Resistencia de Materiales
POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS.MÉTODOS ENERGÉTICOS
• El principio de los trabajos virtuales aplicado a la determinación de desplazamientos
• El principio de los trabajos virtuales aplicado a la determinación de incógnitas hiperestáticas.
Métodos Energéticos
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C . Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materia les. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spai n
TRABAJO EXTERNO (caso más general)
i i L S vi L S V
1W = F· + F · d L+ F · dS+ F · dV
2δ δ δ δ
∑ ∫ ∫ ∫
� � � �� � � �
Cargaspuntuales
Cargaslineales
Cargassuperficiales
Cargasvolumétricas
( )ij ij xx xx yy yy zz zz xy xy xz xz yz yz
1 1U =
2 2σ ε σ ε σ ε σ ε σ γ σ γ σ γ= + + + + +
ENERGÍA UNITARIA DE DEFORMACIÓN
p ij ij
V V
1E UdV = dV
2σ ε= ∫ ∫ ENERGÍA POTENCIAL
Integrando en el volumen
Energía potencialen la barra prismática
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Axil Flexión Torsión (C)
---
---
---
---
z
z
My
I
ENERGÍA POTENCIAL DE LA BARRA PRISMÁTICA
x
p
Tr
I
y
y
Mz
I
z y
y
V S (z)
b(z) I
N
A
y z
z
V S (y)
b(y) I
iiσ
i jσ
z
z
My
E I
x
p
Tr
G I
y
y
Mz
E I
z y
y
V S (z)
G b(z) I
N
A E
y z
z
V S (y)
G b(y) I
iiε
i jγ
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Tipo de esfuerzo
Energía de deformación
Axil N A: SecciónE: Módulo de Young
Cortante V A’: sección reducidaG: Módulo de cizalladura
Flector M I: momento de inerciaE: módulo de Young
Torsor Mt C: rigidez torsional
Energía Potencial Elástica de una barra prismática
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Energía Potencial (×2)
Axil
Flector
Cortante
Torsión (C)
ENERGÍA POTENCIAL DE LA BARRA PRISMÁTICA
L
xx xx
V
2
0
L
0
N NdV = dA
Ndx =
A Ad
EEx
AA
σ ε∫ ∫ ∫ ∫
L L22z z z
xx xx 2z z zV 0 0
2z
0
L
z0
M M MdV y ydAdx = dx y dA =
I EI E II
Mdx
EA
σ ε =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
y
22z y z
i jz 00
z2i j
z
V S (y) V S (y)
b
V S (y)
GI b(y(y) I G b(y) )I
L
V A
Ly
z A
dV dAd dx dx Aσ γ
=
= ∫∫ ∫ ∫ ∫
2x
p0
22x x x
i j i j 2p p p0 0
T T Tr r dx
I G I I
Tdx
G IG
L L
V A
L
A
dV dAdx r dAσ γ = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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El teorema delos trabajos virtuales
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qx(x)
qy(x)
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x x+dx
qx(x)
qy(x)
Vy(x+dx)
Vy(x) Mz(x+dx)Mz(x)
Nx(x+dx)Nx(x)
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qx(x)
qy(x)
Vy(x+dx)
Mz(x+dx)Vy(x)Mz(x)
x
dN(x)= -q (x)
dx
yF 0=∑y
y
d V (x)= -q (x)
dxz
y
d M (x)= V (x)
dx
zM 0=∑
Nx(x+dx)Nx(x)
xF 0=∑
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xF 0=∑
x
dN(x)= -q (x)
dx
L L
x
0 0
dN(x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
A
(x)f
qx(x)
Nx(x+dx)Nx(x)
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]L L
L
00 0
dN(x) d (x)(x)dx = N(x) (x) N(x) dx
dx dx
ff f −∫ ∫
xF 0=∑
x
dN(x)= -q (x)
dx
Integrandopor partes
L L
x
0 0
dN(x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
A
(x)f
qx(x)
Nx(x+dx)Nx(x)
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]L L
L
00 0
dN(x) d (x)(x)dx = N(x) (x) N(x) dx
dx dx
ff f −∫ ∫
(x) (x)xf u=
xF 0=∑
x
dN(x)= -q (x)
dx
Integrandopor partes
Sin pérdida de generalidadtomemos como función f(x)
el campo de desplazamientoscompatible con las deformaciones
producidas por un axil CUALQUIERA
x
d (x) ( ) ( )(x)
dxx xu x N x
E AE
σε= = =
L L
x
0 0
dN(x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
A
(x)f
qx(x)
Nx(x+dx)Nx(x)
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]L L
L
00 0
dN(x) d (x)(x)dx = N(x) (x) N(x) dx
dx dx
ff f −∫ ∫
xF 0=∑
x
dN(x)= -q (x)
dx
Integrandopor partes
L L
0 0
dN(x) N(x) N(x)u(x)dx = N(L) u(L) N(0) u(0) dx
dx EA− −∫ ∫
L L
x
0 0
dN(x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
A
(x)f
qx(x)
Nx(x+dx)Nx(x)
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]L L
L
00 0
dN(x) d (x)(x)dx = N(x) (x) N(x) dx
dx dx
ff f −∫ ∫
xF 0=∑
x
dN(x)= -q (x)
dx
Integrandopor partes
L L
0 0
dN(x) N(x) N(x)u(x)dx = N(L) u(L) N(0) u(0) dx
dx EA− −∫ ∫
L L
x
0 0
dN(x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
A
(x)f
xF (L)
xF (0)
qx(x)
Nx(x+dx)Nx(x)
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]L L
L
00 0
dN(x) d (x)(x)dx = N(x) (x) N(x) dx
dx dx
ff f −∫ ∫
xF 0=∑
x
dN(x)= -q (x)
dx
Integrandopor partes
L L
0 0
dN(x) N(x) N(x)u(x)dx = N(L) u(L) N(0) u(0) dx
dx EA− −∫ ∫
L L
x
0 0
N(x) N(x)q (x) u(x)dx + F(L) u(L) + F(0) u(0) = dx
EA∫ ∫
xF (L)
xF (0)
L L
x
0 0
dN(x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
A
(x)f
qx(x)
Nx(x+dx)Nx(x)
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L L
x
0 0
N(x) N(x)q (x) u(x)dx + F(L) u(L) + F(0) u(0) = dx
EA∫ ∫
Trabajo VIRTUAL externo
Trabajo VIRTUALinterno
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=
L L
x
0 0
N(x) N(x)q (x) u(x)dx + F(L) u(L) + F(0) u(0) = dx
EA∫ ∫
Trabajo VIRTUAL externo
Trabajo VIRTUALinterno
L
x
0
q (x)u(x)dx + F(L)u(L) + F(0)u(0)∫
Principio de reciprocidad
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Y, EN GENERAL
L L I III II I II I IIx
0 0
N (x) N (x)q (x)u (x)dx + F (L)u (L) + F (0)u (0) = dx
EA∫ ∫
Con la única condiciónde que uno de los estados sea un estado en equilibrio
y el otro un estado compatible
=
L L
x
0 0
N(x) N(x)q (x) u(x)dx + F(L) u(L) + F(0) u(0) = dx
EA∫ ∫
Trabajo VIRTUAL externo
Trabajo VIRTUALinterno
L
x
0
q (x)u(x)dx + F(L)u(L) + F(0)u(0)∫
Principio de reciprocidad
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yF 0=∑
yy
d V (x)= -q (x)
dx
zy
d M (x)= V (x)
dx
zM 0=∑
qy(x)
Vy(x+dx)
Mz(x+dx)Vy(x)
Mz(x)
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yF 0=∑
yy
d V (x)= -q (x)
dx
L Ly
y
0 0
d V (x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
A
(x)f
L LLy
y y00 0
d V (x) d (x)(x)dx = V (x) (x) V (x) dx
dx dx
ff f −∫ ∫
L Lz
y
0 0
d (x) d M (x) d (x)V (x) dx dx
dx dx dx
f f=∫ ∫
Integrando por partes
zy
d M (x)= V (x)
dx
Integrando por partes
qy(x)
Vy(x+dx)
Mz(x+dx)Vy(x)
Mz(x)
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LL L 2z
z z 200 0
d M (x) d (x) d (x) d (x)dx M (x) M (x) dx
dx dx dx dx
f f f= −∫ ∫
LL L 2L
y y z z 2000 0
d (x) d (x)- q (x) (x)dx = V (x) (x) M (x) M (x) dx
dx dx
f ff f − +
∫ ∫
Integrando por partes
L Ly
y
0 0
d V (x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
Finalmente la expresión inicial
queda como
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Si tomamos como función f(x)el campo de desplazamientos transversales compatible
con las deformaciones producidas por un flector/cortane CUALQUIERA
(x) y (x)xf = z
d (x)(x)
dx
f θ=2
z2
z
d (x) M
dx EI
f =
LL L 2L
y y z z 2000 0
d (x) d (x)- q (x) (x)dx = V (x) (x) M (x) M (x) dx
dx dx
f ff f − +
∫ ∫
Lz z
z
0
M (x) M (x)M (0) (0) dxz
zEIθ+ + ∫
L
y y y z
0
- q (x) y(x)dx = V (L) y(L) V (0) y(0) M (L) (L)zθ− −∫
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Lz z
zz0
M (x) M (x)M (0) (0) dx
EIzθ+ + ∫
L
y y y z
0
- q (x) y(x)dx = V (L) y(L) V (0) y(0) M (L) (L)zθ− − +∫
yF (L)
yF (0)
zm (0)
zm (L)
L
y y y
0
- q (x) y(x)dx = F (L) y(L) F (0) y(0)− − −∫L
z zz z
z0
M (x) M (x)m (L) (L) m (0) (0) dx
EIz zθ θ− + ∫
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yF (L)
yF (0)
zm (0)
zm (L)
L Lz z
y y y z zz0 0
M (x) M (x)- q (x) y(x)dx F (L) y(L) F (0) y(0) m (L) (L) m (0) (0) dx
EIz zθ θ+ + + + = =∫ ∫
L
y y y z z
0
- q (x) y(x)dx F (L) y(L) F (0) y(0) m (L) (L) m (0) (0)z zθ θ= + + + +∫T. reciprocidad
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EN GENERAL,CONSIDERANDO TODOS LOS ESFUERZOS POSIBLES
( )
L L LI II I II I IIx y z
barras 0 0 0
I I I I I I I I I I II I II I IIx x y y z z x x y y z z
nudos
q (x)u (x)dx - q (x) y (x)dx q (x) z (x)dx
F u F u F u m m mθ θ θ
+ +
+ + + + + + =
∑ ∫ ∫ ∫
∑
Trabajo VIRTUAL externo
TrabajoVIRTUALinterno
I I IL LI IIy y
barras y0 0
L LI II I I Iz z x x
z0 0
M (x)M (x)N (x) N (x)= dx dx
EA EI
M (x) M (x) M (x)M (x)dx dx
EI G J
+ +
+
∑ ∫ ∫
∫ ∫
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EN GENERAL,CONSIDERANDO TODOS LOS ESFUERZOS POSIBLES
Trabajo VIRTUAL externo
( )L
I II I II I II
barras nudos0
q (x) (x)dx F u mδ θ
+ + =
∑ ∑∫� ��
� ��
TrabajoVIRTUALinterno
I I IL LI IIy y
barras y0 0
L LI II I I Iz z x x
z0 0
M (x)M (x)N (x) N (x)= dx dx
EA EI
M (x) M (x) M (x)M (x)dx dx
EI G J
+ +
+
∑ ∫ ∫
∫ ∫
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El estado de desplazamientos - II-no es el provocado por el estado de cargas - I-
EN GENERAL,CONSIDERANDO TODOS LOS ESFUERZOS POSIBLES
Trabajo VIRTUAL externo
( )L
I II I II I II
barras nudos0
q (x) (x)dx F u mδ θ
+ + =
∑ ∑∫� ��
� ��
TrabajoVIRTUALinterno
I I IL LI IIy y
barras y0 0
L LI II I I Iz z x x
z0 0
M (x)M (x)N (x) N (x)= dx dx
EA EI
M (x) M (x) M (x)M (x)dx dx
EI G J
+ +
+
∑ ∫ ∫
∫ ∫
¿VIRTUAL?
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El estado de desplazamientos - II-no es el provocado por el estado de cargas - I-
EN GENERAL,CONSIDERANDO TODOS LOS ESFUERZOS POSIBLES
Trabajo VIRTUAL externo
( )L
I II I II I II
barras nudos0
q (x) (x)dx F u mδ θ
+ + =
∑ ∑∫� ��
� ��
TrabajoVIRTUALinterno
I I IL LI IIy y
barras y0 0
L LI II I I Iz z x x
z0 0
M (x)M (x)N (x) N (x)= dx dx
EA EI
M (x) M (x) M (x)M (x)dx dx
EI G J
+ +
+
∑ ∫ ∫
∫ ∫
¿VIRTUAL?
El estado de desplazamientos - II- es un estadoCOMPATIBLE CON LOS VÍNCULOS
El estado de cargas - I-es un estado DE EQUILIBRIO
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Aplicación del TTVal cálculo de
desplazamientos
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x
y
zM (x)
Supongamos conocidos los esfuerzos de este problema
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A
x
y
zM (x)A z A¿ y(x ), (x )?θ
Supongamos conocidos los esfuerzos de este problema
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A z A¿ y(x ), (x )?θA
Opción 1 Opción 2
2z
2z
d y(x) M (x)=
dx EI( )
L I III I I I II z z
z0
M (x)M (x)F u m dx
EIθ+ =∑ ∫��
��
Supongamos conocidos los esfuerzos de este problema
Ecuación de la elástica Métodos energéticos
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A z A¿ y(x ), (x )?θ A
Estado II
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
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A z A¿ y(x ), (x )?θ A
A
Estado I
Estado II
1
x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
( )L I II
I I I I II z z
z0
M (x)M (x)F u m dx
EIθ+ =∑ ∫��
��
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A z A¿ y(x ), (x )?θ A
Estado II
L I IIz z
Az0
M (x)M (x)R ·0 1y(x ) dx
EIii
− =∑ ∫
A
Estado I1
x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
( )L I II
I I I I II z z
z0
M (x)M (x)F u m dx
EIθ+ =∑ ∫��
��
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A z A¿ y(x ), (x )?θ A
Estado II
L I IIz z
Az0
M (x)M (x)R ·0 1y(x ) dx
EIii
− =∑ ∫
A
Estado I1
x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
( )L I II
I I I I II z z
z0
M (x)M (x)F u m dx
EIθ+ =∑ ∫��
��
Métodos Energéticos
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C . Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materia les. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spai n
A z A¿ y(x ), (x )?θ A
Estado II
L I IIz z
Az0
M (x)M (x)1y(x ) dx
EI− = ∫
?¿Resolución de
problema hiperestático?
A
Estado I1
x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
( )L I II
I I I I II z z
z0
M (x)M (x)F u m dx
EIθ+ =∑ ∫��
��
Métodos Energéticos
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A z A¿ y(x ), (x )?θ A
Estado II
¿Resolución deproblema hiperestático? !!!!!!NO
L I IIz z
Az0
M (x)M (x)1y(x ) dx
EI− = ∫
?
A
Estado I1
x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
( )L I II
I I I I II z z
z0
M (x)M (x)F u m dx
EIθ+ =∑ ∫��
��
Métodos Energéticos
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L I IIz z
Az0
M (x)M (x)1y(x ) dx
EI− = ∫
Buscamos una situaciónde equilibrio contenida en el
sistema hiperestático
AEstado I1
x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
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L I IIz z
Az0
M (x)M (x)1y(x ) dx
EI− = ∫
Buscamos una situaciónde equilibrio contenida en el
sistema hiperestático
AEstado I1
x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
Métodos Energéticos
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L I IIz z
Az0
M (x)M (x)1y(x ) dx
EI− = ∫
Buscamos una situaciónde equilibrio contenida en el
sistema hiperestático
AEstado I1
x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
Métodos Energéticos
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AEstado I1
x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
x
y
L I IIz z
Az0
M (x)M (x)1y(x ) dx
EI− = ∫
IzM (x)
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AEstado I1
x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTO
x
y
I IzM (x)
L I IIz z
Az0
M (x)M (x)1y(x ) dx
EI− = ∫
x
y
IzM (x)
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A
Estado I
x
y
( )L I II
I I I I II z z
z0
M (x)M (x)F u m dx
EIθ+ =∑ ∫��
�� Aplicación del TTVCÁLCULO DE GIRO
Métodos Energéticos
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A
Estado I
1x
Aplicación del TTVCÁLCULO DE GIRO
L I III I z zz
z0
M (x)M (x)1 dx
EIθ = ∫
y
( )L I II
I I I I II z z
z0
M (x)M (x)F u m dx
EIθ+ =∑ ∫��
��
Métodos Energéticos
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A
Estado I
1x
y
Aplicación del TTVCÁLCULO DE GIRO
L I III I z zz
z0
M (x)M (x)1 dx
EIθ = ∫
x
y
I IzM (x)
x
y
IzM (x)
Métodos Energéticos
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?
Aplicación del TTVal cálculo de
incógnitas hiperestáticas
¿
Métodos Energéticos
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¿ ?
Aplicación del TTV al cálculo de incógnitas hiperestáticasq
Métodos Energéticos
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¿ ?
Aplicación del TTV al cálculo de incógnitas hiperestáticas
R1y
m
R2y
q
Métodos Energéticos
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¿ ?
Aplicación del TTV al cálculo de incógnitas hiperestáticas
q
R1y
m
R2y
q
m
=x
y
z (x 0)θ =
Métodos Energéticos
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Aplicación del TTV al cálculo de incógnitas hiperestáticas
q
x
y
m
Métodos Energéticos
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Aplicación del TTV al cálculo de incógnitas hiperestáticas
q
x
y
m
x
y
m
1+
*
q
x
y
=
Métodos Energéticos
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Aplicación del TTV al cálculo de incógnitas hiperestáticasq
x
y
=m
1+
*
q
x
y
Problema 0
x
y
Problema I
Métodos Energéticos
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Aplicación del TTV al cálculo de incógnitas hiperestáticasq
x
y
=m
1+
*
q
x
y
original 0 IE = E + m E
Problema 0
x
y
Problema I
Métodos Energéticos
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Aplicación del TTV al cálculo de incógnitas hiperestáticas
x
y
1
Problema I
( )L I II
I I I I II z z
z0
M (x)M (x)F u m dx
EIθ+ =∑ ∫��
��
q
x
y
Problema II
( )I 0 ILz z zoriginal
z0
M (x) M (x) mM (x)1 dx
EIzθ+
= ∫
( )2IL LI 0zz z
z z0 0
M (x)M (x)M (x)dx m dx 0
EI EI+ =∫ ∫
Problema Original
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Otro ejemplo
qP
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qP
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qP
1
1
Problema 0
Problema I
Problema II
qP
=
X
+
*
+Y
*
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qP
1
Problema 0
Problema I
Problema II
original 0 I IIE = E + X E + Y E
1
X
*
Y
*
Métodos Energéticos
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1
Problema I
Problema II
original 0 I IIE = E + X E + Y E
( )
( )
I 0 I IILz z z z
z0
II 0 I IILz z z z
z0
M (x) M (x) X M (x) Y M (x)0 dx
EI
M (x) M (x) X M (x) Y M (x)0 dx
EI
+ +=
+ +=
∫
∫
TTV I/Original
TTV II/Original
1
Métodos Energéticos
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Aplicación del PTV a sistemas internamente HIPEREST ÁTICOS.
F
F/2F/2
Grado dehiperestaticidad 3
¿ ��, �� , �� ?
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Aplicación del PTV a sistemas internamente HIPEREST ÁTICOS.
F
F/2F/2
F
Grado dehiperestaticidad 3
��, �� , ��
≡
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Aplicación del PTV a sistemas internamente HIPEREST ÁTICOS.
F����� ����
1
1
��1
��
≡ �Problema 0
Problema I
Problema II
Problema III
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Aplicación del PTV a sistemas internamente HIPEREST ÁTICOS.
0 ��� ������ ��� � � ����� � � ��������� � ���������� ��� ������ �
�� ������ ��� � � ����� � � ��������� � ���������� ��� �����
�
0 ��� ������� ��� � � ����� � � ��������� � ���������� ��� ������ �
�� ������� ��� � � ����� � � ��������� � ���������� ��� �����
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0 ��� �������� ��� � � ����� � � ��������� � ���������� ��� ������ �
�� �������� ��� � � ����� � � ��������� � ���������� ��� �����
�
TTV I/Original
TTV II/Original
TTV III/Original