RESOLVER TRIÁNGULOS USANDO LAS FUNCIONES SENO Y COSENO
UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS
G.FG.11.5.1J. Pomales / febrero 2010
¿QUÉ ES TRIGONOMETRÍA?
• Significado etimológico:– “la medición de los triángulos”
• Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
• Es el estudio de las funciones fundamentales: seno, coseno, tangente y sus respectivas inversas: cosecante, secante y cotangente.
¿QUÉ HAREMOS HOY?
• Repasaremos las partes del triángulo rectángulo y el Teorema de Pitágoras.
• Resolveremos triángulos rectángulos usando las funciones básicas del seno (sen) y coseno (cos).
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
900
hipo
tenus
a
(a,b)Recuerden que
el ángulo de referencia
determina los lados opuesto y adyacente llamados catetos
La hipotenusa siempre será el lado más
largo.
Los ángulos distintos del ángulo recto son agudos.
adyacente
opuesto
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
β
900
opuesto
adyacentehipo
tenus
a
(a,b)
Los catetos cambian de
posición.
Observa lo que ocurre al
cambiar el ángulo de referencia.
TEOREMA DE PITÁGORAS
900
hipo
tenus
a
(a,b)Ejemplo:
TEOREMA DE PITÁGORAS
Utilizado para calcular
lados desconocidos
a2 + b2
= c2 a
adyacente
opuesto
bc
Sia = 3, b = 4calcula c
c
c
c
c
cba
5
25
169
43
2
2
222
222
Solamente usamos la medida positiva
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
sen cos
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
• En esta presentación nos limitaremos a conocer las razones trigonométricas del seno y coseno.
• Para esto, utilizaremos un triángulo rectángulo ubicado en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas rectangulares.
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
• Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo.
• Las tres razones trigonométricas básicas son: seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan).
VÍDEO: Razones trigonométricas en un
triángulo a partir de los lados Tiempo: 5.49 min
Español
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Relaciones Trigonométricas
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
900
a
bc
(a,b)
cbsen
cacos
abtan
bccsc
acsec
bacot
Inversas
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
900
adyacente
opuestohipo
tenus
a
(a,b)
HipOpsen
HipAdycos
AdyOptan
OpHipcsc
AdyHipsec
OpAdycot
Sus InversasRelaciones Trigonométricas
SOH CAH TOA
RESOLVER TRIÁNGULOS
55º
hb
12 cm
x
VIDEOS EXPLICATIVOS(INGLÉS)
BASIC TRIGONOMETRY REVIEW
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Tiempo: 2.31 minTiempo: 5.27 min
RESOLVER TRIÁNGULOS
• Cuando decimos que vamos a resolver triángulos lo que haremos será hallar todas las medidas de sus tres lados y tres ángulos.
• Obviamente, si tenemos un triángulo rectángulo ya conocemos uno de sus ángulos. ¿Cuál es?
• No olvidemos que al utilizar las funciones trigonométricas debemos conocer la medida de uno de sus ángulos agudos y la de uno de sus lados.
RESOLVER TRIÁNGULOS
• Como tenemos dos de los tres ángulos será fácil calcular x
• Sabemos que la suma de los tres ángulos en un triángulo es 180º.
• Si uno de ellos es 90º, la suma de los otros dos será 90º. Así que:
• Por lo tanto, x = 35º
55º
hb
12 cm
x
35
5590
x
x
RESOLVER TRIÁNGULOS
• Como solamente tenemos la medida de uno de sus lados no podremos utilizar el Teorema de Pitágoras.
• Así que debemos utilizar una de las funciones trigonométricas para las cuales tengamos todos sus valores.
• Si utilizas:– Seno, ¿cuál tiene que ser el ángulo
de referencia ? ¿Por qué?– Coseno, ¿cuál tiene que ser el
ángulo de referencia ? ¿Por qué?
55º
hb
12 cm
35º
RESOLVER TRIÁNGULOS
55º
hb
12 cm
35º
HipOpsen
HipAdycos
= 35º = 55º
cmh
hh
sensenh
h
h
92.20
35sen
35sen
3512
3535sen
12
12
cmh
hh
h
h
h
92.20
5cos5
55cos
55cos12
55cos5cos5
12
12
Hacemos una aproximación a la centésima (dos lugares decimales)
¿Cuál prefieres usar? ¿Por qué?
RESOLVER TRIÁNGULOS
55º
≈20.92b
12 cm
35º
• Ahora nos falta calcular b.• Si lo deseas podremos utilizar el
Teorema de Pitágoras:
cm 14.17
6464.293
1446464.437
6464.437144
92.2012
2
2
2
222
222
b
b
b
b
b
cba
Aunque este valor se pudo haber calculadocon la tangente preferimos usar Pitágoras.
≈17.14
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
b
βc
a
CALCULA LOS VALORES DEL SENO Y COSENO
De ser necesario aproxima tu contestación a la centésima más cercana.
1) = 30º
2) = 60º
3) = 90º
4) = 18º
5) = 25º
6) = 57º
7)
8)
12
5
3.1
8.3
CALCULA EL VALOR X EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES
De ser necesario aproxima tu contestación a la centésima más cercana.
9) 10)
11)
15
8
x62
32ºx
43ºx
9 cm
Resuelve las partes que falten en cada
uno de ellos.
RESUELVE CADA TRIÁNGULO
Utiliza la información dada y el triángulo marcado de la izquierda
b
βc
a
12) = 17.8º c = 3.45
13) = 33.7º b = 22.4
14) β = 54º c = 4.3
15) β = 53.21º b = 23.82
16) a = 6.00 c = 8.46
17) b = 10.0 c = 12.6ASIGNACIÓNSi estás conectado a la Internet
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REFERENCIAS
• PRECÁLCULO, Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas
• PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS, Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill
Vídeos:• Razones trigonométricas en un triángulo a partir de los
lados http://matematicasies.com/spip.php?article933 • Watch Video on Sine Cosine Tangent – SOHCAHTOA
http://www.youtube.com/watch?v=_S35Ht4imhs • Trigonometry Functions http://www.youtube.com/watch?
v=KiKAJ-JUV14&feature=related • Basic trigonometry review
http://www.youtube.com/watch?v=zU02b72cv6E ASIGNACIÓN:• SOHCAHTOA WORKSHEET.
www.mathwarehouse.com/trigonometry/activities-worksheets/SOHCAHTOA_worksheet_lesson.pdf
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11mo Grado
Juan A. Pomales ReyesEsc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel
Distrito Escolar de Naguabo
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