I. FLUJO DE FLUIDOS A TRAVES DE MEDIOS POROSOS
A)Ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas.
Principio de conservación de masa:
…(1)
Considerando un solo fluido, seleccionando nuestro volumen elemental.
Ecuación de movimiento Ecuación de estado
Ecuación de continuidad
ECUACION
DE
DIFUSION
Cantidad de
masa
que entra en
un t
Cantidad de
masa
que sale en
un t
- +
-
Masa neta
introducida
por fuentes o
sumideros =
Cantidad de
masa
acumulada en
un t
y
x
z
Y
X
Z
Aplicando el principio, sin considerar fuentes ni sumideros:
zyxxzyx vvv zxyyzxy vvv
+ yxzzyxz vvv
Reduciendo:
zyxv zxyv yxzv L.I
Para el lado derecho de la igualdad, si
zyx
MLL
M 33
Entonces el gasto másico:
L. D =
t
zyxttt
Igualando:
zyxv zxyv yxzv
zyx
t
ttt
Dividiendo entre zyx y aplicando límites:
x
x
x
v
lim
0
y
y
y
v
lim
0
z
z
z
v
lim
0
=t
ttt
t
lim
0
y
x
z
X
Y
Z
vy+(vy) vy
vz
vx+(vx)
2
3L
T
L
L
M
vx vz+(vz)
Finalmente se obtiene
x
vx
y
vy
z
vz
t
...(2) Ejercicio: Desarrollar la ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas. B.) Ecuación de movimiento
Válida para flujo laminar y NRe bajo, por lo tanto no es válida para:
Flujo turbulento
Flujo de Gas
Medio poroso que reaccione con el fluido
Para T
kv ................. (3)
Donde:
= Velocidad de fluido por unidad de área. k = Permeabilidad
= Densidad
= Viscosidad
= Gradiente de potencial en la dirección de flujo NOTA: El signo (-) implica que el flujo ocurre en la dirección en que disminuye el potencial. Hubbert definió el potencial como:
P
Pozg
dp
................. (4)
La ley de Darcy en x, y, y z:
x
pkv
xx
y
pkv
yy
g
z
pkv
zz
ECUACIÓN DE
CONTINUIDAD PARA UN
SOLO FLUIDO EN
COORDENADAS
CARTESIANAS
C) Ecuación de Estado La compresibilidad isotérmica se define:
Tp
V
Vc
1
Para un fluido ligeramente compresible:
oo ppc 1
Ahora acoplando las ecuaciones de estado y movimiento en la ecuación de continuidad se tiene:
x
pkppc
x
xoo
1
y
pkppc
y
yoo
1
z
pkppc
z
zoo
1 oo ppc
t
1
Considerando: Despreciando los efectos gravitacionales y cambiando los signos:
x
pk
xppc
xo
1
)(1 o
xppc
xx
pk
y
pk
yppc
yo
1
)(1 o
yppc
yy
pk
z
pk
zppc
zo
1
)(1 o
zppc
zz
pk
oppct
1
Si = constante, y el medio es isótropo:
x
pc
x
pk
x
pkppc o
2
2
1
x
pc
y
pk
y
pkppc o
2
2
1
x
pc
z
pk
z
pkppc o
2
2
1
t
pc
tppc o
1
Dividiendo entre oppc 1 :
2
2
2
1 x
p
cpp
ck
x
pk
o
2
2
2
1 y
p
cpp
ck
y
pk
o
2
2
2
1 z
p
cpp
ck
z
pk
o
t
p
cpop
c
t
p
p 1
=
t
p
cpp
c
p o1
1
Sea:
fcp
1 Y
'
1c
cpp
c
o
Además
tf ccc '
Considerando que los gradientes de presión de son pequeños entonces:
t
pc
z
p
y
p
x
pkt
2
2
2
2
2
2
...........(5)
Finalmente:
t
p
k
c
z
p
y
p
x
p t
2
2
2
2
2
2
..................... (6)
Ejercicios:
Obtener la ecuación de difusividad en coordenadas cilíndricas.
ECUACION DE DIFUSIVIDAD
EN COORDENADAS
CARTESIANAS
Demostrar que la compresibilidad de la formación está dada por:
pc f
1
ECUACION DE FORCHEIMMER Para resolver la Ecuación de Continuidad (2) discutida anteriormente, es
necesario usar una ecuación de estado (EOS) involucrando la densidad del fluido, tal como se hizo en la Ecuación (6) y otra expresión que describe el comportamiento de la velocidad. Sobre este punto, tradicionalmente la ley de Darcy (1856) ha sido usada como la ecuación de movimiento; en otras palabras se considera que el fenómeno de flujo ocurre bajo condiciones de flujo laminar, es decir, para valores de número de Reynolds bajos. El flujo que obedece a la ley de Darcy (1856) se le llama “flujo Darcy ".
Varios trabajos en la industria de petróleo se han orientado a llegar a un acuerdo sobre como nombrar el comportamiento de flujo cuando la proporcionalidad entre la velocidad y la reducción de presión a través de un medio poroso no aplica. Esto sucede en medios porosos cuando el límite máximo de velocidad es excedido, y la ley de Darcy (1856) que describe flujo bajo estas condiciones de proporcionalidad llega a ser inválida. Firoozabadi y Katz (1979) llamó al flujo que ocurre bajo estas condiciones, flujo de "alta velocidad ", otros (Camacho-V. et al., 1998) han nombrado al fenómeno como flujo “no laminar”. Una de las mejores discusiones sobre el flujo no laminar es la de Muskat (1937).
Una ecuación general de flujo incluyendo ambos términos, viscosos e inerciales, es la propuesta por Forcheimmer (1901) determinada como:
2. uukx
p
Donde es el coeficiente de alta velocidad. Se ha concluido que muchas situaciones de flujo pueden ser expresadas por medio de esta ecuación. Además, los términos del lado derecho de la ecuación anterior se denominan en la siguiente forma:
k
Término laminar 2 Término no laminar
Los factores que promueven el flujo no-Darcy son los siguientes: 1. La variación amplia en el tamaño, forma, y distribución de poros, 2. Superficies porosas irregulares, y 3. La presencia de fracturas. Los dos primeros factores se comprenden en lo qué se llama " la geometría de poro".
La presencia de estas condiciones en pozos con alta productividad se han encontrado en muchos casos, particularmente en yacimientos fracturados (Baker, 1955). Para la ecuación (6):
PARAMETRO UNIDAD CONSISTENTES
UNIDADES PRACTICAS
x, y, z Centímetro Pie
p Atmósfera lb/pg2
Fracción Fracción
Centipoises Centipoises
Ct Atm-1 (lb/pg2)-1
k Darcy Milidarcy
t Segundo Hora
Ejercicio
Determinar la constante de unidades para la ecuación de difusividad en coordenadas cartesianas, para utilizarla en unidades practicas.
FLUJO DE GAS A TRAVES DE MEDIOS POROSOS Ahora la ecuación de estado:
znRTpV
RTM
wZpV
zRT
pM
Entonces:
x
x
pk
zRT
pM x
+
y
y
pk
zRT
pM y
+
z
g
z
pk
zRT
pM z
=
-t
zRT
pM
Despreciando efectos gravitacionales y considerando y k constantes:
z
pp
zy
pp
yx
pp
x
k
t
p
+
tp
=
t
p
+
pp
t
p
Como: x
p
x
pp
2
2
Entonces:
t
p
ppp
z
p
zy
p
yx
p
x
k
11
2
1 222
t
p
k
c
t
pc
k
p
z
p
zy
p
yx
p
x
t
t
2222
22
1
t
p
k
c
z
p
y
p
x
p t
2
2
22
2
22
2
22 ......................... (7)
Para flujo radial:
t
p
k
c
r
pr
rr
t
22
1 ……………..( 8 )
PARA GASES REALES: Al–Hussainy R. Et al (1966) definieron:
P
Po
dpz
ppm
2)( …………….. ( 9 )
Como:
r
p
p
pm
r
pm
y:
z
pdp
z
p
pp
pm P
Po
22
Sustituyendo:
r
p
z
p
r
pm
2 ................. (10)
Ahora:
t
p
z
p
t
p
p
pm
t
pm
2 ................. (11)
*De la ecuación de continuidad para flujo radial:
ECUACIÒN DE DIFUSIVIDAD
PARA FLUJO DE GAS EN
COORDENADAS CARTESIANAS
t
vrrr
r
1
Sustituyendo la ec. de movimiento:
ttr
pkr
rr
1
t
p
pt
p
pr
pkr
rr
1
t
p
ppr
pkr
rr
111
Sea:
tcpp
11
t
pc
r
pkr
rrt
1
Despejando y sustituyendo:
t
pm
p
zc
zRTg
pM
r
pm
p
zk
zRT
pMr
rrt
22
1
Reduciendo:
t
pm
k
ct
r
pmr
rr
1 ................... (12)
ECUACIONES PARA FLUJO MULTIFASICO
t
pc
r
pr
rr t
t
1 ...............… (13)
Donde:
w
w
g
g
o
ot
kkk
Y:
ggwwoot scscscc
Referencias:
AL – HUSSAINY, R. Et. AL. : “ THE FLOW OF REAL GASES THROUGH POROUS MEDIUM, “ JPT (MAY, 1966)
MARTIN , J.C. : “ SIMPLIFIED EQUATIONS OF FLOW IN GAS DRIVE RESERVOIRS AND THE THEORETICAL FOUNDATION OF MULTIPHASE PRESSURE BUILDUP ANALYSIS,” TRANS. AIME (1939) V . 216
SOLUCIONES DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD
A) Flujo estacionario lineal.
En esta situación:
02
2
2
2
z
p
y
p
t
p
02
2
x
p ......................... (14)
Ahora las condiciones de frontera:
p x =0= p 1 C.F.I.
Y
p x =L= p 2 C.F.E.
Integrando la ecuación (14):
1Cx
p
Separando variables e integrando:
dxCdp 1
21 CxCp (solución general)
211 0 CCp como 12 pC
L
ppCpLCCLCp 12
111212
Sustituyendo 1C y 2C :
P1 P2
X=0 X=L
112 px
L
ppxp
................. (15)
Gráficamente: b) Flujo radial estacionario:
De la ecuación de difusividad para flujo radial:
t
p
k
c
r
pr
rr
t
1 .................. (16)
Ahora las condiciones de frontera son:
rwp = wp C.F.I.
re
p = ep C.F.E.
Y:
p = p ( r )
p
P1
P2
p
L
X=0 X=L
x
De la ecuación de (16):
0
dr
dpr
dr
d
Separando variables e integrando:
0)(dr
dprd
1Cdr
dpr
Integrando nuevamente:
r
drCdp 1
21 ln CrCp ( solución general)
Para: wrr
21 ln CrCp ww
Para: err
21 ln CrCp ee
Resolviendo por ecuaciones simultaneas:
w
ewewe
r
rCrCrCpp lnlnln 111
w
e
we
rr
ppC
ln1
Sustituyendo:
w
w
e
wewww r
rr
ppprCpC ln
lnln12
Sustituyendo constantes en la ecuación general:
w
w
e
wew
w
e
wer
rr
pppr
rr
ppp ln
lnln
ln
............................. (17)
Finalmente:
w
w
e
wew rr
rr
ppprp /ln
ln
........................... (18)
Ecuación para flujo radial estacionario
Gráficamente: Donde :
w
e
we
rr
ppm
ln
De la ecuación de Darcy:
rw
rr
pA
kq
En el área expuesta al flujo: hrA wrw
2
Derivando la ecuación (17)
ww
e
we
rw rr
r
pp
r
p 1
ln
Sustituyendo A wr y rw
rp
en la ecuación de Darcy:
ww
e
wewr
rr
r
pphr
kq
1
ln2
w
e
wer
rr
ppkhq
ln
2
..................... (19)
Tarea.
Convertir la ecuación 19 a unidades practicas, k(mD), (cp), h(pie), p(lb/pg2),r(pie) y q(BPD)
1
p
ep
wp
wrln erln rln
Ecuación de gasto para flujo radial
C) FLUJO RADIAL PSEUDOESTACIONARIO. Se presenta cuando la declinación de la presión presente un comportamiento lineal.
ctet
p
Consideramos un yacimiento cerrado
Tp
V
Vct
1 ó
Tp
V
Vc
p
P
t
1
dp
dt
dt
dV
V
p
P
1
Entonces:
dt
dV
cVdt
dp
dt
dV
Vdt
dpc P
tP
P
P
t
11
q
t
PcV
q
dt
dp ……………………….. (20)
NOTA:
.ctect estado incompresible
p
m
1 t
pi
tc V
q=cte
Para este caso se considera la misma geometría que el inciso (b) El volumen poroso:
hrrV weP
22
Sustituyendo en (20):
twe chrr
q
dt
dp
22
la ecuación de difusión para flujo radial:
twe
t
chrr
q
k
c
dr
dpr
rr
22
1
Reduciendo:
khrr
q
dr
dpr
rrwe
22
1
………………… (21)
Las C. F.
0)1
errr
p 0
dr
dpk
rv r
ww
pr
p )2
Separando variables e integrando (21)
drr
khrr
q
dr
dprd
we
22
12
2
22C
r
khrr
q
dr
dpr
we
r
Cr
khrr
q
dr
dp
we
1
222
…………… (22)
Aplicando C. F. :
01
222
e
e
weer
Cr
khrr
q
rdr
dp
22
2
21we
e
rrkh
rqC
Separando variables e integrando (22)
r
drCdrr
khrr
qdp
we12
22
2
ln122
2
22CrC
r
khrr
qp
we
………………. (23)
Aplicando la C. F. (2) y sustituyendo 1
C :
2ln
22222
22
22Cr
rrkh
rqr
rrkh
qp w
we
ew
we
w
De donde:
2
ln
2
2
2
2
22
w
we
we
w
r
rr
rrkh
qpC
Sustituyendo 1
C y 2
C en (23)
2ln
2ln
222
22
2222
22
22
wwe
we
w
we
e
we
rrr
rrkh
qPr
rrkh
rqr
rrkh
qp
Finalmente:
2ln
2
22
2
22
we
w
e
we
w
rr
r
rr
rrkh
qpp
…………….. (24)
Cuando err ; epp
2ln
2
22
2
22
we
w
e
e
we
we
rr
r
rr
rrkh
qpp
2ln
2
22
2
22
we
w
e
e
wewe
rr
r
rr
pprrkhq
sí er wr 2
er 2
wr 02 wr
2ln
2
2
2
2
e
w
e
e
wee
r
r
rr
ppkhrq
Reduciendo:
2
1ln
2
w
e
we
r
r
ppkhq
……………………. (25)
D) FLUJO RADIAL TRANSITORIO Yacimiento infinito:
dt
dp
k
c
dr
dpr
rr
t
1
En este caso:
iablet
pvar
Condiciones Iniciales:
1) itr pp 0,
Condiciones de frontera
2) kh
q
rdr
dPr
w
2
, t 0
3) pip trr
),(lim
ECUACIÓN PARA FLUJO RADIAL
PSEUDOESTACIONARIO
Sí consideramos que el pozo se aproxima por una línea: Fronteras Impermeables q= cte q=cte
rw = 0 h
Fronteras yacimiento impermeables infinito Entonces la primera condición de frontera: 2ª)
r
Pr
r 0lim
kh
q
2 , t 0
Apoyándonos en la transformada de Boltzmann:
2
41
rc
tk
yt
tk
rcy t
4
2
r
y
tk
rc
r
y t 2
2
2
……………………. (26)
Sabemos que la ecuación de difusión:
t
p
k
c
r
p
r
p
r
t
2
21 ..……………….. (27)
1 2 3
rw
re
r
r
r
Necesitamos (1), (2) y (3) en términos de la transformada de Boltzmann: Para el término (1):
y
p
r
y
r
y
y
p
r
p
2 ...............(i)
y:
r
y
r
p
yr
p
rr
p
2
2
2
2
2
2
y
p
r
y
r
y
r
y
yy
p
r
y
r
y
y
p
yr
p
2
2
2
2
y
p
r
y
y
p
r
y
yr
y
r
p
2
2
2
2 222
y
p
r
y
y
p
r
y
yr
y
r
p
2
22
22
2 212
22
y
p
r
y
y
p
y
r
ry
rr
y
r
p
2
2
2
2
22
2 4
2
12
22
y
p
r
y
y
p
y
r
ry
rr
y
r
p
2
2
2
2
2
2 412
y
p
r
y
y
p
rr
y
r
p
por lo tanto:
2
2
2
2
22
2 42
y
p
r
y
y
p
r
y
r
p
…………….. (ii)
ahora:
kt
rc
ty
p
t
y
y
p
t
p t
4
2
y
P
kt
rc
t
P t
2
2
4
y
p
t
y
t
p
………………. (iii)
Sustituyendo (i), (ii) y (iii) en (27):
y
p
t
y
k
c
y
p
r
y
y
p
r
y
y
p
r
y
r
t
2
2
2
2
2
4221
y
p
t
y
r
ty
y
p
r
y
y
p
r
y
22
2
2
2
2
444
Reduciendo:
02
2
y
py
y
py
y
p
ó
012
2
dy
pdy
dy
dpy ……………. (28)
Ahora la condición de frontera:
)29(4
lim
2lim2
limlim
0
000
hk
q
y
py
y
py
y
p
r
yr
r
pr
y
yyr
Ahora:
)30(limlim iyr
ppp
Sí denotamos: 'pdy
dp entonces la ecuación (28):
0'
'1 dy
dpypy
Separando variables:
dyy
y
p
dp
1
'
'
Integrando:
ECUACUACION DE DIFUSIVIDAD EN TERMINOS DE LA VARIABLE DE
BOLTZMMAN
dyy
dydy
y
y
p
dp 1
'
'
Cyyp ln'ln
Aplicando antilogaritmo:
y
eCeeep
yCyy
1' ln
ó
yeCdy
dpy
1
Aplicando la 1ra condiciones de frontera:
hk
qCeC
y
py y
yy
411limlim
00
hk
qC
41 ....................(i)
De modo que: yehk
q
dy
dpy
4
Separando variables e integrando:
dyy
e
hk
qdp
y y
4
24
Cdyy
e
hk
qp
y
y
………(31)
Aplicando límites:
2
lim4
lim Cdyy
e
hk
qp
y
y
yy
cero
ipC 2
..........................(ii)
Sustituyendo en (31)
iy
y
pdyy
e
hk
qp
4
sí dyy
eyEi
y
y
Integral Exponencial
Entonces:
yEiAptrp i ,
Donde:
hk
qA
4
Sustituyendo y:
tk
rcEi
hk
qptrp t
i
44,
2
…….. (32)
Por definición de la integral exponencial
dxx
exE
x
x
i
Cuando: x 0 - Ei (- x)
Cuando: x - Ei (- x) 0 Cuando x <0.025 - Ei (-x) puede aproximarse -Ei (- x) = ln (1.781 x) ……………… (33)
De manera que:
-Ei (- x) = ln (1.781) + ln (x) ……………… (34)
Donde:
= 0.5772… ………… constante de Euler Cuando:
0.025 x 10.9 -Ei (-x) de tabla
x 10.9 -Ei (-x) = cero
x 0.025 -Ei (-x) con ecuación (33)
SOLUCION FUENTE LINEAL
Sustituyendo (34) en (32):
tk
rc
hk
qptrp t
i4
ln781.1ln4
,2
2ln4ln5772.0
4,
rc
tk
hk
qptrp
ti
80907.0ln
4,
2rc
kt
kh
qptrp
t
i
.................(35)
APROXIMACIÓN LOGARÍTMICA DE LA SOLUCION
FUENTE LINEAL