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Sistemas Automáticos
Universidad de Oviedo
12006
Realimentación
Tema 3
Sistemas Automáticos
Universidad de Oviedo
22006
Índice
• Ventajas• Inconvenientes• El regulador todo-nada• El regulador PID• Funciones de Sensibilidad
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Sistemas Automáticos
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32006
Lazo típico de realimentación
PLANTAo
PROCESOActuadorRegulador
Captador
Σ+
-
e(t) u(t) y(t)
w(t)
r(t)
pi(t)
Acciónde
controlReferencia
Perturbaciones
Señal deerror
Variablecontrolada
VariableRealimentada
Selectorde
Referencia
u(t)
Señal deMando
pi(t) Perturbaciones
pi(t)
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42006
Ventajas de la realimentación
• Rechazo de perturbaciones• Seguimiento de referencias• Sensibilidad a variaciones en parámetros• Linealización• Estabilización de sistemas inestables• Variación de la respuesta dinámica
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Sistemas Automáticos
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52006
Control en cadena abierta
y(t)
Tensiónde inducido
uii(t)
Velocidad
MotorReguladorReferencia
de velocidadr(t)
Seguimiento de referencias (c.a.)
∞∞∞∞ ==⋅= rrA
AuAy i
1
sVrad
A
seg
L
⋅=
=
≈
10
601
0
τ
1+⋅sA
τAKca
1=
srad
r 100=∞
srad
y 100=∞
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62006
K
1
Σ+
-
y(t)
Tensiónde inducido
ui(t)
Referenciade velocidad
r(t)
Señal deerrore(t)
Velocidad
VariableRealimentada
ycap(t)
Captador
MotorRegulador
Control en cadena cerrada
Seguimiento de referencias (c.c.)
∞∞ += r
AKAK
y1
1+⋅sA
τ
∞∞∞ =⋅+
⋅=
=
rry
K
101100
101011010
10s
radr 100=∞
srad
y 01.99=∞
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72006
y(t)
Tensiónde inducido
uii(t)
Velocidad
Σ
Motor
+
+
Regulador
Par de cargaw(t)
Referenciade velocidad
r(t)
Rechazo de perturbaciones (c.a.)
1+⋅sA
τAKca
1=
Control en cadena abierta
smNrad
B⋅⋅
= 50
srad
y 95)1.0(50100 =−⋅+=∞mNw ⋅−=∞ 1.0
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82006
K
1
Σ+
-
y(t)
Tensiónde inducido
ui(t)
Referenciade velocidad
r(t)
Señal deerrore(t)
Velocidad
VariableRealimentada
ycap(t)
Σ
Captador
Motor
Par de cargaw(t)
+
+
Regulador
Decrece conK elevada
Tiende a 1
Rechazo de perturbaciones (c.c.)
1+⋅sA
τ
Control en cadena cerrada
srad
y 96.980495.001.99)1.0(10101
50100
101011010 =−=−
⋅++
⋅+⋅=∞
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92006
Selector de referencia
K
1
Σ+
-
y(t)
Tensiónde inducido
ui(t)
Ref.r(t)
Señal deerrore(t)
Velocidad
VariableRealimentada
ycap(t)
Σ
Captador
Motor
Parw(t)
+
+
ReguladorSelector deReferencia
Decrece conK elevada
Ganancia1
1+⋅sA
τ
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102006
Cadena abiertaCambio en la ganancia del motor
y(t)ui(t)
Velocidad
MotorReguladorReferencia
de velocidadr(t)
1+⋅+s
AAτ
δ
Sensibilidad ante variaciones en los parámetros (c.a.)
caK
c.a. en sistema del estática Ganancia AKT caca =
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112006
Sensibilidad: Definición de H. W. Bode
Definición:
Puede calcularse para bucle abierto y bucle cerrado aplicando:
Variación relativa de y
Variación relativa de A
c.a. en sistema cualquier para cierto 1==
∂∂=
caca
TA
ca
caca
ca
KAK
AS
AA
AT
TA
TT
ca
δδ
Sistemas Automáticos
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122006
K
1
Σ+
-
y(t)
Tensiónde inducido
ui(t)
Referenciade velocidad
r(t)
Señal deerrore(t)
Velocidad
VariableRealimentada
ycap(t)
Σ
Captador
Motor
Parw(t)
+
+
Regulador
1+⋅+s
AAτ
δ
Sensibilidad ante variaciones en los parámetros (c.a.)
Cadena cerradaCambio en la ganancia del motor
KAKAKK
KAKAKKAK
KAKAA
S
AA
AT
TA
TT
ccTA
cc
cccc
cc
+=
+=
+−+
+
=
∂∂=
11
)1()1()1(
1
2
δδc.c. en sistema del estática Ganancia : ccT
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132006
Linealización por realimentación
• Sea f un función no lineal que modela un proceso P
• Sea C un controlador que consigue anular el error:
Entonces:
)(ufy =
01 ≈−= yk
re
rky ⋅≈
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142006
Ej: Amplificador de Black (1927)
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152006
Estabilización de sistemas inestables
Motor:SistemaInestable
Motor CC (sin realimentación)
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162006
Estabilización de sistemas inestables
Motor: SistemaEstabilizado
Motor CC (con realimentación)
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172006
K
1
Σ+
-
y(t)ui(t)r(t) e(t)
ycap(t)
Captador
MotorRegulador
K
ui(t)
MotorRegulador
Dinámica:τ1, τ2
No depende de K
Dinámica:τ∗
1, τ∗2
¡Depende de K!
Polos de la FDT del sistema realimentado:
Variación de la respuesta dinámica
Sistemas Automáticos
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182006
Σ+
-K
1FDT en bucle cerrado:
Variación de la respuesta dinámica
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192006
Σ+
-K
1
Variación de la respuesta dinámica
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202006
Inconvenientes de la realimentación
• Generación de posibles inestabilidades• Necesidad de sensores• Introducción de ruidos• Complejidad adicional
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212006
Variación diariamedia
10
Temperaturamedia exterior
Scope1
EncendidoCasa
Mdot*ha
Calefacción
Tin
Temperaturainterior/exterior
Mando
Control todo-nada
Cadena abierta
text cte
0 1 2 3 4 50
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Horas
Tem
pera
tura
inte
rior/
exte
rior
text variable
0 5 10 15 20 250
5
10
15
20
25
Horas
Tem
pera
tura
inte
rior/
exte
rior
Sistemas Automáticos
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222006
Termodinámica de la casa(Double click on the "?" for more info)
Variación diariamedia
Termostato
10
Temperaturamedia exterior
Scope
Double clickhere for
Simulink Help
?
20
ConsignaCasa
Mdot*ha
Calefacción
MandoTerr
Tin
Tin
Temperaturainterior/exterior
Control todo-nada
Cadena cerrada
0 5 10 15 20 250
5
10
15
20
Horas
Tem
pera
tura
inte
rior/
exte
rior
Parámetros de ajuste:• Acciones de control:
umax, umin• Histéresis
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Sistemas Automáticos
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232006
Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional (P)
e(t)
u(s) = Kp·e(s)e(t)
t
Kp
Propiedades• La acción de control es directamente
proporcional al error e(t) cometido• Esta acción surte efecto de forma
instantánea a la aparición del error• Reduce el error, tanto en seguimiento de
referencias como el originado por perturbaciones, pero no lo anula en régimen permanente
• Valores elevados de Kp originan menos error y respuestas más rápidas, aunque una acción P excesiva pueden producir respuestas sobreosciladas o incluso inestables
u(t) = Kp·e(t)
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242006
Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional-Integral (PI)
e(t)
u(s) = Ki·(1/s) e(s)e(t)
t
u(t)
Ki1/s
Propiedades• Se basa en la integral del error• Mientras el error persiste en régimen
permanente, la acción de control se incrementa (el integrador sigue integrando)
• En régimen permanente, el error se hace cero (si no, tendríamos un sistema inestable)
• La acción se basa en la “historia” del error, por tanto conlleva cierto retraso (no confundir con retraso puro)
• Este retraso origina dinámicas lentas, más oscilatorias y a veces inestabilidad
• La acción integral siempre suele ir acompañada de una acción proporcional (Kp) � ACCIÓN Proporcional-Integral (PI)
Kp
Ki1/s
+
+
e(s) u(s)
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252006
Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional-Diferencial (PD)
e(t)
Td
ê(t+T)u(s) = K·[e(s) + Td·s e(s)] = K(1+Tds)e(s)
parteproporcional
partediferencial
u(t) = K·ê(t+Td) = e(t) + Td·de/dt
parteproporcional
partediferencial
1
Tds
K
e(t)
t
Propiedades• Se basa en la predicción lineal del valor del
error dentro de Td segundos � es ANTICIPATIVA
• Esta predicción se basa en la pendiente del error (derivada)
• Su carácter anticipativo hace que, en general, mejore la dinámica de la respuesta
+
+
e(s) u(s)
u(t) = K·e(t+Td)
Sistemas Automáticos
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262006
Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional-Integral-Diferencial (PID)
Kp
Ki1/sK
Propiedades• Combina las tres acciones• Bien diseñado puede reunir las ventajas de
las tres• Las tres acciones básicas P, PI, PD, son
casos particulares de ésta• La gran mayoría de los reguladores
utilizados en la industria son PID’s
+
+
e(s) u(s)
Kds
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272006
C G Σ
Σ
Σr e u
do
y
n++
+
-
++Σ
di
++ x
referencia
pert.de carga
pert.de salida
salida
ruidode medida
controlador proceso
acc.de control
Funciones de sensibilidadBucle básico de control
Sistemas Automáticos
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282006
C G Σ
Σ
Σr e u
do
y
n++
+
-
++Σ
di
++ x
Funciones de sensibilidadBucle básico de control
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Sistemas Automáticos
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292006
sensibilidad
sensibilidad complementaria
sensibilidad de entrada
sensibilidad de control
Funciones de sensibilidad Las 4 funciones de sensibilidad
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302006
• El sistema realimentado está caracterizado por 4 funciones de transferencia (S, T, Su, Si)
• Estas 4 funciones condensan toda la información sobre la respuesta del sistema
• Sus propiedades pueden mostrarse mediante su respuesta frecuencial o mediante su respuesta temporal
Funciones de sensibilidad Observaciones
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312006
C G ΣΣr=0 e u
do
y+
-
++Σ
di
++ x
Rechazo a perturbacionesBucle abierto
Sistemas Automáticos
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322006
C G ΣΣr=0 e u
do
y+
-
++Σ
di
++ x
Rechazo a perturbacionesBucle abierto
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332006
C G ΣΣr=0 e u
do
y
+Σn=0+
+
-
++Σ
di
++ x
Rechazo a perturbacionesBucle cerrado
Sistemas Automáticos
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342006
C G ΣΣr=0 e u
do
y
+Σn=0+
+
-
++Σ
di
++ x
Rechazo a perturbacionesBucle cerrado
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352006
Rechazo a perturbacionesInterpretación de S(s)
Bucle abierto �
Bucle cerrado �
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362006
• La función de sensibilidad describe la atenuación en las perturbaciones que proporciona la realimentación
• La realimentación atenúa perturbaciones a frecuencias en las que |S(jw)|<1
• La realimentación amplifica perturbaciones a frecuencias en las que |S(jw)|>1
Rechazo a perturbacionesInterpretación de S(s)
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372006
wcs=0.86 rads/s
wms=1.36 rads/s
Rechazo a perturbacionesInterpretación de S(s). Regulador PI (kp=1, ki=0.3)
mejor queBA
peor queBA
atenúa perturbacioneslentas hasta unos 0.86 rads/s
bloquea las perturbacionesen continua (reg. perm)
se muestra especialmentesensible ante perturbacionesa ciertas frecuencias
Sistemas Automáticos
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382006
Rechazo a perturbacionesInterpretación de S(s)
S(s) describe cuánto atenúa la realimentación las perturbacionesen comparación con bucle abierto
informa también sobre:• Estabilidad relativa• Robustez• etc.
(a continuación...)
Puede también representarse en el tiempo
permite dar esa información en frecuencia (frecuencias vulnerables, frecuencias robustas ...)
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Sistemas Automáticos
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392006
Estabilidad y sensibilidad
Re
Im
-1+0j α1
α2
α
Los márgenes clásicos puedenestablecerse en términos de α1 y α2
αsustituyendo α1 y α2 por αse obtienen versiones conservadorasde los dos márgenes:
MF(º)
aMG = 1/a
La distancia del punto –1 al punto L(jw)es precisamente la inversa
del módulo de la sensibilidad
punto de distanciamínima :
Sistemas Automáticos
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402006
Estabilidad y sensibilidad
Visualizando la curva de sensibilidadpuede obtenerse información muy útilsobre la estabilidad
6.89 dB
wms = 0.9 rads/s
Re
Im
-1
Márgenes robustos:
wcs
wcs
α = α = α = α = 1/Ms wms
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Sistemas Automáticos
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412006
Ej: Colada continua
Sistemas Automáticos
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422006
Ej: Colada continua
K= 1 K= 5
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Sistemas Automáticos
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432006
C G Σ
Σ
Σr e u y
n++
+
-
++Σ
++ x
Controlador:
Proceso:
Ej: Análisis de las acciones P, PI, PD
Sistemas Automáticos
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442006
Ej: Análisis de las acciones P, PI, PD
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Sistemas Automáticos
Universidad de Oviedo
452006
Referencias
[Franklin02] Franklin, G.F. et al. Tema 4 de “Feedback Control ofDynamic Systems”, 4ª edición, Prentice-Hall, 2002.
[Asmur05] Astrom, K.J., Murray R.M. Tema 1 de “Feedback Systems”http://www.cds.caltech.edu/~murray/books/AM05/pdf/am05-intro_14jan06.pdf
[Astrom02] Astrom, K.J. Tema 5 de “Control System Design.Lecture Notes for ME 155A” http://www.cds.caltech.edu/~murray/courses/cds101/fa02/caltech/astrom-ch5.pdf