m.c.m.(4,6,15) = 60
51 Simplifica los siguientes radicales:
a) 24 1136
b) 18 312
c) 6 625
d) 15 218 312
17
Solucin:a)24 1136= 113
b)18 312= 3 32
c)6 625 = 6 54 = 3 52
d) 15 218 312 = 5 26 3 4
52 Cul es la mxima distancia, en lnea recta, que podr recorrer un jugador en un campo de ftbol de 20 m de largo y 15 m de ancho?
Solucin:
La mxima distancia corresponde a la diagonal del terreno rectangular.
d15 m
20 m
Por el teorema de Pitgoras:d = 202 +152 = 625 = 25 m.
La distancia mxima es 25 m
53 Simplifica las siguientes potencias expresndolas previamente en forma radical:
15a) 2 30
6b) 8 24
8
c) 3 12 2
d) 27 18
18
Solucin:
15a) 230 = 30 215 = 2
6b) 824 = 24 86 = 24 218 = 4 23 8= 12 38 = 3 32 = 31
c)312
32
2d) 2718 = 18 272 = 18 36 = 3 3
54 Extrae factores de las siguientes races:
a) 36000
b) a 4 b7 c5
Solucin:
a) 36000 = 62 102 10 = 610 10 = 60 10
b) a4 b7 c 5 = a2 a2 b2 b2 bc 2 c 2 c = aabbbcc bc = a2 b3 c 2 bc
55 Introduce todos los factores en las races:
a) 33 6
b) 2 53
c) 3 1 4 2
Solucin:
a) 33 6 = 3 33 6 = 3 162
b)23=22 3=12
555
c)31=32 1=9
4242 232
56 La mitad del cuadrado de la distancia que recorre un ciclista en 30 minutos es 162 km. Cunto recorrer en 2 horas?
19
Solucin:
Si la mitad del cuadrado de la distancia es 162, el cuadrado de la distancia es: 2 162 = 324 km. Por tanto la distancia que recorre el ciclista en media hora es: 324 = 18 km.
En dos horas recorrer: 18 4 = 72 km.
57 Simplifica los siguientes radicales:
a)6 32 5 4
b)1259
26
Solucin:
a)6 32 54 = 3 352
b)1259= 453
2622
58 Se quiere construir un tablero cuadrado que tenga una superficie de 225 cm2 y que a su vez contenga 144 casillas iguales. Cunto medir el lado de cada casilla?
Solucin:
El lado del tablero medir: 225 = 15 cm
El nmero de filas y columnas que tendr el tablero ser: 144 = 12 Por tanto el lado de cada casilla medir: 15 : 12 = 1,25 cm.
59 Cmo se puede extraer la raz sptima de 1 280 000 000?
Solucin:
7 1280000000 = 7 214 57 = 5 27 27 57 = 225 = 20
60 Extrae de la raz todos los factores posibles:
a) 3 625
b) 4 288
c) 3 432
20
Solucin:
a)3 625= 3 53 5 = 53 5
b)4 288= 4 24 32 2 = 24 32 2 = 24 18
c)3 432= 3 23 33 2 = 233 2 = 63 2
61 Reduce a ndice comn los siguientes radicales:
a) 3 6, 6 2, 4 53
b) 23 , 4 3, 5 24
Solucin:a)3 6 = 12 64 , 6 2 = 12 22 , 4 53 = 12 (5 3 )2b) 23 = 20 210 , 4 3 = 20 35 ,5 24 = 20 (2 4 )4 = 20 216
62El rea de un cuadrado es 4096 cm2. Cunto medir el permetro de otro cuadrado cuyo lado es la raz cbica del lado del primero?
Solucin:
El lado del primer cuadrado mide: 4096 = 64 cm.
El lado del segundo cuadrado es: 3 64 = 4 cmPor tanto, su permetro medir: 4 4 = 16 cm.
63 Extrae factores de los siguientes radicales:
a)300
b)125
8
c)3 54
64
21
Solucin:
a) 300 = 22 52 3 = 25 3 = 10 3
b)125=525=55
8222
22
c)354= 333 2=33 2 =332
224
6423 23
64 Ordena de menor a mayor los siguientes radicales:
a) 3 5, 4 6, 7
b) 12 3,15 27, 30 81
Solucin:
a)35,46, 71254,1263,12761263