ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Cinemática InversaFECHA: Enero de 2013Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
ó í ó á
UNIVERSIDADPOLITÉCNICADEMADRIDE.U.I.T.Industrial
Titulación:Grado enIngenieríaElectrónicayAutomática
Área:IngenieríadeSistemasyAutomáticaDepartamento deElectrónicaAutomáticaeInformáticaIndustrial
l d í é d lEscuelaUniversitariade IngenieríaTécnicaIndustrial
RobóticaRobóticaTema 5. Cinemática Inversa
1
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 5-Cinemática InversaFECHA: Enero de 2013Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Obj iObjetivos
1. Dada una localización en el espacio para el extremo operativo, encontrar una formulación matemática cerrada para cada una de las coordenadas generalizadas del robot a partir de la misma
2. Establecer la base que permite el control de trayectorias de la herramienta del robot, al formular el problema de localización referido a un sistema de referencia externo.
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idContenido5.1 Introducción al problema5.2 Métodos Geométricos5.3 Resolución por medio de las Matrices de Transformación Homogénea.5.4 Desacoplo cinemático.5 esacop o c e át co5.5 Consideraciones finales.5.6 Ejemplos y problemas
Bibliografía recomendada:Fundamentos de Robótica. (2ª Edición)Barrientos A, Peñin L. F., Balaguer C., Aracil R. Ed. McGraw‐Hill 1997. ISBN: 84‐267‐1313‐0Barrientos A, Peñin L. F., Balaguer C., Aracil R. Ed. McGraw Hill 1997. ISBN: 84 267 1313 0
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5.1 Introducción al problema
Justificación
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Ci á i I
5.1 Introducción al problema
• Objetivo: encontrar los valores que deben
Cinemática Inversa
• Objetivo: encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente
ú d i d l li ió i lsegún una determinada localización espacial• La resolución no es sistemática• Depende de la config ración del robot• Depende de la configuración del robot
(soluciones múltiples)• No siempre existe solución en forma cerrada.No siempre existe solución en forma cerrada.
o Condiciones suficientes para que exista: Tres ejes de articulación adyacentes interseccionan en un punto
(robot PUMA y robot Stanford)(robot PUMA y robot Stanford) Tres ejes de articulación adyacentes son paralelos entre sí
(robot Elbow)
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Al i
5.1 Introducción al problema
Alternativas
Procedimiento genérico a partir de los parámetros D‐HMétodo iterativoMétodo iterativoProblemas de velocidad y convergencia
Búsqueda de solución cerrada: qk = fk (x,y,z,,,); k = 1,…,nPosibilidad de resolución en tiempo realPosibilidad de selección de la solución más adecuadaPosibilidad de simplificacionesPosibilidad de simplificacionesNo siempre es posible
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Mé d
5.1 Introducción al problema
Métodos
Métodos geométricosSe suele utilizar para las primeras variables articularesUso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución deUso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de
triángulos)Resolución a partir de las matrices de transformación homogénea
D j l i bl f ió d l t d lDespejar las n variables qi en función de las componentes de los vectores n, o, a y p.
Desacoplamiento cinemáticoEn robots de 6 GDLSeparación de orientación y posicionamiento
Otros: álgebra de tornillo cuaterniones duales métodos iterativosOtros: álgebra de tornillo, cuaterniones duales,métodos iterativos...
Robotica Industrial-Ci áti d l b t
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Mé d G é i
5.2 Métodos geométricos
qp
1
arctg y
Método GeométricoEjemplo(I)
2 2r pCoseno del complementarioq
p1
arctg
x
r x2
y2
2 2 2
2
2
p p
zr p complementario
r l l l l cos
cosl l
l l
z2
22
32
2 3 3
3x2
y2
z2
22
32
2 3
2 2
2
p
p p p
q
ql l2 32
sen cos2q q3 31
q
qq3
231
arctg
coscos 3
2 2 2 2 2
qp p p
2
con cos
l ll l3
x2
y2
z2
22
32
2 3
d lTeorema del cosenoDado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
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Mé d G é i
5.2 Métodos geométricos
Método GeométricoEjemplo(II)
q2
zz arct pgparctg
33
2y
2x
cosll sen l
arctr
qqarctg
ppgarctg
332 cosll q
332
332y
2x
z2 c ll
q sen lqos
arctgpp
parctgq y
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5.3 Basado en Matrices Homogéneas
Concepto
Resolución a partir de las matrices de transformación homogénea• Se resuelve la cinemática directa y se obtienen las matrices A.• Para evitar la aparición de ecuaciones trascendentes, se vaPara evitar la aparición de ecuaciones trascendentes, se va
premultiplicando por las matrices inversas.• Se intenta obtener de esta forma una ecuación que aísle en uno
de los lados una de las variables articularesde los lados una de las variables articulares• La elección de los elementos ha de realizarse con sumo cuidado• Por su complejidad a menudo este método se deshecha.
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5.3 Basado en Matrices Homogéneas
Ejemplo
A r t i c . d a 1 l 0 9 0 º1 q 1 l 1 0 9 0 º2 q 2 0 0 - 9 0 º3 0 q 3 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 C S C S
01
1 1
1 1
1
12
2 2
2 2 23
3
0 00 0
0 1 00 0 0 1
0 00 0
0 1 0 00 0 0 1
1 0 0 00 1 0 00 0 10 0 0 1
A A A
C SS C
l
C SS C
q
02
1 2 1 1 2
1 2 1 1 2
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
00
0A
CC S CSSC C SSS C l
T A03
1 2 1 1 2 3 1 2
1 2 1 1 2 3 1 2
0
CC S CS qCSSC C SS qSSS C qC l2 2 10
0 0 0 1
S C l
2 2 3 2 100 0 0 1S C qC l
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5.3 Basado en Matrices Homogéneas
Ejemplo
l é d d d á l d l d h d dEl término izquierdo dependerá solo de q1 mientras que el derecho depende de q2 y q3. Busco un elemento fácil, que relacione q1 con constantes:
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Ej l
5.3 Basado en Matrices Homogéneas
EjemploDado que q1 está obtenido, para q2, buscare relaciones entre q1 y q2 con un
elemento constante en el lado derecho:elemento constante en el lado derecho:
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C
5.4 Desacoplo Cinemático
Concepto
Resolución mediante el desacoplo cinemático• Habitualmente los tres último ejes del robot se cortan en un
punto.p• La finalidad de estos es lograr la orientación de la herramienta,
aunque como consecuencia de su movimiento tengan un efecto ligero sobre la posicióng p
• Con la primera condición se puede simplificar enormemente el problema cinemático para 6 gdl, dado que la obtención de este punto de intersección es una operación sencilla.punto de intersección es una operación sencilla.
• Este punto dependerá sólo de los 3 primeros gdl, por lo que su obtención es asequible.
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Ej l
5.4 Desacoplo Cinemático
Ejemplo
Punto de desacoplol
Prof. Cecilia García
64alpp rm
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Ej l
5.4 Desacoplo Cinemático
EjemploMediante alguno de los métodos anteriores se obtienen los valores
de q1 q2 y q3 ¿Qué hacemos con el resto?de q1,q2 y q3. ¿Qué hacemos con el resto?Nos centramos exclusivamente en la orientación por simplicidad, y
aplicamos un método análogo al basado en las matrices homogéneas:homogéneas:
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A i l
5.5 Consideraciones Finales
•Para seguimiento de trayectorias es necesario resolver el problema
Aspectos computacionales
•Para seguimiento de trayectorias es necesario resolver el problemacinemático a gran velocidad (30 veces/seg o más).
S f ibl l l i d lí i ( i i ) l•Son preferibles las soluciones cerradas explícitas (si existen) a lasiterativas.
•Para acelerar cálculos generalmente se emplean tablas previamentecalculadas (look‐up tables)
•El coste de calcular n soluciones, no es necesariamente n veces el decalcular una única solución.
•Computacionalmente es más robusta la arcotangente por lo que es preferible buscar siempre este tipo de relación.
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C id i di i l
5.5 Consideraciones Finales
Consideraciones adicionales
Deben atenderse las múltiples soluciones: Elección que minimice los movimientos desde la posición actual Concepto de solución más cercana Mover los eslabones de menor peso Considerar obstáculos (evitar colisiones).Considerar obstáculos (evitar colisiones).
Teóricamente es resoluble todo sistema R y P con 6 grados de Teóricamente es resoluble todo sistema R y P con 6 grados de libertad.
Métodos numéricos iterativos: lentitud. S fi i líti ( l i d )Se prefieren expresiones analíticas (soluciones cerradas):
Métodos algebraicos Métodos geométricos .
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R b R d d
5.5 Consideraciones Finales
Se desea: Posicionar el elemento terminal en un punto del
Robots Redundantes
pplano
o Si Nº DoF del manipulador Nº DoF que requiere la tareao Si N DoF del manipulador N DoF que requiere la tarea • Dos soluciones
o Si Nº DoF del manipulador > Nº de DoF que requiere la tareao Si Nº DoF del manipulador > Nº de DoF que requiere la tarea• Infinitas soluciones
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