Métodos para resolver ecuaciones lineales
Método Eliminación Gaussiana
Método de Gauss Jordan
Método de Gauss Seidel
Método de Eliminación Gaussiana
Ejemplo de Matriz 3x3
Sistema de Ecuaciones
•Multiplicar la ecuación normalizada por el coeficiente de la primera incógnita de la tercera ecuación : -x1-2x2-3x3 -12x4=-2
•Restar la tercera ecuación de la ecuación normalizada, eliminando la primera incógnita de la tercera ecuación.
-x1-6x2+2x3-1x4=+3+x1+2x2+3x3+12x4=+2
0 -4x2+5x3-12x4=+5
•Multiplicar por -1: -x1-2x2-3x3 -12x4=-2
•Restar-x1-3x2-11x3 +1x4=-3
+x1+2x2+3x3 + 12x4=+20 -1x2 -8x3+32x4= -1
Multiplicar
0 0 -13x3-72x4=+13
•Restar la cuarta ecuación de la ecuación normalizada, eliminando la tercera incógnita de la cuarta ecuación
Método de eliminación Gauss-Jordan
Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar lassoluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Es untipo especial de procedimiento de eliminación, llamadaasí debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan.Comienza con el sistema original de ecuaciones m x n ylo transforma, mediante operaciones de renglón, en unsistema equivalente. Se realiza hasta obtener unamatriz diagonal unitaria.
Sistema General de Ecuaciones
Matriz B del sistema
Ejemplo#1
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan.
a – b = -6
b + c = 3
c + 2d =4
2a - 3d = 5
Desarrollo
Ejemplo#2
Resolveremos este sistema de ecuaciones
Aumentamos la matriz
Nuestra solución es x= 1, y= -1 y z= 2
Método de Gauss Seidel
• En honor a Carl Friedrich Gauss y PhilippLudwig von Seidel
• Es un método iterativo para resolversistemas de ecuaciones lineales
• para que exista solución única, el sistemadebe tener tantas ecuaciones comoincógnitas
Método de Gauss Seidel
• Partiendo de (x = 1, y = 2, z = 0) aplique dos iteraciones del metodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema:
• 10 x + 0y − z = −1
• 4 x + 12y − 4z = 8
• 4 x + 4y + 10z = 4
10 x + 0y − z = −14 x + 12y − 4z = 84 x + 4y + 10z = 4
x = −0.10 + 0.00 x + 0.00y + 0.10zy = 0.66 − 0.33 x + 0.00y + 0.33zz = 0.40 − 0.40 x − 0.40y + 0.00z
x1 = −0.10 + 0.00(1.00) + 0.00 (2.00) + 0.10 (0.00) = −0.1y1 = 0.66 − 0.33(−0.10) + 0.00 (2.00) + 0.33 (0.00) = 0.70z1 = 0.40 − 0.40(−0.10) − 0.40 (0.70) + 0.00 (0.00) = 0.16
Despejar de la ecuacion la incognitacorrespondiente
Aplicamos la primera iteracion partiendo de x0 = 1.00, y0 = 2.00, y z = 0.00
x1 = −0.10 + 0.00(−0.10) + 0.00 (0.70) + 0.10 (0.16) = −0.084y1 = 0.66 − 0.33(−0.084) + 0.00 (0.70) + 0.33 (0.16) = 0.748z1 = 0.40 − 0.40(−0.084) − 0.40 (0.748) + 0.00 (0.16) = 0.134
x1 = −0.10 + 0.00(−0.084) + 0.00 (0.748) + 0.10 (0.134) = −0.086y1 = 0.66 − 0.33(−0.086) + 0.00 (0.748) + 0.33 (0.134) = 0.740z1 = 0.40 − 0.40(−0.086) − 0.40 (0.740) + 0.00 (0.134) = 0.138
Aplicamos la segunda iteracion partiendo de x1 = −0.10 y y1 = 0.70 y z1 = 0.16
Aplicamos la tercera iteracion partiendo de x1 = −0.084 y y1 = 0.748 y z1 = 0.134
Preguntas?Dudas??
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