Prof: Nancy Andrades
Derivadas parciales Aproximación por la
diferencial
Cálculo III (A, C y E)
Definición: Una función f, en n variables es una regla que asigna a cada n-upla (x1,x2,........xn) de números reales, un único número real z, denotado por f (x1,x2,........xn) ; esto es ;
f : n
(x1,x2,......xn) f (x1,x2,......xn)
Definición: Si f es una función en n variables x1,x2,........xn, la derivada parcial de f con respecto a su j-esima variable xj, se obtiene derivando f con respecto a esa variable xj, permaneciendo las demás variables
constantes.
Función en n variables
Cálculo III (A, C y E)
Notación para una función en dos variables
Sea z = f(x,y), función en las variables x e y
La derivada de f con respecto a la variable x se escribe:
(se lee parcial de z con respecto a x)
La derivada de f con respecto a la variable y se escribe:
(se lee parcial de z con respecto a x)
y)(x,fóxz
x
y)(x,fóyz
y
Cálculo III (A, C y E)
Ejemplo
Hallar las derivadas parciales fx, fy para las funciones dadas:
1.- f(x,y) = 2x4y3 - xy2
fx(x,y) = 8x3y3 - y2
fy(x,y) = 6x4y2 - 2xy
2.- f(x,y) = xey + ysen(2x)
fx(x,y) = ey + 2ycos(2x)
fy(x,y) = xey + sen(2x)
Cálculo III (A, C y E)
Ejercicios
Hallar las derivadas parciales fx y fy para cada una de las funciones dadas:
1.- f(x,y) = ex Ln(x2y)
2.- f(x,y,z) = xez - xyex + ze-y
3.- f(x,y) = 2x8y3 + xy5 + 3y + 14
4.- f(r,s,t) = r2e2scost
5.- f(x,y,z) = xez – yex + ze-y
6.-yxyx
Lny)f(x,
Cálculo III (A, C y E)
Interpretación geométrica(x, y0 , f(x, y0 ))
(x0, y , f(x0, y ))
fx es la pendiente de la recta tangente a la curva, sobre el plano y = yo. Derivada en la dirección de x.
fy es la pendiente de la recta tangente a la curva sobre el plano x = xo. Derivada en la dirección de y.
Cálculo III (A, C y E)
EjemploSea la función de dos variables, f(x,y) = 9 - x2- y2. Determine la pendiente de dicha superficie en el punto (2, 1, 4), en las direcciones de x e y .
4xf
y-2xxf
(2,1)
Pendiente en la dirección de x
2yf
y-2yyf
(2,1)
¿Como se determina la recta tangente en dicho punto?
Pendiente en la dirección de y
Cálculo III (A, C y E)
…Continuación
3-3
-3
3
9
z = 9 - x2- y2
Usando la ecuación punto-pendiente: y - y0 = m(x – x0) ya que estamos sobre un plano
La recta tangente sobre el plano y = y0 es:
y – 1 = -4(x – 2) y = -4x + 9
La recta tangente sobre el plano x = x0 es:
y – 1 = -2(x – 2) y = -2x + 5
Cálculo III (A, C y E)
Derivadas parciales de segundo orden
Si z = f(x,y), la derivada parcial de fx con respecto a la variable x es:
La derivada parcial de fy con respecto a la variable y es:
xxxx2
2
)(ffoxz
xxz
yyyy2
2
)(ffoyz
yyz
Cálculo III (A, C y E)
Derivadas parciales cruzadas
Si z = f(x,y), la derivada parcial de fx con respecto a la variables y es:
La derivada parcial de fy con respecto a x es:
Estas derivadas cruzadas siempre son iguales puesto que las funciones son continuas
yxxy )(ffoxyz
xz
y
2
xyyx )(ffoyxz
yz
x
2
Cálculo III (A, C y E)
Ejemplo
Sea la función en dos variables f(x,y) = x3e-2y + y-2cosx , entonces
fx(x,y) = 3x2e-2y - y-2senx
fy(x,y) = -2x3e-2y -2y-3cosx
fxy(x,y) = -6x2e-2y + 2y-3senx
fyx(x,y) = -6x2e-2y + 2y-3senx
Cálculo III (A, C y E)
Ejercicios
1.- Determine las segundas derivadas parciales fxx, fyy, fxy de la función de dos variables: f(x,y) = 3xy2 - 2y + 5x2y2. Calcule el valor de fxy(2, 1).
2.- Pruebe que fxz = fzx y que fxzz = fzzx para la función de tres variables: f(x,y,z) = yex + xLnz
Cálculo III (A, C y E)
Aplicación (análisis marginal)
Nota: Es la practica de usar una derivada para estimar el cambio producido en el valor de una función al aumentar 1 unidad en su variables independiente.
Recordemos que para la función de una variable: y = f(x), si se incrementa x en 1 unid, la variación de f es:
f = f(x + 1) – f(x) f’(x)
Entonces: Si z = f(x,y) y se tiene una variación de x en 1 unidad permaneciendo y constante se tendrá:
z = f(x + 1,y) – f(x,y) fx(x,y)
Análogamente: z = f(x,y + 1) – f(x,y) fy(x,y)
Cálculo III (A, C y E)
Ejemplo: Problema 27, pág 506 Producción diaria: Q(k,L) = 60k1/2 L1/3 unidades
k representa la inversión de capital medida en unidades de $ 1000.
L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.
La inversión actual es de $900.000 y se utilizan 1000 h-t.
Estime el efecto provocado en la producción diaria por una inversión adicional de capital de $1000, si el tamaño de la fuerza laboral no cambia.
Cálculo III (A, C y E)
…continuaciónEl objetivo es determinar la variación de la producción en
los niveles actuales: k = 900 y L = 1000 si k = 1.
Ahora bien: Q(k,L) Qk(k,L)
Entonces para: Qk(k,L) = 30k-1/2.L1/3
La producción diaria aumentará en 10 unidades aproximadamente, si hay un incremento de mil $ en la inversión de capital.
10(30)
(30)(10)
900
10030(900,1000)Q
3
k
Cálculo III (A, C y E)
Aproximación por la diferencial totalSupongamos z = f(x,y) función en las variables x e y. Si x representa un cambio pequeño en x y y un cambio pequeño en y, entonces el correspondiente cambio en z viene dado por:
f fxx + fyy = df (diferencial
total)
fxx es el cambio en f con respecto a x, cuando y no varía
fyy es el cambio en f con respecto a y, cuando x no varía
Cálculo III (A, C y E)
Ejercicio
Problema 38: pág 521 (Hoffmann)
En cierta fábrica la producción diaria es Q(k,L) = 120k1/2.L1/3 unidades, donde K es la inversión de capital (miles de $) y L es el tamaño de la fuerza laboral (horas-trabajador). Nivel actual de inversión $400.000, tamaño de fuerza laboral 1.000 h-t.
Estime el cambio resultante en la producción si la inversión de capital aumenta en $500 y la mano de obra se incrementa en 4 horas-trabajador.
Cálculo III (A, C y E)
Solución
Objetivo, determinar el cambio de la producción en los niveles actuales k = 400 y L = 1000 si k = 500 y L = 4 .
Ahora bien: Q(k,L) dQ(K, L) = Qk(k, L) k + QL(k,L) L
4(10)
(20)(40)0,5
20
1060)Q(400,1000
3 32
2
2
3 3
Δ
La producción diaria aumentará en unidades aproximadamente si hay una inversión de capital adicional de $ mil y las horas trabajador se incrementan en 4.
Cálculo III (A, C y E)
Ejercicios1.- Problema 40: pág 522 (Hoffmann)
Un editor calcula que si invierte x miles de $ en desarrollo e y miles de $ en promoción, se venderán aproximadamente Q(x,y) = 20x3/2y ejemplares de un libro. Actualmente los planes exigen una inversión de $36.000 en desarrollo y $25.000 en promoción.
Estime el cambio resultante en las ventas, si la cantidad invertida en desarrollo aumenta en $500 y la invertida en promoción disminuye en $500.
2.- Para : . Aproxime el valor f(4.1,
1.9, 9.1), 2yx.ezz)y,f(x,
Cálculo III (A, C y E)
Aproximación porcentual
Supongamos z = f(x,y) función en las variables x e y. Si x representa un cambio pequeño en x y y un cambio pequeño en y entonces el cambio porcentual en z es:
Cambio porcentual en z f
yyfxxf100
f
f100
ΔΔΔ
Cálculo III (A, C y E)
EjemploProducción diaria: Q(k,L) = 60k1/2 L1/3 unidades
k representa la inversión de capital medida en unidades de $ 1000.
L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.
Estime el porcentaje de cambio en la producción diaria si la inversión de capital aumenta en 1% y la fuerza laboral aumenta en 2%. (k = 0,01K y L = 0,02L)
Q
LLQKKQ100
Q
Q100produccionenporcentualCambio
ΔΔΔ