Sesión 2Funciones de Probabilidad
TLC e Intervalos de confianza
Estadística en las organizaciones CD4001
Dr. Jorge Ramírez Medina
Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
Nuestro interés es el número de éxitos que ocurren en los n intentos.
Tomamos x como el número de éxitos que ocurren en los n intentos.
Distribución Binomial
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donde: f(x) = La probabilidad de x éxitos en n intentos n = el número de intentos p = la probabilidad de éxito de cualquier intento
Función de probabilidad binomial
Distribución Binomial
)()1()!(!
!)( xnx pp
xnxn
xf
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Función de probabilidad binomial
Distribución Binomial
Probabilidad de una secuencia particular de resultados
con x éxitos en n intentos
Número de resultados experimentales que dan
x éxitos en intentos
)()1()!(!
!)( xnx pp
xnxn
xf
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Ejemplo
La empresa está preocupada por la alta rotación de sus empleados. Para un empleado seleccionado al azar, se estima una probabilidad de 0.1 de que la persona no esté el próximo semestre trabajando. Si se seleccionan 3 empleados al azar ¿cuál es la probabilidad de que uno de ellos no esté trabajando el próximo semestre en el CITEC?
Distribución Binomial
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Diagrama de árbol 1st Worker 1st Worker 2nd Worker2nd Worker 3rd Worker3rd Worker xx Prob.Prob.
Leaves (.1)Leaves (.1)
Stays (.9)Stays (.9)
33
22
00
22
22
Leaves (.1)Leaves (.1)
Leaves (.1)Leaves (.1)
S (.9)S (.9)
Stays (.9)Stays (.9)
Stays (.9)Stays (.9)
S (.9)S (.9)
S (.9)S (.9)
S (.9)S (.9)
L (.1)L (.1)
L (.1)L (.1)
L (.1)L (.1)
L (.1)L (.1) .0010.0010
.0090.0090
.0090.0090
.7290.7290
.0090.0090
11
11
.0810.0810
.0810.0810
.0810.0810
11
Distribución Binomial
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Utilizando la función de probabilidad Binomial
tome: p = .10, n = 3, x = 1tome: p = .10, n = 3, x = 1
Distribución Binomial
)()1()!(!
!)( xnx pp
xnxn
xf
243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0)!13(!1
!3)1( )13(1
f
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utilizando Tablas de Probabilidad Binomial
n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50
3 0 .8574 .7290 .6141 .2430 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .12501 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .37502 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .37503 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250
p
Distribución Binomial
X P(X)
0 0.729
1 0.243
2 0.027
3 0.001
Utilizando excelBinomial
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El valor esperado;
La varianza;
La desviación estándar, s =
Var(x) = 2 = np(1-p)Var(x) = 2 = np(1-p)
E(x) = = npE(x) = = np
Distribución Binomial
)1( pnp
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E(x) = np = 3(.1) = .3 empleados de 3
Var(x) = 2 = 3(.1)(.9) = .27
Distribución Binomial
empleados52.)9)(.1(.3
La larga cola
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Una variable aleatoria con una distribución Poisson es útil para estimar el número de ocurrencias sobre un intervalo especificado de tiempo o espacio.
Es una variable aleatoria discreta que puede tomar una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).
Distribución Poisson
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Ejemplo de variables aleatorias con distribución Poisson
La cantidad de fugas en 10 km. de un gaseoducto
Los automóviles que pasan por una caseta en una hora
Distribución Poisson
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Propiedades de los experimentos Poisson
La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no-occurrencia en cualquier otro intervalo.
La probabilidad de una ocurrencia es la mismapara dos intervalos cualesquiera de igual longitud
Distribución Poisson
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Distribución Poisson
Función de probabilidad Poisson
en donde:f(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalo µ= media de ocurrencias en un intervalo e = 2.71828
!)(
xe
xfx
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MERCY
• Ejemplo: Hospital López Mateos
Los fines de semana en la tarde
a la sala de emergencias del
Hospital LM llegan en promedio
6 pacientes por hora .
Cuál es la probabilidad de que
lleguen 4 pacientes en 30 minutos
en la tarde de un fin de semana?
Distribución Poisson
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Utilizando la Función de Probabilidad Poisson
MERCY
= 6/hora = 3/media-hora, x = 4 = 6/hora = 3/media-hora, x = 4
Distribución Poisson
1680.0!4
)71828.2(3)4(
34
f
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Utilizando las tablas de probabilidad Poisson
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.00 .1225 .1108 .1003 .0907 .0821 .0743 .0672 .0608 .0550 .04981 .2572 .2438 .2306 .2177 .2052 .1931 .1815 .1703 .1596 .14942 .2700 .2681 .2652 .2613 .2565 .2510 .2450 .2384 .2314 .22403 .1890 .1966 .2033 .2090 .2138 .2176 .2205 .2225 .2237 .22404 .0992 .1082 .1169 .1254 .1336 .1414 .1488 .1557 .1622 .16805 .0417 .0476 .0538 .0602 ..0668 .0735 .0804 .0872 .0940 .10086 .0146 .0174 .0206 .0241 .0278 .0319 .0362 .0407 .0455 .05047 .0044 .0055 .0068 .0083 .0099 .0118 .0139 .0163 .0188 .02168 .0011 .0015 .0019 .0025 .0031 .0038 .0047 .0057 .0068 .0081
MERCY
Distribución Poisson
Utilizando excel; =POISSON(4,3,FALSO)
Dr Jorge Ramírez MedinaITESM EGADE Zona Centro
MERCY
Poisson Distribution of Arrivals
Poisson Probabilities
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de llegadas en 30 Minutos
Pro
bab
ilid
ad
La secuencia continua:11, 12, …
Distribución Poisson
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Una propiedad de la distribución Poisson es queLa media y la varianza son iguales.
m = s 2
Distribución Poisson
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MERCY
Varianza de las llegadas durante el periodo de 30 minutos.
m = s 2 = 3
Distribución Poisson
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SLOW
Distribución de probabilidad exponencial
• Útil para describir el tiempo que toma el completar una tarea.
• Las variables aleatorias exponenciales pueden ser utilizadas para describir:
Tiempo de llegada Entre vehículos
a una caseta.
Tiempo requerido para llenar un cuestionario
Distancia entre baches en una
autopista
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• Función de densidad
donde: = media e = 2.71828
Para x ≥0, μ≥0
Distribución de probabilidad exponencial
x
exf
1)(
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• Probabilidades acumulativas
donde: x0 = algún valor específico de x
Distribución de probabilidad exponencial
ox
exxP 1)( 0
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• Ejemplo; gasolinera las Torres
El tiempo entre carros que llegan a la gasolinera las Torres sigue una distribución de probabilidad exponencial con una media entre llegadas de 3 minutos. Se quiere saber cuál es la probabilidad de que el tiempo entre 2 llegadas sea menor o igual de 2 minutos.
Distribución de probabilidad exponencial
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xx
f(x)f(x)
.1.1
.3.3
.4.4
.2.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo entre llegadas (mins.)
P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866 P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866
Distribución de probabilidad exponencial
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Una propiedad de la distribución exponencial es que la media, m, y la desviación estándar, s, son iguales
La desviación estándar, s, y la varianza, s 2, para el tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:
s = m = 3 minutes
s 2 = (3)2 = 9
Distribución de probabilidad exponencial
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La distribución exponencial está sesgada positivamente.
La medición del sesgo para la distribución exponencial es 2.
Distribución de probabilidad exponencial
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La distribución Poissonda una descripción apropiadadel número de ocurrenciaspor intervalo
La distribución exponencialda una descripción apropiadade la longitud del intervaloentre las ocurrencias
Relación entre las distribuciones
exponencial y Poisson
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s
mx
Distribución Normal
𝑓 (𝑥)= 1𝜎 √2𝜋
𝑒−(𝑥−𝜇)2
2
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Valores Z
Se interpreta como la cantidad de desviaciones estándar que dista xi del promedio.
sxx
z ii
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Z-scores
¿cómo comparar peras con manzanas?
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Un ejemplo
60 en estadística 60 en ética
Para entender; Grafiquémoslo
• Tipo de datos– Numéricos– Medidas de tendencia central (media)– Medidas de variabilidad (desviación estándar)
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Primera idea
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Nada es verdad, nada es mentiraTodo es según el cristal en que se mira
(Popular)
Segunda idea
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X Xz
SD
Tercera idea
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Cuarta idea
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Z = (Score - Mean)/SDZ = (60 - 50) / 10Z = 1
Z = (Score - Mean)/SDZ = (84 - 50) / 10Z = 3.4
Z = (60 - 70) / 10Z = -1.0
Z-scores
• Z-score puede ser positivo o negativo– Positivo es arriba de la media– Negativo es abajo de la media
• La media de un Z-score es siempre cero• Si se tiene el promedio, el Z-score =0• La desviación estándar de una distribución Z =1
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425 430 430 435 435 435 435 435 440 440440 440 440 445 445 445 445 445 450 450450 450 450 450 450 460 460 460 465 465465 470 470 472 475 475 475 480 480 480480 485 490 490 490 500 500 500 500 510510 515 525 525 525 535 549 550 570 570575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
Para el ejemplo de la sesión 1
= .865
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Valores z
• z-Score del valor más pequeño (425)
-1.20 -1.11 -1.11 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -0.93 -0.93-0.93 -0.93 -0.93 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.75 -0.75-0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.56 -0.56 -0.56 -0.47 -0.47-0.47 -0.38 -0.38 -0.34 -0.29 -0.29 -0.29 -0.20 -0.20 -0.20-0.20 -0.11 -0.01 -0.01 -0.01 0.17 0.17 0.17 0.17 0.350.35 0.44 0.62 0.62 0.62 0.81 1.06 1.08 1.45 1.451.54 1.54 1.63 1.81 1.99 1.99 1.99 1.99 2.27 2.27
Valores estandarizados
20.173.54
8.490425
s
xxz ii
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s = 1
0z
La letra z es utilizada para designar a la variable normal aleatoria estandarizada.
Distribución de probabilidad Normal
estandarizada
xz
Distribución de probabilidad Normal
estandarizadaFunción de densidad normal
estándar
donde:z = (x – m)/sp = 3.14159e = 2.71828
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2
2
2
1)(
z
exf
Asignación para la siguiente sesión
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Fin Sesión DosGracias por
su atención