1
Problemas de Las Olimpiadas
Internacionales De Física
José Luis Hernández Pérez
Ricardo David Fernández Cruz
Jaime Solá de los Santos
Madrid 2016
2
XLVII. OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. 2016. SUIZA
1.-DOS PROBLEMAS DE MECÁNICA.
Problema A. El disco oculto. Un cilindro sólido de madera tiene un radio r1 y una altura h1. Dentro de
ese cilindro se ha introducido un disco de metal de radio r2 y espesor h2.
El eje B del disco de metal es paralelo al de simetría S del cilindro
original de madera y está colocado de modo simétrico, esto es, dista igual
de la cara superior del disco de madera que de la cara inferior. La
distancia entre los ejes S y B se designa con d y con 1 la densidad de la
madera y 2 la del metal, siendo 2>1. M es la masa total del cilindro de
madera con el de metal en su interior.
Si colocamos el cilindro sobre un suelo horizontal podrá rodar
libremente hacia la derecha o hacia la izquierda.
La figura 1a es una vista superior y la 1b es una vista lateral del disco
de madera con el de metal.
El objetivo del problema es determinar el tamaño y la posición del disco
de metal.
En todo lo que sigue se ha de suponer que son conocidas las siguientes
magnitudes
r1 ; h1 ; 1 ; 2 ; M (1)
Figura 1. a) Vista superior b) Vista lateral
3
La distancia entre el centro de masas C de todo el sistema y el eje de
simetría S del cilindro se designa con b. Para determinar esta distancia
se realiza el siguiente experimento: Se coloca el cilindro sobre una base
horizontal y una vez que esté en equilibrio, se levanta la base de forma
que llegue a formar con la horizontal un ángulo (ver la figura 2),
debido a la fricción estática el cilindro rodará sin deslizamiento una
pequeña distancia hasta que alcance una posición estable después de
describir un ángulo que se puede medir.
Figura 2. El cilindro en equilibrio sobre la base inclinada
En lo que sigue se asume que el valor de b es conocido
A.1 Encontrar una ecuación de b en función de alguna de las
magnitudes (1), del ángulo y del ángulo de la inclinación de la base.
Figura A1a) Figura A1b)
4
La figura A1a) representa la posición de equilibrio estable del cilindro cuando está
apoyado sobre un suelo horizontal. La figura A1b) representa la posición estable del
cilindro cuando está apoyado sobre un suelo inclinado respecto de la horizontal un
ángulo El peso aplicado en el c.d.m. del sistema está en C y tiene que pasar por el
punto de contacto, cilindro-plano inclinado, por ser el equilibrio estable. Observando la
figura se deduce.
sen
senrbsenrsenb
r
Hsen;
b
Hsen 1
1
1
Figura 3. El sistema colgado por su eje S
A continuación deseamos medir el momento de inercia IS del sistema
respecto del eje de simetría S. Para ello colgamos el cilindro por su eje de
simetría mediante una barra rígida. Luego lo desplazamos un ángulo
pequeño de su posición de equilibrio y lo dejamos en libertad. Ver la
figura 3 del dispositivo. Encontramos que el sistema oscila con un
periodo T
A.2 Determinar la ecuación del movimiento de φ. Calcular el momento de inercia IS del sistema respecto al eje de simetría S en función de T, b y alguna de las cantidades de (1). Se admite que el desplazamiento del sistema es tal que el ángulo φ es pequeño.
S
barra
C.M.
Mg
5
A la distancia b de S actúa el peso del sistema Mg el cual crea un momento de módulo
senMg que tiende a volver al sistema a su posición de equilibrio. De acuerdo con la
ley de Newton para la rotación
SIsenbgM
Si el ángulo desplazado es pequeño el valor del seno es prácticamente igual al del
ángulo medido en radianes
2
22
2
2
S
2
2
Sdt
d;
dt
d
I
bgM;
dt
dIbgM
Esta es la ecuación de un movimiento armónico de rotación cuyo periodo es:
2
2
S
S
4
TbgMI
bgM
I2T
A partir de las medidas obtenidas en las preguntas A.1 y A.2 queremos
determinar la geometría y la posición del disco de metal ubicado dentro
del cilindro de madera.
Designamos con Mm a la masa del cilindro de metal incrustado en el cilindro de madera
22
2
2m hrM
Y con MRM a la masa del resto de la madera, cuya densidad es 1
mRM MMM
El disco completo de madera lo consideramos dividido en dos partes: Una es MRM y la
otra es un cilindro de la misma madera y de las mismas dimensiones que el de metal.
Designamos con MDM a la masa de ese disco
12
2
2DM hrM
La suma MDM +MRM es la masa del disco completo de madera.
Consideremos virtualmente al cilindro de madera, incluyendo al hueco que ocupa el
disco, como macizo y homogéneo, si tomamos unos ejes coordenados como indica la
figura A3 la coordenada x del centro de masas del cilindro es cero
A.3 Expresar la distancia d en función de b y alguna de las constantes (1). Se debe incluir r2 y h2 como variables en su ecuación, las cuales se calcularán en el apartado A5.
6
Si designamos con xRM a la abscisa del centro de masas de la parte del cilindro de masa
MRM podemos escribir
d·Mx·MMM
d·Mx·M0 DMRMRM
DMRM
DMRMRM
Volvamos a la figura A3, el disco pequeño de madera lo sustituimos por el de metal,
entonces la abscisa del sistema es b y escribimos
)1(hr
bMddhrhrdMb
M
d·Md·Mb
M
d·Mx·M
MM
d·Mx·Mb
122
2
2
22
2
212
2
2
MDMmRMRM
mRM
mRMRM
Momento de inercia del cilindro completo y macizo, de madera
4
111
2
111
2
11 r·h2
1r·hr
2
1I
Como el sistema no es un cilindro completo de madera, añadimos un momento de
inercia cuya densidad consideramos negativa, correspondiente a un espacio ficticio de
madera, que en realidad ocupa el metal. Aplicamos el teorema de Steiner.
2
12
2
2
2
212
2
2
2
12
2
2
2
212
2
22 d·hrr·hr2
1dhrrhr
2
1I
La contribución al m.d.i. del sistema, del cilindro de metal respecto del mismo eje, es
teniendo también en cuenta el teorema de Steiner.
2
22
2
2
2
222
2
23 d·hrr·hr2
1I
El momento de inercia del sistema IS es la suma algebraica de los tres términos
X
S
Fig. A3 madera
madera
A.4 Expresar IS en función de b y alguna de las constantes (1). Se debe incluir r2 y h2 como variables en su ecuación, las cuales se calcularán en el apartado A5.
7
2
122
2
212
4
22
4
111S
2
22
2
2
4
222
22
212
4
212
4
111S
dhrrh2
1r·h
2
1I
d·hrr·h2
1drhrh
2
1r·h
2
1I
Sustituyendo d de la ecuación (1)
122
2
2
22
12
4
22
4
111S
2
122
2
2
22
122
2
212
4
22
4
111S
hr
bMrh
2
1r·h
2
1I
hr
bMhrrh
2
1r·h
2
1I
La masa M del sistema es la suma de la masa de la madera más la del metal
)2(hrMhr
hrhrhrhrhrM
11
2
1122
2
2
122
2
211
2
122
2
212
2
211
2
1
Escribimos de nuevo la ecuación de IS pero separando el término: r4= r2·r2
122
2
2
22
12
2
2
2
22
4
111Shr
bMr·rh
2
1r·h
2
1I
Sustituyendo (2) y (1)
11
2
1
222
111
2
2
11
2
1
2
2
11
2
1
22
11
2
1
4
111
11
2
1
2
22
2
11
2
1
224
1112
2
11
2
1
2
2
2
2
11
2
1
22
11
2
1
2
2
4
111S
hrM
bM
2
rh
4
TbgM
hrM
2r
hrM
bM
hrM2
rh2
hrM4
TbgM2r
hrM
bMrh
2
1
4
TbgMhrMr
2
1
4
TbgM
hrM
bMhrMr
2
1rh
2
1I
A.5 Utilizando todos los resultados anteriores escriba una relación para h2 y r2 en función de b, T y las cantidades conocidas de (1). Debe relacionarse h2 en función de r2.
8
Esta ecuación permite calcular r2 en función de (1) , b y T. Calculado el valor de r2
basta sustituir en
12
2
2
11
2
1211
2
1122
2
2r
hrMhhrMhr
Para obtener el valor de h2.
Problema B. Una estación espacial rotatoria Alicia es una astronauta que vive en una estación espacial. Dicha
estación es una rueda gigantesca de radio R que está girando alrededor
de su eje, con lo que proporciona una gravedad artificial para los
astronautas. Estos viven en el borde de la rueda. La atracción
gravitatoria de la estación espacial y la curvatura no deben
considerarse.
Consideremos que los astronautas están en reposo en la estación espacial, que es un
sistema no inercial por estar girando, por tanto, desde ese punto de vista los astronautas
están sometidos a fuerzas de interacción y a fuerzas de inercia. La fuerza de interacción
es la reacción N
perpendicular al contacto con la estación espacial, que es
proporcionada por el borde y dirigida hacia el centro de la gigantesca rueda y la fuerza
de inercia, que en este caso es la fuerza centrífuga, de dirección radial y con sentido
saliente de O.
Para un observador inercial que está fuera de la rueda identifica a N
con la fuerza
centrípeta que actúa sobre el astronauta ya que para ese observador el astronauta esta
girando.
R
ggmRm E
SSE
2
SS
Alicia y su amigo el astronauta Bob están en desacuerdo, ya que Bob
piensa que en realidad no están viviendo en una estación espacial sino en
la Tierra .Alicia quiere, mediante argumentos físicos, demostrar a Bob
B1 Determinar la frecuencia angular SS de la estación si los astronautas experimentan una atracción gravitatoria artificial gE igual a
la de la superficie terrestre.
9
que ambos realmente están viviendo en una estación espacial. Para ello
coloca una masa m en el extremo de un muelle de constante k que puede
oscilar y lo hará solamente en dirección vertical y no lo hará en
dirección horizontal
Si el muelle con su masa m está en la Tierra, sobre la masa m actúan dos fuerzas: el
peso de la masa mgE y la fuerza elástica del muelle. La situación física es la de la figura
B2.
En (1) el muelle tiene su longitud natural sin masa colgada, su longitud es xo En (2) al
muelle se le ha colgado una masa m que pesa mgE y el muelle se estira y su longitud es
xe.de modo que (2) es una posición de equilibrio y por tanto
EeooeE gmxkxkxxkgm
En la posición (3) la longitud del muelle es x>xe y la fuerza elástica )xx(k o Aquí la
fuerza elástica es mayor que el peso y tenderá a llevar a la masa a la posición de
equilibrio. La ecuación del movimiento es:
B2 Suponiendo que la gravedad en la Tierra es constante con una
aceleración gE, ¿cuál debe ser el valor de la frecuencia E medida por una persona en la Tierra?
Fig.B2
10
)1(dt
xdmxxk
dt
xdmgmkxxkgm
dt
xdmkxxkgm
dt
xdmxxkgm
2
2
e2
2
EeE
2
2
oE2
2
oE
Hacemos x-xe =u , siendo u la distancia desde la posición de equilibrio (2) a la masa
2
2
2
2
edt
ud
dt
xd
dt
du
dt
dxuxx
Sustituyendo en la ecuación (1)
)2(dt
udu
m
k
dt
udmuk
2
2
2
2
La ecuación (2) es la de un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular es.
m
k (3)
Vamos a extendernos más en el argumento anterior. Hemos designado con xo la
longitud natural del muelle, posición (1); con xe la longitud del muelle en la posición de
equilibrio (2) ; y con x la longitud en una posición cualquiera siendo x variable., k es la
constante elástica del muelle, la fuerza elástica que tira de la masa en la posición (3) es
).xx(kF o
La energía potencial elástica almacenada por el muelle vale 2
oE xxk2
1U . Pero la
masa m tiene energía potencial gravitatoria respecto de la posición (1) de referencia con
energía potencial nula
)xx(gmU oEG
La energía potencial total es la suma de las dos
)xx(mg)xx(k2
1U oE
2
oT
La fuerza Fx actuando sobre la masa m vale
EoT
x mgxxkdx
dUF
Cuando x=xo, la fuerza Fx no es nula, luego xo no es una posición de equilibrio. La
posición de equilibrio se logra cuando
11
k
gmxxg
k
mxx0mgxxk E
oeEoeEoe
Naturalmente este resultado coincide con la posición de equilibrio que obtuvimos
mediante el equilibrio del peso con la fuerza elástica
Un movimiento vibratorio armónico tiene una posición de equilibrio donde la fuerza es
cero y a partir de esa posición es aplicable la ecuación (2).
.
El muelle tiene una longitud natural xo.(Fig.B3). Ese muelle lo coloca Alicia con una
masa m y el muelle se comprime por acción de la fuerza centrífuga, al irse
comprimiendo aparece una fuerza elástica en sentido contrario. Cuando ambas fuerzas
se igualen el muelle tiene una cierta longitud xe que es de equilibrio. En la tercera
posición la longitud del muelle es x y la fuerza elástica y la centrífuga tienden a llevarlo
hacia la posición de equilibrio
De la posición de equilibrio, se deduce que
e
2
sseoeoe
2
ss xRmxkxkxxkxRm
En la posición de la derecha la longitud del muelle es x>xe el muelle se moverá hacia la
posición de equilibrio, por la acción de las fuerzas centrifuga y elástica.
B3 ¿Qué frecuencia angular mide Alicia en la estación espacial?
Fig.B3
12
)4(dt
xdmxxkxxm
dt
xdmxmRmkxxkxmRm
dt
xdmxRmkxxkxmRm
dt
xdmkxxkxmRm
dt
xdmxxkxRm
2
2
ee
2
ss
2
2
e
2
ss
2
sse
2
ss
2
ss
2
2
e
2
sse
2
ss
2
ss
2
2
o
2
ss
2
ss2
2
o
2
ss
Hacemos x-xe = v , siendo v la distancia desde x a la posición de equilibrio
2
2
2
2
edt
vd
dt
xd
dt
dv
dt
dxvxx
Sustituyendo en la ecuación (4)
)5(dt
vdv
dt
vdv
m
k
dt
vdmvmvk
2
22
2
22
ss2
22
ss
La ecuación (5) es la de un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular es.
2
ssm
k (6)
Alicia está convencida de que su experimento prueba que están en una
plataforma rotatoria., sin embargo Bob es escéptico y
argumenta que cuando se tiene en cuenta el cambio de la gravedad por
encima de la superficie terrestre se encuentra un efecto similar. En las
siguientes preguntas investigamos si Bob tiene razón.
13
Figura 4. Estación espacial
Sea h la altura por encima de la superficie terrestre, ME la masa de la Tierra y g(h) la
intensidad del campo gravitatorio a esa altura
Rh2R
MG
hR
MG)h(g
2
E
2
E
La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es
2
EE
R
MGg
Combinando las dos ecuaciones
)7(R
gh2ghg
R
h21g
R
h41
R
h21g
R
h21
R
h21
R
h21g
R
h21
g
h2R
Rg
Rh2R
Rg)h(g
E
EE
E
2
2
EE
EE
2
2
E
B4 Obtenga una expresión de la gravedad gE(h) , gravedad en función de la altura sobre la superficie terrestre, para alturas de h pequeñas y
calcule la frecuencia de oscilación E de la masa m, La aproximación
lineal es suficiente. El radio de la Tierra se designa RE y en el cálculo se desprecia la rotación terrestre
14
En la figura B4, CT indica el centro de la tierra .La longitud del muelle sin masa es xo y
h es la altura desde el centro de la tierra a la parte superior del muelle. En la posición de
equilibrio la fuerza peso de la masa m es (m g(h´), fuerza dirigida hacia el centro de la
tierra, que es igual a la fuerza elástica del muelle oe xxk . Igualando las fuerzas y
aplicando la ecuación (7) resulta
E
ËEeo
oe
E
ËEoe
R
g´h2gmkxkx
kxkxR
g´h2gm)xx(k´)h(gm
En la posición 3 de la fig, B4 la fuerza elástica es mayor que el peso de la masa m y por
consiguiente la masa m tiende a moverse hacia la posición de equilibrio
2
2
e
E
E
2
2
E
EEe
E
EE
2
2
o
E
EE2
2
o
dt
xdmxxk´´h´h
R
gm2
dt
xdm
R
g´h2gmkxkx
R
g´´h2gm
dt
xdmkxkx
R
g´´h2gm
dt
xdmxxk´´)h(gm
Fig. B4
15
De la figura B4 se deduce que
2
2
E
E
2
2
E
E
2
2
2
2
e
dt
udu
R
g2
m
k
dt
xdmkuu
R
gm2
dt
ud
dt
xd;
dt
du
dt
dxuxx;u´´h´h
Esta ecuación representa un movimiento vibratorio armónico siendo xe la posición
donde las fuerzas se equilibran y cuya frecuencia es:
E
EE
R
g2
m
k
En la estación espacial Alicia encuentra que el resorte oscila con la
frecuencia que Bob predijo.
Del apartado B3 2
SSm
k y del apartado B4
E
EE
R
g2
m
k
Igualando ,E 2
RR
R
g
R
g2
R
g2 EE
E
E2
SS
E
E
Alicia irritada con la terquedad de Bob propone un experimento para
probar su punto de vista. Se sube a una torre de altura H respecto del
suelo de la estación espacial y desde allí deja caer una masa.
Este experimento debe considerarse desde un sistema de referencia
rotatorio y uno inercial.
En un sistema de referencia en rotación, el astronauta percibe una
fuerza de inercia, CF
denominada fuerza de Coriolis. La fuerza CF
que
actúa sobre una masa m desplazándose con velocidad v
en un sistema en
rotación con velocidad angular constante Sω
está dada por la ecuación
SCωvm2F
B5 ¿Para qué radio R de la estación espacial es igual la frecuencia de
oscilación a la frecuencia de oscilación E sobre la tierra? Exprese
la respuesta en términos de RE.
16
Si se utiliza la ecuación anterior en forma escalar se escribe
senωvm2F
SC
Donde es el ángulo que forman la velocidad y el eje de rotación. La
fuerza es perpendicular a la velocidad y al eje de rotación. El signo de la
fuerza se puede determinar por la regla de la mano derecha pero en lo
que sigue usted puede escoger libremente el método que quiera.
Sobre la masa en la caída actúan dos fuerzas: una es la centrífuga radial y hacia fuera y
otra la fuerza de Coriolis siempre perpendicular al vector velocidad y a la velocidad
angular. En la figura B6 se representan la posición inmediatamente posterior a dejar
libre la masa m. Su trayectoria sería curva.
Utilizamos el hecho de considerar que hay dos movimientos producidos por dos fuerzas
independientes..La acción de la fuerza centrífuga influye en el recorrido en vertical de la
masa m; como H es pequeña respecto de R, la fuerza se considera constante en todo el
recorrido
R
H2t
tR2
1ta
2
1HtavaRamRm
2
SS
2
22
SS
2
vvvv
2
SSv
2
SS
B6 Calcule la velocidad horizontal vx y el desplazamiento horizontal dx (relativo a la base de la torre y en dirección perpendicular a la torre) en el instante en que la masa llega al suelo. Usted debe suponer que la altura H de la torre es pequeña y que la aceleración medida por los astronautas es constante durante la caída. También debe suponer que dx<<H
Fig.B6
17
El efecto de la fuerza de Coriolis.
xSSV amsenvm2
Dado que los dos movimientos son simultáneos el tiempo es el hallado antes. El ángulo
entre vs y vale 90º
Cte2
tR2v
dttR2dvdt
dvtR2amtam2
23
SSx
3
SSxx
SS
2
SSXSS V
Cuando t=0 la velocidad es nula, luego Cte=0
SS2
S
3
SS
23
SSX H2R
H2RtRv
A partir de la ecuación anterior
CtetR3
1dttR)d(d
dt
)d(dtRv 33
SS
23
SSxx23
SSX
Cuando t=0 , dx=0, luego Cte=0
R
H8
3
1
R
H8R
3
1
R
H2R
3
1tR
3
1d
3
33
SS
3
3
SS
2
3
2
SS
3
SS
33
SSx
A partir de un sistema inercial
Desde el sistema en rotación, la masa m en el tiempo cero está en reposo para Alicia y
situada en lo alto de la torre, pero para el observador del sistema inercial tiene un
velocidad horizontal
)HR(v SSX
Como el observador inercial ve que la torre gira para él un cierto ángulo , la
velocidad tiene un componente sobre el eje X (si la masa m siguiese en lo alto de la
torre) cuyo valor es
cosHRv SSx
La masa no permanece en lo alto de la torre sino que cae hacia la base de la rueda y
cuando llega al suelo su posición respecto a la t=0, ha descrito un ángulo
18
R
H21R
R
HRH2RRv
R
HRH2R
R
HRHRcosHRv
SS2
22
SSX
22
SSSSSSx
Esta es la velocidad medida por el observador inercial. Si le restamos la de la rueda
obtendremos la que mide Alicia
H2RR
H21Rv SSSX
En la figura B7, AT=H y representa a la torre, XY es un sistema inercial. Desde el
punto de vista de un observador ligado al sistema inercial si la posición inicial es t=0 al
cabo de un tiempo t la rueda ha girado un cierto ángulo y la torre ocupa la posición
A´T´. El cuerpo está inicialmente en lo alto de la torre y el módulo de su velocidad es
HRSS y se desplaza en línea recta AB hasta alcanzar el borde la estación espacial
siendo el ángulo descrito. Las coordenadas del cuerpo son:
HRy;tHRx SS
El cuerpo choca contra el bode de la estación cuando
Fig B7
19
R
H21t
R
RH21
HR
HR2H1t
HR
HR2H
HR
HRR1
HR
Rt
HR
Rt1
Rt1HRRHRtHRRyx
SS
22
SS
22
SS
2
2
2
2
22
2
222
SS2
222
SS
222
SS
2222
SS
222
Este tiempo es el mismo que el que se ha deducido desde el sistema no inercial
De la figura B7 se deduce
R
H2tagarco
R
H2
HR
R
H21HR
tagarcoR
H21
y
xtagarcot SS
SS
SS
SSSS
Utilizamos el desarrollo en serie de arco tangente 3
xxxtagarco
3
3
3
3
R
H8
3
1
3
R
H2
R
H2
R
H2
El arco BT´ es igual al ángulo por el radio
R
H8
3
1R·
R
H8
3
1R·d
3
3
3
x
Con la finalidad de mejorar el resultado Alicia decide realizar el
experimento desde una torre mucho más alta que la anterior. Para su
sorpresa la masa choca contra el suelo al pie de la base de la torre, esto
es , dx=0.
B7 Encontrar la mínima altura de la torre para que dx =0
20
Observemos la figura B7. Desde el punto de vista del observador situado en el sistema
inercial, la masa sigue la trayectoria AB y emplea un tiempo t en llegar al borde de la
estación espacial escribiendo un ángulo . Si en se mismo tiempo la estación describe
un ángulo 2 entonces coinciden la llegada de la masa y de la estación y por
consiguiente dx=0.
El tiempo que emplea la masa en recorrer la distancia AB o girar un ángulo es:
HR
senR
HR
ABt
SSSS
En ese mismo tiempo la estación espacial describe el ángulo 2
SS
2t
De ambas ecuaciones
2
sen1
R
H
2
sen
R
H1
R
H1
sen
HR
Rsen2
SSSS
En la ecuación anterior damos valores a y obtenemos los de H/R y hacemos la
representación gráfica de H/R frente a
´´angulo/rad 2pi+ángulo seno A H/R ángulo /º
0 6,28318531 0 1 0
0,1 6,38318531 0,09983342 0,98435994 5,72957795
0,2 6,48318531 0,19866933 0,96935622 11,4591559
0,3 6,58318531 0,29552021 0,95510985 17,1887339
0,4 6,68318531 0,38941834 0,94173163 22,9183118
0,5 6,78318531 0,47942554 0,92932147 28,6478898
0,6 6,88318531 0,56464247 0,91796785 34,3774677
0,7 6,98318531 0,64421769 0,9077473 40,1070457
0,8 7,08318531 0,71735609 0,89872408 45,8366236
0,9 7,18318531 0,78332691 0,89094992 51,5662016
1 7,28318531 0,84147098 0,88446388 57,2957795
1,1 7,38318531 0,89120736 0,87929229 63,0253575
1,2 7,48318531 0,93203909 0,87544888 68,7549354
1,3 7,58318531 0,96355819 0,8729349 74,4845134
1,4 7,68318531 0,98544973 0,87173943 80,2140913
1,5 7,78318531 0,99749499 0,87183975 85,9436693
1,6 7,88318531 0,9995736 0,87320181 91,6732472
1,7 7,98318531 0,99166481 0,87578081 97,4028252
1,8 8,08318531 0,97384763 0,8795218 103,132403
1,9 8,18318531 0,94630009 0,88436042 108,861981
2 8,28318531 0,90929743 0,8902237 114,591559
21
2,1 8,38318531 0,86320937 0,89703086 120,321137
2,2 8,48318531 0,8084964 0,90469424 126,050715
2,3 8,58318531 0,74570521 0,91312022 131,780293
2,4 8,68318531 0,67546318 0,92221021 137,509871
2,5 8,78318531 0,59847214 0,93186161 143,239449
2,6 8,88318531 0,51550137 0,94196886 148,969027
2,7 8,98318531 0,42737988 0,95242446 154,698605
2,8 9,08318531 0,33498815 0,96311997 160,428183
2,9 9,18318531 0,23924933 0,97394702 166,157761
3 9,28318531 0,14112001 0,98479832 171,887339
0,86
0,88
0,9
0,92
0,94
0,96
0,98
1
1,02
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2
ángulo /rad
H/R
El mínimo de H/R ocurre para un ángulo aproximado de 1,4 rad =80,2º y cuando la
relación H/R= 0,87.
Analíticamente
2tag2tag
0sencos202
sencos2
d
R
Hd
2
22
La solución de la ecuación por tanteo es rad442,1
87,0442,12
442,1sen1
R
H
Alicia intenta un último esfuerzo para convencer a Bob. Utiliza un
muelle como oscilador para comprobar el efecto de la fuerza de
Coriolis. Con esa finalidad modifica el dispositivo y así coloca en un
extremo del muelle un anillo que desliza sin fricción sobre una barra
horizontal en la dirección x. El muelle oscila en dirección y. La barra
está colocada paralela al suelo y perpendicular al eje de rotación de la
estación espacial. De esta manera el plano xy es perpendicular al eje de
rotación con el eje y apuntando directamente al centro de rotación de la
estación.
B8 Alicia tira del muelle y lo alarga una distancia d hacia abajo respecto al punto de equilibrio x=0 e y=0 y a continuación lo deja en libertad. Encuentre una expresión algebraica de x(t) e y(t). Debe suponer que
sd es pequeña y que la fuerza de Coriolis es despreciable a lo largo del eje y. Haga un boceto de la trayectoria x(t); y(t) indicando las características importantes tales como la amplitud.
23
Figura 5. Montaje
En el enunciado nos dicen que la fuerza de Coriolis solamente actúa en la dirección del
eje x. Según esto la ecuación del muelle respecto del eje y es un movimiento armónico
simple cuya amplitud es –d y que se rige por las ecuaciones
tsendv;tcosdy y
Respecto del eje x actúa la fuerza de Coriolis ya que aparece una velocidad vy que
depende del tiempo
Ctev1
·tcosd2dvdttsend2
dt
dvmtsendm2º90senovm2F
xSSxSSs
xSsyssCt
Cuando t =0 la velocidad del muelle es cero y por tanto vx=0,
d2Cte SS
Ctext·d21
·tsend2dxdtd2dttcosd2
dt
dxd2tcosd2vd2vtcosd2
SSSSSSSS
ssSSxssxSS
Cuando t = 0 , x=0 , la Cte =0 , luego la coordenada x es:
24
t·d2tsend
2x SS
SS
(1)
La amplitud del movimiento sobre el eje x es:
d2A SS
Representamos la ecuación (1) y por sencillez hacemos 1d;1;1SS con lo
que nos queda la ecuación
t2tsen2x
Con ella determinamos los valores de x y con la ecuación
tcostcosdy
Los de y.
La representación gráfica de los valores de x y de y es la siguiente
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-40 -30 -20 -10 0
x
y
AB
Los valores máximo y mínimo de y es d, que en el caso de la gráfica anterior hemos
particularizado a 1.
Volvemos a escribir las ecuaciones
t·d2tsend
2x SS
SS
tcosdy
25
Cuando t=0 , x=0 ; y =-d son las coordenadas del punto A( en general) ( en nuestro
ejemplo d=1)
Cuando
2t2t dy;
d42·d2x SS
SS
, son las
coordenadas del punto B (en general) ( en nuestra gráfica d=-1) luego la distancia en
general
d4AB SS . .En la gráfica AB = 6,124
Alicia y Bob siguen discutiendo.
26
2.-DINÁMICA NO LINEAL DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Introducción
Los elementos semiconductores bi-estables no lineales (ejemplo los
tiristores) se utilizan en electrónica como interruptores y generadores de
ondas electromagnéticas El primer campo de aplicación de los tiristores
es el control de corrientes alternas en electrónica de potencia, por
ejemplo en la rectificación de corriente alterna a continua en la escala de
los megavatios. Los elementos bi-estables se pueden aplicar como
sistemas modelo para fenómenos de autoorganización en física (este
aspecto se trata en el apartado B del problema), en biología (parte C) y
en otros campos de la ciencia moderna no lineal.
Objetivos Estudiar inestabilidades y dinámica no elemental de circuitos
incluyendo elementos con curvas I-V características
Descubrir posibles aplicaciones de tales circuitos en ingeniería y en la
modelización de sistemas biológicos.
Parte A. Estados estacionarios e inestabilidades La figura 1 es la denominada curva S ( I-V) característica de un
elemento no lineal X. En el intervalo entre Uh= 4,00 V (voltaje umbral
inferior) y Uth =10,0 V (voltaje umbral superior) la función es
multivaluada (a un valor X pueden corresponder distintos Y). El gráfico
de la figura 1 se aproximó de forma lineal en tres partes (la rama
superior pasa por el origen si se prolonga). Esta aproximación es
suficientemente buena como descripción de un tiristor real.
27
Fig.1.- Característica I-V del elemento no lineal X
De la pendiente de la recta de la rama superior:
00,1
410
410
I
UR on
De la pendiente de la recta de la rama inferior:
0,01
01
010R off
De la endiente de la recta de la rama central:
00,2
14
410R int
Elegimos el punto de la recta (10,1) y aplicamos la ecuación
A0,6I00,2
0,10I00,1
R
UII 0o
int
o
A1. A partir del gráfico I-V, determine la resistencia Ron del elemento X en la rama superior y la resistencia Roff de la rama inferior. La rama central está descrita por la ecuación
intR
UII o
Encontrar los parámetros Io y Rint
28
El elemento X se conecta en serie (ver la figura 2) con una resistencia R
y una bobina L y una fuente de fuerza electromotriz y resistencia
interna despreciable. Se dice que el circuito está en un estado
estacionario si la corriente es constante con el tiempo, I(t) = Cte
Fig.2- Circuito con elemento X, resistencia R, bobina L y fuente de voltaje
Se considera que la bobina no tiene resistencia óhmica.. La intensidad en el circuito de
la figura 2 es
3
U
R
UI
Un estado estacionario es la intersección de la línea definida por esta ecuación con la
gráfica del elemento no lineal I-V.
Cuando I=0 =U y cuando U=0 , 3
I
A2 ¿Cuál es el numero de estados estacionarios posibles en el circuito
de la figura 2 para un valor fijo de y una resistencia R= 3,00 ?
¿Cambia la respuesta si R= 1,00 ?
En la figura A2, se han
representado en función
de algunas
intersecciones; dos cuando
R = 1,00 y dos cuando
R=3,00 . Se observa
que cuando R= 3,
solamente hay una
intersección, pero cuando
R= 1,00 hay tres.
Fig.A2
29
Vamos primero a calcularlo gráficamente. En el eje U ponemos el voltaje = 15 V y
dado que R= 3,00 le corresponde en el eje I una intensidad de 5A.(ver figura A3)
Con esos dos valores representamos la resistencia de carga y la intersección con la
gráfica I-V del elemento no lineal X nos da la solución: Iestacionario=3,00A y
Uestacionari=6,00 V
Analíticamente
Ecuación de la recta de descarga ¸ pendiente 3
1 , ordenada en el origen +5
5U3
1Ibxmy
Ecuación del elemento X
2
U6
R
UII
int
o
Igualando las ecuaciones
A3 En el circuito de la figura 2, R = 3,00 , L = 1,00H y =15,0 V Determine los valores de la corriente estacionaria Iestacionaria y del voltaje estacionario sobre el elemento no lineal X.
Fig. A3
30
I
A00,32
66I
V00,6U13
1
2
1U
2
U65U
3
1
ioestacionar
ioestacionar
El circuito de la figura 2 está en estado estacionario i(t)= I estacionario. Este
estado estacionario es estable si después de un pequeño desplazamiento
(aumento o disminución de la corriente) la corriente vuelve a su estado
primitivo. Pero si el sistema se aleja del estado estacionario es que es
inestable.
Supongamos que hay una variación de corriente dI/dt ; en la bobina aparece una fuerza
electromotriz de valor.
dt
dIL
En el circuito se cumple que la suma de las intensidades por las resistencias es igual a la
suma de las fuerzas electromotrices.
dt
dILUIRIR
La relación entre I e Io es
)II(RUURIRIR
UII ointintoint
int
o
RI)II(Rdt
dIL
dt
dIL)II(RRI ointoint
Aplicamos a la ecuación anterior los valores encontrados en el apartado 3.
CteI
0dt
dI0
dt
dIL03·3)36(215
dt
dIL
ioestacionar
ioestacionarioestacionarioestacionar
Al ser constante y por tanto no dependiente del tiempo, el estado estacionario es estable.
A4. Utilice los valores numéricos de la cuestión A3 y determine si el estado estacionario es estable o inestable.
31
Parte B. Elementos no lineales bi-estables en física: el radiotransmisor. Ahora investigamos una configuración nueva del circuito (ver figura 3).
En este caso el elemento no lineal X está conectado en paralelo con un
condensador de capacidad C = 1F. Este conjunto está conectado en
serie con una resistencia R = 3,00 y una fuente de alimentación ideal
=15,0 V. Este circuito oscila con el elemento no lineal X saltando de
una rama a otra de la curva I-V a lo largo de cada ciclo.
Fig.3- Circuito con el elemento no lineal X, un condensador C, una
resistencia R y una fuente de voltaje .
B1 Dibuje el ciclo de oscilación en el gráfico I-V incluyendo su dirección (horaria o antihoraria), justifique su respuesta con ecuaciones y bocetos.
Fig B1
32
En A el condensador está cargado con una tensión Uh y se recarga hasta B donde su
voltaje es Uth. Al llegar a B salta bruscamente al punto C (ya que la rama BD es
estacionaria.) perteneciente a la otra rama del elemento X y comienza a descargarse
con lo que su voltaje disminuye de Uth a Uh en D .Desde D salta a la rama primera hasta
el punto A y se inicia de nuevo el ciclo. Luego el ciclo consiste en una carga del
condensador en el ramal AB y una descarga en el ramal CD. y dos pasos bruscos de
una a otra rama.
Previamente a lo que se demanda en este apartado, analizamos lo que ocurre con un
circuito eléctrico como el representado en la figura B2.
La resistencia R1 es menor que R2. El condensador C está inicialmente descargado y
una vez que se cierra el circuito el condensador comienza su carga hasta al alcanzar un
valor límite en su voltaje.VL. La ley que rige el fenómeno de carga es
CR
t
e1VV L (1)
El valor de R depende de las dos resistencias
21
21
RR
RRR
(2)
Cuando el condensador se cargue, el circuito consiste en dos resistencias en serie. Sea
VL la diferencia de potencial en los extremos del condensador que es también en la
resistencia R1. La diferencia de potencial entre los extremos de R2 es LV . Aplicamos
la ley de Ohm, designando con I a la intensidad de la corriente
C
R1
R2
Fig. B2
B2 Calcule los tiempos t1 y t2 que el sistema emplea en cada rama de la curva I-V durante un ciclo. Calcule el tiempo total T de un ciclo en el supuesto de que los tiempos de los saltos de una rama a otra son instantáneos
33
21
1L
1
L
211
L
21 RR
RV
R
V
RRR
VI;
RRI
El voltaje limite VL vale
21
1L
RR
RV (3)
Si en el circuito de la figura B1 intercambiamos las posiciones de las resistencias y el
condensador se carga, la ley de carga es la misma que (1), el valor de R es el mismo,
esto es, (2) y cambia VL que ahora vale
21
2L
RR
RV
Vayamos a la figura 3. El elemento no lineal X se comporta como una resistencia en el
tramo AB, cuyo valor se ha calculado en el apartado A1 , Roff =10
Para calcular el tiempo t1 que emplea el condensador en la rama AB de la figura B1, se
calcula el tiempo, mediante las ecuaciones (1) (2) (3), que el condensador emplea en
cargarse desde cero hasta el voltaje Uh.( tiempo ) Luego calculamos, por el mismo
procedimiento, el tiempo que el condensador emplea en cargarse desde cero al voltaje
Uth (tiempo ´)El tiempo pedido es
´t1
Cálculo del tiempo
Según la ecuación (2)
13
30
310
3·10
RR
RR´R
ff0
off
Según la ecuación (3) V13
15015·
13
10
RR
RV
off
off
L
Según la ecuación (1)
s10.823,998
150·ln10·
13
30
98
150lnCR
RC150
98lne
150
98
e1150
52e1
13
1504e1
RR
RU
76
off
off
h
RC
RCRCRC
Cálculo del tiempo ´
34
66
off
off
th
10..650,420
150ln·10·
13
30
20
150lnCR
RC150
20lne
150
20
e1150
130e1
13
15010e1
RR
RU
RC¨
RC´
RC¨
RC´
Tiempo t1 s610.67,3610.9823,0610.650,4t1
Cuando comienza la descarga en el tramo CD, la resistencia del elemento X ha
cambiado a 1 .
La descarga del condensador está dada por a ley RCt
eVV inicial
Ahora V10Vy4
3
31
3·1
RR
RRR inicial
on
on
Como la batería sigue en el circuito se produce un proceso simultáneo de carga, la
competencia de ambos procesos conduce a que el condensador pase de Uth=10 V a Uh =
4 V
s610.41,2610·4
3·2188,3CR·25lnt
CR
t
25
1ln
e25
1
4
15
4
25e
31
15·1
31
15·110e4
RR
R
RR
Re
RR
Re·UU
2
2
RC2
t
·RC2
t
RC2
t
on
onth
URC2
t
RC
2t
e1RC2
t
on
on
on
on
thh
Tiempo total s10.08,610.41,210.67,3T 666
Durante la carga del condensador el voltaje varía entre 4 V y 10V y la resistencia es Roff
= 10, aproximamos a que el voltaje sea la media aritmética entre los valores extremos
W9,410
49
R
2
UU
Poff
2
hth
off
B3 Estime la potencia promedio P, disipada por el elemento no lineal durante una oscilación. Dar el orden de magnitud es suficiente.
35
Si el condensador se hubiese descargado sin que estuviese la batería el tiempo de
descarga es:
s10.69,04
10ln10·
4
3
U
Uln10·
RR
RR
U
UlnRCteUU 66
h
th6
on
on
h
thRC
t
thh
Como ha estado la fuente de alimentación el tiempo ha aumentado a 2,41.10-6 s
Esto supone que ha pasado una corriente inferior lo que ha hecho disminuir la potencia
disipada
Sea q la carga perdida por el condensador e I la intensidad de la corriente cuando no
existe fuente de alimentación. Sea I´ la intensidad que ha pasado con la fuente de
alimentación
I29,0I41,2
69,0I
10.41,2
qI;
10.69,0
qI
66
La intensidad promedio I es el voltaje medio dividido por la resistencia
A71,2
4
3·2
14·29,0
RR
R·R2
UU·29,0I
RR
R2
UUI
on
on
hth
on
on
hth
La potencia en Ron es:
W3,71·71,2RIP 2
on
2
on
La potencia total
W2,123,79,4P
El circuito de la figura 3 se utiliza para construir un radiotransmisor.
Para esta finalidad el elemento X se conecta a un extremo de una antena
lineal (un alambre recto y largo) de longitud s, dejando el otro extremo
libre. En la antena se forma una onda electromagnética estacionaria. La
velocidad de la onda electromagnética en la antena es la misma que en
el vacío. El transmisor utiliza el armónico fundamental del sistema de
periodo T (valor calculado en el apartado B2)..0000
La antena citada en la pregunta es la antena denominada de Marconi y la longitud de la
varilla debe ser igual a un cuarto de la longitud de onda de la radiación
electromagnética. Dado que el periodo es T, la longitud de onda es
m182410.08,6·10.3Tc 68
B4 ¿Cuál es el valor óptimo de s suponiendo que no puede exceder de 1 km?
36
La longitud de la antena es
m4564
1824
4L
Parte C. Elementos no lineales bi-estables en biología: el neuristor. En esta parte del problema consideramos una aplicación de los
elementos no lineales bi-estables para la modelación de procesos
biológicos. Una neurona del cerebro humano tiene la siguiente
propiedad: cuando se excita por una señal externa realiza una única
oscilación y a continuación vuelve a su estado natural. Este hecho se
denomina excitabilidad. Debido a esta propiedad los pulsos se propagan
en una red de neuronas acopladas que es precisamente el sistema
nervioso.
Un chip semiconductor que está diseñado para reproducir excitabilidad
y propagar impulsos se llama neuristor (neurona y transmisor).
Intentamos modelar un simple neuristor utilizando para ello un circuito
con un elemento no lineal X como el estudiado anteriormente. Para ello
el voltaje del circuito de la figura 3 se disminuye a ´=12,0 V. Las
oscilaciones se detienen y el sistema alcanza el estado estacionario. A
continuación el voltaje se aumenta de forma súbita para hacerlo
regresar al valor V, transcurrido un periodo de tiempo el
voltaje regresa de nuevo al valor = 12,0 V (ver la figura 4). Existe un
valor críticocrítico) para el que el sistema muestra diferente
comportamiento según sea < crítico o > crítico
Fig.4- Voltaje de la fuente de alimentación frente al tiempo
37
Utilizamos las ecuaciones que hemos empleado en el apartado B2
CR
t
e1VV L (1) 21
21
RR
RRR
(2)
21
1L
RR
RV (3)
La ecuación de la rama off de la figura del enunciado es: offR
UI
La ecuación del circuito. R
UI
La solución ocurre cuando las intensidades sean iguales
V23,913
120
10
31
12U
R
R1
UR
R1UU
R
RU
R
U
R
U
off
offoffoff
En la figura C1a se representa la solución gráfica.
C1 Dibuje gráficos para la dependencia temporal de la corriente IX(t) en
el elemento no lineal X para<crítico y > crítico
Fig.C1a
38
Cuando en el tiempo to se sube la tensión de la fuente a 15 V el condensador empieza a
cargarse y la forma de ir aumentando su carga se rige por las ecuaciones (1), (2) (3). Es
el mismo procedimiento que se utilizó en el apartado B2.
13
30
RR
RR´R;V
13
15015·
310
10
RR
RV
off
off
off
off
L
Ahora mediante la ecuación (1) calculamos el tiempo que tarda en cargarse el
condensador desde el voltaje cero al voltaje 9,23 V
s713,3s10.713,310·13
30·609,1t
CR
t609,1
CR
t200,0ln
e200,0e1150
13·23,9e1
13
15023,9
66
CRt
CRt
CRt
El tiempo que tarda el condensador en cargarse desde el voltaje cero al voltaje umbral
Uth = 10 V , ya lo hemos hecho en el apartado B2 , ese tiempo es t=4,650 s.
Se deduce que el tiempo que emplearía el condensador en pasar desde el voltaje 9,23 V
a 10 V es:
4,650-3,713 = 0,937 s
Este tiempo es precisamente el tiempo crítico ya que si el tiempo de la figura 4 es
inferior a 0,937 s el condensador no alcanza los Uth=10 voltios y no puede pasar a la
rama superior y como el voltaje cae de nuevo a 12 V el sistema vuelve a la posición de
partida sin realizar una oscilación.
Vamos a construir la gráfica del proceso temporal de carga .Para ello aplicamos la
ecuación (1) para distintos voltajes, tal como se ha hecho para el voltaje 9,23 y como se
hizo en el apartado B2 para Uth= 10 V
.
Los resultados los presentamos en forma de tabla I
V/V 9,23 9,33 9,43 9,53 9,63 9,73 9,83 9,93
t/s 3,713 3,816 3,922 4,035 4,152 4,277 4,408 4,547
t-to 0 0,103 0,209 0,322 0,439 0,564 0,695 0,834
Los tiempos t que figuran en la tabla anterior corresponden al tiempo que emplea el
condensador desde el voltaje cero a los distintos voltajes: 9,23 ; 9,33 ;……….9,93. La
fila t-to se obtiene restando t del valor inicial. Por ejemplo cuando V es 9,73 , t es 4,277
y t-to =4,277-3,713=0,564 s , este es el tiempo que emplea el condensador para pasar
del voltaje 9,23 a 9,73.
Tabla I
39
La intensidad It(X) la calculamos dividiendo el voltaje por la resistencia Roff=10
TablaII
It(X)/A 0,923 0,933 0,943 0,953 0,963 0,973 0,983 0,993
t-to 0 0,103 0,209 0,322 0,439 0,564 0,695 0,834
Si no se produce la oscilación porque el tiempo (0,834 s<0,937s) es inferior al crítico
el condensador empieza a descargarse y como consecuencia disminuye su voltaje.
Descarga del condensador
Hacemos el cálculo de obtener el tiempo que transcurre desde que el voltaje es 9,93 V a
los distintos voltajes de la tabla anterior. Como ejemplo calculamos el tiempo que
transcurre desde que el voltaje es 9,93 V a 9,83 V. Utilizamos la misma ecuación que
explicamos y aplicamos en el apartado B2.
s356,0s610.356,0610·13
30·1543,0t
CR
t1543,0
CR
t857,0lne857,0
e70,060,023,9e70,0310
12·10
310
12·1093,9e83,9
Roff
R
offR
Vee1R
offR
offR
eVV
RCt
RCt
RCt
RCt
Roff
R
offR
LRC
tRC
t
RCt
L
Los resultados se muestran en la tabla III
Tabla III
V/V 9,93 9,83 9,73 9,63 9,56 9,50 9,48 9,45
t/s 0,834 0,577 0,999 1,515 2,031 2,425 2,602 10,26
t+to 0,834 1,190 1,612 2,126 2,569 3,032 3,210 3,505
It(X)/A 0,993 0,983 0,973 0,963 0,956 0,950 0,948 0,945
V/V 9,43 9,40 9,38 9,35 9,33 9,30
t/s 3,120 3,497 3,788 4,307 4,731 5,564
t+to 3,724 4,100 4,389 4,904 5,325 6,147
It(X)/A 0,943 0,940 0,938 0,935 0,933 0,930
40
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1
0 1 2 3 4 5 6 7
t/s
I /A
A la vista de la gráfica la variación de la intensidad es más lenta en el retorno que en la
aproximación
Esta es la gráfica cuando el tiempo es menor que el crítico y no hay oscilación
Cualquier valor dado a inferior al crítico describiría unas curvas parecidas a las
indicadas en la gráfica.
El boceto del proceso dado por la comisión oficial es:
1.- Aproximación al nuevo estado estacionario
2.- Retorno al estado estacionario inicial
41
Si el tiempo de la figura 4 es mayor que el crítico se producirá una oscilación con las
siguientes fases. Carga del condensador por la rama off, salto a la rama on y descarga
del condensador salto de nuevo a la rama off y carga del condensador para llegar al
estado estacionario de partida.
3.- Aproximación al nuevo estado
4.- Salto a la rama superior
5.-Evolución de la intensidad por la rama superior (descarga del condensador)
6.-Salto a la rama inferior
7.- Retorno al estado estacionario
Vamos a hacer un ejemplo numérico. Partimos inicialmente (t=0) con el condensador
cargado a 9,23 V. Al tiempo de duración del cambio de 12 V a 15 V le damos el valor
4,937 s. Este tiempo es mayor que el crítico (0,937 s) pero menor que el tiempo de
oscilación (T=6,08 s), calculado en el apartado B2.
De forma cualitativa el proceso consiste en que el condensador se carga desde 9,23 V a
10 V y para ello emplea un tiempo de 0,937 s. De forma instantánea salta a la rama
superior y comienza el proceso de descarga y el condensador pasa de 10 V a 4 V en un
tiempo de 2,41 s, .este tiempo se ha calculado en el apartado B2. En ese instante se
produce un salto a la rama inferior. El tiempo en que todavía el voltaje de la fuente es
15 V es
s59,1)41,2937,0(937,4
42
En ese tiempo el condensador se carga hasta un voltaje cuyo valor se calcula a
continuación
Para ello determinamos el tiempo que emplea el condensador en pasar de cero voltios a
4 Voltios
s982,0s10.82,9e1310
15·10e1
RR
R4 7
off
off
610·13
30
.t
RC
El voltaje buscado lo llamamos Uh y lo calculamos teniendo en cuenta que el tiempo
de cero a ese voltaje es 1,59+0,982= 2,572 s
V75,7e1310
15·10e1
RR
RU
610·13
30
.610.572,2
RC
off
offh
Ahora el voltaje de la fuente cae a 12 V y el condensador se carga hasta el estado
estacionario de 9,23 V( fig. C1a) .En un diagrama como el de la figura 1 del enunciado
se resumen este proceso.(Fig. C2)
Fig.C2
43
El voltaje en I es 9,23 V y el tiempo t=0 . . En B el voltaje es 10 V y el tiempo entre I
y B es 0,937 s. El condensador se carga. de 9,23 V a 10 V.
De B a C el salto es instantáneo a la rama superior. De C a D el condensador se
descarga parcialmente de 10 V a 4 V y el tiempo de esa descarga es 2,41 s. En D se
produce el salto instantáneo a la rama inferior. Entre A y F el condensador se carga de 4
V a 7,75 V siendo el voltaje de la fuente 15 V, el tiempo de A a F es 1,59 s.
Al llegar a F el tiempo programado 4,937 s se ha agotado y de forma instantánea el
voltaje de la fuente se reduce a 12 V. A partir de ahí el condensador evoluciona al
estado estacionario inicial
Cálculo del voltaje y la intensidad de I a B.
Este cálculo ya ha sido hecho en las tablas I y II.. Ahora lo reproducimos con menos
valores, solo los necesarios para hacer la gráfica.
Tabla IB
V/V 9,23 9,43 9,73 10,0
It(X)/A 0,923 0,943 0,973 1,000
t/s 0 0,209 0,564 0,937
Cálculo del voltaje y la intensidad de C a D,
El punto C está en la rama superior y su voltaje es 10 V, su tiempo 0,937 s y su
intensidad
A10R
V10I
on
C
A partir de este instante el condensador se descarga; vamos a calcular los tiempos y los
voltajes e intensidades.
4
3
3Ron
3·RonR;
4
15
4
25e
31
15·1
31
15·110eU
RR
R
RR
Re
RR
Re·UU
·RC2
t
RC2
t
on
onth
URC2
t
RC
2t
e1RC2
t
h
on
on
on
on
thh
Ejemplo de cálculo
El condensador se descarga de 10 V a 9,5 V
A5,9
onR
5,9Ix;s000,1937,006255,0tiempos06255,0s810.255,6t
610·4
3
t0834,0e92,0e
25
155,9·4
4
15
4
25.e5,9 .....
CRt
CRt
CRt
Siguiendo el ejemplo anterior construimos la tabla siguiente
44
Tabla CD
t//s 1,00 1,07 1,14 1,23 1,32 1,43 1,55 1,70 1,89 2,14 2,35 2,53 2,84 3,1 3,35
V/V 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 4,7 4,5 4,3 4,1 4
Ix/A 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 4,7 4,5 4,3 4,1 4
El tiempo total de descarga es: 3,35-0,937=2,41 s
De forma instantánea se produce el salto a la rama inferior.
El punto A está en la rama inferior y su voltaje es 4 V, su tiempo 3,35 s y su
intensidad
A4,0R
V4I
fof
C
Calculamos el voltaje y la intensidad entre los puntos A(4V) y F ( 7,75 V). Primero
determinamos el tiempo que necesita el condensador para pasar de voltaje cero a cuatro
voltios cuando = 15 V. Este cálculo se ha hecho anteriormente y vale 0,982 s.
A continuación calculamos el tiempo que emplea el condensador en pasar de cero
voltios a cinco voltios
s311,1s10.311,1e1310
15·10e1
RR
R5 6
off
off
610·13
30
.t
RC
El tiempo que el condensador emplea en cargarse de 4 V a 5 V es: 1,311-0,982= 0,329
s. El tiempo que el sistema ha empleado desde I hasta A ( fig C2) es 3,35 s, luego el
tiempo que adjudicamos a 5 V es: 3,35+0,329=3,679 s. Repitiendo este proceso para
otros voltajes obtenemos la tabla siguiente
Tabla AF
Tiempo/s 3,35 3,679 4,062 4,521 4,91 4,937
Voltaje /V 4,00 5,00 6,00 7,00 7,70 7,75
Intensidad
Ix/A
0,40 0,50 0,60 0,70 0,77 0,775
Al llegar a 7,75 V el tiempo programado inicial (4,937 s) se ha agotado y de forma
inmediata el voltaje de la fuente pasa de 15 V a 12 V y comienza el tramo FI de la
figura C2.. Ahora el condensador se carga de 7,75 V a 9,23 V pero con = 12 V
El procedimiento de cálculo es el mismo que el utilizado en el tramo AF solo que =
12 V en lugar de 15 V.
Calculamos el tiempo de carga de cero V a 7,75 V pero con e = 12 V
s223,4s10.223,4e1310
12·10e1
RR
R75,7 6
off
off
610·13
30
.t
RC
A continuación calculamos el tiempo que emplea el condensador en pasar de 7,75 V
voltios a 8 voltios
45
s650,4s10.650,4e1310
12·10e1
RR
R8 6
off
off
610·13
30
.t
RC
El tiempo que el condensador emplea en cargarse de 7,75 V a 8 V es: 4,650-4,223=,
0,427 s. El tiempo que el sistema ha empleado desde I hasta F ( fig C2) es 4,937 s,
luego el tiempo que adjudicamos a 8 V es: 4,937+0,427=5,364 s. Repitiendo este
proceso para otros voltajes obtenemos la tabla siguiente:
Tabla FA
t/s 4,937 5,364 6,010 6,568 7,306 8,397 9,227 10,50
Voltaje/V 7,75 8,0 8,3 8,5 8,7 8,9 9,0 9,1
Ix/A 0,775 0,80 0,83 0,85 0,87 0,89 0,90 0,91
Reunidos en una tabla el conjunto de las tablas IB, CD, DF y FA, construimos las
gráficas siguientes
tiempo/ micros Voltaje IX/A
0 9,23 0,923
0,209 9,43 0,943
0,564 9,73 0,973
0,937 10 1
0,937 10 10
1 9,5 9,5
1,07 9 9
1,14 8,5 8,5
1,23 8 8
1,32 7,5 7,5
1,43 7 7
1,55 6,5 6,5
1,7 6 6
1,89 5,5 5,5
2,14 5 5
2,35 4,7 4,7
2,53 4,5 4,5
2,84 4,3 4,3
3,1 4,1 4,1
3,35 4 4
3,35 4 0,4
3,679 5 0,5
4,062 6 0,6
4,521 7 0,7
4,91 7,7 0,77
4,938 7,75 0,775
5,365 8 0,8
6,01 8,3 0,83
6,568 8,5 0,85
7,306 8,7 0,87
8,397 8,9 0,89
9,227 9 0,9
46
10,5 9,1 0,91
3
5
7
9
11
0 2 4 6 8 10 12
t/s
Vo
lta
je/V
B,C
F
4
I
D,A
-1
1
3
5
7
9
11
0 2 4 6 8 10 12
t/s
Ix/A
B
C
D
I
A
F
47
El tiempo crítico es la diferencia entre los tiempos de las siguientes ecuaciones
RC´
e1RR
RU
off
off
th (utilizada en el apartado B2)
RC´
e1RR
RU
off
off ecuación utilizada en el apartado C1 siendo U 9,23 V
Para manejar con más facilidad las ecuaciones designamos a V13
150U
RR
R
off
off
Uth
U
UlnRC´t
RC´
´t
U
Uth
Ulnee1
U
Ue1UU RC
´
U
Uth
URC
´RC
´th
th
Operando con la segunda ecuación de igual forma que anteriormente
Uth
U
UlnRC´´te1UU RC
´
s936,0s10.936,0
13
15010
13
15023,9
ln1013
30
UU
UUlnRC
UU
U
Uth
U
U
lnRCUU
Uln
Uth
U
UlnCR´´t´t
66
crítico
th
crítico
Este resultado ya lo habíamos calculado en el apartado anterior.
Como este es mayor que el crítico sí lo es.
C2 Encuentre la expresión y el valor numérico del tiempo crítico t crítico para el cual hay un cambio de comportamiento
C3 ¿ En el circuito con =1,00.10-6 es un neuristor?
48
EL GRAN COLISIONADOR DE HADRONES (LHC)
En este problema se discutirá sobre la física de las partículas en el LHC
(Large Hadron Collider) del CERN. El CERN es el laboratorio de
partículas más grande del mundo y su objetivo principal es estudiar las
leyes fundamentales de la naturaleza. En él se aceleran dos haces de
partículas hasta obtener altas energías, lo cual se logra acelerándolas en
un anillo gobernado por intensos campos magnéticos, finalmente a los
haces de partículas se les hace chocar entre sí. Los protones no se
dispersan por el anillo acelerador sino que están confinados en los
denominados paquetes. Las partículas generadas después del choque se
analizan empleando para ello grandes detectores. En la tabla 1 se
indican alguna de las características del LHC.
Anillo del LHC
Longitud del anillo 26659 m
Número de paquetes por cada haz de protones 2808
Número de protones por paquete 1,15.1011
Haz de protones
Energía de los protones 7,00 TeV
Energía del centro de masas 14,0 TeV
Tabla 1.- Valores numéricos relevantes del LHC
En la física de partículas se utilizan unidades adecuadas para la energía,
el momento y la masa. La energía se mide en eV (energía que adquiere
un electrón cuando se somete a la acción de una diferencia de potencial
de un voltio). 1 eV = 1,602.10-19 kg m2 s-2
El momento de mide en eV/c y la masa en eV/c2 siendo c la velocidad de
la luz en el vacío. Dado que el eV es una unidad pequeña se utilizan los
multiplos MeV ( 106 eV) , GeV( 109 eV y TeV ( 1012 eV).
La parte A trata sobre la aceleración de protones y electrones y la B
sobre las partículas que aparecen al colisionar los haces.
Parte A. El acelerador LHC Aceleración
Se supone que los protones se aceleran mediante un voltaje V, de modo
que su velocidad es próxima a la de la luz, se desprecia cualquier pérdida
de energía debida a la radiación o al choque con otras partículas
49
La energía del protón consta de dos términos. Una es la energía en reposo por tener
masa y otra la energía que adquiere al someterlo a una diferencia de potencial en un
campo eléctrico, la cual aparece en el protón en forma de energía cinética. Como la
velocidad es próxima a la de la luz, habrá que considerar la masa relativista
Energía en reposo: mo c
2
(mo es la masa del protón en reposo)
Energía debida a la diferencia de potencial: V·e = Energía cinética =
2
2
o
2
o
22
o
42
o
22
o
62
o22
22
o
42
o
2
2
2
22
o
2
o
2
o
2
o
2
o
2
oo
2
o
cmeV
cm1c
cmeV
cm1cv
cmeV
cmcv
cmeV
cm
c
v1
c
v1
1
cm
cmeV1
cm
eV
1cmeV1cmcmmcmmT
Un experimento futuro del CERN utilizará los protones del LHC para
colisionar con electrones de energía 60 GeV.
2
2
e
2
e
cmeV
cm11
c
v1
Teniendo en cuenta la aproximación 2
x1x1
22
A1 Encontrar la expresión exacta de la velocidad final v de los protones en función del voltaje acelerador V y de constantes físicas fundamentales.
A2 Para las partículas con energía alta y masa pequeña la desviación
relativa c
vcΔ
es muy pequeña. Encuentre una aproximación de
primer orden para y calcule para electrones con una energía de 60 GeV empleando el voltaje acelerador V y constantes físicas c=2,997.108 m/s ; masa del electrón , me= 0,511.10-31 kg
50
Volvemos ahora a los protones del LHC. Suponga que el túnel del
acelerador es de forma circular
Los protones están confinados en el anillo circular porque existe una fuerza centrípeta
que es proporcionada por la acción de un campo magnético.
RBevmBveR
vmo
2
o
mo masa del protón en reposo, e carga eléctrica del protón ,R , radio del anillo
La energía del protón
2
o
2
o
2
cm
EcmcmE
Sustituyendo en la primera ecuación y teniendo en cuenta que la velocidad v de los
protones es muy próxima al de la luz )cv
T50,5
m26659·C10.602,1·s
m10.997,2
Ve
J10.602,1eV10.00,7·2
B
Lec
E2
2
Lec
E
Rec
EBRBevm
cm
E
198
1912
o2
o
A3 Deduzca una expresión para la densidad de flujo magnético B, uniforme, necesaria para que los protones se mantengan en una trayectoria circular. La expresión solamente debe contener la energía E de los protones, la longitud del túnel L, constantes fundamentales y números. Se pueden utilizar aproximaciones si su efecto es menor que la precisión dada por el menor número de dígitos significativos. Calcule B para los protones de E=7,00 TeV, despreciando las interacciones entre ellos.
11
2
19
9
2
22831
22
e
2
2
e
2
e
2
2
e
2
e
10.62,3
eV
J10.602,1·eV10.60
s
m)10.997,2·(kg10.511,0
2
1
eV
cm
2
1
cmeV
cm
2
1
cmeV
cm
2
111
51
Potencia radiada
Una partícula con carga eléctrica y acelerada emite energía en forma de
radiación electromagnética. La potencia radiada Prad por una partícula
cargada que se desplaza con velocidad angular constante depende
solamente de su aceleración a, de su carga q, de la velocidad de la luz c y
de la permitividad del vacío o
ocqaP
3m·kg·4s·2Ao2m·
2s
m·kg
2sA
o2d
2q
o4
1F
smcs
mc
s·Aqsegundo·amperioq
2s·macuadradoalsegundo
metroa
3s·2m·kgs
m·s
m·kg
P
tiempo
ciatandis·naceleració·masaP
tiempo
ciatandis·fuerzaP
tiempo
trabajoP
2
Identificando kg 11
Identificando A 202
Identificando m 123
Identificando s 1212342
Resolviendo las dos ecuaciones 3:2
o3c
2q2aP
La fórmula real de la potencia radiada contiene el factor 1/6, además el
tratamiento relativista introduce un factor
2
2
c
v1
1γ
A4 Utilice el análisis dimensional para encontrar una expresión para la potencia radiada.
52
La potencia radiada por cada uno de los protones es:
4
o
3
22
c6
qaP
La aceleración del protón es la centrípeta
R
c
R
va
22
El radio del túnel es m9,42422
26659
2
LR
.
La energía del protón 2
o cmE
Sustituyendo en P
4
2
oo
2
24
2
oo
3
2
2
4
cm
E
R6
cq
cm
E
c
qR
c
6
1P
Esta es la potencia radiada por un solo protón, para calcular la potencia total hay que
multiplicar la de un protón por el número de protones de los dos haces. Según los datos
de la tabla 1:
1411 10.46,610.15,1.2808·2N
W10.14,5P
10.46,6·10.997,2·10.672,1
10.602,1·10.00,7
10.854,8·9,4242·6
10.997,2·10.602,1N·
cm
E
R6
cqP
3
tot
14
4
2827
1912
122
82194
2
oo
2
2
tot
Aceleración lineal
En el CERN los protones se aceleran a partir del reposo mediante un
acelerador lineal de longitud d= 30 m y diferencia de potencial V= 500
MW. Se supone que el campo eléctrico es homogéneo. Un acelerador
lineal consiste en dos platos como se esquematiza en la figura 1.
d
+
A5 Calcular la potencia total Ptot radiada por LHC para una energía del protón E = 7,00 TeV (Ver tabla 1). Puede usar aproximaciones apropiadas. Masa del protón mo=1,672.10-27 kg ,
Permitividad del vacío, o=8,854.10-12 N-1m-2C2
Fig.1- esquema del
acelerador lineal
53
El módulo del campo eléctrico en el interior del acelerador lo designamos con E, este
campo está relacionado con la diferencia de potencial, ya que el campo es menos el
gradiente de potencial . Escribimos el módulo de la fuerza que actúa sobre el protón
T
pp
T
pe·
d
Ve·EF IF
La cantidad de movimiento, en el tiempo cero, del protón es cero
e·V
d·pT F
Para relacionar la energía del protón con su cantidad de movimiento recurrimos al
invariable relativista
c
cmEpcmpcE
42
o
2
F
42
o
22
En el apartado 1 vimos que la energía del protón es la suma de la energía en reposo y la
energía cinética
e·VcmE 2
o
Sustituyendo en pF.
s
mkg10.76,5
10.997,2
10.997,2·(10.627,1·210.602,1·10.50010.602,1·10.500p
c
cm2e·Ve·V
c
cme·V·cm2e·Vcm
c
cme·Vcmp
19
8
2827196196
F
2
o
42
o
2
o
2242
o
42
o
22
o
F
Sustituyendo en T
ns216s10.16,210.602,1·10.500
30·10.76,5T 7
196
19
A6 Determine el tiempo que los protones emplean en recorrer el acelerador lineal
54
Parte B. Identificación de partículas. Tiempo de vuelo
Es importante identificar las partículas de alta energía que se generan
en la colisión con la finalidad de interpretar los procesos de interacción.
Un método simple consiste en medir el tiempo t, que una partícula de
momento conocido emplea en recorrer una longitud l en un denominado
detector del tiempo de vuelo (Time-of-Flight)(ToF). Algunas partículas
típicas que se identifican en el detector y sus masas están recogidas en la
tabla 2.
Partícula Masa en MeV/c2
Deuterón 1876
Protón 938
Kaón con carga 494
Pión con carga 140
Electrón 0,511
Tabla 2. Partículas con sus masas
Figura 2. Vista esquemática del detector ToF
La cantidad de movimiento según la teoría de la relatividad es:
222
2
2
0o tcc
p
c
v1
l
tp
t
p
v
pmvmp
B1 Exprese la masa en función del momento p, la longitud del vuelo l, y el tiempo de vuelo t, suponiendo que las partículas poseen la carga elemental e y viajan en línea recta con velocidad cercana a la de la luz por el detector ToF y que viajan en dirección perpendicular a los dos planos de detección (ver la figura 2)
55
A partir de la ecuación del apartado anterior despejamos t
2
2
02
2
22
2
0
2
22o
c
1
p
mtt
cp
m
ct
p
m
Aplicamos la ecuación anterior al kaón
115,1·cc
1
c
10.494
c
1
c
GeV00,1
c
GeV10.494
t22
62
2
2
2
3
K
4
Aplicamos la misma ecuación al pión
0098,1·cc
1
c
10.140
c
1
c
GeV00,1
c
GeV10.140
t22
62
2
2
2
3
m28,10098,11154,1
10.997,2·10.450
0098,11154,1c
tt10.4503·10.150t
812
K
1212
En lo siguiente, ciertas partículas producidas en el detector LHC se
identifican en un detector de dos etapas, una es el detector de
seguimiento y la otra el ToF. La figura 3 muestra el montaje en los
planos transversal y longitudinal de los haces de protones. Ambos
detectores son tubos que rodean la zona de interacción pasando el haz
por el medio de ellos.
El detector de seguimiento mide la trayectoria de una partícula cargada
que atraviesa un campo magnético cuya dirección es paralela a los haces
de protones. El radio r descrito por la partícula permite calcular su
momento transversal pl. Dado que se conoce el tiempo de colisión, el
detector ToF solamente es un tubo que mide el tiempo de vuelo entre el
B2 Calcular la longitud mínima del detector ToF que permite con seguridad distinguir a un kaón cargado de un pión cargado, siendo sus momentos medidos 1,00 GeV/c. Para una buena separación se requiere que la diferencia en el tiempo de vuelo sea mayor que tres veces el tiempo de resolución del detector. El tiempo de resolución del detector ToF es 150 ps (1ps=10-12 s).
56
lugar de la colisión y el tubo del detector. El ToF está situado justo
después de la cámara de seguimiento. Para las cuestiones siguientes
debe suponer que todas las partículas creadas en la colisión viajan
perpendicularmente al haz de protones, lo cual significa que las
partículas carecen de momento a lo largo de la dirección del haz de
protones.
1, Tubo ToF
2. Trayectoria
3. Punto de colisión
4. Detector de trayectoria
5. Haz de protones
Campo magnético
Figura 3. Dispositivo experimental para la identificación de partículas con
una cámara de seguimiento y un detector ToF. Ambos detectores son tubos
que rodean al punto de colisión situado en el centro. Izquierda: vista
transversal perpendicular al haz – Derecha: vista longitudinal paralela al
haz
Se han detectado cuatro partículas y se desea identificarlas. La densidad
de flujo magnético en el detector de seguimiento vale B= 0,500 T. El
B3 Exprese la masa de la partícula en función de B, del radio R del tubo del detector ToF, constantes fundamentales y las cantidades medidas: el radio r de la trayectoria y el tiempo de vuelo t.
57
radio R del detector Tof es R=3,70 m El tiempo de vuelo se expresa en
nanosegundos, siendo 1ns=10-9 s
Partícula Radio de la trayectoria
r/m
Tiempo de vuelo
t/ns
A 5,10 20
B 2,94 14
C 6,06 18
D 2,31 25
En la figura B3a hemos representado a escala el detector ToF (circunferencia en línea
continua) y la traza o recorrido de la partícula. En línea continua el registro de la
trayectoria dentro del ToF (línea OM) y en discontinua la trayectoria que seguiría la
partícula A, si el campo B se extendiese por todo el espacio exterior al detector. (línea
MS)
Fig.B3 a
La ecuación de la circunferencia respecto a unos ejes cartesianos en su centro es:
cuadradoalRadiobyax22
El punto M tiene de coordenadas (x,y) y pertenece al detector(circunferencia de línea
completa) y a la partícula ( circunferencia de línea discontinua).
La ecuación de la circunferencia del detector es: 222 Ryx
B4 Identifique las cuatro partículas calculando sus masas
58
La ecuación de la circunferencia de la partícula
222ryrx
Despejando y2 en las dos ecuaciones e igualando resulta:
2
2
2
222
2
422
2222222
r4
R1Ry
r4
R1Ry
r4
RRy
r2
Rxrx2Rrx2rxrxR
Observando la figura B3a se deduce que la longitud de la trayectoria OM en el ToF es.
r·r4
R1
r
Rsenoarcor·
r
r4
R1R
senoarcoradio·ánguloOM2
22
2
Cálculo de para la partícula A
m786,310,5·7424,010,5·6761,0senoarco10,5·10,5·4
70,31
10,5
70,3senoarco
2
2
Cálculo de la masa mA de la partícula A
En el apartado B1 hemos encontrado la siguiente ecuación
222
0 tcc
pm
La aplicamos a la partícula A
22
A
2AA tc
c
pm
En esta ecuación nos falta conocer pA
. Recurrimos a la ecuación que relaciona la fuerza
centrípeta en el ToF y el campo magnético que actúa
AA
2
A pBervmBver
vm
Sustituyendo en mA.
59
kg10.673,1m
786,3)10.20·()10.997,2(10.997,2·786,3
500,0·10.602,1·10,5tc
c
Berm
27
A
22928
8
19222
A
Expresamos la masa de la partícula A en las unidades de la tabla 2.
2
2
30
27
A
30
228
196
2
6
2
c
eVM938
kg
c
eVM
10.784,1
1kg10.673,1m
kg10.784,1sm10.997,2
J10.602,1·10
c
eV10
c
MeV1
La partícula A es un protón
Cálculo de para la partícula B
m002,494,2·3612,194,2·9781,0senoarco94,2·94,2·4
70,31
94,2
70,3senoarco
2
2
Cálculo de la masa mB de la partícula B
kg10.475,2m
002,4)10.14·()10.997,2(10.997,2·002,4
500,0·10.602,1·94,2tc
c
Berm
28
A
22928
8
19222
B
Expresamos la masa de la partícula B en las unidades de la tabla 2.
2
2
30
28
Bc
eVM139
kg
c
eVM
10.784,1
1kg10.475,2m
La partícula B es un pión con carga
Cálculo de para la partícula C
m760,306,6·6205,006,6·5814,0senoarco06,6·06,6·4
70,31
06,6
70,3senoarco
2
2
Cálculo de la masa mC de la partícula C
60
kg10.666,1m
760,3)10.18·()10.997,2(10.997,2·760,3
500,0·10.602,1·06,6tc
c
Berm
27
C
22928
8
19222
B
Expresamos la masa de la partícula C en las unidades de la tabla 2.
2
2
30
27
Cc
eVM935
kg
c
eVM
10.784,1
1kg10.666,1m
La partícula C es un protón
Para la partícula D hemos hecho una representación gráfica de la trayectoria en la
figura B3 b
Si se compara las figuras B3b y B3a y en particular las posiciones de los ángulos y las
trayectorias, se comprende que la formula empleada anteriormente en las otros tres
partículas ahora nos calcula la longitud MS. y no la longitud de la trayectoria OM
m006,332,2·2956,0132,2·9624,0senoarco32,2·32,2·4
70,31
32,2
70,3senoarcoMS
2
2
De la figura B3 b se deduce:
m283,4006,332,2·
Cálculo de la masa mD de la partícula D
Fig,B3 b
61
kg10.900,8m
283,4)10.25·()10.997,2(10.997,2·283,4
500,0·10.602,1·32,2tc
c
Berm
28
D
22928
8
19222
D
Expresamos la masa de la partícula D en las unidades de la tabla 2.
2
2
30
28
Bc
eVM499
kg
c
eVM
10.784,1
1kg10.900,8m
La partícula D es un kaón.