Objetivos Generales:
•Identificar las variables angulares que permiten caracterizar el movimiento de unsólido rígido.•Reconocer que clase de movimiento efectúa un cuerpo rígido, estimando ocalculando el valor de las magnitudes cinemáticas, dinámicas y energéticas(posición, desplazamiento, distancia recorrida, velocidad media e instantánea,aceleración media e instantánea, torque) para un instante dado o un intervalo detiempo.•Identificar el tipo de esfuerzo y deformación producidos en el sistema en estudio,definiendo los módulos correspondientes•Aplicar razonamientos y procedimientos matemáticos adecuados para deducir lasecuaciones que describen el movimiento en estudio.•Reconocer y distinguir las magnitudes escalares y vectoriales.
S
r
θ𝜃 =
𝑠
𝑟 𝑠 = 𝜃. 𝑟
𝜃 =2𝜋𝑟
𝑟= 2𝜋(𝑟𝑎𝑑) ≡ 360𝑜
1(𝑟𝑎𝑑) = 1(𝑟𝑎𝑑).360𝑜
2𝜋(𝑟𝑎𝑑)= 57, 3𝑜
Medición de ángulos
𝜃 =𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
Además del sistema sexagesimal, los ángulos se pueden medir, teniendo en cuenta el arco subtendido por el ángulo y el radio
VELOCIDAD ANGULAR MEDIA
𝜔𝑚 =Δ𝜃
Δ𝑡=𝜃 − 𝜃0𝑡 − 𝑡0 𝜔𝑚 =
Δ𝜃
Δ𝑡 𝜔𝑚 𝑆𝐼 =𝑟𝑎𝑑
𝑠
La velocidad angular media ωm es el cociente entre el desplazamiento angular y el tiempo
empleado en cubrir dicho desplazamiento
VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA
𝜔 = limΔ𝑡→0
Δ𝜃
Δ𝑡=𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝜔𝑚 =2𝜋
𝑇= 2𝜋𝑓
VECTOR VELOCIDAD ANGULAR
Cuando un cuerpo gira respecto de un eje fijo con velocidad angular constante, el tiempo que
emplea en dar una vuelta completa recibe el nombre de periodo (T)
Frecuencia (f) es el número de vueltas que un cuerpo gira respecto de un eje en la unidad de
tiempo
𝜔 =Δ𝜃
Δ𝑡=2𝜋
𝑇𝜔 = 2𝜋. 𝑓
𝑓 =1
𝑇 𝑓 =1
𝑇 𝑓 =1
𝑠ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧
ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA
𝛼𝑚 =Δ𝜔
Δ𝑡=𝜔 − 𝜔0
𝑡 − 𝑡0 𝛼𝑚 =Δ𝜔
Δ𝑡𝛼𝑚 𝑆𝐼 =
𝑟𝑎𝑑
𝑠2
ACELERACIÓN ANGULAR INSTANTÁNEA
𝛼 = limΔ𝑡→0
Δ𝜔
Δ𝑡=𝑑𝜔
𝑑𝑡𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝜃
𝑑𝑡=𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
VECTOR ACELERACIÓN ANGULAR
𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼𝑚 𝜃 − 𝜃0
Movimiento de rotación uniforme y uniformemente variado
𝛼𝑚 =𝜔 − 𝜔0
𝑡 − 𝑡0⇒ 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑚 𝑡 − 𝑡0
𝜔𝑚 =𝜔0 + 𝜔
2
𝜃 − 𝜃0 = 𝜔𝑚Δ𝑡 =𝜔0 +𝜔
2𝑡 − 𝑡0
𝜃 − 𝜃0 =𝜔0 + 𝜔0 + 𝛼𝑚(𝑡 − 𝑡0)
2𝑡 − 𝑡0
𝜃 − 𝜃0 = 𝜔0 +1
2𝛼𝑚(𝑡 − 𝑡0)
2
𝜔 = 𝜔0
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0 𝑡 − 𝑡0
Movimiento de Rotación Uniforme
Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del
espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las
distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante
SÓLIDO RÍGIDO
Matemáticamente, un sólido rígido se caracteriza
por ser un sistema de partículas tal que la
distancia entre cada par de partículas que lo
componen permanece constante en cada
momentoԦ𝑟𝐴 − Ԧ𝑟𝐵 = 𝐴𝐵
→
= 𝑐𝑡𝑒
RELACIÓN ENTRE LA CINEMÁTICA LINEAL Y LA CINEMÁTICA ANGULAR
𝜃 =𝑠
𝑟𝑠 = 𝜃. 𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑡→ 𝑣 = 𝑟𝜔
S
r
θ
𝑑𝑣
𝑑𝑡= 𝑟
𝑑𝜔
𝑑𝑡= 𝑟
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2𝑎𝑇 = 𝑟𝛼
•Todos los puntos del sólido describen el mismo ángulo, tienen la misma velocidad angular y la misma
aceleración angular.
•Dos puntos en el sólido describen diferentes arcos de circunferencia, tienen diferente velocidad (tangencial o
lineal) y diferente aceleración tangencial. Cuánto más alejado del eje de giro, mayor es el arco descrito, mayor es
la velocidad lineal y mayor, la aceleración tangencial y recíprocamente
RELACIÓN ENTRE LA CINEMÁTICA LINEAL Y LA CINEMÁTICA ANGULAR
𝑠 = 𝑟𝜃
𝑣 = 𝑟𝜔
𝑎𝑇 = 𝑟𝛼
𝑎𝑁 =𝑣2
𝑟= 𝜔2𝑟
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑇 𝑡 − 𝑡0
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 − 𝑡0 +1
2𝑎𝑇 𝑡 − 𝑡0
2
𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎𝑇 𝑠 − 𝑠0
Movimiento de traslación con
aceleración constante
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼 𝑡 − 𝑡0
𝜃 = 𝜃0 +𝜔0 𝑡 − 𝑡0 +1
2𝛼 𝑡 − 𝑡0
2
𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼 𝜃 − 𝜃0
Movimiento de rotación con
aceleración constante
PROBLEMA Nº1
Una hélice de avión gira a 1900
rpm (rev/min). a) Calcule su velocidad
angular en rad/s. b) ¿Cuántos segundos
tarda la hélice en girar 35°?
𝜔𝑚 =Δ𝜃
Δ𝑡⇒ Δ𝑡 =
Δ𝜃
𝜔𝑚
Solución: La frecuencia representa la cantidad de vueltas del la hélice por unidad de tiempo
𝜔𝑚 =Δ𝜃
Δ𝑡= 2. 𝜋. 𝑓
Δ𝑡 =35𝑜
𝜋180𝑜
1903
𝜋(𝑟𝑎𝑑)𝑠
= 0,0031𝑠
s
rad
s
rad
ms
rev )()(97,198
3
190
60
min1
min1900..2 ===
PROBLEMA Nº6 Si el engranaje izador A tiene una velocidad angular inicial de 8rad/s y una aceleración de
(–1,5)rad/s2, determinar la velocidad y la aceleración del bloque C cuando t = 2s, rA =
100mm, rB = 200mm y rC = 50mm.
B
A
rA
rB
rC
C
ωA
Solución: en este ejercicio, los tres cuerpos, engranaje A,
engranaje b y bloque C, están vinculados.
Un diente del engranaje A, tiene la misma rapidez y aceleración
lineal que un diente del engranaje B.
𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 (1)
𝜔𝐴𝑟𝐴 = 𝜔𝐵𝑟𝐵 (3)
𝑎𝐴 = 𝑎𝐵 (2)
𝛼𝐴𝑟𝐴 = 𝛼𝐵𝑟𝐵 (4)
𝜔𝐴 = 𝜔0𝐴 + 𝛼𝐴 𝑡 − 𝑡0 𝜔𝐴 = 8(𝑟𝑎𝑑)
𝑠+ (−1,5
(𝑟𝑎𝑑)
𝑠2) 2𝑠 − 0𝑠 = 5
(𝑟𝑎𝑑)
𝑠
Todos los puntos del engranaje B, giran con la misma velocidad angular pero diferente
velocidad tangencial. El bloque C, se mueve con la misma rapidez y aceleración lineal que
un punto interior del engranaje B ubicado a una distancia rC del centro del engranaje
𝑣𝐶 = 𝜔𝐵𝑟𝐶 (5) 𝑎𝐶 = 𝛼𝐵𝑟𝐶 (6)
De (3)y (5) 𝑣𝐶 = 𝜔𝐵𝑟𝐶 =𝜔𝐴𝑟𝐴𝑟𝐵
𝑟𝐶 𝑣𝐶 =5(𝑟𝑎𝑑)𝑠
0,1𝑚
0,2𝑚0,05𝑚 = 0,125
𝑚
𝑠
De (4)y (6) 𝑎𝐶 = 𝛼𝐵𝑟𝐶 =𝛼𝐴𝑟𝐴𝑟𝐵
𝑟𝐶 𝑎𝐶 =−1,5
(𝑟𝑎𝑑)𝑠
0,1𝑚
0,2𝑚0,05𝑚 = 0,0375
𝑚
𝑠2
ENERGÍA CINÉTICA EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL
m
r
Ԧ𝑣
𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2
𝐸𝑐 =1
2𝑚 𝑟𝜔 2
𝐸𝑐 =1
2(𝑚𝑟2)𝜔2
𝐸𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1
2𝑚1𝑟1
2𝜔2 +1
2𝑚2𝑟2
2𝜔2 +1
2𝑚3𝑟3
2𝜔2+. . . . . . . . . . . . . .1
2𝑚𝑛𝑟𝑛
2𝜔2
𝐸𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1
2(
𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2)𝜔2
𝐼 =
𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2 Momento de inercia de un sistema de partículas con
respecto de un eje de rotación
El momento de inercia I se relaciona con la distribución de masa del cuerpo alrededor de un eje de giro
𝐸𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1
2𝐼𝜔2
𝐼 =
𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 𝑚 𝑟 2 𝐼 𝑆𝐼 = 𝑘𝑔.𝑚2
m
Ԧ𝑣
Si se considera un grupo de partículas que rota respecto de un eje a una distancia r del eje de rotación y
moviéndose con rapidez v. La energía cinética del sistema de partículas es
El momento de inercia I es una medida de la inercia rotacional es decir, una medidade la resistencia de la partícula, sistema de partículas o cuerpo sólido a modificar el estado derotación del mismo respecto de un eje
Energía cinética de un sólido en rotación
La energía cinética de una partícula que se mueve por un camino circular con rapidez v, está dada por:
Recordando que 𝑣 = 𝑟𝜔
PROBLEMA Nº7
Cuatro esferas pequeñas, que pueden considerarse como puntos con masa
de 0,2 kg cada una, están dispuestas en un cuadrado de 0,4 m de lado,
conectadas por varillas muy ligeras. Calcule el momento de inercia del
sistema alrededor de un eje a) que pasa por el centro del cuadrado,
perpendicular a su plano (que pasa por O en la figura); b) que biseca el
cuadrado (pasa por la línea AB en la figura); c) que pasa por los centros de
las esferas superior izquierda e inferior derecha y por el punto O.
a) Para el caso de un eje que
pasa pos el centro del cuadrado
perpendicular al plano definido
por las 4 partículas el momento
de inercia es:
𝐼𝑧0 =
𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2
r𝑟 =
𝑎
2
2
+𝑎
2
2
=𝑎
2𝑟2 =
0,4𝑚
2
2
+0,4𝑚
2
2
= 0,08𝑚2
𝐼𝑧0 =
𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 4.𝑚. 𝑟2
𝐼𝑧0 == 4.0,2𝑘𝑔. 0,08𝑚2
𝐼𝑧0 = 0,064𝑘𝑔.𝑚2
𝐼𝐴𝐵 =
𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖′2
𝑟′2 =0,4𝑚
2
2
= 0,01𝑚2
𝐼𝐴𝐵 =
𝑖
𝑚𝑖𝑟′𝑖2 = 4.𝑚. 𝑟′2
𝐼𝐴𝐵 = 4.0,2𝑘𝑔. 0,01𝑚2
𝐼𝐴𝐵 = 0,008𝑘𝑔.𝑚2𝑟′ =
𝑎
2
b) Para este caso de un eje que
pasa por el centro del cuadrado
que pasa por los puntos A y B
c) En este caso el eje de
rotación pasa por la diagonal
definida por 2 de las masas. Por
lo tanto al momento de inercia
contribuyen las otras 2
𝐼𝐷 =
𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2
𝑟 =𝑎
2
2
+𝑎
2
2
=𝑎
2𝑟2 =
0,4𝑚
2
2
+0,4𝑚
2
2
= 0,08𝑚2
𝐼𝑧0 =
𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 2.𝑚. 𝑟2
𝐼𝑧0 == 2.0,2𝑘𝑔. 0,08𝑚2
𝐼𝑧0 = 0,032𝑘𝑔.𝑚2
Un cuerpo sólido se puede considerar como un sistema de infinitas partículas. Cada una de ellas contribuye al momento de Inercia con una momento 𝑑𝐼
dI= 𝑟2𝑑𝑚
I= 0𝑀𝑟2𝑑𝑚Por tanto si se extiende a las infinitas partículas la inercia rotacional es
Momentos de inercia para diferentes cuerpos
PROBLEMA Nº8
Calcular el momento de inercia de una barra uniforme de 2m de longitud y
3kg de masa: a) respecto a un eje perpendicular a la misma, que pase por su extremo; b)
respecto a un eje paralelo al anterior que pase por su centro de masas de la barra, c)
calcular el radio de giro en ambos casos.
z
x
dm y
yo
Radio de giro (κo) 𝜅0 =𝐼𝐶𝑀𝑀
ICM : momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de masa del cuerpoM: masa del cuerpo
𝐼𝐶𝑀 = 𝑀𝜅02
a) Considero un elemento diferencial de masa dm
ubicado a una distancia y del eje z que pasa por O
𝑑𝐼𝐶𝑀 = 𝑦2𝑑𝑚 = 𝑦2𝜆𝑑𝑥
𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑦𝜆 =𝑑𝑚
𝑑𝑦=𝑀
𝐿
𝑑𝐼𝐶𝑉 = 𝑦2𝑑𝑚 = 𝑦2𝜆𝑑𝑦
𝐼𝐶𝑀 = න−𝐿/2
𝐿/2
𝑦2𝜆𝑑𝑦 = 𝜆𝑦3
3−𝐿/2
𝐿/2
=𝜆𝐿3
12
𝐼0 =𝜆𝐿3
12=𝑀𝐿3
𝐿12=
1
12𝑀𝐿2
𝐼0 =1
123𝑘𝑔(2𝑚)2 = 1𝑘𝑔.𝑚2
b) Considero un elemento diferencial de
masa dm ubicado a una distancia y del
eje z’ que pasa por el centro de la barra
homogénea
z’
𝜅0 =𝐼𝐶𝑀𝑀
𝜅0 =𝑀𝐿2
12𝑀=
𝐿
12
𝜅0 = 0,577𝑚
c) El radio de giro es
Radio de giro es la distancia del eje de rotación al punto donde debo colocar una masa puntualigual a la masa del cuerpo extenso para que tenga la misma inercia rotacional que el cuerpoextenso.