PROF: OSCAR HUAMAN MITMA
INDICADORES DEL TEMA: PROPUESTO EN EL PROYECTO DE APRENDIZAJE
RELACIONES MÉTRICAS1.-IDENTIFICAR LOS TEOREMAS QUE SE
CUMPLEN CON LAS RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
2.-APLICAR LOS TEOREMAS DE RELACIONES MÉTRICAS EN EJERCICIOS VARIADOS.
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CATETO bCATETO a
C Hipotenusa
m Proyecciones n Proyecciones
h Altura relativa
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RELACIONES METRICAS EN UN
TRIANGULOSON LAS PRINCIPALES
RELACIONES QUE SE DAN ENTRE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS, ALTURA Y PROYECCIONES EN UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
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TEOREMA 1• EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EL CUADRADO DE UN CATETO ES IGUAL AL PRODUCTO DE SU PROYECCIÓN POR LA HIPOTENUSA
a b
m nc
a2= m.c
b2= n.ch
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PRIMER EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 1
• Hallar el valor de la longitud del cateto mayor “a” si su proyección mide 3m y la hipotenusa mide 12m
a
312
a2= 3. 12
a2
= 36a = 6
h
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SEGUNDO EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 1
• Hallar el valor de la longitud del cateto menor “b” si su proyección mide 4m y la hipotenusa mide 16m
b
416
b 2= 4. 16
b2
= 64b = 8
h
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TEOREMA 2: PITAGORAS
• EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO LA HIPOTENUSA AL CUADRADO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS
a b
cc
2= a b
2+
2h
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PRIMER EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 2
• Determinar el valor de la hipotenusa, en un triángulo rectángulo cuyo cateto menor mide 3m y el cateto mayor mide 4m
4 3
c
c2
= 4 32
+2
c2
= 16 + 9c 2
= 25c = 5
h
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SEGUNDO EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 2
• Determinar el valor del cateto menor de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 25m y su cateto mayor mide 24m
24 b
25
252
= 24 b2
+2
625 - 576 = b2
49 = b7 = b
2
h
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TEOREMA 3• EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO EL
CUADRADO DE LA ALTURA RELATIVA A LA HIPOTENUSA ES IGUAL AL PRODUCTO DE LAS PROYECCIONES DE LOS CATETOS SOBRE LA MISMA
hm n
h2
= m. n
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EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 3
• Calcular la altura relativa a la hipotenusa si la proyección del cateto mayor es 12m y del cateto menor es 3m
h12 3
h2
= 4 . 3
h2
= 36
h = 6
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TEOREMA 4• EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO EL
PRODUCTO DE CATETOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LA HIPOTENUSA POR LA ALTURA RELATIVA
a bh
c
a . b = c .h
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EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 4
• Hallar la altura de un triángulo rectángulo si sus catetos miden 3m y 4m respectivamente y su hipotenusa mide 5m
4 3h
5
4 . 3 = 5 . h125
= h
2,4 = h
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TEOREMA 5• EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO LA
SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS ES IGUAL A LA INVERSA DEL CUADRADO DE LA ALTURA RELATIVA A LA HIPOTENUSA
a bh
1
a 2+
1
b2
=1
h2
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TRIADAS PITAGORICAS
• Los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo aceptan valores enteros, estos se llaman triadas pitagóricas
CATETO CATETO HIPOTENUSA3 4 55 12 137 24 258 15 17
20 21 299 40 41
11 60 6113 84 8528 45 53
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RELACIONES METRICAS EN UN TRIANGULO OBLICUÁNGULO
• Un triángulo oblicuángulo puede ser: acutángulo, si sus ángulos miden menos de noventa grados y obtusángulo si uno de sus ángulos mide más de noventa grados
Triángulo acutángulo Triángulo obtusánguloA C
B
B
C
A
A,B,C = 90° B > 90°
h h
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TEOREMA DE EUCLIDES (1)
• En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel
c2 = a2 + b2 - 2bma
b
c
m
h
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EJEMPLO• Calcular la medida de uno de los lados de un
triángulo acuángulo sabiendo que los otros dos miden 7m y 4m respectivamente y la proyección de uno de ellos sobre el otro es de 2m.
c2 = a2 + b2 - 2bm7
4
c
2
c2 = 72 + 42 - 2(4)(2)c2 = 49 + 16 - 16C = 7
h
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TEOREMA DE EUCLIDES (2)
• En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel.
b
ca
m
c2 = a2 + b2 + 2bm h
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EJEMPLO• Calcular el valor del lado que se opone al ángulo
obtuso de un triángulo obtusángulo de lados 3m y 4m y la proyección del lado menor sobre el mayor es 2m
4
c3
2
c2 = a2 + b2 + 2bmc2 = 32 + 42 + 2(4)(2)c2 = 9 + 16 + 16c2 = 41c = 41
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TEOREMA DE LA MEDIANA
• En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados laterales a una mediana es igual al doble del cuadrado de la mediana más la mitad del cuadrado del lado donde cae la mediana.
a2 + b2 = 2mc2 + c2/2
a
c
bmc
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EJEMPLO• Calcular la mediana de un triángulo cuyos
lados son 7m, 9m y 10m respectivamentea2 + b2 = 2mc
2 + c2/2
7
10
9mc
49 + 81 = 2mc2 + 100/2
130-50 = 2mc2
80 = 2mc2
40 = mc2
2 10 = mc
72 + 92 = 2mc2 + 102/2
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AUTOEVALUACION• ¡ A U T O E V A L U A R T E ¡
. . E S S E R R E A L I S T A C O N
E L C O N O C I M I E N T O Q U E
H A S A D Q U I R I D O
• ¡ A U T O E V A L U A R T E ¡ . . E S S E R R E A L I S T A
C O N E L C O N O C I M I E N T O
Q U E H A S A D Q U I R I D O
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PREGUNTA 1• En la siguiente figura, calcular el valor de
“x”
x
412
a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) 5
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PREGUNTA 2• En el siguiente triángulo; calcular el valor de “x”
x512
a)60/13 b)6/13 C)13/6 d)13 e) 60
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PREGUNTA 3• Calcular “y” en el siguiente triángulo rectángulo
4 3
5
a)2,3 b)3,2 C)2,4 d)4,2 e)6
y
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PREGUNTA 4•Calcular la medida de “y”
a)5cm
x
5 cm
9 cm
y
b)3cm c)4cm d)5,6cm e)2cm
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PREGUNTA 5• Se tiene un rectángulo ABCD. Sobre
el lado CD se toma el punto P, tal que PA = 15cm, PB = 13cm, PC = 5cm. Hallar PD
a)5cm b)3cm C)4cm d)6cm e)9cm
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PREGUNTA 6• Los catetos de un triángulo
rectángulo ABC, miden AB = 8cm y BC = 15cm. ¿Cuánto mide el lado que falta?
a)12 b)15 C)14 d)17 e)16
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PREGUNTA 7• Calcular el valor de “x” en el siguiente
triángulo oblicuángulo
6
5
7
x
a)1,2 b)1,5
c)1,4 d)1,6
e)1,3
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PREGUNTA 8• En el siguiente triángulo oblicuángulo,
determina el valor de “x”
x
4
5
2
a) 12 b) 15
c) 13 d) 14
e) 17
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PREGUNTA 9• Hallar el valor de “x” en el siguiente triángulo
3
10
8
x
a) 46 / 2
b) 23
c) 46 / 3 d) 46
e) 2 / 46
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PREGUNTA 10• Determinar el valor de “x” en la siguiente
triángulo acutángulo
5
107
x
a) 4,6 b) 2,3
c) 2,6 d) 3,4
e) 4,3
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EXCELENTE• ¡ BUEN TRABAJO !
AHORA TIENES COMO TAREA ENCARGADA, ¿Cuál es el concepto de relaciones métricas?, CREAR 5 PROBLEMAS Y RESOLVERLOS
¡ ES UN GUSTO VOLVER A FELICITARTE ¡