Matemática Básica para Economistas MA99
Tema: Composición de FuncionesFunción Inversa
UNIDAD 6
Clase 14.1
Ejemplo: El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos de determinado modelo es una función de la demanda “x” del mercado. Si una función ingreso mensual y la demanda dependieran del precio “p” por par,tal como se muestra : I= 300p - 2p2 y p=300 – x/2.¿Cómo depende I de x?
Composición de FuncionesComposición de Funciones
Definición: Sean f y g dos funciones. Sea x en el dominio de g de tal manera que g(x) pertenezca al dominio de f. Entonces la composición fog (f compuesta con g) se define por:
(f o g)(x) = f(g(x))
Composición de FuncionesComposición de Funciones
Por ejemplo:
Composición de FuncionesComposición de Funciones
xxf 2xxg
2 xxfog
0 2
-2
2x
y
x
y
f(x)
g(x)
(fog)(x)
Dom(f) = R Dom(g) = [0, ∞[ Dom(fog) = [2, ∞[
g
Dom de gRan de g
f
Dom de f Ran de f
x . .g(x) .f(g(x))
fog
Composición de FuncionesComposición de Funciones
La función compuesta fog, de dos funciones, f y g se define así:
(fog)(x) = f(g(x)) El dominio de fog es el conjunto de todas las x en el dominio de g, tales que g(x) esté en el dominio de f.
)()( )(/)( fDomxgygDomxxfogDom
Composición de FuncionesComposición de Funciones
EjemploEjemplo:
Sean las funciones :
xxgyxxf )(16)( 2
a) Determinar la regla de correspondencia (fog)(x) y el dominio de fogb) Determinar la regla de correspondencia (gof)(x) y el dominio de gof.
EjemploEjemplo:
Sean las funciones :
xxgyx
xf
)(2
1)(
Evalúe:a) (fog)(9)
b) (fog)(4)
c) fog
d) (gof)(6)
e) (gof)(1)
c) gof
EjemploEjemplo:
Sean las funciones :( ) 2 4 ; 5 7f x x x
( ) 5 3 ; 3 4g x x x
a) Determine fog.b) Determine fog(-1).
Composición de FuncionesComposición de FuncionesAplicaciónAplicación
Un estudio ambiental de cierta comunidad señala que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será: partes por millón cuando la población es de p miles. Se estima que dentro de t años, la población de la comunidad será de: miles.a) Grafique en un plano coordenado la función C(p) indicando su dominio y rango.b) Calcule e interprete la función (CoP)(t)
175.0 2 ppC
21.01.3 ttP
Introducción:Supongamos que la función de demanda de un mercado es lineal y puede representarse como:
p = -3q + 8¿Cómo expresa la demanda en función del precio?, ¿Cómo sería la gráfica?
Función InversaFunción Inversa
Definición previa: función biunívocaDefinición previa: función biunívoca
• Una función f , con dominio D es una función biunívoca si cumple una de las condiciones siguientes:
- Si a b en D, entonces f(a) f(b) - Si f(a) = f(b), entonces a=b en D
Si es biunívoca
Ejemplo 1: ¿Es biunívoca la función f, con regla de correspondencia: f(x) = 2x-1?
f
x
f(x)
1. Una función f es biunívoca si y sólo sí toda recta horizontal intercepta a su gráfica a lo más en un punto.
2. Una función creciente es biunívoca.3. Una función decreciente es …………biunívoca
Observaciones:Observaciones:
La función inversa de f se denota por f-1
Función Inversa:Función Inversa:
Definición:
Si f-1 es inversa de f:(fof-1)(x) = x
Dom (f-1) = Ran (f)Ran (f-1) = Dom (f)
Para determinar la función inversa (f-1):
Función Inversa:Función Inversa:
1. Verificar que f es biunívoca.2. Despejar x en términos de y.3. Cambiar x por y.
Ejemplo:Ejemplo:Hallar f-1(x) si f(x) = 4x – 3, si x ε [-2, 5]
34 xy
43 yx
43xy
Dom f-1 = Ran f
52 x2048 x
173411 x
17,11 , 4
31 xxxf
Regla: la función inversa fRegla: la función inversa f-1-1 es simétrica es simétrica con f, respecto a la recta con f, respecto a la recta y = xy = x
x
f(x) y = xf(x)
f-1(x)
Halle la inversa de f(x) = x2 - 1, x>0 y grafique f y f-1 en el mismo plano:
1. Es biunívoca en x>0
2. x = f -1(x) = , x > -11y 1x
3. Composición:
•f -1(x2 - 1) = , x>0xxx11)(x 22
1x 1x •f ( ) = ( )2 - 1= x , x>-1